La forêt triangulaire (*)

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1 PMEP n o 45 Dns nos lsses L forêt tringulire (*) I. Le problème Mthis est peru u œur une forêt en forme e tringle équiltérl. Il ne onnît ps les imensions e ette forêt, mis grâe à un mtériel sophistiqué et à e svnts luls, il peut étblir qu il se trouve à km un sommet e l forêt, à km un utre et à km u troisième. Quelle est l ire e l forêt? On prenr si besoin est 1,71 pour et on rronir à 0,01 km. II. Des solutions En ses numéros et 1, MTH-ÉOLE éjà proposé sept solutions et e n est ps fini. ertines sont surtout lultoires. Nous proposons i-près es solutions un utre type, les qutre premières provennt e MTH-ÉOLE, remeriée ii pour l utoristion e reproution. II.1. Solution e Mihel riton Déomposition e eux tringles équiltérux e ôté en trois quriltères qui, à leur tour, forment tringles retngles «,,» et trois tringles équiltérux, e ôtés, et. On pren eux exemplires u tringle équiltérl et on prtge hun eux en trois tringles e ôtés respetifs { ; ; }, { ; ; } et { ; ; } où est l longueur un ôté es tringles équiltérux. À l ie es six petits tringles, on rélise les trois quriltères e l figure e l pge suivnte en les ssemblnt eux à eux pr leur ôté e longueur. On montre filement que es trois quriltères possèent un ngle e 0 egrés et que hun est on onstitué un tringle équiltérl olé à un tringle retngle e ôtés, et. L somme es ires es trois quriltères est égle u triple e l ire u tringle retngle -- ugmenté es ires e trois tringles équiltérux e ôtés respetifs, et. En prennt l moitié e ette somme, on obtient l ire un tringle équiltérl e ôté, où l on éuit ensuite l vleur e e ôté. (*) Texte issu e l revue suisse MTH-ÉOLE, n os et 1.

2 4 Dns nos lsses PMEP n o 45 II.. Solution e hristin zzoni hristin zzoni sns éoupge, en trois rottions, onstruit un hexgone ont l ire est eux fois elle u tringle e éprt, e qui revient à une utre isposition es six pièes e l solution prééente. Je prtge, it-il, le tringle équiltérl en trois tringles uxquels je fis subir une rottion e 0 insi : I I, R(; 0 ) I I, R(; 0 ) I"' I I. km R(; 0 ) I" I On fbrique insi trois quriltères II, I I et I I ont l somme es ires vut le ouble e elui u km km tringle équiltérl. hun e es quriltères est omposé un tringle retngle ont les otés es ngles roits vlent km et km et un tringle équiltérl e respetivement km, km I' et km e ôtés.

3 PMEP n o 45 L forêt tringulire 5 1 ire u tringle équiltérl : Don l ire e l forêt est e : = 79,0 km! II.. Solution e D. Froiœur Voii l figure e bse e D. Froiœur et l figure finle, où l on onstte que l ire e eux grns tringles () se éompose en eux tringles équiltérux e oté (T ), eux tringles équiltérux e ôté (T ) et trois tringles retngles e ôtés, et (T ). D où : = T+ T+ T = ( 9+ 1) + 4 = 5 +. II.4. Solution e F. Jquet qui générlise L Figure 1 montre, à guhe, le tringle équiltérl e ôté, ire E(), et s réprtition en trois tringles ires,,, ynt un sommet ommun P. Une rottion e 0 egrés et e entre O éple le tringle (OPQ) en OP Q (u entre). Le tringle OPP est équiltérl, e ôté r il eux ôtés isométriques et l ngle ompris e 0 egrés, ésigné pr E() sur l figure e roite. Le tringle PP Q pour ôtés, b,, il est ésigné pr T(b) sur l figure e roite. Q Q E() P b Figure 1 Q P b P P b O T(b) Q P E() O

4 Dns nos lsses PMEP n o 45 On on l équivlene es ires : E() = + + = + E () + T(b). De même, pr une rottion e l prtie (Figure, à guhe) et e l prtie {Figure. u entre) on obtient es éompositions u tringle initil en trois prties, respetivement, T(b), E() et, T(b), E(b). Le biln es trois trnsformtions onne l reltion : E() = ( + E () + T(b)) + ( + E (b) + T(b)) + ( + E () + T(b)), E() = ( + + ) + T(b) + E () + E (b) + E (), E() = T(b) + E () + E (b) + E (). E() P T(b) b b Figure T(b) b P E(b) b b b T(b) P E() On retombe ii, sur l reltion e l solution e M. riton, mis pour le s générl. Si l on psse ux mesures es ôtés, il fut fire intervenir l formule e Héron (moins ournte, mis qu on trouve ns les formulires) qui exprime l ire un tringle en fontion e ses trois ôtés (plus onise en fisnt intervenir le emipérimètre p) : b = p( p )( p b)( p ), ( ) = b 4p( p )( p b)( p ). Selon l formule lssique, le leteur vérifier isément que, en substitunt à p et en simplifint l éqution, on obtient rpiement l formule : + b+ ( )= ( ). 4 + b b

5 PMEP n o 45 L forêt tringulire 7 II.5. Solution e Jen-Pierre Frieelmeyer (solution nlogue e runo lplntive) nlyse u problème 1. L énoné ne onne uune inition sur l orienttion e l forêt. On peut on pler le tringle () ns le sens que l on veut. el revient à ire que le tringle peut se épler utour u point M e telle fçon que érive un erle (), un erle (), un erle (), les trois erles entrés sur M et e ryons respetifs ; ;. () () () M. Fixons le point sur le erle (). lors le point est l imge e ns une rottion e entre et ngle 0. Il est on à l intersetion u erle () et u erle ( ) imge u erle () ns ette rottion Nous vons on une onstrution u point et on un tringle (). M M =. onlusion sur les tringles () possibles. À une rottion près utour e M, il y eux pires e tringles () symétriques pr rpport à l roite (M). Pour hune es eux pires il y un tringle ve le point M à l intérieur et un tringle ve le point M à l extérieur. M M = 4. ire u tringle Reste à éterminer l longueur u ôté u tringle et son ire. L ngle MM est roit à use es ôtés,,, on pr l Kshi : = + 4 os(150 ) et on l ire u tringle est + 5 M M = en km soit environ 79,0 km.

6 01 01 Dns nos lsses PMEP n o 45 Remrque. ette solution montre l importne e l informtion «u œur une forêt». On pourrit imginer l histoire plus réliste un Mthis peru, ont les seuls repères serient trois points,, isposés selon un tringle équiltérl. lors, selon l sitution à l intérieur ou à l extérieur u tringle l réponse ne serit ps l même (l ire u tringle ns le s extérieur est 5 0 soit environ 7,0). II.. utre solution e runo lplntive Voilà, it-il, e que j i trouvé utre que les erles onentriques uxquels j vis bor pensé. Dns m émrhe, j i imginé voir un tétrère non régulier et, en prennt pour bse un tringle équiltérl e ôté u moins supérieur à 4 et u plus inférieur à 14 et es fes ltérles rêtes et, et, et, je pensis pouvoir luler l huteur u tétrère obtenu et fire tenre ensuite ette huteur vers O... Trop ompliqué pour les ironvolutions e mon petit erveu! Mis omme j i qun même pris le temps e fire ifférents ptrons sur bri (et e les éouper pour VOIR) j i remrqué le tringle et l i reonnu pour être le,4, 5 à l tille près et omme en plus les rpports es longueurs obtenues à, et onnient 1.74, 1.7 et 1.7, j y i reonnu rine e..., et. ttqué omme ei, est très rihe! On ouvre «l enveloppe» pr les ôtés, et et on éplie selon le ontour équiltérl. L emi-bse vut sin 0, soit, et l bse vut bien

7 PMEP n o 45 L forêt tringulire 9 De même les utres ôtés vlent-ils et, e qui ssure que le tringle est retngle : grnissement u tringle,, lui-même ouble u fmeux, 4, 5. Remrque : l onstrution u tringle,, ssure elle u tringle équiltérl. LULS 1. l Kshi permet érire : = + os 150, est-à-ire soit = 0 + 4, = L ire un tringle équiltérl étnt onnée pr l formule ii : 4, on obtient finlement ire = + 5 (en unité ire). Mis ps besoin l Kshi (on reste u niveu ollège) : un peu imgintion et Pythgore fit le reste : ( ) + = = = II.7. Solution e Henri reil qui pren le problème utrement et ve une ésinvolture finle On suppose que, ynt un «mtériel sophistiqué», et prêt à e «svnts luls», notre égré (physiquement seulement) ispose ussi une règle gruée, un omps, qu il sit iviser un segment ns un rpport onné, et que, et étnt onnés, le lieu es points M ( un pln qui les ontient) tels que M/M = k (k 1 onné) est le erle e imètre [UV] (U et V ivisnt [] ns le rpport k). Dès lors :

8 0 Dns nos lsses PMEP n o 45 ) Prinipe une solution : Dessinons un tringle équiltérl e ôté rbitrire (ppelons l s longueur). e tringle est semblble u tringle-forêt. Plçons-y l homologue I u point I : I I /I = / (= /5). Don I est sur le erle Γ 1 I /I = / (= 5/4). Don I est sur le erle Γ es eux erles ont un point ommun, et un seul, à l intérieur u tringle. e point est I (et l on bien I /I =/). Il suffit, ès lors, e mesurer, pr exemple, I. Le rpport I /I est ussi /. D où le ôté u tringle-forêt, et. b) Mis omment mesurer I? Méthoe 1 lultoire : Prenre un repère orthonormé. Déterminer les équtions e Γ 1 et Γ. D où les ooronnées e I, et. Méthoe «Mesurges» : Eh oui! L préision ttenue un lul n est-elle ps illusoire s gissnt une forêt (bors «flous», et.). Et que penser e l préision e es km, km, km? lors, si mon essin est ssez grn et «bien fit», je mesure I à l règle gruée et le tour est joué! L morle e l histoire : Voilà un joli problème hbillé en forêt. est prfois ngereux. f. l forêt qui mrhe sur le hâteu e Mbeth! Ii, est ngereux pour l préision mthémtique, réusble! Pourquoi ne ps en profiter? en s ppuynt sur un prinipe e résolution peu usité, mis effie III. Les utres solutions e «Mth-Éole» Lisez «Mth-Éole» : elles ont ussi ps ml intérêt L revue «Mth-Éole», nimée pr notre mi Frnçois JQUET, onerne essentiellement Éole et ollège, mis, ve iverses solutions ii, plusieurs textes souvent, mor ussi sur les Lyées. 4 numéros pr n, exellents! bonnements : HF 45, Revue «Mth-Éole», Institut e mthémtiques, 11 rue Émile rgn, H-007 NEUHÂTEL. Site :