Finance des matières premières (6b) De la formation des prix sur les marchés financiers à la possibilité d un équilibre (non walrasien)

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1 Finance des matières premières (6b) De la formation des prix sur les marchés financiers à la possibilité d un équilibre (non walrasien) Alain Bretto & Joël Priolon - 25 mars 2013

2 Question Dans un équilibre walrasien la détermination du prix d équilibre précède l ouverture des échanges Sur les marchés financiers, les échanges s effectuent en continu Les échanges n ont donc pas lieu à un prix d équilibre invariant Dans une perspective positive, comment montrer la possibilité d existence d un équilibre?

3 Programme de recherche Construction d un modèle dynamique de la formation des prix Hypothèses fondamentales : - les agents sont rationnels mais leur capacité de calcul n est pas illimitée - les agents sont hétérogènes - il existe une incertitude radicale - l information est librement accessible et sa structure ne fait pas l objet d hypothèse particulière Étude des propriétés de la dynamique des prix et des autres grandeurs caractéristiques d un marché : quantités échangées, volatilité, fréquence des échanges, etc. Définition d un équilibre dynamique

4 Les agents Les agents e i sont des opérateurs «benchmarkés» ; ils doivent donc ajuster leur action aux évolutions du marché La marge d initiative de ces agents rationnels est donc restreinte À chaque instant t, chaque agent adresse un ordre tel que (q t i ; pt i ) = M i(information t 1 ) M i, modèle économique de l agent i est une combinaison de - M o i qui représente la dimension calculatoire du modèle - et de M s i qui représente la dimension non calculatoire du modèle En d autres termes les décisions ne sont pas exclusivement fondées sur un calcul et sont pour une part irréductible le produit d anticipations

5 Les agents Les agents sont hétérogènes Les modèles des agents évoluent et s adaptent aux évolutions du marché Le principal savoir-faire d un agent est d envoyer un ordre qui pourra être exécuté. Il faut donc qu il devine en t ce que sera le prix en t + 1 Dans la durée, le meilleur gestionnaire sera celui qui aura su au mieux ajuster son action à la dynamique du marché À l instant t, le prix p t résulte des anticipations des agents en t 1

6 Le marché Le marché est «tiré par les ordres» selon le schéma suivant : Les prix se forment séquentiellement L information est publique On appelle market system noté ms les mécanismes qui expliquent la dynamique du marché Un ms est un système déterministe

7 Principaux résultats Le marché est presque partout à l équilibre L état du marché influence les choix des agents et les agents influencent l état du marché dans une boucle incessante Les bulles et les crises sont des états possibles du marché dans son fonctionnement standard Les prix forment une suite aléatoire

8 Axiome 1 A market is completely defined at the time t by a (state) unitary vector ms(t) or ms belonging to a Hilbert space on C. This space will be denoted by H. En se situant dans un espace de Hilbert, on s ouvre la possiblité de réaliser toutes sortes de calculs

9 Définition 1 A quantifiable property (or just quantifiable for short) of a market is a characteristic of this market that can be evaluated, measured, read,... at time t For instance prices, quantities, discount rates, dividends,... are quantifiable properties. We will denote them by Q

10 Axiome 2 At time t [0; 1], to each quantifiable property of a market system Q corresponds a linear operator Q t (we denote it by Q when there is no ambiguity) represented by a matrix that acts on H ; the only possible outcome of the measurement of the quantifiable property Q are eigenvalues of Q Eigenvalues will be interpreted as predictions of agents Les mesures des quantifiables sont internes au modèle

11 Axiome 3 Let a market system be described as follows : mv = i β ie i. The probability that the result of the measurement of the quantifiable Q at the time t be λ i is k λ i i=1 β i 2, where k λi is the number of eigenvectors (linearly independent) associated with the eigenvalue λ i. In other words, k λi Pr(Measurement of Q = λ i ) = β i 2. i=1 À chaque instant t la probabilité qu apparaisse une valeur particulière d un quantifiable est déterminée par les anticipations des agents en t 1

12 Axiome 4 For all parameters of the single market system pa i = ob i + su i and we have su i = o a.e. (ob i ) Les agents ne sont pas dotés d une capacité de calcul absolue, même s ils sont parfaitement rationnels

13 Axiome 5 If the reading of a quantifiable Q gives the eigenvalue λ i of Q then the state of the market instantly after the observation of Q is f λi (pa) = 1 k λi j=1 β j 2 k λi β j e j (1) j=1 Idem for subjective (resp. objective) market system. Les anticipations des agents conditionnent l état du marché et l état du marché conditionne les anticipations des agents

14 Résultat principal : le marché est presque partout à l équilibre Theorem Let J = [t 1 ; t 2 ] I such that µ(]t 1 ; t 2 [) 0. Let Q be a quantifiable property at the time t ]t 1 ; t 2 [, let Q pa, Qob be the linear operators associated with Q. If the eigenvalues of Q pa are λ 1 > λ 2 λ 3... λ n 1 λ n and the eigenvalues of Q ob are µ 1 > µ 2 µ 3... µ n 1 µ n then there is a "small" ɛ i such that λ i µ i ɛ i for all i {1, 2, 3,..., n}. Les quantifiables observés sur le marché sont presque partout une bonne approximation des valeurs fondamentales Par exemple le prix de marché est presque partout une bonne approximation de la valeur fondamentale

15 Conclusion Le marché est presque partout à l équilibre L équilibre est un équilibre dynamique ; il est défini par le fait que tous les quantifiables tendent presque partout vers leur valeur fondamentale L état du marché influence les choix des agents et les agents influencent l état du marché dans une boucle incessante L état macroéconomique dépend de choix individuels ; nous n avons pas recours à l hypothèse d un agent représentatif Les bulles et les crises sont des états possibles du marché dans son fonctionnement standard Une définition formelle et générique est donnée Les prix forment une suite aléatoire Cette propriété découle de l axiomatique ; elle n est pas posée a priori

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