Cours et travaux dirigés Mécanique du point et du solide

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1 Cours t tru irigés écniqu u point t u soli β G α C Frnçois INE rofssur ctir Unirsité Limogs IU u Limousin Sit GEII ri Unirsité Limogs. I.U.. u limousin. Sit G.E.I.I. ri Frnçois INE - -

2 Sommir ss rpèrs t référntils...4 Cinémtiqu u point t u soli...5. Cooronnés crtésinns...5. Cooronnés clinriqus...6. Cooronnés sphériqus osition un point Vitss un point....6 ccélértion un point....7 Cooronnés intrinsèqus. Composnts Frnt Etu moumnts ps moumnts ritr un rcic cinémtiqu... 6 VUX DIIGES SU L CINEIQUE... 8 Notions forcs t équilibr.... L torsur forc..... Ls forcs..... omnt forcs.... Equilibr, rottion t trnsltion Equilibr Coupl t moumnt rottion rnsltion Forcs frottmnt Frottmnt sttiqu Frottmnt nmiqu ésolution s problèms sttiqu Soli n équilibr sous l ction forcs Soli n équilibr sous l ction forcs Soli n équilibr sous l ction n forcs étho... 7 VUX DIIGES SU L SIQUE Dnmiqu s solis Elémnts nmiqu L torsur cinétiqu Quntité moumnt omnt cinétiqu rrêt, rottion t trnsltion L torsur nmiqu rincips fonmntu l nmiqu Enoncé Nwton Enoncé mthémtiqu u princip fonmntl héorèm l quntité moumnt, héorèm l résultnt cinétiqu héorèm u momnt cinétiqu Dnmiqu s prticuls chrgés Forcs chmp... 5 Chmp grittionnl :... 5 Chmp élctromgnétiqu :... 5 VUX DIIGES SU L DYNIQUE Enrgétiqu Grnurs sclirs uissnc, ril t Enrgi potntill... 4 uissnc... 4 ril... 4 Enrgi potntill... 4 ril t énrgi potntill s forcs usulls Enrgi cinétiqu Enrgi mécniqu Enrgi totl héorèms mthémtiqus rnsport s momnts éférntil u cntr mss héorèm Konig héorèm Konig pour l énrgi cinétiqu héorèm l énrgi cinétiqu Unirsité Limogs. I.U.. u limousin. Sit G.E.I.I. ri Frnçois INE - -

3 5. héorèm l énrgi mécniqu rnsfrts énrgétiqus Différnts tps trnsfrt rmir princip thrmonmiqu nmnt VUX DIIGES SU L ENEGEIQUE Soli n rottion utour un irction fi omnt inrti omnt inrti pr rpport à un... 5 Eprssions pr rpport u s u rpèr crtésin omnt inrti pr rpport à un point s principl inrti héorèm Hughns-Schtinr Empls clculs momnts inrti omnt inrti un isqu plin omnt inrti un côn plin régulir omnt inrti un sphèr crus omnt inrti un sphèr plin Cs un soli à smétri clinriqu ou sphériqu omnt cinétiqu - omnt inrti héorèm u momnt cinétiqu pr rpport à l rottion Eprssion l énrgi cinétiqu un soli n rottion utour un fi nlogi c l moumnt trnsltion VUX DIIGES SU L DYNIQUE DU SLIDE nn. Ls intégrls Définitions ropriétés éthos intégrtion nn Ls ifférntills nn Equtions ifférntills Solutions tps étho résolution nn 4 Clculs surfcs t olums Formulir Cofficints Clcul surfcs Clcul olums Empls clculs surfcs Surfc un crcl Surfc un sphèr Empls clculs olums Volum un clinr Volum un sphèr Volum un côn nn 5 Clculs cntrs inrti Définition u cntr inrti ropriétés u cntr inrti Clculs cntrs inrti Cntr inrti un côn plin régulir Cntr inrti un mi sphèr plin Cntr inrti un mi sphèr crus Cntr inrti un isqu prcé Cntr inrti un soli simpl... 7 nn.6 Ls cturs... 7 nn 7 Ls opérturs L grint L irgnc L rottionnl ltions ntr opérturs ltions intégrls Unirsité Limogs. I.U.. u limousin. Sit G.E.I.I. ri Frnçois INE - -

4 ss rpèrs t référntils s : Dns un spc à trois imnsions, on ppll bs ctorill un nsmbl cturs linéirmnt inépnnts : b,, sont non coplnirs pèrs spc : L nsmbl constitué un point l spc t cturs bs form un rpèr spc. pèr irct : L prouit ctoril étnt nticommuttif, il st nécssir éfinir un «norm»,un sns «norml». L sns irct st obtnu c l règl l min roit. pèr Coprnic : L origin corrspon : u cntr mss u sstèm solir t ls s sont irigés rs : trois étoils fis. pèr géocntriqu : L origin corrspon :u cntr mss l trr t ls s sont irigés rs : trois étoils fis. Cooronnés : our éfinir l position tout point ns un rpèr, on constt périmntlmnt, qu il st nécssir t suffisnt prnr trois réls pplés cooronnés. pèr tmps Il st constitué un instnt origin t un échll tmps éférntil L nsmbl constitué un rpèr spc t un rpèr tmps st pplé référntil. éférntil glilén : C st un référntil ns lqul l spc st homogèn t isotrop t l tmps uniform. Unirsité Limogs. I.U.. u limousin. Sit G.E.I.I. ri Frnçois INE - 4 -

5 Cinémtiqu u point t u soli L cinémtiqu st l étu s moumnts inépnmmnt s cuss qui ls prouisnt. our écrir l moumnt un point il st nécssir utilisr s cooronnés. L choi u sstèm cooronnés épnr s crctéristiqus u moumnt. Voici trois sstèms cooronnés usuls : - Cooronnés crtésinns. - Cooronnés clinriqus. - Cooronnés sphériqus. Cooronnés crtésinns Cooronnés : : bsciss : oronné : côt présnttion : Vctur position : Déplcmnt élémntir : Volum élémntir : V Unirsité Limogs. I.U.. u limousin. Sit G.E.I.I. ri Frnçois INE - 5 -

6 . Cooronnés clinriqus Cooronnés : : ron polir : ngl polir : côt présnttion : r '. r Vctur position : n rmrqur qu l point n ps composnt slon. L bs clinriqu st un bs mobil onc l ngl intrint non ps ns l position pr rpport à l bs clinriqu mis ns l position l bs clinriqu pr rpport u rpèr qui st fi ltion c ls cooronnés crtésinns : cos sin cos sin crt sin cos crt sin Unirsité Limogs. I.U.. u limousin. Sit G.E.I.I. ri Frnçois INE - 6 -

7 Déplcmnt élémntir : Volum élémntir : V Dériés s cturs pr rpport à l ngl : ppls : cos sin sin qu l on put rtnir c : cos. n éuit s cooronnés s cturs : -cos sin -sin cos intégrtion érition n rmrqur qu l érition pr rpport à corrspon à un rottion π : π/ Unirsité Limogs. I.U.. u limousin. Sit G.E.I.I. ri Frnçois INE - 7 -

8 . Cooronnés sphériqus Cooronnés : r : ron ctur r θ : coltitu θ π : imuth π présnttion : r r.θ r.sinθ. r r.θ θ θ r θ Vctur position : r r r.sinθ r.sinθ. r θ êm rmrqu qu pour ls cooronnés clinriqus : n qu un cooronné cr l bs sphériqu st mobil. Ls u utrs cooronnés pprissnt ns l positionnmnt l bs mobil pr rpport à l bs fi. ltion c ls cooronnés crtésinns : r sinθ cos r sinθ sin r cosθ r.cosθ θ r.sinθ r r.cosθ r.sinθṡin.cos r.sinθ.sin Déplcmnt élémntir : r.sinθ r r.sinθ.cos r r rθ rsin θ Volum élémntir : V r rθ rsinθ θ r.θ r r.sinθ. θ Unirsité Limogs. I.U.. u limousin. Sit G.E.I.I. ri Frnçois INE - 8 -

9 .4 osition un point. Un point ns un rpèr st crctérisé pr son ctur position : trjctoir En cooronnés crtésinns on not : où crt ou iniqu qu ls cooronnés u ctur sont clls qu il ns l bs crtésinn. L trjctoir st l nsmbl s positions occupés pr l point. L éqution l trjctoir u point st l rltion lint ls cooronnés inépnmmnt u tmps. En cooronnés crtésinns on notr f,, crt n ppll éqution horir l prssion s cooronnés u point n fonction u tmps : f f f Si l moumnt st pln, on choisit l rpèr tll sort qu u cooronnés suffisnt. Générlmnt on consr ls cooronnés t. f t f t Si l moumnt st rctilign, on choisit l rpèr tll sort qu un sul cooronné suffis. Générlmnt on consr l cooronné. f t t t t Unirsité Limogs. I.U.. u limousin. Sit G.E.I.I. ri Frnçois INE - 9 -

10 Lorsqu l trjctoir st tll qu ls prssions t clculs s position, itss t ccélértion sont plus simpls n cooronnés clinriqus lors on ls prim ns ctt bs mobil. trjctoir m bs fi bs mobil L bs clinriqu étnt un bs mobil ont l orinttion s cturs épn l position u point ns s trjctoir il n st ps étonnnt oir qu u cooronnés sulmnt suffisnt à primr l position : ou cl.5 Vitss un point L itss monn un point st obtnu n clculnt l rpport l istnc prcouru pr l uré u prcours : t Lorsqu l on ut obtnir l ctur itss monn ntr u points t t t on prim : t Si l on ut primr l ctur itss instntné n un point l trjctoir il fut fir l clcul : t / L ctur primé st clui l itss u point ns son moumnt pr rpport u référntil. L érié u ctur position s fisnt pr rpport à c référntil. L prssion u ctur itss ns son moumnt pr rpport u référntil put êtr primé ns tout utr bs. Unirsité Limogs. I.U.. u limousin. Sit G.E.I.I. ri Frnçois INE - -

11 En cooronnés crtésinns bs fi l moumnt u point pr rpport u référntil crtésin onn l ctur itss : / ou / crt En cooronnés clinriqus bs mobil l moumnt u point pr rpport u référntil crtésin onn l ctur itss : / ou / cl émonstrtion : / / n u qu : onc on put simplifir t cr st un ctur fi soit / Unirsité Limogs. I.U.. u limousin. Sit G.E.I.I. ri Frnçois INE - -

12 n notr ls points suints : L unité légl l itss st l mètr pr scon m.s - L ctur itss n un point st confonu à l tngnt à l trjctoir n c point. L sns u ctur itss st clui u moumnt. Comm pour tout ctur l norm l itss corrspon à l rcin crré l somm u crré s composnts c ctur. / Il n fut ps confonr un prt l référntil pr rpport uqul on étui l moumnt c utr prt l bs qu l on choisit pour primr l plus fcilmnt ls cturs position, itss ou ccélértion. Dns l cs un moumnt rottion, on éfinit l ctur ω. l i s cooronnés clinriqus primons l prouit ctoril soit l rltion générl : ω ω. n ω cl cl onc ω L moumnt un point pr rpport à un référntil cntr t pr rpport à un référntil cntr érifi l loi composition s itsss: / / où ω / / / / ω / ésign l ctur itss rottion u rpèr pr rpport à / cl Vitss ril Vitss orthoril Unirsité Limogs. I.U.. u limousin. Sit G.E.I.I. ri Frnçois INE - -

13 Unirsité Limogs. I.U.. u limousin. Sit G.E.I.I. ri Frnçois INE ccélértion un point D mêm qu pour l itss on put éfinir ls cturs ccélértion monn t ccélértion instntné. L ctur ccélértion monn st obtnu ntr u cturs itsss à s instnts t t t t t L ctur ccélértion instntné corrspon à l érié u ctur itss pr rpport u tmps / / ou / Ls rmrqus sur l itss concrnnt l bs t l référntil sont ussi lbls pour l ccélértion En cooronnés crtésinns bs fi l moumnt u point pr rpport u référntil crtésin onn l ctur ccélértion : / ou crt / En cooronnés clinriqus bs mobil l moumnt u point pr rpport u référntil crtésin onn l ctur itss : [ ] [ ] / ou cl / émonstrtion : / / / / n : onc t onc t soit / / [ ] [ ] / ou [ ] /

14 n notr ls points suints : L unité légl l ccélértion st l mètr pr scon u crré m.s - L irction t l sns u ctur ccélértion pr rpport à s trjctoir n st ps isémnt primbl. Comm pour tout ctur l norm l ccélértion corrspon à l rcin crré l somm u crré s composnts c ctur. [ ] [ ] / / cl ccélértion ril ccélértion orthoril L ir un rc crcl ngl θ ut θ t s érié pr rpport u tmps qui ut θ s ppll l itss réolir. Si l moumnt st tl qu l ccélértion orthoril st null lors t st un constnt onc l moumnt s ffctu à itss réolir constnt. Cl corrspon u moumnts plnétirs. Unirsité Limogs. I.U.. u limousin. Sit G.E.I.I. ri Frnçois INE - 4 -

15 .7 Cooronnés intrinsèqus. Composnts Frnt. n put ussi primr l itss t l ccélértion à prtir un bs mobil, t, n, b éfini à prtir s cturs : t : Vctur tngnt à l trjctoir u point, ns l sns u moumnt n : Vctur norml à l trjctoir ont l roit ction pss pr l cntr courbur l trjctoir n c point b : Vctur binorml éfini à prtir s u précénts pr b t n n ppll pln oscultur, l pln, t, : n Ω trjctoir Loclmnt on confon l trjctoir c l crcl oscultur. crcl oscultur n Ω t s n éfini un bsciss curilign s sur l crcl oscultur qui érifi s soit ncor : s L itss s prim pr : s t t l ccélértion s n éuit : t t n éjà u qu t t mêm n onc t n is n st ps un grnur ccssibl, lors qu l st, on écrit onc : s où l prssion : s s soit n t n ccélértion tngntill ccélértion norml Unirsité Limogs. I.U.. u limousin. Sit G.E.I.I. ri Frnçois INE - 5 -

16 .8 Etu moumnts..8. ps moumnts Dns l référntil consiéré. L trjctoir put êtr : - rctilign : - l trjctoir st un roit, - l ron courbur st infini t l composnt norml l ccélértion st null. - circulir : - l trjctoir st un crcl, - l trjctoir st onc pln, - l ron courbur st constnt. - curilign : - l trjctoir st un courb. - hélicoïl : - l trjctoir st un hélic. L moumnt put êtr : - uniform : - l lur lgébriqu l itss st constnt, - l ctur itss n st ps forcémnt constnt, - sul l composnt tngntill l ccélértion st null. - uniformémnt rié : - l lur lgébriqu l ccélértion tngntill st constnt. - ccéléré : - l lur lgébriqu l itss ugmnt, - l composnt tngntill l ccélértion st ns l sns u moumnt. - rlnti : - l lur lgébriqu l itss iminu, - l composnt tngntill l ccélértion st ns l sns contrir u moumnt. - sinusoïl : - un composnt position épn sinusoïlmnt u tmps. L moumnt un soli put êtr : - trnsltion : - l ctur itss st intiqu n tout point u soli. - rottion : - l trjctoir chqu point u soli st circulir. r mpl l ncll un grn rou u émrrg un moumnt trnsltion circulir uniformémnt rié.8. ritr un rcic cinémtiqu L but st générlmnt primr ls équtions horirs u moumnt pour rmontr éntullmnt rs l éqution l trjctoir. Lorsqu l ntur l trjctoir st onné, il fut n éuir ls conitions sur ls crctéristiqus primés ns un bs pté. Empl u moumnt circulir sinusoïl L trjctoir st circulir on choisit l bs clinriqu. L trjctoir st pln onc l cooronné st null L trjctoir st un crcl onc l ron st un constnt c n st ps lui qui épn sinusoïlmnt u tmps Donc on put éjà écrir n notnt r l ron u crcl : r n rmrqu qu l bs mobil choisi n prmt ps fir pprîtr l crctèr sinusoïl u moumnt n n éuit l prssion l itss : puis l prssion l ccélértion : / r Unirsité Limogs. I.U.. u limousin. Sit G.E.I.I. ri Frnçois INE - 6 -

17 [ ] [ ] / L crctèr sinusoïl pprît ns l prssion : m cos ωt où ésign l pulstion t l inclinison initil. Lorsqu l ppliction s lois l nmiqu nous fournis ls cooronnés l ccélértion, lors il fut rmontr pr intégrtion u crctéristiqus itss puis position. Ls constnts intégrtion sront étrminés pr ls conitions initils u moumnt. intégrtion intégrtion Vctur position Vctur itss Vctur ccélértion érition érition Clcul l norm Clcul l norm itss intrinsèqu ccélértion intrinsèqu Clcul l érié ccélértion tngntill ccélértion norml our ls pplictions numériqus, il fut pnsr nt tout clcul à s plcr ns l sstèm unités intrntionls U.S.I.. Unirsité Limogs. I.U.. u limousin. Sit G.E.I.I. ri Frnçois INE - 7 -

18 VUX DIIGES SU L CINEIQUE Ercic : oumnts rctiligns our chcun s moumnts suints : - oumnt rctilign uniform, - oumnt rctilign uniformémnt rié. Iniqur ls conitions sur ls crctéristiqus. b En éuir ls cturs ccélértion puis itss puis position. Ercic : L oitur Un oitur lncé sur un lign roit à 7 km.h - s rrêt un moumnt uniformémnt rié sur un istnc 8m. Qull st l lur l écélértion? b Combin tmps mt-ll pour s rrêtr? Ercic : oumnts circulirs our chcun s moumnts suints : - oumnt circulir uniform, - oumnt circulir uniformémnt rié. Iniqur ls conitions sur ls crctéristiqus. b Iniqur l bs choisi. c En éuir ls cturs position, itss t ccélértion. Ercic 4 : oumnt hélicoïl uniform L point étuié suit l trjctoir ci-contr : Donnr l prssion s cooronnés position ns ls rpèrs crtésins t clinriqus b En éuir ls cooronnés l itss insi qu s norm. c En éuir ls cooronnés l ccélértion insi qu s norm. Qul st l ron courbur l trjctoir. Ercic 5 : L projctil s l'hélic πh L α Un mobil consiéré comm ponctul s éplc à l itss constnt l long un brr longuur L fisnt un ngl α constnt c l. L brr st nimé un moumnt rottion uniform itss ngulir ω utour l. Iniqur l position u point ns ls ifférnts bss crtésinns, clinriqus, sphériqus. b En éuir l ctur itss ns l bs choisi. c Clculr l itss éjction α 45, km/h, ω tr/min, Lcm. Eprimr l ctur ccélértion. Ercic 6 : L ctioptr Un cclist scn c un itss constnt m s. Donnr l éqution horir u ctioptr situé à l circonférnc un rou ron r4cm. b Eprimr l itss t l ccélértion n cooronnés intrinsèqus. c En éuir l ron courbur l trjctoir ccloïl. Ercic 7 cours émontrr l prssion l position, l osition u itss t l ccélértion n cooronnés clinriqus ctioptr Unirsité Limogs. I.U.. u limousin. Sit G.E.I.I. ri Frnçois INE à t

19 Ercic 8 corrigé : L motur Sur un broch mchin st monté un outil imètr mm. n frm l intrruptur u motur. L outil mt scons pour prnr l itss ngulir régim, égl à 4 r.s -. L outil tourn nsuit un moumnt uniform pnnt 6 scons. n coup l cournt, l outil mt 4 scons pour s rrêtr. n mn pour chcun cs périos étrminr, pour un point l périphéri l outil : L ccélértion ngulir t l ccélértion tngntill à l périphéri on mttr qu l pério émrrg t cll rlntissmnt sont à ccélértion constnt. b L ccélértion norml, à l périphéri, n fonction u tmps. Ercic 9 corrigé : rtil Un mobil consiéré comm ponctul st ttché à l trémité un brr longuur L, mobil utour u point.l brr st nimé un moumnt rottion compl tl qu : α t β t t Eprimr ns un rpèr pté t n ous int u formulir l ctur itss n fonction, L t t. En éuir s norm. Eprimr l ctur ccélértion n fonction,l t t. θ r α L β Unirsité Limogs. I.U.. u limousin. Sit G.E.I.I. ri Frnçois INE - 9 -

20 CECINS : Corrigé l rcic 8 our tritr c moumnt circulir on put : - S plcr ns l bs clinriqu cturs,, t primr ls cturs position, itss t ccélértion : / / c mm L itss ngulir l énoncé corrspon à : ω t l ccélértion ngulir à γ L ccélértion tngntill corrspon à l composnt slon : composnt slon : norml t l ccélértion norml à l - s plcr ns l bs Frnt t n notnt l ron mm on écrir ω t t onc : l ccélértion ngulir à γ ω w l ccélértion tngntill ω tn t l ccélértion norml ω norml ω c qui onnnt ls mêms résultts soint : itss ngulir r.s - tn 4 oumnt uniform Démrrg lntissmnt : γ 4 r s norml, t,4t,, γ r s tn γ 4 r s 4 4 t 8 m s, uré s tn,, m s t onc puisqu l ccélértion st constnt t 4r s norml, 4 6m s tn,, m s t onc puisqu l écélértion st constnt [ ] t,, t, t 8t 44 norml Unirsité Limogs. I.U.. u limousin. Sit G.E.I.I. ri Frnçois INE - -

21 Corrigé l rcic 9 n choisi l bs sphériqu r ; θ; c L sphr r L ; α θ ; r / rθ r sinθ où l norm : c L constnt t on : β ; L ; α ; α ; sphr int c ls onnés l énoncé L L 6t t / sin 6 t t / L sin t l ccélértion : int c ls onnés l énoncé / / β 6 t t / L β 6 L 6t sin t sphr r rθ r sin θ r θ rθ r sinθ cosθ r r r sinθ θ cosθ sinθ L sphr L L 6t sin t L 6t sin t cos t t t L t 6 cos 6 sin sphr Unirsité Limogs. I.U.. u limousin. Sit G.E.I.I. ri Frnçois INE - -

22 Notions forcs t équilibr out ction mécniqu s rçnt sur un objt pour fft soit : - moifir son moumnt ou l mttr n moumnt, - l mintnir n équilibr, - l éformr. out ction mécniqu put êtr écrit pr un somm ctions élémntirs. out ction mécniqu élémntir s rçnt sur un corps put êtr écrit pr l connissnc s qutr crctéristiqus suints : - l point ppliction, - l roit ction, - l sns, - l lur : son intnsité. Cs qutr crctéristiqus sont clls un ctur lié. L connissnc cs qutr crctéristiqus prmt construir un grnur ctorill nommé forc. L connissnc l nsmbl cs crctéristiqus rprésntnt l nsmbl s ctions élémntirs prmttr écrir l soli à n import qul instnt. C st ns ctt hpothès étrminist qu nous nous plcrons ns l nsmbl c cours. Il st importnt notr qu un ction sur un soli l mttnt ou moifint son moumnt put êtr écrit pr un nsmbl forcs mis qu l simpl connissnc l somm cs forcs somm ctorill n st ps suffisnt pour n écrir l moumnt. Il st lors nécssir connîtr un grnur supplémntir : L momnt totl s forcs somm ctorill s momnts s forcs s rçnt sur l soli. En fft un somm forcs null put très bin mttr n moumnt un soli. our êtr complt ns l connissnc un ction il fur onc connîtr u grnurs : - l somm ctorill s forcs s rçnt sur l soli. - l somm ctorill s momnts s forcs s rçnt sur l soli. n rtinr onc qu pour écrir l moumnt un soli ns l spc, il nous fur connîtr l coupl suint : [Somm s forcs, Somm s momnts s forcs] nommé orsur forc t noté [F]. insi ls équtions l nmiqu primés sur ls forcs t sur ls momnts pourront êtr rmnés à s équtions torsorills. chqu ction élémntir, on ssocir un torsur composé u ctur forc t son momnt. Il st à notr qu l momnt prmt écrir l mis n rottion un soli. C st pourquoi pour un prmièr pproch l nmiqu si on s limit à l étu un point ou u cntr inrti un soli l utilistion s torsurs st inutil t l sul connissnc s cturs forcs suffit, lissnt côté l notion momnt. is ns l étu l mécniqu u point, il n fut ps oublir qu l on pr un prti l générlité. Unirsité Limogs. I.U.. u limousin. Sit G.E.I.I. ri Frnçois INE - -

23 . L torsur forc.. Ls forcs Ls forcs punt êtr rgroupés n trois fmills : - Ls forcs chmp : forc grittion, forc Lornt. - Ls forcs contct : forc frottmnt,. - Ls forcs nucléirs ssurnt l cohésion u nou tomiqu. Ls forcs s primnt n Nwton noté N L pois qui pprtint à l prmièr fmill st éfini pr ls crctéristiqus suints : - oint ppliction : l cntr inrti u soli - Droit ction : l rticl - Sns : Vrs l bs - Vlur : mg c m mss n kg u soli t g9,8n/kg sur trr Dns l cs s forcs contct l point ppliction corrspon u point contct... omnt forcs L momnt totl s forcs st l grnur qui nous prmttr soir si l ction ur pour fft l mis n rottion u soli. Il s prim n un point qulconqu t pour un forc F nt comm point ppliction pr : L momnt st un ctur libr. Il st inépnnt l position sur l roit ction. Norm u momnt : F F F F F sin α our s risons simplifiction, si l soli st n rottion utour un, on préférr générlmnt primr l momnt pr rpport à ct. c pssnt pr l rottion on : F α F F F F sur l. st l projction F sur l ctur irctur.l sclir F st inépnnt u choi S choisir un ctur c st choisir un sns positif pour l rottion utour l. L sign u momnt pr rpport à l st onc positif si l rottion u ctur F utour s fit ns l sns positif choisi. Unirsité Limogs. I.U.. u limousin. Sit G.E.I.I. ri Frnçois INE - -

24 . Equilibr, rottion t trnsltion.. Equilibr out moumnt un soli ns l spc put êtr écomposé n : - un moumnt trnsltion t - un moumnt rottion. L connissnc l somm s forcs s rçnt sur un soli rnsignr sur l moifiction son moumnt trnsltion. F G F F F C ctur iniqunt l sns t l irction u moumnt. L bsnc trnsltion s truisnt pr un somm forcs null. F F L connissnc l somm s momnts s forcs s rçnt sur un soli rnsignr sur l moifiction son moumnt rottion. En fft tout forc F nt comm point ppliction s ppliqunt sur un soli ont l rottion pss pr l point mttr c soli n rottion utour son tnt qu l ctur n sr ps colinéir u ctur forc F. L rottion s rrêtnt qun ls cturs sont colinéirs soit l prouit ctoril nul. F F Un soli n pourr êtr mintnu ns son étt équilibr qu s il n st mis ni n trnsltion ni n rottion. F Cl s truit mthémtiqumnt pr : F F G F t F F ou plus snthétiqumnt pr l torsur forc [F] : [ F ] F.. Coupl t moumnt rottion Un soli ont l somm s forcs st null mis l momnt totl non nul st soumis à un coupl. F F Un coupl st un ction qui mt l soli uniqumnt n rottion. G F F Un soli initilmnt n trnsltion t soumis à un coupl rstr n trnsltion mis subir n plus un moumnt rottion F F F Unirsité Limogs. I.U.. u limousin. Sit G.E.I.I. ri Frnçois INE - 4 -

25 .. rnsltion L moifiction u moumnt un soli, soumis à un nsmbl forcs non nulls mis momnt totl nul, sr un trnsltion. F G F F F F F Un soli initilmnt n rottion t soumis à un somm forc non null mis momnt totl nul rstr n rottion mis subir n plus un moumnt trnsltion.. Forcs frottmnt éction u support t forc frottmnt sont générlmnt inclus ns un mêm forc noté. L torsur [ ] s écompos onc n : N : éction norml : éction tngntill forc frottmnt.. Frottmnt sttiqu : omnt résistnc u piotmnt N : omnt résistnc u roulmnt Qun l soli st immobil u fit s frottmnts on put éfinir un fctur frottmnt sttiqu µ S. µ s st éfini à prtir l lur miml qu put prnr l composnt tngntill sns qu il it moumnt. n onc m µ t onc qun l soli st immobil : s N µ s N n put ussi utilisr l ngl frottmnt sttiqu t l côn frottmnt pour miu isulisr l limit à prtir lqull l soli glissr. prtir u momnt où st supériur à frottmnt nmiqu µ D. µ, l soli s mt n moumnt t il fut utilisr l fctur s N.. Frottmnt nmiqu L fctur frottmnt nmiqu µ D qui comm µ S st un grnur tbulé qui épn l ntur u contct, prmt primr l composnt tngntill n fonction l composnt norml : µ D N L lur µ D st obligtoirmnt infériur à µ S Unirsité Limogs. I.U.. u limousin. Sit G.E.I.I. ri Frnçois INE - 5 -

26 Empl : Soli sur un pln incliné rnons un soli pois N posé sur un pln incliné un ngl α. L soli st n équilibr si ls u forcs t sont égls t opposés. n suppos µ, 4 t µ,. φ rctn,4, 8 S D S nt qu l pnt st ngl α φs : L réction ut N cosα t l forc frottmnt sinα c qui st érifi µ s N, on it qu l réction st ns l côn frottmnt sttiqu : N cosα N φ S α sin α is ès qu l ngl α > φs. n toujours N cosα mis l lur µ s N st supériur à m onc on clcul ésormis µ D N cr l soli s mt à glissr. N N cosα,9 9, N α µ D, 9,,76N N Unirsité Limogs. I.U.. u limousin. Sit G.E.I.I. ri Frnçois INE - 6 -

27 .4 ésolution s problèms sttiqu.4. Soli n équilibr sous l ction forcs our qu un soli soit n équilibr sous l ction forcs, il fut t il suffit qu ls u forcs soint égls t irctmnt opposés..4. Soli n équilibr sous l ction forcs our qu un soli soit n équilibr sous l ction forcs, il fut t il suffit qu : - ls forcs soint coplnirs. - ls forcs soint concournts u mêm point. - chcun s forcs soit opposé à l somm géométriqu s utrs : nmiqu frmé. F G F F F F F.4. Soli n équilibr sous l ction n forcs ropriété très importnt : L projction sur un pln un sstèm n forcs n équilibr st un sstèms n forcs coplnirs n équilibr. our ls corps possént un pln smétri c pln sr toujours choisi comm pln projction..4.4 étho our résour un problèm sttiqu il fut procér générlmnt insi : - élisr un ssin sitution où figur l sstèm à étuir ns son nironnmnt tériur sns fir figurr forcs. - élisr un ssin où n figur qu l sstèm étuié t ls forcs tériurs qu il subit. - Fir un biln s crctéristiqus connus t inconnus s forcs. - élisr l construction mthémtiqu truisnt ls conitions équilibr : l nmiqu s forcs. - Eploitr cs ifférnts étps pour résour l problèm. L utilistion u momnt pr rpport à un onn un éqution : / Et l utilistion l projction l somm ctorill s forcs sur un pln n fournit u utrs : F F Unirsité Limogs. I.U.. u limousin. Sit G.E.I.I. ri Frnçois INE - 7 -

28 VUX DIIGES SU L SIQUE Ercic : L potnc Soit un potnc constitué : - un brr métlliqu homogèn longuur l,5m t mss mkg - un câbl horiontl longuur Cl,m t pois négligbl nt l tnsion n suspn n un câbl kg uqul st ttché un chrg 89kg. Fir un biln s forcs s ppliqunt sur l brr. n nommr β l ngl qu fit l réction c l rticl. b pplr ls conitions équilibr puis ls primr n fonction s onnés u problèm. c En éuir l lur l tnsion u câbl t l réction n. n prnr g N/kg C l l Ercic : L consol mobil Soit un consol constitué un tringl rctngl isocèl C t tl qu Cl. Son pois st négligbl nt l chrg porté sur C. Ell st instllé sur un tuu imètr r. Soit k l cofficint frottmnt glissmnt ntr l consol t l tuu. ' C Clculr l istnc miniml à l u tuu pour lqull l chrg put êtr supporté sns qu il it glissmnt l consol. ' Ercic : L échll Soit un échll pois n contct c un proi liss t un sol liss. ontrr qu si ls contcts s font sns frottmnt, il st impossibl ppur l échll obliqumnt contr un mur rticl. θ θ b Dns ls mpls ci-contr primr l réction n t insi qu l tnsion u fil n fonction, l t θ. C fil fi n C C n consièr ésormis ns l suit l rcic un sol ruguu, t l échll n st plus mintnu pr un fil. Clculr l ngl frottmnt pour mintnir just l échll n équilibr. En éuir ls réctions n t t l cofficint frottmnt sttiqu l5m, 5N, θ m b Eprimr l longuur l n fonction l inclinison θ l échll à lqull un homm pois put montr. Fir l ppliction numériqu c un nfnt kg t un homm kg pour un ngl. c Inrsmnt primr l conition pour qu un homm pois puiss montr n hut l échll. Fir l ppliction c un homm 7kg. θ Unirsité Limogs. I.U.. u limousin. Sit G.E.I.I. ri Frnçois INE - 8 -

29 Ercic 4 corrigé rtil : θ H G 4m I J m 6m m Consiérons un échll oubl constitué u échlls simpls n luminium kg chcun. Ls u échlls sont liés pr un prfit sns frottmnt n t ttchés n I t J pr un cor. L cor st pois négligbl. L sol sur lqull ll st posé st consiéré comm prfitmnt liss t onc sns frottmnt. Un homm muni un su son cntr mss G sur l échll à un hutur 4m, l nsmbl psnt 8kg. n prnr pour simplifir gn/kg our simplifir nos rltions, on n prnr ps n compt ls forcs s rçnt n. L ngl θ st 6. Fir un biln forcs s rçnt sur l échll t complétr l nn n ls fisnt figurr. n plicitr ls cooronnés s ifférnts forcs ns l rpèr crtésin. pplr ls conitions équilibr s forcs t s momnts pr rpport u point Eploitr cs conitions pour étblir ls équtions qu oint stisfir ls forcs. n clculr pour cl l momnt ctoril s forcs pr rpport u point. ppl tn t onc G 4 En éuir ls lurs s réctions u sol. Unirsité Limogs. I.U.. u limousin. Sit G.E.I.I. ri Frnçois INE - 9 -

30 Unirsité Limogs. I.U.. u limousin. Sit G.E.I.I. ri Frnçois INE CECINS : Ercic 4 rtil : G m I J G G n : crt crt crt crt crt crt crt ntrîn : u ntrîn : on : G G G 4 4 I 4 4 J soit 6 6 t onc 6 D mêm 6 ; ; t I soit 4 4 t onc 4 t ussi 4

31 Unirsité Limogs. I.U.. u limousin. Sit G.E.I.I. ri Frnçois INE s oit D t on éuit : 6 6 c ls lurs N 8 ; N on obtint l sstèm N N 467 7