IV CINEMATIQUE DU SOLIDE

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1 IV CINEMATIQUE DU OLIDE La cinématique du solide concerne l étude du mouvement des solides supposés indéformables. Elle tient une place importante dans les applications quotidiennes de la mécanique. 1. Notion de solide Un système matériel (ensemble de points matériels { P, m } i i ) est dit solide indéformable (rigide), ou simplement solide, si les distances mutuelles ne varient pas au cours du temps :!!!! t, i, j : PP i j = Cste Remarque : Dans un repère, la position relative des axes est invariante au cours du temps, c est pourquoi un repère est équivalent à un solide. Par suite, pour la commodité de l étude de la cinématique de par rapport à un référentiel R, on substituera généralement solide un repère d espace R qui lui est invariablement lié. 2. Position d un solide dans un référentiel Positionner un solide par rapport à un référentiel revient à positionner le repère R' = O', e, e, e R = O, e, e, e lié au référentiel. ( x' y' z' ) lié au solide par rapport au repère ( x y z) Mécanique - IV - 1 / 8

2 Théorème : oit PR ( ) l espace des positions de dans R, il existe une surjection de 6 R PR ( ). euls six paramètres réels sont nécessaires et suffisants pour repérer un solide rigide. Démonstration : Détermination du nombre paramètres indépendants permettant de positionner un repère R par rapport à un repère R (nombre total de paramètres nombre de relations) Remarques : Ces paramètres de position peuvent être des données du problème lorsque le mouvement est imposé, ou bien des inconnues du problème qu il faudra déterminer Nous supposerons que les paramètres de position sont des fonctions de classe C 2 Propriété : La position d un solide par rapport à un repère R est parfaitement déterminée si l on connaît les coordonnées de trois points non alignés de ce solide. Application : Repérer un solide rigide par rapport à un référentiel R d étude consiste à : - Définir un repère de : R - Paramétrer l origine de R à l aide de coordonnées - Paramétrer l orientation de la base de R à l aide de 3 angles Rappels : Angles d Euler B e, e, e la base orthonormée directe de R le repère du référentiel d étude et oient ( x y z) B i j k la base orthonormée directe de R le repère du référentiel associé au solide. (,, ) Les angles d Euler sont 3 angles qui permettent de passer de B à B par 3 rotations successives. Ces angles sont les suivants : Ψ= ( e # x, u ) : angle orienté par e z appelé angle de précession Mécanique - IV - 2 / 8

3 # θ = ( e, k) : angle orienté par u z appelé angle de nutation ϕ = ( ue, x ) : angle orienté par k appelé angle de rotation propre (, ) (, ) (, ) Donc : (,, ) Rot e (,, ) (,, ) (,, ) z Rot u Rot k ψ θ ϕ ex ey ez u v ez u w k i j k Vecteur rotation instantanée : Ω ( R' R) = ψ$ ez + θ$ u + ϕ$ k 3. Liaisons normalisées a) Définition Nous avons vu que pour un solide rigide libre de tout mouvement par rapport à un référentiel R 6 paramètres scalaires sont nécessaires pour repérer son mouvement par rapport à R. Considérons maintenant deux solides rigides 1 et 2 de repères associés R 1 et R 2. Ayant choisi un paramétrage pour repérer 2 par rapport à R 1, il peut exister des liaisons entre 2 et 1 qui restreignent le mouvement de 2 par rapport à 1. Le nombre de degrés de liberté d une liaison entre deux solides est le nombre de mouvements élémentaires indépendants que la liaison autorise (rotations et translations suivant les axes d un repère local). oit n % le nombre de relations scalaires indépendantes introduites par la liaison entre 2 et 1, le nombre de degrés de liberté de 2 par rapport à 1 est : d ( ) = 6 n 2 1 Mécanique - IV - 3 / 8

4 Remarque : n 0 et n 6 En effet, si n > 6, on impose plus de relations scalaires qu il n y a de paramètres, la liaison est alors impossible. b) Différentes liaisons normalisées Les liaisons les plus courantes rencontrées en construction mécanique sont normalisées par l AFNOR (norme NF E04-O15) 1. Liaison encastrement : Pas de mouvement relatif d = 0 2. Liaison pivot : 1 rotation d = 1 3. Liaison glissière : 1 translation d = 1 4. Liaison hélicoïdale : 1 rotation et 1 translation proportionnels d = 1 (θ) (x) (x = p θ) 5. Liaison pivot glissant 1 rotation et 1 translation d = 2 6. Liaison sphérique à doigt 2 rotations d = 2 7. Liaison rotule 3 rotations d = 3 8. Liaison appui-plan 1 rotations et 2 translations d = 3 9. Liaison linéaire annulaire 1 translation et 3 rotations d = Liaison linéaire rectiligne 2 rotations et 2 translations d = 4 Mécanique - IV - 4 / 8

5 11. Liaison ponctuelle 3 rotations et 2 translations d = Liaison libre Pas de liaison d = 6 4. Champ des vitesses d un solide a) Torseur cinématique oit un solide rigide de repère associé R en mouvement par rapport à un référentiel d étude, de repère R. i M est un point matériel de alors la cinématique de point définit la vitesse à l instant t suivant :!!!! dom M, V( M R) = dt R Théorème : oit le solide rigide, de référentiel R, et R un autre référentiel, alors t &, le champ M V( M R) est un torseur dont la résultante est le vecteur rotation de R par rapport à R, noté Ω ( R R), avec ( M, N), V ( M R) = V ( N R) +Ω ( R R)!!!! NM Démonstration : La définition d un solide permet de retrouver la relation d équiprojectivité et la composition des vitesses. On peut donc représenter le mouvement d un solide par rapport au repère R par le torseur: Ω( R) [ V( R) ] = V( M R) M Ce torseur est appelé torseur cinématique du mouvement du solide par rapport au repère R, ou torseur distributeur des vitesses. Mécanique - IV - 5 / 8

6 Remarques : - Le champ des vitesses de par rapport au référentiel R est déterminé par la connaissance de la vitesse en un seul point de et du vecteur rotation Ω ( R). - L équiprojectivité du champ des vecteurs vitesse des points d un solide correspond au fait que deux points M et N du solide doivent se suivre dans le mouvement du solide par rapport au repère R. Les composantes de leur vecteur vitesse sur un axe de direction MN doivent donc être égales. - Le champ des vecteurs accélération des points d un solide n est pas équiprojectif Ce n est pas un torseur b) Mouvements particuliers (i). Translation Le solide rigide est dit en translation par rapport au référentiel R si le champ M V( M R) est un torseur couple Ω ( R) = 0 O [ V( R) ] = avec V ( A R) 0 V( A R) A Remarques : - Le moment d un couple étant le même en tout point, on a : ( AB, ), V( A R) = V( B R) Tous les points de ont même vitesse, mais celle-ci peut varier de façon quelconque au cours du temps. - i le mouvement de translation est rectiligne, alors tous les points du solide décrivent des droites parallèles dans R Mécanique - IV - 6 / 8

7 (ii). Rotation instantanée Un solide rigide est dit en rotation par rapport à R si le champ M V( M R) glisseur M ε : V ( M R) = 0. est un Le mouvement de par rapport à R est donc représenté par le torseur : Ω ( R) [ V( R) ] = avec Ω ( R) 0 0 A où le point A est situé sur l axe central du torseur cinématique, de même direction que Ω ( R). Remarque : Comme le moment central est le même en tout point de l axe central, tous les points du solide situés sur l axe ont un vecteur vitesse nul par rapport au repère R. Le mouvement est une rotation autour de l axe. c) Mouvement général oit un solde rigide en mouvement par rapport au référentiel d étude R. A tout instant t &, le théorème de décomposition des torseurs nous permet de décomposer le mouvement de en une rotation autour de l axe central de rotation et une translation de vitesse constante. [ V( R) ] = [ T( R) ] + [ R( R) ] d) Application Ecrire les torseurs cinématiques des 12 liaisons normalisées. Mécanique - IV - 7 / 8

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