Réponse indicielle et impulsionnelle d un système linéaire

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1 PSI Brizeux Ch. E2: Réponse indicielle e impulsionnelle d un sysème linéaire 18 CHAPITRE E2 Réponse indicielle e impulsionnelle d un sysème linéaire Nous connaissons ou l inérê de l éude de la réponse harmonique d un sysème à une solliciaion de ype sinusoïdal. L éude d aures ypes de réponses n en n es pas moins insrucive e perme de prévoir le comporemen de ces sysèmes à des solliciaions plus réalises. 1. REPONSE INDICIELLE D UN SYSTEME LINEAIRE On appelle échelon unié ou foncion de Heaviside, noée u(), la foncion définie par : u() u() = 1 pour 0 u() = 0 pour < La réponse indicielle d un sysème linéaire es le signal de sorie s u () associé à une enrée échelon (pas forcémen unié). L inérê d une elle éude es d observer l effe d une disconinuié finie du signal d enrée. Cee «disconinuié» es obenue en praique lorsque le signal d enrée présene un emps de monée rès cour devan les emps caracérisiques du sysème à éudier Paramères caracérisiques de la réponse à un échelon Valeur finale Sauf insabilié, s() end vers un éa final d équilibre lorsque end vers l infini. Ce éa d équilibre es un régime coninu (indépendan du emps). Pour connaîre direcemen la valeur finale de s(), il suffi donc de faire endre ω vers 0 dans H(jω) (ou p vers 0 dans H(p)). lim "# s() = lim p"0 H(p)

2 PSI Brizeux Ch. E2: Réponse indicielle e impulsionnelle d un sysème linéaire 19 Exemples : R C e() C s() e() R s() Déerminer H(p) e vérifier la cohérence du résula en enan compe du comporemen asympoique des composans à basse fréquence Temps de réponse à 5% C es le emps nécessaire pour que la sorie du sysème ai son écar à la valeur finale définiivemen inférieur à 5% de l écar enre la valeur iniiale e la valeur finale. s() valeur finale Le emps de réponse r perme d évaluer la rapidié d évoluion du sysème. Dans les sysèmes réels, on cherche généralemen à opimiser sa valeur Dépassemen Si s() sor à cerains insans de l inervalle [s(0) ; s f ], on di qu il y a dépassemen. On le chiffre en % de l écar enre valeurs iniiale e finale. Soi D = s max - s f = d.(s f s 0 ).100. Selon les disposiifs, les dépassemens son à proscrire ou alors son olérés dans la mesure où ils permeen d opimiser un aure paramère el que la rapidié Cas d un sysème du 1 er ordre Pour un sysème du 1 er ordre, l ordre maximal dans H(p) es 1. On a donc forcémen un dénominaeur du ype 1 + τp du fai de la condiion de sabilié Passe-bas Dans ce cas, H(p) = H 0 1+ "p L équaion différenielle es alors : τ ds d + s() = H 0u().

3 PSI Brizeux Ch. E2: Réponse indicielle e impulsionnelle d un sysème linéaire 20 Pour > 0, la soluion générale de cee équaion différenielle es de la forme : s() = H 0 + Be -/τ où B es une consane. Si s() es foncion coninue du emps e si s(=0 - ) = 0, alors B = -H 0 e s() = H 0 (1 - e -τ ) pour 0. Pour < 0 s() = 0. On peu regrouper le résula sous la forme : s() es de la forme : s() = H 0 (1 - e -/τ ).u() s() e() Les caracérisiques de la réponse du passe-bas du 1 er ordre à un échelon de ension son : * l absence de dépassemen. * un emps de réponse à 5% d environ 3τ. * une inersecion de la angene à l origine e de l asympoe à l infini en = τ. * le emps de monée de 10 à 90% : m 2,2 τ (c es la durée nécessaire pour que s() passe de 10% à 90% de sa valeur finale) Passe-hau Prenons par exemple : H(p) = H 0 τp 1 + τp. L équaion différenielle es alors : τ ds d + s() = H 0τ de d = 0 D où s() = H 0 e -/τ pour >0. Ce résula peu se rerouver à l aide du paragraphe précéden. En effe, on avai rouver ou à l heure s 1 () = H 0 (1 - e -/τ ) pour un second membre de l équaion différenielle H 0 e 1 (). Ici le second membre es τ d (H 0e 1 ) d, d où une soluion s() =τ ds 1 d. La forme de la réponse es la suivane : On peu remarquer la disconinuié de s() en = 0, ainsi que l inersecion de la angene en = 0 de la courbe s() avec l asympoe pour infini : elle se fai pour = τ, comme précédemmen. En praique, pour observer les réponses indicielles d un sysème, on uilise la foncion créneaux des GBF. Mais il fau pour cela ne pas choisir n impore quelle fréquence du signal d enrée... s() e()

4 PSI Brizeux Ch. E2: Réponse indicielle e impulsionnelle d un sysème linéaire 21 s() e() T T = qlqs s() e() T >> s() e() T < 1.3. Cas d un sysème du second ordre On considère un sysème de foncion de ransfer H(p) = S(p) 2 E(p) = (A+Bp)ω 0 ω σω 0 p+p 2. ω 0 es appelée pulsaion propre du sysème e σ faceur d amorissemen. On pose aussi souven Q = 1 2σ appelé faceur de qualié du sysème. L équaion différenielle du sysème es alors : d2 s ds d 2 + 2σω 0 d + ω s = Aω 0 e + Bω de 2 0 d (a) ; Si le signal d enrée es l échelon uniaire, alors pour >0 on a de d = Régime forcé Dans le cas où e() = Eu(), la soluion pariculière de l équaion différenielle (réponse forcée) es s 1 () = AE.

5 PSI Brizeux Ch. E2: Réponse indicielle e impulsionnelle d un sysème linéaire Les différens régimes libres Ce son les soluions de l équaion sans second membre. L équaion caracérisique es : r 2 + 2σω 0 r + ω 0 2 = 0. On a Δ = ω 0 2 (σ 2-1) d où les différens cas envisagés selon le signe du discriminan : Si σ > 1 (soi Q < 1 2 ) (ceci correspond aux sysèmes foremen amoris), alors Δ' > 0. On pose Δ = Ω 2 e on a : s 2 () = e "#$ 0 [ ae "$ + be $ ] : le régime es apériodique. Si σ = 1 (soi Q = 1 2 ) : alors Δ' = 0 e on a : s 2 () = e "#$ 0 [ a + b] : le régime es criique. Si σ < 1 (soi Q > 1 2 ) (ceci correspond aux sysèmes faiblemen amoris) : alors Δ' < 0 on pose Δ = (jω) 2 e on a : s 2 () = e "#$ 0 acos$ + bsin$ [ ] : le régime es pseudopériodique. Remarque : dans ous les cas, si σ < 0 on obien une soluion divergene (les ermes de l équa. diff. n éan alors pas ous du même signe) e le sysème es insable Soluion complèe C es la superposiion du régime libre e du régime forcé. En prenan les condiions iniiales e si s() es coninue, on peu calculer les consanes d inégraion a e b. Si nous choisissons ici s(0) = 0 e ds d (0) = 0, nous pouvons représener les caracérisiques emporelles des différens régimes : σ > 1, σ = 1 e σ < 1. s() e() Déerminaion des caracérisiques d un sysème d ordre 2 Ayan relevé la valeur expérimenale s on peu en déduire A, gain saique du filre. En effe, A = s E. Dans le cas des régimes pseudo-périodiques, deux méhodes permeen de déerminer rapidemen le faceur d amorissemen du sysème. * Par le décrémen logarihmique δ défini comme le logarihme népérien du rappor enre s() deux dépassemens successifs : δ = ln s(+t) (où T es la pseudo-période), rappor aein par les 2πσ mesures expérimenales. D où, après calculs, δ = 1-σ 2 2πσ lorsque σ<<1.

6 PSI Brizeux Ch. E2: Réponse indicielle e impulsionnelle d un sysème linéaire 23 * Par l inermédiaire du dépassemen. Celui-ci es défini par D = s max - s s e es facilemen σπ déerminable expérimenalemen. Les calculs abouissen à D = exp(- 1-σ 2 ) don on ire : σ = lnd π 2 +ln 2 D De la mesure de la pseudo-période T e après déerminaion de σ on peu en déduire la pulsaion 2π propre ω 0 = T 1-σ 2.

7 PSI Brizeux Ch. E2: Réponse indicielle e impulsionnelle d un sysème linéaire REPONSE A UNE IMPULSION Cee éude perme de connaîre l évoluion d un sysème après que celui-ci ai subi une perurbaion rès brève. Nous allons ou d abord donner la descripion mahémaique d une impulsion Impulsion de durée rès brève. Impulsion de Dirac Un signal impulsionnel a la forme ci-conre. Il sera considéré comme «rès bref» si 0 es rès inférieur au emps caracérisique du sysème auquel il es appliqué : τ pour un sysème du 1 er ordre, ordre. 1 σω 0 e 2π ω 0 pour un sysème du second E 0 e() 0 Une impulsion uniaire es de la forme représené ci-conre : e() 1/ 0 surface unié Soi s u () la réponse d un sysème linéaire (saionnaire) à un échelon unié u() débuan à = 0. 0 On peu exprimer le signal impulsionnel e() en foncion de u() par : e() = 1 0 (u() - u(- 0 )). La réponse du sysème à e() es donc : s() = 1 0 (s u () - s u (- 0 )). # On consae que lim s() = ds & u % (. Auremen di, lorsque 0 "0 $ d ' = 0 la réponse à un échelon. Or, lorsque 0 " 0, l impulsion uniaire end vers l impulsion de Dirac δ() qui es définie de la façon suivane : 0 " 0, alors s() " ds u d () = dérivée de '"() = 0 pour # 0 ) +% ( ) & "()d =1 * $% On peu aussi la définir par : δ() = du d. Il n es donc pas éonnan que s δ () = ds u d.

8 PSI Brizeux Ch. E2: Réponse indicielle e impulsionnelle d un sysème linéaire Réponse impulsionnelle On a δ() 1 donc la ransformée de Laplace de la réponse impulsionnelle es la foncion de ransfer du sysème. Exemple : passe-bas du 1 er ordre. R H(p) = 1 1+τp avec τ = RC C e() s() Si e() es une impulsion rès brève de durée τ << τ e de haueur E, en posan ϕ = τ E on a e() ϕ. ϕ On a alors S(p) = 1+τp e s() = ϕ τ e -/τ S(p). e() E s() "/ ' La disconinuié de s() paraî incompaible avec la coninuié de la charge aux bornes du condensaeur. Il n en es rien. s() /" En fai on a τ << τ, donc si on dilae l échelle emporelle au voisinage de = 0 on a s() qui a l allure ci-conre. C es-à-dire qu enre 0 e τ on a s() = E(1-e -/τ ) Donc s(τ ) = E(1 - e -τ /τ ) Eτ /τ = ϕ/τ. "' Nous allons voir, en lui consacran le prochain chapire, la réponse d un sysème linéaire à un signal d enrée périodique e raisonner en erme de filrage.

9 PSI Brizeux Ch. E2: Réponse indicielle e impulsionnelle d un sysème linéaire UTILISATION DE LA TRANSFORMEE DE LAPLACE 3.1. Définiion. Propriéés La ransformée de Laplace F(p) de f() es définie par : F(p) = La ransformée de Laplace es une ransformaion linéaire, c es à dire : # $ f()e "p d où p es complexe. f() es appelée originale de F(p) sous réserve de convergence de cee inégrale. On noe f() " F(p). 0 [ f 1 () + f 2 () ]" [ F 1 (p) + F 2 (p) ] [ λf 1 () ] " [ λf 1 (p) ] [ df d ] " pf(p) - f(0 - ) # & %" f(x)dx( ) F(p) $ 0 ' p Les principales ransformées de Laplace renconrées en élecronique son regroupées dans le ableau suivan : u() " 1 p sinω " f(-τ) " F(p)e -pτ cosω " e -a " 1 p+a 3.2. Relaion enrée-sorie d un sysème linéaire ω p 2 + ω 2 p p 2 + ω 2 p+a e-a cosω " (p+a) 2 + ω 2 On considère un sysème linéaire régi par l équaion différenielle : ds b 0 s() + b 1 d + b d 2 s de 2 d 2 = a 0 e() + a 1 d + a d 2 e 2 d 2 (1) En posan e() après calculs : " E(p) e s() " S(p) e prenan la ransformée de Laplace des 2 membres on obien S(p) = a 0+a 1 p+a 2 p 2 b 1 +b 2 p b 0 +b 1 p+b 2 p 2 E(p) + b 0 +b 1 p+b 2 p 2 s(0 - ) + b ds 2 b 0 +b 1 p+b 2 p 2 d (0 -) - a 1 +a 2 p b 0 +b 1 p+b 2 p 2 e(0 - ) - a 2 b 0 +b 1 p+b 2 p 2 de d (0 -).

10 PSI Brizeux Ch. E2: Réponse indicielle e impulsionnelle d un sysème linéaire 27 Lorsque s(0 - ), ds d (0 -), de d (0 -) e e(0 - ) son nulles, on a direcemen S(p) = H(p)E(p), où H(p) es la foncion de ransfer du sysème Exemple d uilisaion 1 On considère un sysème de foncion de ransfer H(p) = 1+τp prenan s(0 - ) = 0, on obien direcemen S(p) = 1 1 p 1+τp = 1 p - 1 p + 1/τ D où, en prenan l original de S(p) : s() = 1 - e -/τ aaqué par un échelon u(). En (réducion en élémens simples).

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