RÉPONSES À UN ÉCHELON. Sortie u(t) réponse. t(s)
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- Éloïse Angèle Drapeau
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1 BTS S ÉPONSS À UN ÉHON. éponse à n échelon d n système d premer ordre xemple : almentaton d n condensater de capacté par ne sorce de tenson e(t) à travers résstance a tenson varable e(t) est n échelon de tenson de valer. e(t) ntrée e(t) exctaton e(v) échelon système appel de la solton générale (t) : on reconnaît c la charge o décharge exponentelle d n condensater : - t (t) = U f + (U - U f ) e U est la valer ntale de U f est la valer fnale vers laqelle tend la charge e est l opérater exponentel (e = 2, ) Sorte (t) réponse? réponse on a e(t) = por t< e(t) = por t, et s = V on dra qe (t) est la réponse ndcelle d crct. (t) Uf U t Méthode de résolton mathématqe por trover (t) : avec e(t) = por t a malle c-desss permet d écrre e(t) = +, = d d où e(t) = d + : c est ne éqaton dfférentelle d er ordre est donc solton de l éqaton dfférentelle d premer ordre e(t) = = d +. a méthode de résolton de l éqaton dfférentelle consste e(v) échelon à écrre la solton générale g de l éqaton sans second membre g = K.e -at, à remplacer g dans l éqaton sans second membre por détermner qe a =, à trover p, ne solton partclère de l éqaton avec second membre la pls smple est =. à écrre la solton complète en sommant les soltons g et p (t) = K.e -at + p = K.e -at + à calcler la constante K avec les condtons ntales d système étdé, à t =, (t) = donc () = K.e - + = K + = et K = - por en dédre la solton fnale, en remplaçant K par - et a par : - t (t) = - e On vérfe qe cette relaton correspond à l éqaton générale de charge et de décharge ctée pls hat s on fat U = et U f =. réponse ycée os Armand - MUHOUS BS S Physqe Applqée - HASSNBOH page
2 BTS S ÉPONSS À UN ÉHON Valer partclère : la constante de temps n débt de charge, por les fables valers de t, est très fable et néglgeable devant, donc comme = d +, on a = d ps d =. On ntègre por obtenr = t + () = t, ce q sgnfe qe (t) évole lnéarement avec ne pente. n débt de charge, la tangente à la corbe exponentelle est donc ne drote q passe par le pont t = et =. De la même façon, on pet démontrer qe la tangente à la corbe exponentelle st la même règle qel qe sot le nvea de charge d condensater, comme le montre la fgre c-contre. a drée de charge t = t 2 - t de d n nvea de tenson U à n nvea de tenson U2 (t) = Uf + (U - Uf) e- t d après la formle générale de charge o de décharge exponentelle d n système d premer ordre où est la constante de temps d système, U la valer ntale de, Uf est la valer fnale vers laqelle tend la sorte d système. - t À t = t, (t ) = U f + (U - U f ) e = U. - t - t 2 U -U f U 2 -U f on transforme cette relaton por trover t : e = U -U (), et même façon on a t f 2 : e = U -U (2). f U2 U t t - t + t 2 t 2 - t U -U f Dvsons () par (2), on obtent : e. e = U -U. U -U f f U 2 -U et en smplfant : e f = U -U f U 2 -U f. Il vent, après mse en forme : t = t 2 - t = ln U f - U U f - U 2 Applcaton nmérqe : = µf se charge sos 2 V à travers = kω de 4 V à 8 V en comben de temps? pet être mesré lorsqe la corbe attent 63,2 % de la valer fnale en effet à t =, on a () = - e - = e - = ( e - ) =,632 ycée os Armand - MUHOUS BS S Physqe Applqée - HASSNBOH page 2
3 BTS S ÉPONSS À UN ÉHON e temps de réponse à 5 % :,95. tr5% tr5% est le temps qe met n système d premer ordre por passer de l état ntal ( = ) à 95 % de l état fnal : 95%. tr5% = ln Uf - U f -,95U = ln 2. f retenons qe tr5% = 3. e temps de montée t r (l ndce r venant de l anglas rse tme )) : t r est le temps qe met n système q bascle de à, por passer de % de à 9 % de. e rétcle d n oscllogramme comporte dex lgnes en pontllé permettant ne mesre rapde. tensons VOI A : % VOI B 9 % Il est tojors possble à l ade des botons de poston de la trace et de décalbrage de placer les dex nveax sr les lgnes en pontllés. % tr % Mesre de t r por l exemple c-contre tr = le temps de descente est appelé «fall tme» tf Établssement d corant dans n crct ndctf : à t = on applqe ne tenson contne, ( + ) =. K est g =.e -at, avec a =, Écrvons la lo des malles : = + d. est ne éqaton dfférentelle, résolvons la!. a solton générale g de l éqaton sans second membre d +. = a solton partclère p de l éqaton avec second membre, comme le second membre est ne constante, p est ne constante K. d = donc =.K et K = D où la solton complète : (t) =.e -at +, sensbltés vertcales VOI A :...V/dv VOI B :...V/dv A o D A o D sensblté horzontale temps o tenson :... ms... /dv synchronsé sr la voe.... On calcle la constante avec les condtons ntales d système étdé. Ic, à t =, on ferme l nterrpter K, () = donne = e + = + = - D où la solton fnale ( t ) = - e- t. (A) = ycée os Armand - MUHOUS BS S Physqe Applqée - HASSNBOH page 3
4 BTS S ÉPONSS À UN ÉHON Étde de la corbe (t) (A) (t) = t à t + à t = + = à t = +, c est le régme transtore =, l éqaton dfférentelle = + d d d devent = ps =. est ne constante postve, donc l accrossement d d corant dans le temps est constant, (t) est ne drote. a prmtve montre en effet qe (condton ntale nlle). ette drote passe par le pont = por t =, drée q est appelée constante de temps d crct. = est l ndctance en henrys (H) est la résstance en ohms (Ω) est le temps en secondes (s) orsqe t +, c est le régme permanent le corant s est stablsé, d et l reste = (vor page précédente, conséqence de l éqaton fondamentale). remarqe sr les constantes de temps : por n condensater en sére avec ne résstance =, en secondes por ne bobne =, en secondes fasons le prodt de ces dex constantes de temps on obtent.. =, le prodt de farads par des henrys donne des secondes a carré ycée os Armand - MUHOUS BS S Physqe Applqée - HASSNBOH page 4
5 BTS S ÉPONSS À UN ÉHON ptre d corant dans n crct ndctf K K Por évter l arc d extra-rptre, on place ne résstance en parallèle sr la bobne. Écrvons la lo des malles : (A) = -. = + d car =. est ne éqaton dfférentelle, résolvons la! a solton générale g de l éqaton sans second membre d + +. = est g =.e -at, avec a = +, a solton partclère p = convent. = + a solton complète s écrt : (t) =.e -at, a constante se calcle avec les condtons ntales, c, à t = on ovre l nterrpter K, () = donne = e = = d où la solton fnale q donne (t) = -. (t). + ( t ) = e- t -. À l'overtre de K, à t = +, on a la tenson ax bornes de l'nterrpter q vat K = + () = +.. a rptre d corant dans n crct ndctf prodt ne srtenson ax bornes de l nterrpter. Protectons contre les effets de l extncton d corant dans n crct ndctf amortssement de cette srtenson se fat pls fréqemment à l ade d n condensater o d ne dode de roe lbre. la dode de roe lbre D le condensater K D À la fermetre de l nterrpter K, la D est bloqée. À l overtre, la D permet d écoler le corant, évtant l arc d extra-rptre et protégeant ans l nterrpter K. À la fermetre de l nterrpter K, se décharge. À l overtre, le corant ndt dans la bobne charge le condensater. ycée os Armand - MUHOUS BS S Physqe Applqée - HASSNBOH page 5
6 BTS S ÉPONSS À UN ÉHON 2. Étde de la réponse d'n système d dexème ordre à n échelon xemple : l assocaton sére, e crct nos permet de fare l étde ndcelle d n système d dexème ordre. On porra généralser ax atres systèmes : les systèmes électrqes, les systèmes mécanqes en translaton, en rotaton et les systèmes thermqes. ntrée e(t) exctaton e(v) échelon c est la charge d n condensater à travers n crct ndctf 2.. les éqatons dfférentelles fondamentales e a lo de la malle et la relaton fondamentale d condensater, q s écrvent e = + d d + et =, donnent les éqatons dfférentelles svantes : e = d2 2 + d +. () et.de d2 = 2 + d +. es éqatons sans second membre sont donc dentqes par lers coeffcents. es coeffcents caractérsent le système. De façon générale, on écrt ne éqaton dfférentelle d n système d second ordre sos la forme : d m.ω o. d + ω o 2. = f ( t ) (2) ω o est la plsaton propre et m est le coeffcent d amortssement ωo est en rad/s système Sorte (t) réponse réponse m n a pas d nté por le montage, on vérfe qe ω o et m prennent les valers ω o = et qe f(t) = ωo 2. e= ωo 2.. Démonstraton : par dentfcaton de () et de (2) on a 2mωo = et ω o 2 = on commence par ωo = q on remplace dans la seconde égalté, 2mω o = m = 2 ω o = 2 = 2 m = 2 c.q.f.d. et m = 2 ycée os Armand - MUHOUS BS S Physqe Applqée - HASSNBOH page 6
7 BTS S ÉPONSS À UN ÉHON 2.2. la réponse (t) la méthode de résolton de l éqaton dfférentelle est la svante : D abord on écrt la solton générale g de l éqaton sans second membre a d2 2 + bd on rechercher les racnes r et r 2 de l éqaton caractérstqe ar 2 +br+c =, sot r,r 2 = -b ± b2-4ac 2a, c, a =, b = 2.m.ω o et c = ω o 2 d où l expresson d dscrmnant = b 2-4ac = 4.m 2. ω o ωo 2 = 4. ω o 2 (m 2 - ) et de sa racne = b 2-4ac = 2. ω o m c =, r = ωo ( - m - m 2 - ) es racnes sont r, r 2 = - m.ω o ± ω o m 2 -, q on va écrre r 2 = ω o (- m + m2 - ). Plsers cas se présentent, svant la valer d coeffcent d amortssement. hacn correspond à n fonctonnement partcler d système d second ordre : m =, < m <, m = m > le cas où on a m > est appelé «le régme amort» o «apérodqe», on démontre qe les soltons sont (t) = A. e r t + A 2. e r 2 t +, où A = m - m2-2 m 2 et A2 = - m + m m 2 -. es soltons fnales sont représentées par les corbes c-dessos paramétrées en m. e(t) (t) m = m =,5 m m = 2 m = 4 2π Proprétés : ωo - a pente à l orgne est nlle car. d (+) =. a tangente à la corbe est horzontale. - S m >>, c est comme n premer ordre por leqel le temps de réponse à 5% vat tr5% = 3. On vérfe qe = 2m ω o donc le temps de réponse à 5% vat alors t r5% = 6m ω o ycée os Armand - MUHOUS BS S Physqe Applqée - HASSNBOH page 7
8 BTS S ÉPONSS À UN ÉHON le cas où on a m = est appelé «le régme crtqe», la solton de l éqaton dfférentelle est (t) = [ - ( ωo. t + ). e - ω o t ] l allre de la corbe est dentqe à celle d régme m > et n a pas beacop d ntérêt le cas où on a m < est appelé «le régme oscllatore amort», es racnes r et r2 sont complexes conjgés : r = α + jβ et r2= α - jβ, avec α = - m.ωo et β = ωo - m 2. a solton de l éqaton dfférentelle s écrt : (t) = [ - - m 2. e - m ω o t. cos ( ω t + ϕ ) ] où ω = ωo - m 2 est appelée la psedo-plsaton et ϕ est tel qe snϕ = - m Por n coeffcent d amortssement m =,, la corbe est tracée c dessos. es corbes en pontllés, d éqatons e (t) = [ - - m 2. e - m ω o t ] et e 2 (t) = [ + - m 2. e - m ω o t ], sont appelées les enveloppes de (t). 2 UMAX (t) et e(t) T p m =, d. e2(t) T p 5 % 95 % e(t) tm tp t r5% a psedo-pérode Tp est la pérode d oscllatons lbres de a système et non a sgnal d entrée. elle vat 2π T p = ω o -m 2 π m atre relaton U MAX = (+exp(- - m 2 )) ycée os Armand - MUHOUS BS S Physqe Applqée - HASSNBOH page 8
9 BTS S ÉPONSS À UN ÉHON es atres valers d coeffcent d amortssement comprses entre m = (pas d amortssement) et m =,9 donnent les réponses ndcelles svantes : 2 m = m =, m =,2 m =,3 Tp remarqons qe, pls m agmente, pls la corbe oscllante est amorte. Por le crct, m = 2 montre qe l amortssement est drectement proportonnel à et, s est nl, m = et (t) est oscllant sans dmnton d ampltde. e temps de réponse à 5 % est le temps t r5% a bot dqel la grander (t) est comprse entre,95 et,5. e temps de réponse à n % por m <,7 est ass donné par t r n% = ω o.m ln n onstater qe t r5% est mnmal por m =,77 la réponse est optmale à m =,77. la corbe por m=,7 T o = 2π ω o,44 T o ycée os Armand - MUHOUS BS S Physqe Applqée - HASSNBOH page 9
10 BTS S ÉPONSS À UN ÉHON e dépassement d est défn par la relaton d = valer d premer maxmm - valer fnale valer fnale = Umax - n cherchant t tel qe d =, on trove les maxma. d e premer se trove à t = π et permet ω le calcl de d : d = exp( - π m - m2 ) le dépassement s exprme sovent en %,5,2,4,6,8 dépassement d en foncton d coeffcent d amortssement m m et de façon générale, s k est n enter correspondant a rang de l extremm, d k = ±. exp( - kπ m ), avec le sgne + s k est par, et le sgne - s k est mpar. - m2 onnassant le premer dépassement d, on calcle m avec la relaton m = exemples nmérqes : s d = 8 %, m =,7 s d = 5 %, m = s d = 2 %, m = s d = %, m = ln d π2+(ln d )2 e temps de montée t m (o t r, l ndce r venant de l anglas rse tme ) est le temps qe met n système q bascle de à, por passer de % de à 9 % de. t m = (π - Arccos m) ω o -m2 e temps de pc, q est le temps ms por attendre le premer maxmm, vat t pc = π ωo -m2. ycée os Armand - MUHOUS BS S Physqe Applqée - HASSNBOH page
11 BTS S ÉPONSS À UN ÉHON e cas où on a m = est appelé «le régme oscllatore» c'est le cas de la décharge d n condensater à travers ne ndctance pre, m = donne comme éqaton dfférentelle q régt le système d ω o 2 = ω o 2 avec comme condtons ntales à t=+, (+) = et (+) = la solton est (t) = [ - cos ωot ] et comme = d, (t) = ω o sn ωot. eprésentons (t) et (t) por nterpréter physqement ce q se passe dans n crct : Dans n crct, m = s =. 2 K T 4 T 2 3T 4 T Por t : = et =. Ps à t = +, on ferme l nterrpter K, = et =. De t = + à t = T, le condensater se charge à travers ne ndctance pre q s y oppose. ndctance 4 emmagasne de l énerge sos forme magnétqe ps la restte sos forme de corant. De t = T 4 à t = T, le corant a attent n maxmm lorsqe =, ps dmne jsq à son extncton, le 2 condensater contnant à se charger vers = 2. De t = T 2 à t = 3T, est chargé sos ne tenson 2, le condensater va mantenant se décharger, prodsant n 4 corant négatf, etc. Applcatons : les oscllaters q sont des génératers de tensons snsoïdales (les génératers de tensons en créneax sont appelés «astables»). xemple : le montage oscllater à résstance négatve Montrer qe le crct encadré de pontllés est ne résstance négatve de valer = -. 2 ; c est à dre, en observant le 3 fléchage de et de, qe c est n dpôle générater. S on réalse l égalté =.2 3, on retrove le crct oscllant. - > ycée os Armand - MUHOUS BS S Physqe Applqée - HASSNBOH page
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