TES Spécialité Maths Eléments de correction du DNS n 8 du Jeudi 2 Mai Graphe et codage binaire ( d après Déclic TES)

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1 TES Spécialité Maths Eléments de correction du DNS n 8 du Jeudi 2 Mai 2013 Objectifs : donner du sens à un calcul matriciel graphe étiqueté chercher de nouveaux problèmes Un codage binaire peut se faire à l aide d un graphe. 1. Comprenons d abord le langage binaire Graphe et codage binaire ( d après Déclic TES) 324 en base 10 correspond à : De la même façon,, le nombre en binaire est égal à : Donner alors la valeur en base 10 des nombres en binaire : et Le nombre en binaire : est égal en base Le nombre en binaire : est égal en base On considère le graphe ci-contre On s intéresse aux mots reconnus par ce graphe. a) Donner les mots de longueur minimale reconnus par ce graphe, c est-à-dire arrivant à Les mots de longueur minimale reconnus par ce graphe sont : ab et bb b) A-t-on des mots de longueur 5 reconnus par ce graphe? Il n existe pas de mots de longueur 5 reconnus par ce graphe, c est-à-dire arrivant à Remarque : on pourrait utiliser la matrice d adjacence du graphe M M M

2 c) Dans le graphe ci-dessus, on traduit a par 0 et b par 1. Le mot abbaa se traduit donc par Donner la traduction en binaire des mots : aaba et ababab. La traduction en binaire du mot : aaba est 0010 ( soit en base 10 : ) La traduction en binaire du mot : ababab est ( soit en base 10 : ) 3. On donne la matrice M du graphe ci-dessus : a) Expliquer la colonne de «0» La colonne de 0 qui est la première colonne signifie que aucune arête n arrive au sommet numéroté 1 b) Comment se traduit sur la matrice le sommet «absorbant»? Pour la ligne 4, les coefficients sont tous nuls sauf le coefficient a 44 qui est égal à 2. Ceci signifie qu aucune arête ne part du sommet n 4 vers un autre sommet et deux arêtes partent du sommet n 4 vers lui-même. c) Calculer M 4. Combien de mots de longueur 4 conduisent au sommet «absorbant»? M Pour trouver le nombre de mots qui conduisent au sommet «absorbant, sommet n 4, il suffit de calculer la somme des coefficients de la colonne 4. Celle-ci est égale à : soit 90

3 Circuler sur un réseau( d après Déclic TES) Mickaël, voyageur de commerce, doit rencontrer 11 de ses clients, chacun dans les villes qui figurent sur la carte cicontre. Les voies de communication entre ces 11 villes sont données sur cette carte. Mickaël peut-il trouver un trajet lui permettant de visiter chaque client en en passant qu une seule fois dans chaque ville et de revenir à son point de départ? Trouver un tel trajet revient à travailler avec le graphe d ordre 11 dont les sommets sont les 11 villes cités et les arêtes sont les voies de communication entre ces villes. Il s agit de trouver une chaîne fermée du graphe qui passe une et une seule fois par chacun des 11 sommets. Par exemple : Clermont-Ferrand - Lyon Nice- Montpellier Toulouse Bordeaux Nantes Rennes - Lille - Strasbourg Paris - Clermont-Ferrand Autre parcours : Paris - Nantes Rennes - Lille Strasbourg - - Lyon Nice- Montpellier Toulouse Bordeaux - Clermont-Ferrand - Paris

4 Une entreprise fabrique des blousons. Calculs matriciels (d après Indice TES) Le tableau n 1 ci-dessous donne les quantités en m 2 de tissus nécessaires à la confection d un blouson de taille S, M et L. Le tableau n 2 ci-dessous donne les longueurs en mètres de fils de chaque sorte, nécessaires par mètre carré de tissu. Tableau n 1 S M L Tissu rouge 0,4 0,5 0,5 Tissu bleu 1 1,1 1,2 Doublure 1,5 1,7 1,9 Tableau n 2 Tissu rouge Tissu bleu Doublure Coton Polyamide Polyester Ainsi, pour confectionner un blouson de taille S, il faut 0,4 m 2 de tissu rouge, 1 m 2 de tissu bleu et 1,5 m 2 de doublure. Pour tisser 1 m 2 de tissu rouge, il faut 500 m de fil de coton, 1000 m de fil de polyamide et 500 m de polyester. 1. L entreprise veut produire 10 manteaux de taille S, 15 manteaux de taille M et 10 manteaux de taille L. On peut donc considérer les matrices T, F et C ci-dessous : T 0,4 0,5 0,5 1 1,1 1,2 1,5 1,7 1, F C a) Calculer le produit T C et interpréter ses coefficients. 0,4 0,5 0,5 10 T C 1 1,1 1,2 15 1,5 1,7 1,9 10 0, , , , ,2 10 1, , , , , , , , ,5 Pour produire 10 manteaux de taille S, 15 manteaux de taille M et 10 manteaux de taille L, l entreprise a besoin de 16,5 m 2 de tissu rouge, 38,5 m 2 de tissu bleu et 59,5 m 2 de doublure. b) Calculer le produit F (T C). Interpréter les coefficients de la matrice obtenue , , , ,5 F (T C) , , , , , , , , F (T C) Pour produire 10 manteaux de taille S, 15 manteaux de taille M et 10 manteaux de taille L, l entreprise a besoin de m de fil de coton, m de fil de polyamide et m de polyester.

5 2. En une journée, m de coton, m de polyamide et m de polyester ont été utilisés. Combien de manteaux de chaque taille, l entreprise a-t-elle confectionnés? On cherche le nombre x de manteaux de taille S, le nombre y de manteaux de taille M et le nombre z de manteaux de taille L. x On cherche donc la matrice X telle que X y et F (T X) z (F T) X Or F T D après la calculatrice, cette matrice est inversible donc on a : (F T) 1 (F T) X (F T) X (F T) Avec m de coton, m de polyamide et m de polyester utilisés en une journée, l entreprise a confectionné 12 manteaux de taille S, 15 de taille M et 7 de taille L.