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1 Chapitre II DÉFINITION DES SYSTÈMES LOGIQUES 2.1 LES NOMBRES DANS LES SYSTÈMES LOGIQUES Les humains comptent en DÉCIMAL DÉCIMAL: o Base 10 o 10 chiffres: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 o M C D U o o = 5 x x x x 1 = 5304 (base 10) Note: 1 = 10 ^ 0 10 = 10 ^ = 10 ^ = 10 ^ 3 etc... Les systèmes logiques (ordinateur) utilisent le BINAIRE BINAIRE: o Base 2 o "0" et "1" o Exemple: o o o o = 1 x x x x 1 = 1011 base 2 o Note: 1 = 2 ^ 0 2 = 2 ^ 1 4 = 2 ^ 2 8 = 2 ^ 3 16 = 2 ^ 4 etc... LSB : "Least Significant Bit" 1=2^0 MSB : "Most Significant Bit" 8=2^3 Remarque 2 bits... 2^2 = 4 combinaisons 4 bits... 2^4 = 16 combinaisons 8 bits... 2^8 = 256 combinaisons

2 Dans les premiers ordinateurs on utilisait des groupes de 4 bits o 8 bits = 1 byte (octet) OCTAL o Octal est Base 8 o exemple. 9 base 10 = base 2 = 11 base HEXADECIMAL o Utilise les chiffres 0-9 et A, B, C, D, E, F o Hexadécimal est Base 16 o exemple. 30, base 10 = , base 2 = 1E, base 16 o On ecrit "$1E" or "1Eh" Décimal Binaire Octal Hex (base 10) (base 2) (base 8) (base 16) A B C D E F FF UNITÉS UTILISÉES EN BINAIRE 1 chiffre binaire = 1 bit 8 bits = 1 byte (octet) 1 kilobyte (1k) = 2^10 bytes = 1024 bytes 1 Megabyte (1Mb) = 2^20 bytes = 1024 kbytes 1 Gigabyte (1Gb) = 2^30 bytes = 1024 Mbytes 1 Terabyte (1Tb) = 2^40 bytes = 1024 Gbytes

3 2.1.6 ÉCRITURE D'UN NOMBRE EN GÉNÉRAL DANS UNE BASE b ET CONVERSION DES SYSTÈMES DE NUMÉROTATION Nombre entier: (a n... a 2 a 1 a 0 ) b = (b n a n b 2 a 2 + b 1 a 1 + b 0 a 0 ) 10 Nombre fractionnel: (a n... a 1 a 0,a -1 a ) b = (b n a n b 1 a 1 + b 0 a 0 + b -1 a -1 + b -2 a ) 10 Conversion des systèmes de numérotation Exemples: (Voir différentes techniques et exemples au cours) - Conversion décimale / binaire : = Conversion hexadécimale / binaire: 3B9 16 = Conversion binaire / octal: 10110, =26,16 8 Représentation des fractions dans des bases différentes: Exemple: Soit le nombre 0,8125 en décimal, comment obtenir les chiffres 8, 1, 2 et 5 de 0,8125? Réponse: 10 0,8125 = 8,125 ce qui donne ,125 = 1,25 ce qui donne ,25 = 2,5 ce qui donne ,5 = 5 ce qui donne 5 On remarque qu'à partir de cet exemple en décimal on peut déduire une généralisation à toute base b. Par exemple trouver la représentation du nombre décimal 0,8125 dans la base 2 : 2 0,8125 = 1,625 ce qui donne 1 2 0,625 = 1,25 ce qui donne 1 2 0,25 = 0,5 ce qui donne 0 2 0,5 = 1,0 ce qui donne 1 Donc 0, , Vérification: 0,1101 = 1 1/ / / /16 = 0,8125

4 Exercice: Obtenir la représentation hexadécimale (base 16) du nombre 0, , = 12,5 ce qui donne C (équivalent du 12 en héxa) 16 0,5 = 8,0 ce qui donne 8 Donc: 0, = 0,C8 16 Exercice: Trouver l'équivalent en octal du nombre fractionnel décimal suivant: 0, ,3125 = 2, 5 ce qui donne 2 8 0,5 = 4,0 ce qui donne 4 Donc 0, = 0,24 8 Exercice: Convertir 125, en octal (base 8) Partie entière: Partie fractionnelle: 0, ,24 8 Donc: 125, ,24 8 Exercice: Convertir 125, en binaire (base 2) Réponse: 125, , REPRÉSENTATIONS EN "VIRGULE FIXE" Nombres sans signe : 1 Habituellement, un nombre est représenté par sa traduction en binaire, sur un nombre fixé de bits (en général 8, 16, 32 ou 64) ; la position de la virgule est fixe. Par exemple, si 8 bits sont alloués à la partie supra-unitaire et 8 bits à la partie sub-unitaire du nombre à représenter, (56,3125) 10 est représenté par partie supra-unitaire partie sub-unitaire La valeur maximale que nous pouvons représenter est (, en binaire) et la valeur minimale 2-8 (0, ). Nous constatons que la fidélité de la représentation (le nombre de chiffres significatifs gardés) dépend directement de la valeur à représenter : plus le nombre à représenter est petit, moins on peut garder de chiffres significatifs. Ce désavantage se manifeste pour toutes les représentations en "virgule fixe". 2 Une autre possibilité, moins courante, est d'employer une représentation de type Décimal Codé Binaire Naturel (Binary Coded Decimals). Dans ce cas, chaque chiffre du nombre décimal à représenter est traduite individuellement en binaire sur 4 bits, et le nombre est représenté par la concaténation de ces groupes de 4 bits (représentation BCD compacte).

5 Par exemple, pour (56,3125) 10 : 5 6, , En version non compacte, chaque quartet qui code un chiffre décimal constitue le quartet le moins significatif d'un octet, l'autre quartet étant 0000 (ex. : ). Le nombre est représenté par la concaténation de ces octets. Cette technique de représentation est moins économique, mais facilite la traduction Nombres avec signe : (Voir plus bas, paragraphe 2.2.2, pour les définitions concernant les compléments à 1 et à 2) 1 Une première possibilité : le premier bit (le plus significatif) est réservé au signe (0 si N 0, 1 sinon), les autres contiennent la traduction en binaire de la valeur absolue : signe partie supra-unitaire partie sub-unitaire MSB LSB Par exemple, avec 7 bits pour la partie supra-unitaire et 8 bits pour la partie sub-unitaire, nous obtenons : (+56,3125) 10 = ( ,0101) 2 (-56,3125) 10 = ( ,0101) Complément à 1 (C 1 (N)) : le premier bit (le plus significatif) est réservé au signe (0 si N 0, 1 sinon), les autres contiennent la traduction en binaire de la valeur si le nombre est positif, ou les chiffres opposés (0 1) à ceux de la traduction si le nombre est négatif. Par exemple, avec 7 bits pour la partie supra-unitaire et 8 bits pour la partie sub-unitaire, nous obtenons : (+56,3125) 10 = ( ,0101) 2 (-56,3125) 10 = ( ,0101) Complément à 2 (C 2 (N), ou complément vrai). Le premier bit (le plus significatif) est réservé au signe (0 si N 0, 1 sinon). Considérons que n des bits suivants sont réservés à la partie supra-unitaire des nombres. Alors la représentation signe mis à part contient la traduction en binaire de la valeur si le nombre est positif, ou la différence entre 2 n et le résultat de cette traduction si le nombre est négatif. Par exemple, avec 7 bits pour la partie supraunitaire et 8 bits pour la partie sub-unitaire, nous obtenons : (+56,3125) 10 = ( ,0101)

6 (-56,3125) 10 = ( ,0101) ,0101 = , = Le plus grand nombre positif représentable : , Le plus petit nombre positif représentable : , Le plus grand nombre négatif représentable :. -0, Le plus petit nombre négatif représentable : Ecart minimal entre deux nombres représentables : 0, (constant). 4 Codage par excédent (employé pour des nombres sans partie fractionnaire) : la représentation contient la traduction en binaire de la somme entre le nombre à représenter et une valeur positive fixe (choisie telle que le résultat soit toujours positif pour les nombres qu'on veut représenter). Par exemple, avec 8 bits, par excédent à 128 (= 2 7 ), nous obtenons : (+56) 10 = ( ) = = (- 56) 10 = ( ) = = Nous constatons que le premier bit ne correspond plus à la convention de signe employée jusqu'ici REPRÉSENTATIONS EN "VIRGULE FLOTTANTE" Les nombres sont d'abord mis sous forme normale : N=(± 0, a -1 a -2 a -3...)x b ±n avec a -1 0 (normalisation) a -1 a -2 a -3 s'appelle mantisse et n exposant. Par exemple : (56,3125) 10 = ( ,0101) 2 = 0, Des bits sont réservés pour représenter le signe, l'exposant et la mantisse. 1 En simple précision (IEEE 754), 32 bits sont employés pour la représentation. Ainsi, le nombre 1,f 2 e-127 est représenté sous la forme suivante : signe e f

7 Par exemple : représente : signe = 1 nombre négatif e = ( ) = = 2 f = (0,01) 2 = 0,25 donc le nombre représenté est -1, = ,25 = (0,01) 2 est représenté par : nombre positif signe = 0 (0,01) 2 = 1,0 2-2 = 1, donc +0,25 est représenté par En double précision (IEEE 754), 64 bits sont employés pour la représentation. Le nombre 1,f 2 e-1023 est représenté sous la forme suivante : signe e f Interprétation complète des codes possibles : e f représente ,f ou* 0,f < e < e max f 1,f 2 e-127 ou* 1,f 2 e-1023 e max (255 ou* 2047) 0 e max (255 ou* 2047) 0 NaN (Not a Number) (*simple ou double précision) NaN est le résultat, par exemple, de 1 ou de log(1) ; le résultat d'une opération dont un des arguments est NaN doit être NaN. est le résultat, par exemple, des divisions par 0 ou de log(0) ; peut intervenir dans des calculs, par exemple 1/ = 0. Exercice Montrer comment s'écriraient les nombres suivants sous les formats IEEE 754 simple (32 bits) et double (64 bits) précision. (a) Simple précision Double précision (b) Simple précision Double précision

8 2.2 ARITHMÉTIQUE EN BINAIRE NOMBRES EN BINAIRE, SANS SIGNE L'addition exemples (nombres représentés sur 8 bits) : 1 pas de retenue (transport du MSB) retenue (transport du MSB) dépassement du format La soustraction (A - B) exemples (nombres représentés sur 8 bits) : 1 A B : pas de retenue (transport vers le MSB) A < B : retenue (transport vers le MSB) résultat négatif, à représenter sur plus de 8 bits (70) 10 = ( ) 2, (-70) 10 = ( ) 2 en complément à 2, sur 8 bits mais : (134) 10 = ( ) 2, (-134) 10 ne peut pas être représenté en complément à 2 sur 8 bits, 9 bits sont nécessaires : (-134) 10 = ( ) La multiplication exemple (facteurs représentés sur 8 bits) : (9 bits nécessaires)

9 (16 bits nécessaires) Il faut réserver au produit le double du nombre de bits réservés aux facteurs. Cas particulier : multiplication par 2 n = déplacement à gauche de n positions La division exemple (dividende représenté sur 8 bits, diviseur sur 4 bits) : La division d'un nombre binaire est identique à la division d'un nombre décimal. Dividende/diviseur = quotient Exemple : en décimal 12 divisé par 4 12 Dividende - 4 Première soustraction du diviseur 8 Premier reste - 4 Deuxième soustraction du diviseur 4 Deuxième reste - 4 Troisième soustraction du diviseur 0 Reste de zéro Dans cet exemple, le diviseur est soustrait du dividende trois fois avant l'obtention d'un reste 0 (ou inférieur au diviseur). Le signe du quotient dépend du signe du dividende et du diviseur. Exemple de nombres binaires signés: Les nombres sont par Les signes des nombres sont positifs, donc le quotient sera positif. Le quotient est mis à zéro au départ On ignorera toutes les retenus Dividende Complément à deux du diviseur, ce qui revient à une soustraction (voir plus bas) Premier reste positif, on incrémente le quotient Complément à deux du diviseur Deuxième reste positif, on incrémente le quotient Complément à deux du diviseur Reste de zéro, on incrémente le quotient 00011

10 Cas particulier : division par 2 n = déplacement à droite de n positions NOMBRES EN COMPLÉMENT À Obtenir le complément à 2 (pour nombres entiers) : Nous considérons que la représentation du nombre se fait sur n bits, dont 1 bit de signe. 1 C 2 (N) = 2 n - N, par exemple positif négatif : négatif positif : = (signe inclus) = (signe inclus) 2 C 2 (N) = C 1 (N) + 1, le C 1 (N) étant obtenu en inversant tous les chiffres de la représentation en binaire du nombre (0 1), par exemple positif négatif : négatif positif : , (signe inclus) , (signe inclus) L'addition exemples (nombres représentés sur 8 bits, dont 1 bit de signe) : 1 pas de retenue, pas de dépassement du format résultat correct 2 pas de retenue, mais dépassement du format résultat incorrect sur 8 bits (la somme de deux nombres positifs ne peut pas être un nombre négatif) 3 retenue, mais pas de dépassement du format résultat correct (la retenue n'est pas prise en compte) 4 retenue et dépassement du format résultat incorrect sur 8 bits (la somme de deux nombres négatifs ne peut pas être un nombre positif) Observation : le format n'est jamais dépassé quand les termes ont des signes opposés. Règle pour savoir si un dépassement a eu lieu : dépassement (transport vers le MSB transport du MSB).

11 La soustraction en complément à deux : Rappels: a - b = a + (-b) Le nombre négatif peut être généré par son complément à 2 Soustraction = addition avec le complément à 2 du nombre à soustraire. Représentation circulaire de nombres en complément à 2 sur 3-bits Soustraction en complément à 2: Cas 1: Soustraire un nombre d'un nombre plus grand que lui. 1. Déterminer le complément à 2 du petit nombre 2. Ajouter au grand nombre le complément à 2 du petit 3. Négliger la retenue (il y aura toujours une retenue dans ce cas) Cas 2: Soustraire un grand nombre d'un plus petit. 1. Déterminer le complément à 2 du grand nombre 2. Ajouter au petit nombre le complément à 2 du grand 3. Il n'y a pas de retenue dans ce cas, le résultat est en complément à deux et il est négatif. 4. Pour obtenir le résultat sous une forme correcte il faut prendre le complément à 2 et changer de signe. Exemple: Soustraire en binaire 1100 de 0101 Il faut ajouter le C'2(1100) à 0101 ce qui donne = 1001 et il n'y pas de retenue. Pour le résultat final il faut calculer le C'2(1001) et changer son signe ce qui donne Remarque: On dit qu'il y dépassement (overflow) quand, par exemple, l'addition de deux nombres positifs donne un résultat négatif ou alors l'addition de deux nombres négatifs donne un résultat positif.

12 2.2.3 Nombres en DCBN compacte Les quartets sont entre 0000 (correspondant à 0)et 1001 (correspondant à 9) L'addition exemples (nombres à deux chiffres décimaux, représentés sur 8 bits) : En général, nous effectuons l'addition en binaire sans prendre en compte le caractère particulier du codage, et ensuite nous corrigeons le résultat de la façon suivante : s'il y a une retenue dans le quartet ou si le quartet contient une valeur supérieure à 9 (1001), on ajoute 6 (0110) au quartet (et on propage l'éventuelle nouvelle retenue vers le quartet supérieur). Par exemple : quartet inférieur supérieur à 1001, donc la correction doit être appliquée (73), ou retenue obtenue dans le quartet inférieur, la correction doit être appliquée (57) La soustraction (A - B) exemples (nombres à 2 chiffres décimaux, sur 8 bits) : En général, nous effectuons l'addition en binaire sans prendre en compte le caractère particulier du codage, et ensuite nous corrigeons le résultat de la façon suivante : nous soustrayons 6 (0110) de tout quartet qui a demandé une retenue. Par exemple : retenue demandée par le quartet inférieur, donc la correction doit être appliquée à ce quartet (11). 2.3 REPRÉSENTATION DES CARACTÈRES Standard ASCII 8 (8 bits) : Exemple : A = 65 en décimal A = 41 en hexadécimal

13 Représentation d'un caractère sur un octet (ASCII)

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