Cours de Numération. Il utilise exclusivement les deux symboles 0 et 1.

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1 Cours de Numération A). Introduction : I ). Généralités : Le système binaire (Base 2) a été conçu au 17 ème siècle par le mathématicien LEIBNITZ. Il présente l'avantage de ne comporter que deux symboles (0 et 1) qui traduisent l'absence ou la présence d'un signal électrique. II ). Définitions : Système binaire : Digit : Il utilise exclusivement les deux symboles 0 et 1. C'est un chiffre. Bit : (de Binary Digit : Chiffre Binaire) C'est la plus petite unité d'information binaire qui vaut 0 ou 1. ex: 1011 est un nombre de 4 bits. Mot Binaire : Poids : C'est un groupe de bits : Un mot de 4 bits s'appelle un Quartet. Un mot de 8 bits s'appelle un Octet (Byte). Un mot de 16 bits s'appelle un Mot (Word). Un mot de 32 bits s'appelle un Double Mot (Dword). C'est le coefficient attaché au rang d'un chiffre dans un système de numération. En numération binaire : On parle de bit de poids faible : c'est le bit le plus à droite (L.S.B. : Least Significant Bit en anglais). On parle de bit de poids fort : c'est le bit le plus à gauche (M.S.B. : Most Significant Bit en anglais). III ). Système quelconque : Pour une base B quelconque : N C m.b m C m-1.b m C.B C.B,C. B 1 0 Numération 1 JFA10-1 C -2. B -2...

2 avec B : la base du système. B m : Le poids du coefficient Cm. C m : le coefficient compris entre 0 et B-1. Exemple : en base 10 N 10 = 54 = Mais dans la pratique, la base est sous-entendue, et l'on se contente de juxtaposer les coefficients C m. Lorsque l'on utilise plusieurs systèmes de numération, on le distingue en précisant la base en indice. IV ). Système décimal : N B = C m C m-1...c 1 C 0,C -1 C Le système décimal que nous employons utilise la base 10 donc les symboles : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Un nombre N s'écrit avec une succession de chiffres qui représentent les coefficients des puissances de 10. Soit N= ; à l'aide des puissances de 10, ce nombre s'écrit alors : N = N = N = Pour un nombre quelconque en base 10, nous aurons l'expression : N = C m *10 m + C m-1 *10 m C 1 * C 0 *10 0,C C avec C m coefficient compris entre 0 et 9 pour la base 10. V ). Système binaire : La base du système binaire est la base 2. On utilise les chiffres : 0 et 1. L'écriture d'un nombre binaire est en fait une décomposition du nombre décimal en puissances de 2. Le comptage en binaire s'effectue de la même façon qu'en décimal. Un chiffre est augmenté de 1 quand tous les chiffres de poids inférieur sont à 1 (à 9 en base 10). Exemple : Décimal : Binaire : Numération 2 JFA10

3 Pour un nombre quelconque en base 2, nous aurons l'expression : N = C m *2 m + C m-1 *2 m C 1 *2 1 + C 0 *2 0,C C avec C m coefficient compris entre 0 et 1 pour la base 2. B). Conversions : I ). Remarques : Codage : C'est une opération qui consiste à représenter, à traduire et à transcrire des informations à l'aide d'un code. Le système décimal est en général utilisé comme système de référence. Les systèmes les plus utilisés sont : Binaire (Base 2) Octal (Base 8) Décimal (Base 10) Hexadécimal (base 16). On utilise le terme de "CODAGE" pour le fait d'écrire un nombre décimal dans un système de numération quelconque. Réécrire ce nombre en décimal, c'est "DECODER". Passer d'une base quelconque à une autre base (différente de 10), c'est "TRANSCODER". II ). Conversion : 1 ). Conversion binaire-décimal : Il suffit d'appliquer la méthode générale, et ensuite d'effectuer la somme des différents termes. Soit = 1110 N = N = N 10 = 14 Exemples : M 2 = M = 1* M = M 10 = 26 P 2 = Numération 3 JFA10

4 P = P = P 10 = 825 O 2 = 11100,101 O = O = ,5 + 0,125 O 10 = 28,625 Question : Trouver le nombre maximal binaire que l'on peut représenter avec 4 bits? Solution : N max2 = 1111 = = ). Conversion décimal-binaire : a ). Conversion par divisions successives : On divise le nombre décimal par 2 jusqu'à 0, et on ne prend que les restes en remontant = Exemples : = = = ATTENTION : Pour obtenir le nombre binaire, surtout ne pas oublier que l'on remonte depuis la fin en prenant les restes. Pour les nombres à virgule, on multiplie par 2 la partie fractionnaire, et on lit dans l'ordre. Exemple : 21, = 10101,101 2 Numération 4 JFA10

5 Remarque : Pour les nombres à virgule, on le fait en deux fois : la partie entière avec la méthode précédente et la partie fractionnaire que l'on multiplie par 2, et on ne garde que la partie entière et l'on recommence avec la partie décimale. Et on lit le nombre binaire dans l'ordre. 0,375 x 2 = 0,75 > 0 0,75 x 2 = 1,5 > 1 0,5 x 2 = 1 > 1 0, = 0,011 2 b ). Conversion par approximations successives : Soit à convertir en binaire, cherchons la plus haute puissance de 2 contenue dans ce nombre ; puis on le soustrait de celui-ci; et on recommence avec le reste jusqu'à 0. Et on met un 1 pour les puissances que l on a soustrait, et un 0 pour les autres => => => donc = = = Exemples : = = , = 10111, Autres exemples avec la méthode de votre choix : = = ,75 10 = 11111,11 2 III ). Synthèse : Coder en binaire les nombres : 5, 19, 56, 63, 111, 153, 185, , , , , , , , Décoder les combinaisons suivantes : Numération 5 JFA10

6 M 2 = => = => O 2 = => C). Opérations Arithmétiques en Binaire : I ). L'addition : Quand on additionne deux nombres binaires, on obtient une retenue quand la somme d'une colonne est supérieure ou égale à Table d'addition : = = = = 0 avec une retenue de 1 Exemple 1 : Exemple 2 : Exemple 3 : Exemple 4 : Exemple 5 : II ). La soustraction : On effectue la soustraction de la même manière qu'en décimal, si le chiffre à soustraire est plus grand, on augmente le chiffre que l'on soustrait de 10, que l'on retranchera dans la colonne suivante. Table de soustraction : 0 0 = = 1 avec une retenue de = = 0 Exemple 1 : Exemple 2 : Exemple 3 : Exemple 4 : Exemple 5 : Exemple 6 : III ). La multiplication : Elle s'effectue de la même façon qu'en décimal. Table de multiplication : Numération 6 JFA10

7 0 x 0 = 0 0 x 1 = 0 1 x 0 = 0 1 x 1 = 1 Exemple 1 : Exemple 2 : Exemple 3 : Exemple 4 : Exemple 5 : ,011 * 1101 * * * * 10100, , Cas des multiples de 2 : Il suffit de mettre autant de 0 à droite du nombre que le poids de l'exposant du multiplicateur. IV ). La division : * 100 = Elle s'effectue de la même façon qu'en décimal. Table de division : 0 0 =? Indéterminé 0 1 = =? Indéterminé 1 1 = 1 Exemple 1 : Exemple 2 : Exemple 3 : Exemple 4 : ,10 101, , Cas des multiples de 2 : Il suffit de décaler autant de fois à gauche la virgule du nombre, que le poids de l'exposant du diviseur / 100 = 100,11 Numération 7 JFA10

8 V ). Synthèse : Addition binaire : Soustraction binaire : Multiplication binaire : * Division binaire : Numération 8 JFA10

9 VI ). Correction de la Synthèse : Addition binaire : Soustraction binaire : Multiplication binaire : * Division binaire : Numération 9 JFA10

10 VII ). Nombres signés : Il existe plusieurs représentations des nombres signés, c'est pourquoi il faut préciser quelle méthode on utilise. 1 ). Représentation module plus signe : C'est la méthode la plus simple, on ajoute un élément binaire au nombre pour la représentation du signe. On utilise la convention de signe suivante : 0 +, 1 et Le signe est placé à gauche du nombre. Exemple : = = On remarque donc qu'il faut préciser le nombre de bits sur lequel on travaille pour pouvoir interpréter le nombre. Si on travaille sur n+1 bits, alors on pourra représenter un nombre N tel que : (2 n 1) <= N <= 2 n 1 Exemple : si n=3 alors 7 <= N <= 7 Inconvénient : Signe Nombre Signe Nombre Il existe 2 représentations différentes du nombre 0. 2 ). Représentation en complément à 2 : C'est la représentation la plus courante car c'est celle que les microprocesseurs utilisent. a ). Complément à 1 : Pour obtenir le complément à 1, il suffit de changer les 0 en 1,et inversement les 1 en 0. N alors en base N Numération 10 JFA10

11 b ). Complément à 2 : Pour obtenir le complément à 2, il suffit d'ajouter 1 au complément à 1. N alors en base On peut donc utiliser cette méthode pour obtenir des nombres signés. Le M.S.B. est toujours représentatif du signe. Si on travaille sur n+1 bits, alors on pourra représenter un nombre N tel que : 2 n <= N <= 2 n 1 Exemple : si n=3 alors 8 <= N <= 7 Remarque : Signe Nombre Signe Nombre On a ainsi supprimé la double représentation du 0; mais le nombre 2 n n'a pas de complément. On remarque que l on doit travailler sur un nombre de bits fixes. On travaillera alors pour la suite avec des nombres de 8 Bits (7 Bits + 1 Bit de signe). c ). Opérations : Additions : ATTENTION : ( 45) Il faut enlever le bit de poids fort pour obtenir le résultat, si il dépasse le nombre de bits donné. Numération 11 JFA10

12 ( 45) Par contre si l'on fait la somme de 2 nombres positifs, le résultat doit être positif. Donc si le 8 ème bit est à 1, on a un dépassement et le bit de gauche est une retenue, ce n est pas le bit de signe. Soustractions : D). Codes : (45) Par contre si l'on fait la soustraction d un nombre négatif et d un nombre positif, et que le résultat est positif, alors qu il devrait être négatif, alors on a un dépassement (+ 45) En fait le 0 qui est à gauche du nombre correspond à 1+1, soit un 8 éme bit à 1 (donc une retenue qui vaut ), plus le bit de signe négatif à 1. Pour des besoins de transmissions, de visualisation ou pour résoudre des problèmes d'aléas, on est amené à créer un nombre important de codes. I ). Code binaire naturel (base 2) ou code 1248 : C'est le binaire Pur. Numération 12 JFA10

13 Décimal º Binaireº II ). Code binaire réfléchi ou code GRAY : Si on utilise le binaire pur pour effectuer un comptage, on risque d'avoir des problèmes de comptage dus au nombre de chiffres qui changent en même temps. 7 (0111) > 8 (1000) 0111 > 0110 > 0100 > 0000 > 1000 On a donc crée le code GRAY où un seul chiffre change à chaque fois. On le construit par blocs miroirs. On pose 0 1, on met un miroir (barre rouge), on recopie les chiffres placés avant le mirroir, après le mirroir, puis on met des 0 à gauche des nombres avant le miroir et des 1 à gauche des nombres après le miroir, et ainsi de suite Numération 13 JFA10

14 Construction Décimal º Grayº III ). Code B.C.D. (Binary coded decimal) ou D.C.B. (Décimal codé binaire) C'est la traduction en binaire de chaque chiffre décimal. Chaque chiffre est exprimé séparément par un demi-octet (quartet - 4 bits). L'utilisation de ce code est d'un usage important, car chaque fois que l'on veut visualiser un nombre sur des afficheurs, il suffit d'écrire ce nombre en D.C.B. et de le relier sur les afficheurs. Ce code est donc utilisé dans tous les systèmes d'affichage de chiffres décimaux (Multimètres, Fréquencemètres Horloges...). Décimal º B.C.D Numération 14 JFA10

15 1 ). Additions : Pour obtenir un résultat correct, il faut ajouter 6 si le quartet (4 bits) est supérieur à 9, et/ou si on a eu une retenue vers le bloc de 4 bits de gauche et ainsi de suite. a ). Exemples : Numération 15 JFA10

16 IV ). Code avec parité : C est un code binaire pur auquel on rajoute un bit de parité pour savoir si la transmission s est bien éffectuée sans erreur. On a deux possibilités de parité : La parité paire : Dans le cas de la parité paire, on compte le nombre de 1 contenu dans le nombre y compris le bit de parité, et ce nombre doit être pair. Sur 8 bits : = = PP = = PP La parité impaire : Dans le cas de la parité impaire, on compte le nombre de 1 contenu dans le nombre y compris le bit de parité, et ce nombre doit être impair. Sur 8 bits : = = PI = = PI V ). Code hexadécimal (base 16) : En base 16 : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F. C'est le code utilisé pour représenter les instructions d'un microprocesseur. Numération 16 JFA10

17 1 ). Conversions : Décimal Hexadécimal A 11 B 12 C 13 D 14 E 15 F Passage de la base 16 à la base 10 : On utilise la formule générale. Exemple : BF 16 = = 11* = = Passage de la base 10 à la base 16 : On utilise les mêmes méthodes que pour la base 2. Exemple : A F = FA 16 2 ). Addition : 1F 19 3DE + AC + B9 + 4AC CB D2 88A 1BD FE10A 6CA8D FA A0D + DEF + 1FCDF + ABCDF BD7F9 + F28DD 21DA56 Numération 17 JFA10

18 3 ). Soustraction : 87 ABC EDF AE7F 3A 9AD DF3 1F4C 4D 10F 0EC 3D64 51CF 4 ). Multiplication : Table de multiplication : U\D A B C D E F A B C D E F A C E A 1C 1E C F B 1E A 2D C C C C A F E D C B C E 24 2A C E 54 5A E 15 1C 23 2A F 46 4D 54 5B B 24 2D 36 3F A 63 6C 75 7E 87 A 0 A 14 1E C A 64 6E C 96 B 0 B C D E F 9A A5 C 0 C C C C A8 B4 D 0 D 1A E 5B F 9C A9 B6 C3 E 0 E 1C 2A E 8C 9A A8 B6 C4 D2 F 0 F 1E 2D 3C 4B 5A A5 B4 C3 D2 E1 2A 2A A3F A9B1 FAB1 * 1F * 1E * E68 * F310 * BC2F C 51F EB05F 2A. 2A. 3D7A. A9B1. 1F EC 8F72.. 1FD13.. BC04C.. 939B98 9F15F... AC59B... A11D9E10 B848027F Numération 18 JFA10

19 Table de multiplication : U\D A B C D E F A B C D E F Table de multiplication : U\D A B C D E F A B C D E F A C E A 1C 1E C F B 1E A 2D C C C C A F E D C B C E 24 2A C E 54 5A E 15 1C 23 2A F 46 4D 54 5B B 24 2D 36 3F A 63 6C 75 7E 87 A 0 A 14 1E C A 64 6E C 96 B 0 B C D E F 9A A5 C 0 C C C C A8 B4 D 0 D 1A E 5B F 9C A9 B6 C3 E 0 E 1C 2A E 8C 9A A8 B6 C4 D2 F 0 F 1E 2D 3C 4B 5A A5 B4 C3 D2 E1 Numération 19 JFA10

20 E). Passage de la base 2m vers la base 2n: I ). Passage de la base 2 vers la base 8 (23) : Comme 8 = 23 il suffit de regrouper le nombre en base 2 par paquets de 3 en partant des unités, et de coder chaque paquet en base 8. = = N 8 = N 8 = 2765 II ). Passage de la base 8 vers la base 2 : Il suffit de décomposer chaque chiffre en base 2 sur 3 bits. N 8 = 2456 = = III ). Passage de la base 2 vers la base 16 (2 4 ): Comme 16 = 2 4 il suffit de regrouper le nombre en base 2 par paquets de 4 en partant des unités, et de coder chaque paquet en base 16. = = N 16 = 5 F N 16 = 5F568 IV ). Passage de la base 16 vers la base 2 : Il suffit de décomposer chaque chiffre en base 2 sur 4 bits. N 16 = FA830 = = Numération 20 JFA10

21 V ). Passage de la base i vers la base j : 1 ). i et j ne sont pas des puissances de 2 : Alors on se servira de la base 10 comme base intermédiaire. On passe de la base i à la base 10. Ce nouveau résultat est ensuite converti en base j. Exemple : 25 7 en base = 2* *7 0 = = = = 1* *4 0 = ). i et j sont des puissances de 2 : On se servira alors de la base 2 comme base intermédiaire. On passe de la base i en base 2, puis de la base 2 en base j. Exemple : en base = = Numération 21 JFA10

22 Exercices de Synthèse 1 ). Conversion Binaire-Décimale : , , ). Conversion Décimale-Binaire : , , ). Opérations : , , , , , , , * 11111,111 * ). Opérations en nombres signés sur 8 bits en complément à 2 : Numération 22 JFA10

23 * ). Opérations en B.C.D. : ). Opérations en Hexadécimal : FEDCBA 123ABD F1D2C FED ABCDE * ABC * ). Conversions : Convertir les nombres hexadécimaux suivants : FDEB; 1234; 55AA; 789A En base 2, 4, 8. Numération 23 JFA10

24 CORRECTION DE LA SYNTHESE 1 ). Conversion Binaire-Décimale : , , ). Conversion Décimale-Binaire : , , , , , , ). Opérations : , , , , , , , , ,1111 * 1000 * 11111, , , / /100 = = ,01 4 ). Opérations en nombres signés sur 8 bits en complément à 2 : Impossible Impossible 5 ). Opérations en B.C.D. : * / impossible impossible Numération 24 JFA10

25 ). Opérations en Hexadécimal : FEDCBA 123ABD FED ABCDE F1D2C * ABC * FFFFFF 31D91 AAF40C C379541D6 7 ). Conversions : Convertir les nombres hexadécimaux suivants en base 2,4,8 FDEB; 1234; 55AA; 789A FDEB AA A Numération 25 JFA10

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