Systèmes logiques combinatoires

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1 «'enseignement devrit être insi : celui qui le reçoit le recueille comme un don inestimle mis jmis comme une contrinte pénile.» Alert Einstein Systèmes logiques comintoires Définitions. es vriles inires Une vrile est inire si elle peut prendre, à tout instnt, une vleur unique, prmi un ensemle de deux vleurs possiles. Ces vleurs sont notées pr convention 0 et. Exemples : un contct électrique est ouvert ou fermé, une vnne est ouverte ou fermée, un distriuteur pneumtique est positionné «à droite» ou «à guche»... Un ensemle ordonné de n vriles inires est un mot inire de n digits ou its. Exemple : on note (,) ou le mot inire à deux vriles inires. Un ensemle inire de n vriles peut prendre u plus n vleurs différentes. Exemple : le mot inire peut prendre 4 vleurs notées 00, 0, 0,. vleur d un mot, à un instnt donné, est ppelée étt inire de ce mot.. notion de codge inire e choix de l ffecttion d un étt du mot inire à une vleur de l vrile constitue l opértion de codge. Elle n est jmis unique. Pr exemple, le codge inire d un chiffre déciml n est ps unique. Il fut u minimum qutre vriles inires pour coder un chiffre entre 0 et 9. e tleu ci dessous présente codges inires usuels en logique comintoire : le codge inire nturel et le codge inire réfléchi (code GRAY). d n 4 n 3 n n r 4 r 3 r r «Pscline», ère mchine à clculer, inventée en 643 pr Blise PASCA (63-66). Cette mchine fut conçue pr Pscl pour ider son père dns son trvil de réorgnistion des finnces en Bretgne. ycée Vun, Brest clsse de PTSI

2 première colonne est le chiffre déciml. es 4 colonnes suivntes correspondent u codge inire nturel. On code dns ce codge le chiffre 5 pr n 4 n 3 n n = 00 ; l vrile n 4 est le it de poids fort et l vrile n 5 est le it de poids file. Remrquons que : d = 4 n i i = es 4 dernières colonnes correspondent u code Gry. Remrquons qu vec ce codge, une seule vrile inire chnge d étt qund on psse d une ligne à l suivnte..3 es fonctions inires Une fonction inire f est une fonction qui, à un mot inire y = x n...x, ssocie une vrile inire z. Une fonction inire est comintoire si et seulement si l étt de l sortie à chque instnt ne dépend que de l étt du mot d entrée à cet instnt. Dns ce cs, l fonction f est indépendnte du temps et l on : i ( ) ( ) ( ) s t = f e t, t Un système comintoire est un système comprennt plusieurs fonctions comintoires. A prtir d un mot inire d entrée, le système élore plusieurs vriles de sortie. Exemple : le trnscodge qui ssocie le code inire réfléchi r 4 r 3 r r d un chiffre déciml u code inire nturel n 4 n 3 n n de ce même chiffre est un système comintoire constitué de 4 fonctions et de 4 vriles. Remrque : une fonction logique de n vriles inires est une cominison de ces n vriles inires et des éléments 0 et. Il existe n vriles. n n C k n = k = 0 cominisons de ces En effet, considérons une fonction de n vriles. e nomre de cominisons de ces n vriles s élève à n ; à prtir de l tle de vérité de ces fonctions, on peut dénomrer : 0 les fonctions ynt zéro «un» dns l colonne de droite : C n = ; n les fonctions ynt un «un» dns l colonne de droite : C n = ; les fonctions ynt p «un» dns l colonne de droite : C ; les fonctions ynt n «un» dns l colonne de droite : C =. p n n n ycée Vun, Brest clsse de PTSI

3 e nomre totl de fonction correspond à l somme de toutes les fonctions précédentes et conduit u résultt énoncé. Pour le cs où n =, il y 4 fonctions possiles «toujours fux», «identité», «négtion» et «toujours vri». Pour n =, il y 6 fonctions possiles, mis seul un petit nomre intervient dns l rélistion technologique ssociée à l structure d lgère de Boole. Nous donnons ci près les fonctions les plus utilisées ppelés opérteurs de se. Algère de Boole Il s git de l lgère des vriles et des fonctions inires.. es opérteurs de se Soit l vrile inire. On définit les opérteurs inires sur cette vrile : l opérteur OUI ou identité, l opérteur NON ou négtion ou complémentire vec OUI NON e tleu ci dessus est ppelé une tle de vérité. Soit les vriles et. On définit les opérteurs inires sur ces vriles : l opérteur OU noté «+», ppelé somme logique tel que + = si et seulement si l une u moins des vriles ou est égle à. l opérteur ET noté «.», ppelé produit logique tel que. = si et seulement si les deux vrile et sont égles à. tle de vérité de chque fonction est donné pr : l opérteur dilemme ou OU exclusif noté défini pr l tle de vérité George BOOE, mthémticien et logicien nglis (85-864). ycée Vun, Brest clsse de PTSI 3

4 On vérifie que : = + = ( + )(. + ). es propriétés issues de l structure d lgère Propriétés : ensemle des vriles inires muni des opértions NON, OU et ET possède une structure d lgère. es propriétés de cette lgère se trduisent pr le tleu ci près : Ces propriétés se démontrent isément, en utilisnt pr exemple, les tles de vérité ssociées. D utres propriétés intéressntes sont utilisées dns cette lgère. e tleu suivnt en font un descriptif. A titre d exercice, démontrer ces propriétés. e théorème de De Morgn se générlise à une expression de n vriles inires ; on en effet : n i = n i = i = i OU ET commuttivité + = +. =. ssocitivité +(+c) = (+)+c.(.c) = (.).c distriutivité +(.c) = (+).(+c).(+c) = (.)+(.c) élément neutre +0 =. = élément sornt + =.0 = 0 complémentire + =. = 0 OU ET involution = idempotence + =. = sorption + =.(+)= sorption + = +.( + ) = consensus c + c = + c +. + c. + c = +. + c De Morgn + =.. = + + ( )( )( ) ( )( ) et n i = n i = i = i ycée Vun, Brest clsse de PTSI 4

5 .3 es systèmes complets d opérteurs logiques C est un ensemle à prtir duquel il est possile de construire toutes les fonctions logiques : cet ensemle est ppelé une se des opérteurs logiques. Il permet de construire l structure d lgère de Boole. On vu que {NON,ET,OU} répond à cette définition. Il est possile de montrer que les ensemles suivnts répondent églement à l définition des ses d opérteurs : {NON,ET}, l opérteur OU s exprime en effet vec ces deux opérteurs : + =.. {NON,OU}, l opérteur ET s exprime en effet vec ces deux opérteurs :. = +. Il existe ussi deux opérteurs courmment utilisés dns l prtique industrielle qui possède chcun seul une structure de se d opérteurs ; il s git des opérteurs NOR (NON OU) et NAND (NON ET) définit de l mnière suivnte : opérteur NOR opérteur NAND D près les lois de De Morgn, on : + =. et. = + Il n y plus de symolique utilisée pour ces opérteurs.4 dulité Soit une fonction inire f. expression dule de f est otenue en interchngent les opérteurs ET et OU d une prt et les vleurs 0 et d utre prt dns son expression. Cette dulité découle des propriétés de symétrie de l lgère inire pr rpport ux fonctions ET et OU d une prt, ux vleurs 0 et d utre prt. Exemples : ( + ) = pour expression dule : + ( ) = + 0 = pour expression dule :. =.5 forme décimle d une fonction logique Une fonction logique peut être définie à l ide de vleurs décimles pr l intermédiire du codge inire nturel. Pr exemple, on : 0 le mot inire xxx 3 = 0 est représenté en déciml pr d = = 6. Toute fonction logique peut lors s écrire comme : ycée Vun, Brest clsse de PTSI 5

6 somme des étts pour lesquels elle vut que l on noter : f = ( d,...,d p ) produit des étts pour lesquels elle vut 0 que l on noter : f = ( d,...,d p ) On ffecte un «poids» constitué d une puissnce croissnte (p ) de à l vrile plcée à l plce p à prtir de l droite dns l prenthèse représentnt l fonction. Une vrile complémentée vut 0, une vrile non complémentée vut sont poids inire (pr exemple, une vrile plcée en troisième plce vut 4, une vrile en 5 ème plce vut 6). Exemples : f (,,c ) c + c + c+ c+ = s écrit f (,,c ) = ( 0,, 3, 5 6) c (,, )) ( )( )( ) f c c c c , = s écrit (,,c ) = ( 4, 7) f., Cette écriture décimle est ssez prtique, puisqu elle diminue les risques d erreur d écriture cr il est plus fcile d oulier un trit sur une vrile que de trnsformer un 4 en 6 pr exemple ; en outre, comme on le verr plus loin lors de l simplifiction des fonctions logiques, l utilistion du tleu de Krnugh à l ide de cette représenttion se révèle ssez commode. 3 représenttion des fonctions logiques usuelles 3. es logigrmmes e tleu ci près donne les représenttions schémtiques normlisés des opérteurs logiques usuels. 3 ème colonne fournit l représenttion de l norme interntionle IEC (Interntionl Electrotechnicl Commission) dont les éléments sont ppelés des portes logiques et le 4 ème colonne celle de l norme méricine MI STD 806 B. Opérteur Fonction logique Norme IEC Norme méricine OUI = NON = ET = & OU = + NAND = = + & ycée Vun, Brest clsse de PTSI 6

7 NOR = + = OU exclusif IDENTITE = = + = = = + = Remrque : l ssocition d opérteurs logiques pour représenter une éqution logique n est ps unique. Exemple à triter : Représenter sous forme de logigrmme (schém de portes logiques) l éqution logique ci dessous : 3. es circuits à contcts et relis = + c + d représenttion à contcts se rélise vec les deux méthodes dont les éléments de se sont indiqués ci près : contct trvil x x contct repos x x représenttions normlisée simplifiée De plus, un relis est un élément électromécnique comportnt : un circuit de commnde muni d une oine d excittion, et de file niveu d énergie, un circuit d utilistion indépendnt du précédent comportnt un ou plusieurs contcts repos ou trvil ou repos/trvil, et de niveu d énergie plus élevé que le précédent. e schém ci contre précise l structure du relis. Ici, nous n vons considéré qu un seul contct repos/trvil rélisé pr trois sorties R, T, M comportnt un point milieu M. e fonctionnement est donné pr : orsque l oine n est ps excitée, les contcts sont dns l sitution repos : R est fermé, T est ouvert. Qund l oine est prcourue pr un cournt, l Circuit de commnde Circuit d utilistion R M T ycée Vun, Brest clsse de PTSI 7

8 lme métllique scule sur le contct T et le contct R est ouvert. Si l on ssocie une vrile inire x u contct repos et une vrile inire y u contct trvil, on peut représenter le fonctionnement du relis pr le tleu : commnde contcts vriles inires exemple de schém simplifié d une fonction à l ide de contcts : Détermintion des équtions logiques à prtir du schém méthode des chemins repos trvil x y I = 0 fermé ouvert 0 I 0 ouvert fermé 0 c c f(,,c) P l éqution du circuit : d c Q (,,c,d ) = c + d + cd f + On prend en compte tous les chemins possiles pour ller de P à Q (nlyse pr les ). On otient l ère forme cnonique (voir suivnt). Ici, il y 4 chemins possiles, ce qui donne méthode des coupures P d c Q On prend en compte toutes les coupures possiles du circuit entre P et Q et grntissnt les ouvertures des contcts (nlyse pr les 0). On otient l seconde forme cnonique. éqution s écrit mintennt : (,,c,d ) = ( + )( + d )( + c + d )( c ) f + 4 es formes cnoniques 4. Première forme cnonique : somme de produits cnonique d une fonction cs d une fonction d une vrile ycée Vun, Brest clsse de PTSI 8

9 On considère une fonction f de l vrile inire x. Soit f() l vleur de l fonction qund x = et f(0) s vleur qund x = 0. On vérifie isément que l on : f ( x) = x f ( ) + x f ( 0) cs d une fonction de deux vriles On considère une fonction de deux vriles inires x et y. A prtir du cs précédent, on en déduit l reltion : f ( x,y ) = x y f (, ) + x y f ( 0, ) + x y f ( 0, ) + x y f ( 0, 0) es termes f(0,0), f(,0), f(0,) et f(,) représentent les 4 vleurs que peut prendre l fonction pour les étts d entrées correspondntes Toute fonction de vriles inires peut s écrire comme l expression précédente, c est à dire comme l somme de produit de monôme. Cette expression constitue l première forme cnonique de toute fonction logique de deux vriles. On peut étendre à un nomre quelconque de vriles ; si n est le nomre de vriles, l forme cnonique comporter n produits de monômes. exemples : fonction ET : f(0,0) = 0, f(,0) = 0, f(0,) = 0 et f(,) =, on en déduit le résultt : On développé l fonction pr les f(x,y) = x.y fonction OU exclusif : f(0,0) = 0, f(,0) =, f(0,) = et f(,) = 0, on en déduit le résultt : f(x,y) = x y + x y 4. Seconde forme cnonique : produit de sommes cnonique d une fonction cs d une fonction d une vrile On considère une fonction f de l vrile inire x. Soit f() l vleur de l fonction qund x = et f(0) s vleur qund x = 0. On vérifie isément que l on : ( x) = ( x + f ( 0) ) ( x f ( ) ) f + cs d une fonction de deux vriles On considère une fonction de deux vriles inires x et y. A prtir du cs précédent, on en déduit l reltion : ( x,y ) = ( x + y + f ( 0, 0) ) ( x + y + f ( 0, ) ) ( x + y + f ( 0, )) ( x + y f (, )) f + ycée Vun, Brest clsse de PTSI 9

10 es termes f(0,0), f(,0), f(0,) et f(,) représentent les 4 vleurs que peut prendre l fonction pour les étts d entrées correspondntes Toute fonction de vriles inires peut s écrire comme l expression précédente, c est à dire comme le produit de sommes de monôme. Cette expression constitue l seconde forme cnonique de toute fonction logique de deux vriles. On peut étendre à un nomre quelconque de vriles ; si n est le nomre de vriles, l forme cnonique comporter n produits de monômes. exemples : fonction ET : f(0,0) = 0, f(,0) = 0, f(0,) = 0 et f(,) =, on en déduit le résultt : On développé l fonction pr les zéros. f(x,y) = ( x + y ) ( x + y ) ( x + y ) fonction OU exclusif : f(0,0) = 0, f(,0) =, f(0,) = et f(,) = 0, on en déduit le résultt : x + y x + y f(x,y) = ( ) ( ) 5 Méthodes de simplifiction des fonctions logiques Une fonction peut être représentée pr plusieurs expressions lgériques différentes mis équivlentes. Nous llons ppliquer deux méthodes outissnt à «minimiser» les expressions des fonctions logiques. 5. méthode lgérique Elle repose sur une ppliction stucieuse des propriétés lgériques des vriles inires. On étudie l méthode sur un exemple d une fonction de 4 vriles,, c et d. f,,c,d =, 5, 7, 9,,, 4, 5 Soit l fonction : ( ) ( ) Écrite sous forme cnonique, on otient : (,,c,d ) = cd + cd + cd + cd + cd + cd + cd cd f Simplifions cette expression : * (+) donne cd * (3+8) donne cd * (+4) donne cd * (5+8) donne cd * (6+7) donne d f = d où le résultt : (,,c,d ) cd cd cd cd d ycée Vun, Brest clsse de PTSI 0

11 On pourrit, en simplifint d une mnière différente, montrer que : ou (,,c,d ) = cd + cd + d d f + (,,c,d ) = cd + d + d cd f + 5. méthode des tleux de Krnugh 5.. représenttion grphique des fonctions ooléennes En lgère clssique, il est souvent très prtique de représenter une fonction pr un grphe qui donne en lui même un grnd nomre de renseignements sur cette fonction. On cherché à en fire utnt vec les fonctions ooléennes. Seulement, les fonctions ooléennes ne sont ps continues, elles ne peuvent donc se représenter que pr un nomre fini de points ( n pour n vriles). Il suffir de porter sur chcun de ces points, «imges» d une cominison, des vriles de l fonction, l vleur de l fonction, c est à dire 0 ou. Soit l fonction de vriles : f = +, on peut fire un grphe dns un pln, et définir insi les 4 points imges des 4 cominisons possiles sur et ; on conviendr, pr exemple de mettre une croix dns les cs où f = et un cercle dns le cs où f = 0. Axe des f f = 0 pour = pour + + vriles. 0 Axe des On peut «grndir» chcun de ces points de fçon à fire une cse crrée dns lquelle on écrir 0 ou et l on otient un tleu de Krnugh pour 0 0 c x =0 = c= = x =0 c=0 Avec 3 vriles, il vient nturellement à l esprit de prendre un troisième xe et de trviller dns l espce à 3 dimensions. Chque cse devennt un cue, chque «plque» de 4 petits cues ynt une des 3 vriles dns le même étt : Comme il n est ps très commode d exploiter une figure sptile, nous llons repsser dns le pln, en «déplint» ce cue suivnt, pr exemple, l xe x x. Nous otenons le tleu de Krnugh pour 3 vriles. ycée Vun, Brest clsse de PTSI

12 x c c= c=0 c x =0 = = =0 =0 = Nous voyons que l première et l dernière colonne, ien que séprées dns le tleu pprtiennent en fit à l même plque de 4 petits cues ( = 0) et ont donc une vrile commune. On dit qu elles sont djcentes. Elles le sont réellement dns l espce. Cel n pprît ps directement sur le tleu. Au delà de 3 vriles, il fut théoriquement trviller dns des espces à 4, 5, 6,... dimensions pour voir le grphe de l fonction. remrque fite sur le déplige pour isser le nomre de dimensions reste vrie quelque soit le nomre de vriles. Nous otenons des tleux de Krnugh à 4, 5, 6,... vriles O + + O 0 x x x x 0 O + + O Si l on trce le symétrique pr rpport à x x, on joute une dimension donc une vrile e. prtie guche ser le «rez de chussée» e = 0, l prtie droite le «er étge». es conditions d djcence notées restent les mêmes. Il s en joute d utres. Cette fçon de considérer le tleu de Krnugh comme le grphe de l fonction ooléenne, permet de comprendre pourquoi d une prt les cses cerclées pr exemple sont djcentes, et pourquoi, d utre prt, le codge se fit à l ide du code Gry. es tleux de Krnugh sont utilisés pour l simplifiction des équtions. 5.. Pssge réciproque d une représenttion lgérique à une représenttion grphique Chque cse d un tleu de Krnugh représente un point de l fonction ooléenne, c est à dire une cominison et une seule des vriles. Pour ce point, on inscrir dns l cse le signe 0 ou selon l vleur prise pr l fonction. Puisque x x ycée Vun, Brest clsse de PTSI

13 chque point représente une cominison exclusive des vriles on peut écrire cette cominison pr une opértion ET portnt sur toutes les vriles, sous forme directe ou complémentée. Exemple : l cse dns lquelle = 0, =, c = 0, et d = s écrir «minterme»). cd (c est un Pour otenir l représenttion lgérique de l fonction, il suffit de fire l somme logique (OU) de toutes les cominisons donnnt un à l fonction. Exemple : f = cd + cd + cd fonction est donc ien écrite sous forme lgérique. Mis cette forme une prticulrité : c est une somme de produits, c est à dire de monômes ynt toutes les vriles qui y figurent. On envisge quelquefois l deuxième forme du tleu de Krnugh conduisnt à l seconde forme cnonique. Pour représenter l exemple ci dessus, l cse = 0, =, c = 0, d = s écrir + + c + d. fonction s écrir lgériquement en fisnt le produit de toutes les cses où f =. Exemple : f = ( + + c + d )( + + c + d )( + + c + d ) Méthode de simplifiction : Règle : On peut regrouper k cses djcentes pour lesquelles l fonction ooléenne de n vriles vut correspondnt à un monôme qui peut s écrire en fonction de n k vriles. Il fut respecter les symétries du tleu. Une expression lgérique irréductile d une fonction f peut être otenue à prtir de son tleu de Krnugh en effectunt l somme de tout ensemle de monômes, qui vérifie les propriétés suivntes : l union des cses couvertes pr chcun des monômes est égle à l ensemle des cses de vleur (dns le cs contrire l expression otenue n est ps équivlente à f puisqu il existe u moins une cse pour lquelle l fonction prend une vleur différente de l somme), si un monôme est supprimé lors l propriété précédente n est plus vérifiée (cette condition signifie qu ucun monôme n est redondnt), pour ucun monôme considéré, il n existe de monôme qui l inclus (cette condition signifie que les monômes sont les plus grnds possiles). Remrques : il fut fire les regroupements les plus «gros» possiles, fin d otenir les monômes les plus petits possiles. Il fut églement fire le minimum de regroupement. Exemples d ppliction : simplifiction de l fonction f = c + c + c + c ycée Vun, Brest clsse de PTSI 3

14 c e regroupement des 4 cses djcentes permet de «supprimer» les vriles chngent de vleurs : ici, on peut supprimer et c. Puisque = 0 pour ces 4 cses, il vient : f = simplifiction de l fonction f = cd + d + cd + d + cd cd regroupements donnnt l simplifiction : f = cd + d + + d. Terminons ce prgrphe, en ffirmnt, pr ppliction de l dulité des opértions ET et OU, que tout ce qui été fit pour les expressions de sommes de produits peut être trnsposé pour les expressions de produits de sommes en regroupnt les zéros du tleu de Krnugh (et en n oulint ps de trnsformer les 0 en et les en 0). Si l on regroupe les zéros de l exemple précédent, on trouve : ( + d )( + d )( + c ) f = es fonctions ooléennes incomplètes Certines fonctions ne sont ps spécifiées pour toutes les cominisons des vriles ou certines cominisons de vriles sont physiquement impossile. Pour ce dernier cs, prenons l exemple d un chriot se déplçnt entre deux fins de course notés et : il est évident que l cominison de vrile = est physiquement interdite. On ne peut rien dire pour cette cominison de vriles qunt à l étt du chriot. On n ffecte ucune vleur de sortie à cet étt. Il y indifférence de l sortie vis à vis de cette cominison de vriles. Dns le tleu de Krnugh lié à l fonction ooléenne trduisnt l étt du chriot, on indique φ dns l cse =. Si l on s intéresse à l fonction f trduisnt l étt de fin de course du chriot, son tleu de Krnugh donne : 0 0 φ En regroupnt d près les règles de simplifiction, et en prennt φ =, on otient : ycée Vun, Brest clsse de PTSI 4

15 6 e codge de l informtion 6. es systèmes de numértion f = +, et non ps f = + Une se B de numértion est un ensemle de B symoles (B entier exprimé en se 0). es 3 systèmes de se utilisés en sciences industrielles sont les ses 0, et 6 ppelées respectivement décimle, inire et hexdécimle (on utilise prfois l se 8 ppelée se octle). es reltions de chngement de se sont données pr : pour un nomre entier : ( ) ( )( ) ( B ) pour un nomre non entier : ( ) ( )( ) ( B ) on note lors : ( B ) ( n n ) ( B) N B n i i B B i = 0 + i B i B i = = N =... 0 Q = B exemple : expression d un nomre déciml en se N n i 0 = i i = 0 ( ) ( 0) à titre d exercice, montrer que : ( 0) = ( 7) et ( 73) = ( 0000) 0 0 e système hexdéciml comporte 6 symoles : 0,,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F. On pr exemple ( ) ( ) EDF e codge de l informtion =. e codge est un élément essentiel de l gestion des flux trversnt les systèmes ; on doit coder les informtions dns de multiples domines, pr exemple, pour le tri du courrier, pour l commnde numérique des mchines outils, pour l utilistion de l INTERNET pr le protocole TCP/IP pr exemple,... Cette codifiction utilise essentiellement l logique inire, mis il existe d utre codifiction sée sur des logiques de type floue, pr exemple. Nous présentons dns l suite des codges très courmment utilisés dns l industrie. 6.. e code inire nturel Nous l vons déjà présenté u.. ycée Vun, Brest clsse de PTSI 5

16 Il se prête prfitement u tritement des opértions rithmétiques. Il fut cependnt une grnde quntité de its pour exprimer un nomre dès que celui ci est élevé : un mot inire de 4 its ne pourr représenter qu un nomre compris entre 0 et 5 (c est un qurtet). Un mot inire de 8 its ne pourr représenter qu un nomre compris entre 0 et 55 (c est un octet). Il fudr un mot de 0 its pour exprimer un nomre compris entre 0 et 03 (c est un kilo). Un utre inconvénient du code inire nturel est qu il peut introduire des erreurs lors du codge de grndeurs vrint de fçon ordonnée. Entre deux codes successifs, plusieurs its pourront lors être menés à chnger simultnément (pr exemple entre 0 et 0, its chngent simultnément, et physiquement, c est impossile, il y forcément une trnsition générnt un code prsite 00 ou pouvnt entrîner une erreur). 6.. e code inire réfléchi (ou code GRAY) Ce code déjà été présenté u.. Il pllie l inconvénient que nous venons de signler, cr un seul it chnge de vleur qund on psse d un nomre déciml u suivnt. e pssge du code inire nturel u code Gry, est donné pr l reltion : B B G = 5 0 = 00 =, on en tire = 0 = 0 = G exemple : ( ) ( ) B e code inire réfléchi est utilisé dns les codeur solu (roue codeuse) e code DCB (Déciml Codé Binire) On code chque chiffre selon son équivlent inire : , 000, 000,..., 9 00 exemple : ( ) ( ) = DCB Il est utilisé notmment dns le codge de l ffichge numérique e code p prmi n e code p prmi n est un code à n its dont p its sont à et n p its sont à 0. e nomre de cominison répondnt à cette définition est égl à C n p. Ce code est uto correcteur cr l lecture du code peut être ssociée à l vérifiction du nomre de et de 0 dns l informtion et permet insi l détection d une éventuelle erreur. ycée Vun, Brest clsse de PTSI 6

17 Ce code est personnel cr il existe C p n! rrngements de l codifiction ce qui permet l personnlistion du code. Exemple : le code 3 prmi 5 permet postl. 3 C 5 = 0 cominisons est utilisé dns le code 6..5 e code ASCII (Americn Stndrd Code for Informtion Interchnge) C est un code lphnumérique comportnt 7 its d informtions et it de prité. Il est utilisé en prticulier pour les échnges d informtions entre une unité centrle (UC) et des périphériques en informtique. Il permet le codge de 8 informtions différentes. e it de prité pour rôle d voir l vleur 0 ou fin que le codge sur 8 its des informtions contienne un nomre pir de. Actuellement le code ASCII est sur 8 its, le it de prité est enlevé. Un utre code est envisgé, cr le code ASCII est devenu insuffisnt pour les nouveux microprocesseurs extrêmement performnts (technologies Pentium IV, Celeron, Athlon, Duron,...). Il existe, ien entendu, de nomreux utres types de codge. e pssge d un code à un utre s ppelle le trnscodge. e sviez vous? e microprocesseur été inventé en 97 pr Ted Hoff à Snt Clr (Clifornie), dns une région qui ser connue plus trd, sous le nom de Silicon Vlley. Georges BOOE ycée Vun, Brest clsse de PTSI 7

18 E CODE ASCII Americn Stndrd Code for Informtion Interchnge Tle en codge hexdéciml HEX (DE) SP P ` p (SOH) DC! A Q q (STX) DC «B R r 3 (ETX) DC3 # 3 C S c s 4 (EOT) DC4 $ 4 D T d t 5 (ENQ) (NAK) % 5 E U e u 6 (ACK) (SYN) & 6 F V f v 7 BE (ETB) 7 G W g w 8 (BS) CAN ( 8 H X h x 9 (HT) EM ) 9 I Y i y A (F) SUB * : J Z j z B (VT) ESC + ; K [ k { C (FF) ( ), < \ l D (CR) ( ) = M ] m } E SO ( ). > N ^ n ~ F SI ( ) /? O _ o Exemple d utilistion : lettre G code ASCII : 47 lettre k code ASCII : 6B ycée Vun, Brest clsse de PTSI 8

19 e code postl codé pr code à rres COURRIER A EXPEDIER YCEE GENERA ET TECHNOOGIQUE VAUBAN Rue de Kerichen BP BREST CEDEX 9 COURRIER TRAITE PAR A POSTE 3..0_h YCEE GENERA ET TECHNOOGIQUE VAUBAN Rue de Kerichen BP BREST CEDEX Code utilisé pr l poste : code 3 prmi 5 Opértion de reconnissnce optique de crctères pr tritement OCR, puis trduction en code à rres sous l forme de âtonnets fluorescents imprimés sur le courrier ycée Vun, Brest clsse de PTSI 9

20 Trois codes à rres Code numérique très dense, mis dont l moins onne fiilité intrinsèque olige à l'utiliser soit en longueur fixe, soit vec une clé de contrôle (voir nnexe). e code prmi 5 entrelcé utilise l même codifiction des crctères que le code prmi 5, mis en entrelçnt les crctères deux pr deux. e premier crctère est codé vec les rres, tndis que le deuxième utilise les espces de l même zone, et insi de suite. es chiffres de rng impir sont donc codés vec les rres, tndis que les chiffres de rng pir sont codés vec les espces. conséquence est que le code prmi 5 entrelcé encode toujours un nomre pir de crctères. Ce code utilise pour chque crctère cinq éléments, dont sont lrges, d'où son nom. Comment clculer l longueur d'un symole en code prmi 5 entrelcé? formule est l suivnte pour un symole sns clé de contrôle : ongueur = (N(R+3)+6+R)X Où l longueur représente l distnce de l première rre à l dernière, mrges non comprises. N = le nomre de crctères utiles R = le rtio rres lrges/rres étroites X = épisseur des rres étroites. Code numérique très dense spécifié pr le GENCOD pour les pplictions de l grnde distriution. es symoles EAN codent ou 8 chiffres, le cs le plus norml étnt crctères (toujours numériques). En plus de ces crctères, est toujours encodée une clé de contrôle. Pour certines pplictions prticulière de ce code, des crctères supplémentires sont joutés à l droite du symole de se, séprés de celui ci pr un espce (identifiction des journux et mgzines). e code EAN utilise une technique de décodge prticulièrement dptée ux symoles imprimés sur les emllges pr les moyens d'imprimerie trditionnels. Aux USA, ce code correspond u code UPC. Pour permettre une lecture omnidirectionnelle plus isée, le symole peut être décodé en deux moitiés puis reconstitué: insi, chque moitié peut fcilement être plus hute que lrge. Code lphnumérique hute densité, permettnt comme le code 93 de coder le jeu ASCII complet. Deux densités différentes sont otenues suivnt que les crctères encodés sont numériques ou lphnumériques. Une clé de contrôle est toujours utilisée. Comme les utres codes hute densité, le code 8 est un code continu. Chque crctère est symolisé u moyen de onze modules (suf le crctère de déut et de fin qui en comprends treize). Chque crctère est composé de 3 rres et 3 espces (4 et 3 pour le crctère de déut/fin). es rres représentent toujours un nomre pir de modules et les espces un nomre impir. e code dit "EAN 8" est en fit un code 8, mis dns lequel un crctère de fonction (Fonction ) est plcé en première position du messge. Ce crctère, lu pr le lecteur, n'est ps trnsmis u système. Il permet u lecteur de s'ssurer que le symole lu est un EAN 8 et non un 8 stndrd. Comment clculer l longueur d'un symole en code 8? formule est l suivnte: ongueur = X(N+35) Où l longueur représente l distnce de l première rre à l dernière, mrges non comprises. N = le nomre de crctères utiles. N représente soit un crctère lphétique (lettre ou signe spécil), soit deux crctères numériques (chiffres de 0 à 9). es crctères de fonction éventuellement nécessire doivent être joutés ux crctères utiles pour le clcul de l longueur. X = épisseur des rres étroites ycée Vun, Brest clsse de PTSI 0

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