NUMERATION ET CODAGE DE L INFORMATION

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1 NUMERATION ET CODAGE DE L INFORMATION La nécessité de quantifier, notamment les échanges commerciaux, s'est faite dés la structuration de la vie sociale. Les tentatives de représentation symbolique de quantités furent nombreuses (bâtons, chiffres romains, etc..) avant que ne s'impose la numération arabe, universellement adoptée étant donné sa bonne capacité à traiter les calculs courants. 1. PRINCIPE DE NUMERATION La numération traditionnelle permet de représenter un nombre, par la juxtaposition de symboles, appelés chiffres, appartenant à un ensemble. Le nombre de symboles utilisés correspond à la base de numération. Par exemple dans le système décimal, ce sous-ensemble contient 10 symboles différents, à savoir : { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } Lorsqu'un nombre est écrit, la position respective des chiffres ( rang ) détermine leur poids. Ainsi dans le système décimal, nous avons les poids mille, cent, dix, unité, etc... Exemple : = 4 x x x x 1 Rangs Poids des rangs Chiffre de poids le plus fort faible A retenir : Le poids ( p ) d'un symbole, dans une juxtaposition, est lié à la base de numération et au rang ( r ) qu'occupe le symbole par la relation suivante : p = base r Les bases de numérations les plus utilisées sont les suivantes : Base 2 ou système de numération binaire Base 10 ou système de numération décimale Base 16 ou système de numération hexadécimale 2. LES SYSTEMES DE NUMERATION ET LEUR BASE 2.1 SYSTEME BINAIRE C'est une des bases les plus utilisées en électronique. L'ensemble des symboles est le suivant : { 0, 1 } Chaque symbole est appelé bit ( binary digit ) et on distingue dans une juxtaposition les bits des rangs extrêmes par les superlatifs et abréviations suivantes : Le bit de poids le plus fort (situé le plus à gauche) est appelé MSB (most significant bit) Le bit de poids le plus faible (situé le plus à droite) est appelé LSB (less significant bit ) 1ère STI NUMERATION ET CODAGE DE L'INFORMATION Page 1

2 Notation : Afin de distinguer une juxtaposition de symboles appartenant à cette base d'une autre nous utiliserons les notations suivantes. (01001) 2 ou encore % SYSTEME DECIMAL L'ensemble des symboles est le suivant : { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } Notation : Afin de distinguer une juxtaposition de symboles appartenant à cette base d'une autre nous utiliserons la notation suivante. (254) SYSTEME HEXADECIMAL L'ensemble des symboles est le suivant : { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F } Les symboles A, B, C, D, E et F représentent respectivement les nombres de 10 à 15. Notation : Afin de distinguer une juxtaposition de symboles appartenant à cette base d'une autre nous utiliserons les notations suivantes. (0A1C) 16 ou (0A1C) H ou $ 0A1C ou 0x01AC 3. NOTION DE COMPTAGE DANS LES DIFFERENTES BASES Par analogie avec le système décimal, nous pouvons compter dans les différentes bases. Complétons l'ensemble des quatre colonnes jusqu'aux juxtapositions indiquées. Base 10 Base 2 Base ère STI NUMERATION ET CODAGE DE L'INFORMATION Page 2

3 4. CHANGEMENT DE BASE Le système de numération de référence est le système décimal, or en électronique le traitement de l'information se fait généralement dans les systèmes binaire ou hexadécimal, d'où la nécessité de pouvoir exprimer le même nombre dans des bases différentes. 4.1 CONVERSION D'UN NOMBRE DE BASE X EN BASE 10 ( X { 2,16 } ) Pour convertir un nombre écrit en base x en son équivalent en base 10, il suffit d'effectuer la somme des produits ( symboles x poids ) de la juxtaposition initiale. Exemple de conversion binaire en décimal Procédons à la conversion de (101011) 2 en base poids x x x x x x 2 0 = = 43 Résultat : (101011) 2 = (43) 10 Exemple de conversion hexadécimal en décimal Procédons à la conversion de (97D) 16 en base D 9 x x x 16 0 = 9 x x x 1 = 2429 Résultat : (97D) 16 = (2429) CONVERSION D'UN NOMBRE DE BASE 10 EN BASE Y ( Y { 2,16 } ) Pour convertir un nombre écrit en base 10 en une écriture en base y, on procède par divisions entières successives du nombre à convertir par la base y, jusqu'à obtenir un quotient nul. La juxtaposition s'obtient en écrivant le dernier reste au rang le plus élevé, puis l'avant dernier à sa droite, ainsi de suite jusqu'au premier reste obtenu dans la division, qui occupera le rang " 0 ". Exemple de conversion décimal en binaire Procédons à la conversion de (25) 10 en base L.S.B M.S.B 1 0 quotient nul Résultat : (25) 10 = (11001) 2 1ère STI NUMERATION ET CODAGE DE L'INFORMATION Page 3

4 Exemple de conversion décimal en hexadécimal Procédons à la conversion de (1255) 10 en base E Résultat : (1255) 10 = (4E7) CONVERSION D'UN NOMBRE DE BASE X EN BASE Y ( X 10 ET Y 10 ) Pour convertir une écriture en base x en son équivalent en base y, on procédera en deux étapes : Première étape : Convertir l'écriture initiale en base 10. Deuxième étape : Convertir le nombre obtenu en base y. Exercice : Convertir (35) 8 en base 16 1ère STI NUMERATION ET CODAGE DE L'INFORMATION Page 4

5 5. NOTION DE COMPLEMENT D'UN NOMBRE BINAIRE 5.1 COMPLEMENT A 1 D'UN NOMBRE BINAIRE Ce complément est également appelé complément restreint DEFINITION Le complément à 1 d'un nombre binaire N écrit à l'aide de n bits est le nombre N, tel que : N = ( 2 n - 1 ) 2 - N N + N = ( 2 n - 1 ) CALCUL DU COMPLEMENT A 1 D'UN NOMBRE Pour calculer le complément à 1 d'un nombre binaire, il suffit de complémenter (ou inverser) chaque bit de ce nombre. Exemple : Calculons le complément restreint du nombre B = B = COMPLEMENT A 2 D'UN NOMBRE BINAIRE Ce complément est également appelé complément vrai DEFINITION Le complément à 2 d'un nombre binaire N écrit à l'aide de n bits est le nombre N V, tel que : N V = 2 n - N N + N V = 2 n CALCUL DU COMPLEMENT A 2 D'UN NOMBRE Pour calculer le complément vrai d'un nombre binaire N, on procède de la façon suivante : Calculer le complément à 1, N, de N Ajouter 1 à N Ainsi : N V = N + 1 Exemple : Calculons le complément vrai du nombre A = A V = A ère STI NUMERATION ET CODAGE DE L'INFORMATION Page 5

6 6. REPRESENTATION DES NOMBRES SIGNES EN BINAIRE Il existe 3 conventions pour exprimer les nombres signés dans le système binaire : Représentation " module + signe " Représentation en complément à 1 Représentation en complément à REPRESENTATION " MODULE + SIGNE " C'est la solution la plus simple. Un bit est ajouté au module pour la représentation du signe. Généralement, on utilise la convention suivante : " 0 " <===> + " 1 " <===> - Le bit de signe est placé à gauche du module. Remarque : Ce système, intéressant par sa simplicité, a pour inconvénient de présenter deux représentations pour le zéro. 6.2 REPRESENTATION D'UN NOMBRE DECIMAL SIGNE A EXPRIMER DANS UN FORMAT DONNE A L'AIDE D'UNE DES REPRESENTATIONS COMPLEMENT A 1 OU A 2 Deux cas peuvent se présenter : 1 er cas : Le nombre décimal est positif Il suffit alors de convertir ce nombre dans le système binaire, en s'assurant que le bit le plus à gauche est égal à " 0 ". Si ce n'est pas le cas, il faut écrire ce nombre dans un format supérieur (Formats utilisés 4, 8 ou 16 bits), en rajoutant des zéros à gauche du nombre. 2 nd cas : Le nombre décimal est négatif Dans un premier temps, il faut convertir la valeur absolue du nombre en binaire dans un format standard, en s'assurant que le bit le plus à gauche est égal à " 0 ". Si ce n'est pas le cas, il faut passer dans un format supérieur. Puis, il suffit de calculer le complément à 1 ou à 2 de ce nombre suivant la représentation demandée. Remarque : Dans le cas, où le nombre décimal signé est à exprimer en hexadécimal. On exprime d'abord ce nombre en binaire avec la représentation demandée sur un format de 4, 8 ou 16 bits, puis on convertit le nombre binaire obtenu en hexadécimal. 6.3 TRADUCTION D'UN NOMBRE BINAIRE SIGNE EXPRIME DANS UNE REPRESENTATION COMPLEMENT A 1 OU A 2 EN SON EQUIVALENT DECIMAL Pour trouver son équivalent décimal, il faut en premier lieu regarder le bit le plus à gauche qui nous indique le signe de ce nombre. * 1 er cas : Le bit de signe est égal à " 0 " Par conséquent, le nombre binaire exprimé à l'aide d'une des représentations est un nombre positif. Pour trouver son équivalent décimal, il suffit de convertir le nombre binaire en base dix, et lui attribuer le signe +. 1ère STI NUMERATION ET CODAGE DE L'INFORMATION Page 6

7 * 2 nd cas : Le bit de signe est égal à " 1 " Le nombre binaire, exprimé à l'aide d'une de ces représentations, correspond alors à un nombre négatif. Pour trouver son équivalent décimal, on procédera de la façon suivante suivant la représentation utilisée : Représentation en complément à 1 Représentation en complément à 2 Inversion de chaque bit du nombre Conversion du nombre binaire obtenu dans le système décimal Le nombre décimal obtenu correspond à la valeur absolue du nombre négatif recherché Soustraire 1 au nombre binaire Inversion de chaque bit du nombre Conversion du nombre binaire obtenu dans le système décimal Le nombre décimal obtenu correspond à la valeur absolue du nombre négatif recherché Remarque : Bien souvent, le nombre signé est exprimé en hexadécimal avec une représentation en complément à 1 ou à 2. Dans ce cas là, il faudra préalablement convertir le nombre hexadécimal en binaire, puis suivre la démarche proposée précédemment. 7. CODAGE DES INFORMATIONS Le codage est une opération qui établit une correspondance entre les éléments de deux ensembles. A un nombre donné correspond une combinaison binaire appelée mot-code. L'ensemble des mots-code forme le code. Dans tout système électronique, quel qu'il soit, le traitement des informations ne peut se faire sans avoir préalablement codées celles-ci. Suivant les types d'applications, plusieurs codes sont utilisés. 7.1 LE CODE BINAIRE NATUREL C'est le code qui est utilisé le plus souvent en électronique numérique. Il est issu du système binaire et peut s'écrire sur un nombre indéfini de bits. Ce code s'établit de la façon suivante : comptage en base 2 et référence à l'écriture décimale ( voir 3 ) périodicité des bits suivant leur poids Illustration : Le code binaire naturel sur 3 bits s'établit ainsi Nombre décimal poids Nous retiendrons : Avec n bits, on code 2 n nombres. 1ère STI NUMERATION ET CODAGE DE L'INFORMATION Page 7

8 7.2 LES CODES DECIMAUX Les codes décimaux sont utilisés pour la représentation des chiffres du système décimal. Ils contiennent donc dix (10) mots-code. Parmi ces codes, les plus utilisés sont : Le code DCB ( ou encore le code BCD ) Le code Aïken Le code Excess LE CODE DCB ( BCD : BINARY CODED DECIMAL ) Il se nomme ainsi car un nombre décimal codé à l'aide de ce code est alors désigné sous le vocable Décimal Codé Binaire. On le nomme également code , en raison de l'agencement des poids. Le code DCB contient 10 mots-code, appelés tétrades ou quartets, qui sont la traduction en binaire sur 4 bits de chacun des chiffres du système décimal. Chaque élément binaire d'un mot code a un poids comme en binaire. Le bit le plus à gauche a le poids 8, le suivant 4, puis 2, puis 1. Chiffres décimaux Code DCB poids Pour écrire un nombre en code DCB, il suffit de représenter respectivement chaque chiffre du nombre par son mot code DCB. Exemple : Exprimons le nombre (193) 10 en code DCB Résultat : (193) 10 = ( ) DCB Remarque : Le code DCB est souvent utilisé pour le codage des nombres affichés sur une calculatrice. 7.3 CODE A DISTANCE UNITE Si l'on examine les informations à la sortie d'un dispositif de comptage d'objets par exemple, on va trouver la succession des nombres binaires au fur et à mesure que les objets sont détectés. L'instant d'observation par rapport à l'évolution de chacune des informations binaires peut produire des erreurs importantes. 1ère STI NUMERATION ET CODAGE DE L'INFORMATION Page 8

9 1ère STI NUMERATION ET CODAGE DE L'INFORMATION Page 9

10 Entre 7 ( 0111) et 8 ( 1000) tous les éléments binaires changent, mais cette commutation n'est pas forcément instantanée ;on peut avoir par exemple la succession d'état suivante : (0111) (0110) (0100) (0000) (1000) Suivant l'instant d'observation, les résultats sont différents. Pour éviter ce phénomène il suffit de coder chaque nombre de façon que deux nombres successifs diffèrent d'un élément binaire et d'un seul. Le code répondant à cette caractéristique est un code à distance unité. Le code à distance unité le plus fréquemment utilisé est le code de Gray, appelé aussi code binaire réfléchi. Ce code fait partie des codes dit cycliques, qui indique que le passage d'une combinaison à une combinaison voisine ne diffère que sur la valeur d'un seul bit, cette remarque restant valable également sur les combinaisons extrêmes du code. On utilise un tel code pour la réalisation de tableaux de Karnaugh et de dispositifs de comptage d'objets. Obtention de ce code : Si l'on dispose d'un ensemble de 2 n mots réalisant un code de Gray, il est facile d'obtenir un ensemble de 2 n+1 mots respectant le même code. Ce nouvel ensemble est constitué : d'une part des mots-code du code initial, précédés de " 0 " d'autre part des mots-code du code initial, présentés dans l'ordre inverse et précédés de "1". Chiffres décimaux Code binaire naturel Code de Gray ère STI NUMERATION ET CODAGE DE L'INFORMATION Page 10

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