La notation différentielle

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1 IUT Orsa Mesres Psiqes La notation différentielle Cors d 1 er semestre A Cas d ne fonction à ne variable A-I Rappel sr la dérivée On tilise ne fonction f dont la représentation grapiqe est «sans copre» et «sans code» On constrit la sécante Σ à la corbe M d abscisses respectives et + Cette sécante a por coefficient directer On fait tendre vers et on observe qe : a( ) M «glisse» sr la corbe en s approcant de M C f représentant f passant par les points M et f ( + ) f ( ) = Σ torne ator de M en s approcant de la position tangente à C f en M f ( + ) f ( ) a( ) devient lim qi est le coeff directer de la tangente à C f en M On définit alors à la fois la tangente et la dérivée Définitions : Si f est ne fonction définie dans n intervalle contenant, on appelle nombre dérivé f ( + ) f ( ) de f en, le nombre lim s il eiste La fonction qi, à tot de l ensemble de définition de f associe, s il eiste, le nombre dérivé de f est appelée fonction dérivée de f et est notée f ' Lorsqe le nombre dérivé de f en eiste, il est donc noté f '() Si f est ne fonction définie dans n intervalle contenant, et si le nombre dérivé de f en eiste, alors la droite passant par ( ; ( )) est le nombre dérivé est appelée tangente à M f et dont le coefficient directer C f en M Remarqe : Pisqe, avec les notations précédentes on a f '( ) = lim a( ) on pet écrire : a( ) = f '( ) + ε ( ) où lim ε ( ) = Page 37

2 A-II Variation vraie et variation estimée Soit f ne fonction dérivable dans n intervalle contenant et + On appelle variation vraie de f entre les antécédents et + le nombre tel qe : = f ( + ) f ( ) On appelle variation estimée de f entre les antécédents et + le nombre tel qe : = f '( ) Eemple : On tilise la fonction La variation vraie est f ( ) = avec 1 = et =,1 = f + f = = ( ) ( ) (1,1) (1),1 La variation estimée est = f '( ) =,1 =, L intérêt de cette notion de variation estimée est évident por les granders qi évolent en fonction d temps lorsq on vet prévoir la valer por n instant ftr Par eemple, on pet tenter de prévoir la températre en n lie «demain» o tenter de prévoir le cors d $ par rapport à l dans de jors Bien entend, on ne pet prévoir qe ce qi relève d n ftr «proce» c est à dire por des valers de proces de Totes ces prévisions reposent sr l idée «simple» qe d ne part, = f ( + ) f ( ) donne f ( + ) = f ( ) + et qe d atre part, si «est proce de» alors = f '( ) donne f ( + ) f ( ) + f ( ) + f '( ) Il reste à préciser ce qe signifie «est proce de» c est la notion de granders éqivalentes déjà aperçe dans les eercices d capitre, e-bi : Si et si f '( ) est non nl, on a c est à dire lim = 1 On s en assre : Attention : signe qi se lit «éqivalent à» à ne pas confondre avec qi se lit «voisin de» Par eemple, on pet écrire,1 mais jamais,1 Page 38

3 f ( + ) f ( ) a( ) lim = lim = lim f '( ) f '( ) = f '( ) + ε ( ) = + ε ( ) = lim lim 1 1 f '( ) f '( ) A-III Variable «coisie» et variable «mesrée» Dans ne epérience de psiqe, on distinge les variables «coisies» et les variables «mesrées» Par eemple, en mécaniqe on pet coisir la masse accrocée à n ressort et mesrer son allongement en électricité on pet coisir la tension a bornes d n circit et mesrer l intensité qi le traverse Lorsq ne variable est coisie, on admet qe sa variation vraie est égale à sa variation estimée Atrement dit, si est ne variable coisie on a = Evidemment por ne variable mesrée ceci est tot à fait fa Si est ne variable mesrée en fonction de, alors On pet approimativement confondre la notion de variable coisie avec la notion d antécédent por ne fonction et la notion de variable mesrée avec la notion d image por cette fonction A-IV Variable nommée o non-nommée En psiqe, les variables d n pénomène sont tojors mstérieses, voir inconnes Par eemple, on écrit à propos de la résistance d n fil électriqe : r = ρ l, mais de qoi dépend r? S En fait, totes les variables nommées dans cette relation dépendent d atres granders, par eemple de la températre! En matématiqes, lorsq on dit qe f est ne fonction de, on ne risqe pas d être contredit par l epérience alors q en psiqe tote affirmation pet être confirmée o infirmée par l epérience Les psiciens tilisent donc des noms por représenter les RESULTATS prodits par des fonctions dont les variables sont en général non-nommées alors qe les mate tilisent des noms distincts por les FONCTIONS et por les RESULTATS qe prodisent ces fonctions En pensant à la srface d n disqe de raon R, n psicien écrit S = π R et dit qe S est fonction de R Dans ces conditions, S représente à la fois ne fonction et n nombre Por n mate c est difficilement tolérable et cela risqe de provoqer des catastropes En fait on pet tot atant écrire S = π R qe diamètre Et alors si on dérive qe se passe-t-il? S = π R donne S ' π D S = π si R est le raon et D est le 4 = R (en pensant qe R est la variable) D D S = π donne S ' = π = π R (en pensant qe D est la variable) 4 4 Les de résltats sont différents parce qe dans n cas la variable considérée est R et dans l atre cas c est D Et si on ignore qelle est la «bonne» variable on ne pet pas coisir entre les de cas donc on ne pet pas dire qelle est la dérivée! C est por ces raisons qe les psiciens n tilisent pratiqement jamais la notation des dérivées mais q ils tilisent la notation différentielle Page 39

4 A-V La différentielle et ses notations Soit f ne fonction de la variable et posons = f ( ) Dans ces conditions, est ne variable coisie alors qe est ne variable mesrée Lorsqe varie de à +, la variation estimée de, c est à dire, est f '( ) alors qe la variation de est (o bien o encore ) On pet alors écrire = f '( ) ce qi signifie qe la variation estimée de s obtient à partir de la variation de en mltipliant par le coefficient f '( ) : on voit R R apparaître ne fonction linéaire de R vers R telle qe : On notera cette f '( ) fonction df et on l appellera différentielle de f en Rappel : Les fonctions linéaires de R vers R sont les fonctions f telles qe f ( ) = a Elles vérifient de propriétés fondamentales : f ( + ) = f ( ) + f ( ) et f ( k) = k f ( ) 1 1 La représentation grapiqe d ne fonction linéaire de R vers R est tojors ne droite passant par l origine d repère Cas particlier fondamental : Spposons qe f soit l identité c est à dire f ( ) = por tot réel On a alors f '( ) = 1 qel qe soit et par conséqent df ( ) 1 = = Si on tilise la confsion abitelle entre les notations, ici entre f ( ) et, on écrit alors d ( ) = por tot qe l on simplifie en d( ) = pisqe l indice ne sert à rien Ceci montre qe d, qand la variable coisie est, n est rien d atre qe l identité dans R Cas général, retor à la dérivée : Spposons qe f soit ne fonction dérivable telle qe f ( ) = por tot réel f ( + ) f ( ) On a f '( ) = lim = lim = lim Comme on sait déjà qe lim = 1, il ne reste pls qe f '( ) = lim c est à dire : df ( ) lim d ( ) df d f '( ) = ce q on écrit f '( ) = ( ) o bien f '( ) = ( ) d ( ) d d lim d ( ) Cette dernière écritre est donc ne voie por écrire la dérivée d ne fonction qand on ne connaît pas sa variable Comment ça marce? ds si S = π R on écrira = π R o ds = π R dr dr si D S = π on écrira 4 ds D dd = π 4 = π R o ds = π R dd Page 4

5 Les de écritres ne sont pls contradictoires car on sait qe D = R donc dd = dr Attention à bien comprendre qe : d d est la fonction dérivée et d ( ) est l image de por cette dérivée d Une différentielle ne pet s eprimer q en fonction d ne atre différentielle : s il a «d» d n côté d ne égalité, il doit avoir assi «d» de l atre côté Lorsq on sait en qel est constrite la différentielle d ne fonction f il vat mie écrire En résmé : d (o ( ) df pltôt qe df «tot cort» étant fonction de, on écrit = f ( ) et alors : df ) est la fonction linéaire qi mltiplie les variations de par f '( ) Fonction linéaire qi dépend de d = df = f '( ) d ( ) Atre notation tilisée por la fonction linéaire Coefficient Fonction linéaire Identité Si on vet tiliser cette différentielle, on doit l appliqer à ne variation de : ( ) = '( ) ( ) = '( )( ) d trc f d trc f trc ( ) Evidemment cette notation (correcte et complète) est lorde donc elle sera sovent abrégée, donc rende incorrecte, por être rende pls maniable On rencontrera donc les notations : d d d = ' d o d = '( ) d o = ' o '( ) d d = df = f '( ) d etc Remarqe : Por ne fonction à ne sele variable, dire qe cette fonction est dérivable en o q elle est différentiable en revient a même et ce ne sera pas la même cose por les fonctions à plsiers variables Eemples d eercices simples : On donne f ( ) = + sin( π ) Qelle est la différentielle de f? Estimer la variation de f lorsqe varie de,5 à,51 1+ e On donne f ( ) = Por qelles valers de la variable cette fonction est-elle 1 différentiable? Qelle est la différentielle de f? Combien vat f ()? Estimer la valer de f ( ) En TP, on mesre Q en fonction de t t,5 3 3,5 4 4,5 5 Q 1,8 13,1 13,4 13,9 14,6 15,8 17,1 Représenter ces données et estimer (intelligemment) les valers de Q(3,51), de Q(3,99) Page 41

6 A-VI Propriétés de la différentielle a Différentielle d ne somme Si et v sont de fonctions de la variable, dérivables dans n même intervalle, on a por tot de cet intervalle : d( + v) = d + dv Démonstration : triviale b Différentielle d n prodit Si et v sont de fonctions de la variable, dérivables dans n même intervalle, on a por tot de cet intervalle : d( v) = v d + dv Démonstration : triviale c Différentielle d n qotient Si et v sont de fonctions de la variable, dérivables dans n même intervalle, on a por tot de cet intervalle où v n est pas nlle : ( ) v d d = dv v v Démonstration : encore triviale d Différentielle d ne composée Si et v sont de fonctions de la variable, telles qe v soit dérivable en et dérivable en v( ), on a en : d( v) = d Démonstration : pas triviale d tot mais compréensible! Version rapide : d( v) = [ v]' d = v ' '( v) d = '( v) v ' d = '( v) dv = d Version pls «psiqe» On sppose qe est ne fonction de la variable v donc on pet écrire d = '( v) dv On s aperçoit alors qe v est ne fonction de donc on pet écrire dv = v '( ) d et on pet remplacer dans l égalité précédente qi devient : d = '( v) dv = '( v) v '( ) d = [ v]' d = d( v) En fait, on retrove ici l argment qi a possé à définir cette notation différentielle : alors qe la dérivée d ne fonction dépend de la variable de cette fonction, la différentielle d ne fonction ne dépend pas de la variable de cette fonction Un eemple d application entièrement traité On fait ne epérience On sait qe pendant cette epérience, ne grander psiqe f va n pe varier parce qe f dépend d n paramètre psiqe, disons l, qi va légèrement varier La téorie montre qe f et l sont liés par f ( l) = l + cos( l) et on en dédit qe df = (l sin( l)) dl Après l epérience, on s aperçoit qe la températre T n a pas été constante et qe l dépend de T sivant la relation l( T ) = ln( T ) + 4T donc il serait pls jdicie d tiliser comme variable T a lie de l et eresement, grâce à la différentielle il n est pas nécessaire de refaire tos les calcls! 1 Il sffit de remarqer qe de l( T ) = ln( T ) + 4T on dédit dl = + 4 dt d où, en remplaçant : T 1 1 df = ( l sin( l) ) dl = ( l sin( l) ) + 4 dt = ( ln( T ) + 8T sin(ln( T ) + 4 T ) + 4 dt T T Et on pet, jste por se tranqilliser, vérifier ce dernier résltat en eprimant dès le départ f en fonction de T por calcler directement la dérivée par rapport à T : = + devient f ( T ) ( ln( T ) 4T ) cos( ln( T ) 4T ) ( ) cos( ) f l l l = donc f '( T ) = à vos!!! Page 4

7 Eemple d application : Une écelle de longer L est appée contre n mr vertical, son pied reposant sr n sol orizontal Le pied de l écelle glisse et s éloigne d mr à la vitesse v Qelle est la vitesse de cte d at de l écelle lorsq il passe à la ater L/ pis L/4 et enfin L/1 Application nmériqe : L=6m, v=1 m/s A-VII Tablea des différentielles selles Pisqe la différentielle d ne fonction ne dépend pas de la variable de cette fonction, les formles aront tojors la même forme qelle qe soit la variable et remarqez bien q il n a pls jamais de dérivées ', v ' dans ces formles : Si f ( ) = sin( ) cos( ) tan( ) alors df = cos( ) d sin( ) d ( + ) 1 1 tan ( ) d o d cos ( ) Si f ( ) = ln( ) alors df = d e e d 1 d d n avec n 1 n 1 n d B Cas d ne fonction à de variables indépendantes B-I Dérivées partielles Si f est ne fonction de de variables indépendantes et, on ne pet pls dériver comme on le faisait por ne fonction à ne sele variable On doit distinger de cas, de façons de dériver, sivant q on considère l ne des variables o l atre Soit f : ( ; ) f ( ; ), on appelle dérivée partielle de f par rapport à la fonction qi associe à tot cople ( ; ) la limite (si elle eiste) : f ( + ; ) f ( ; ) lim ' Cette dérivée partielle est notée soit f soit L'emploi des a lie des d n'est pas ne façon d prof de mat de se faire remarqer c'est ne nécessité q on va epliqer très bientôt! On définit de même la dérivée partielle de f par rapport à : Soit f : ( ; ) f ( ; ), on appelle dérivée partielle de f par rapport à la fonction qi associe à tot cople ( ; ) la limite (si elle eiste) : On la note ' f o f ( ; + ) f ( ; ) lim Remarqe : En fait, por ne fonction à de variables indépendantes, on fait comme si l ne des variables était constante et on dérive par rapport à l atre o bien le contraire Eemples : = Si f ( ; ) = + sin( ) on a f = + sin( ) + cos( ) Page 43

8 Si f ( ; ) = + on a f = f = + B-II Si varie de Estimation por les fonctions à de variables et si varie de, lorsqe f : ( ; ) f ( ; ) la variation vraie est f ( ; ) ( ; ) f = f ( + ; + ) f ( ; ) et la variation estimée est = + Cette variation estimée n a rien de mstérie : elle tient compte des variations de cacne des de variables en mltipliant cacne par la valer de la dérivée correspondante Lorsqe varie, on mltiplie ses variations par la dérivée par rapport à et lorsqe c est qi varie on mltiplie ses variations par la dérivée par rapport à enfin, l estimation totale est la somme des de variations ainsi calclées Eemple : On donne f ( ; ) = + sin( ) et on demande d estimer la variation lorsqe π π ( ; ) varie de (1 ; ) à (1,3 ; +,1) On obtient f = ( ; ) + ( ; ) ce qi donne f = π,3 + 3,1 B-III Différentielle d ne fonction à de variables On sppose qe et sont de variables coisies et indépendantes On note d la fonction telle qe d( ; ) = et d celle telle qe d( ; ) = : ce sont des projections et les projections sont des applications linéaires On appelle différentielle de f en ( ; ) la fonction linéaire à de variables telle qe : df( ; ) = ( ; ) d + ( ; ) d Lorsq on appliqe cette fonction a variables et c est à dire :, on obtient : df( ; )( ; ) = ( ; ) d( ; ) + ( ; ) d( ; ) ( ; ) f df = ( ; ) + ( ; ) ( ; ) Notation abrégée et dangerese : Lorsqe f est ne fonction à de variables indépendantes, sa différentielle df est sovent notée df = d + d si bien qe ce qi n ont pas compris la différence entre les d et les vont simplifier et ce sera l orrer! Eemple : Qelle est la différentielle de R =? 1 + R 1 On a = 1+ R 4 = = (1 + ) (1 + ) et 1 4 donc dr = d d 1 + (1 + ) Page 44

9 C Généralisation por les fonctions à n variables Si 1,,, n sont des variables indépendantes, et si f : ( 1,,, n) f ( 1,,, n) alors la différentielle de f est : df = d + d + d + + dn Dans cette écritre, por alléger on n indiqe pls à qel «endroit» on travaille, ni qelles sont les variations de cacne des variables Eemple : On donne f ( ; ; z) = + Qelle est la différentielle de f? Estimer la variation z de f lorsqe ( ; ; z ) varie de (1;;3) à (1,1;1,9;,99) D Qels sont les objectifs à atteindre? Avoir compris qe la notion de différentielle et la notion de dérivées sont de «cosines» mais qe ce n est pas la même cose : ne dérivée est ne fonction «qelconqe» alors q ne différentielle est ne fonction linéaire Avoir compris qe la dérivée d ne fonction dépend de la variable de cette fonction alors qe la différentielle d ne fonction ne dépend pas de la variable de cette fonction ce qi rend les différentielles indispensables en psiqe Avoir compris qe les différentielles vont servir de modèles dans tos les problèmes d estimation Avoir compris qe la notation complète étant trop lorde, on la simplifie en faisant des abs de langage et d écritre mais qe tos les abs ne sont pas tolérables en particlier, les notations d,, et δ représentent des coses très différentes et la confsion entre elles est impossible Savoir calcler des dérivées même de fonctions «compliqées» (somme, prodit, qotient, composée ) compris avec des fonctions trigonométriqes directes o réciproqes, circlaires o perboliqes Savoir tiliser les différentielles dans les problèmes de «robinet» à débit constant n Page 45

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