Chapitre 8 Dérivée et variations d une fonction. Table des matières. Chapitre 8 Dérivée et variations d une fonction TABLE DES MATIÈRES page -1

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1 Chapitre 8 Dérivée et variations d une fonction TABLE DES MATIÈRES page -1 Chapitre 8 Dérivée et variations d une fonction Table des matières I Eercices I I I I I I I I I I I I I I I I-6 II Cours II-1 1 Variations des fonctions usuelles, affines, du 2nd degré et autres II-1 2 Sens de variation et signe de la dérivée, etrémum II-1 3 Problèmes d optimisation II-1

2 Chapitre 8 Dérivée et variations d une fonction I EXERCICES page I-1 I Eercices 1 Variations des fonctions usuelles, affines, du 2nd degré et autres Compléter les tableau de variations ci-dessous. Sur les lignes en pointillés, indiquer les etrémums 1 s il y en a. f() = f() = f() = 1 f() = f() = 5 f() = f() = f() = f() = 5( 8) Pour chacune des fonctions définies ci-dessous, dresser le tableau de variation de f sur IR, en précisant les etrémums éventuels. (1) f() = 2 (2) f() = +3 (3) f() = (4) f() = Un etrémum est un maimum ou un minimum.

3 Chapitre 8 Dérivée et variations d une fonction I EXERCICES page I-2 3 La fonction f est définie par f() = Déterminer son ensemble de définition en résolvant une inéquation. 2. a) Justifier le sens de variation de la fonction u définie par u() = b) Justifier le sens de variation de la fonction f. 3. Dresser le tableau de variations de f. La fonction f est définie par f() = Déterminer son ensemble de définition en résolvant une équation. 2. a) Justifier le sens de variation de la fonction u définie par u() = b) Justifier le sens de variation de la fonction f. 3. Dresser le tableau de variations de f. Sens de variation et signe de la dérivée La fonction f et définie sur [ 1, 5 ; 5, 1] par f() = a) À l aide de la calculatrice, dresser le tableau de variation de f sur [ 1, 5 ; 5, 1]. b) Préciser les etrémums, arrondir au centième si nécessaire. 2. L étude des variations de la fonction f est plus complee que dans les eercices précédents et la calculatrice ne donne que des valeurs approchées des etrémums et des valeurs de où ils sont atteints. Voici donc une nouvelle méthode permettant d étudier plus précisément les variations d une fonction. a) Calculer f la dérivée de f. b) Factoriser f (). c) Dresser le tableau de signes de f () selon les valeurs de. d) Sur un intervalle où f est positive, qu est ce cela indique pour les tangentes à la courbe sur cet intervalle? que peut-on en déduire pour le sens de variation de f sur cet intervalle? e) Même question lorsque f est négative sur un intervalle. f) Quelles sont les valeurs de telle que f () = 0? g) Calculer les images de ces deu nombres par f (valeurs eactes). h) Compléter le tableau ci-dessous. i) Que nous indiquent les solutions de l équation f () = 0 pour les variations de f? Signe de f () Variations de f

4 Chapitre 8 Dérivée et variations d une fonction I EXERCICES page I La fonction f et définie sur [ 6 ; 5] par f() = Calculer la dérivée f. 2. Étudier le signe de f (). Détailler les calculs et dresser le tableau de signes. 3. Compléter le tableau précédent par le tableau des variations de f. Indiquer les images de 6 et de 5 et les valeurs des etremums arrondies au centième. 4. Faire tracer la représentation graphique de la fonction f sur l écran de la calculatrice en réglant les valeurs de la fenêtre d après le tableau de variations. 5. Le tableau de variations précédent indique un maimum local. a) Calculer sa valeur eacte. b) En quelle valeur de est-il atteint? 6. Mêmes consignes (a) et (b) pour le minimum local, sans détailler les calculs. La fonction f et définie sur [ 3, 8 ; 2, 7] par f() = Calculer la dérivée f. 2. Étudier le signe de f (). Détailler les calculs et dresser le tableau de signes. 3. Compléter le tableau précédent par le tableau des variations de f. Indiquer les images de 3, 8 et de 2,7 et les valeurs des etremums arrondies au centième. 4. Faire tracer la représentation graphique de la fonction f sur l écran de la calculatrice, en réglant les valeurs de la fenêtre d après le tableau de variations. 5. Le tableau de variations précédent indique un maimum local. a) Calculer sa valeur eacte. b) En quelle valeur de est-il atteint? 6. Mêmes consignes (a) et (b) pour le minimum local, sans détailler les calculs.

5 Chapitre 8 Dérivée et variations d une fonction I EXERCICES page I-4 8 Étude des variations d une fonction polynôme du second degré La fonction f et définie sur [ 1 ; 6] par f() = re méthode forme canonique a) Calculer f() sous la forme canonique c est à dire sous la forme a( α) 2 + β b) Dresser le tableau des variations de f e méthode dérivée a) Calculer la dérivée f. b) Étudier le signe de f (). c) Dresser un tableau comportant le signe de la dérivée ; les variations de f, avec les images de 1 et de 6 et la valeur de l etremum. La fonction f est définie sur [0 ; 5] par f() = La fonction f est dérivable de dérivée f Calculer la dérivée. 2. Dresser un tableau contenant le signe de f () en fonction de ; les variations de la fonction f en indiquant les valeurs remarquables. 3. Tracer la représentation graphique de f à la calculatrice, en réglant les valeurs de la fenêtre d après le tableau de variations, et de telle façon que l on voie les deu aes du repère. La fonction f est définie sur [ 0, 8 ; 5] par f() = La fonction f est dérivable de dérivée f. 1. Calculer la dérivée. 2. Dresser un tableau contenant le signe de f () en fonction de ; les variations de la fonction f en indiquant les valeurs remarquables. 3. Tracer la représentation graphique de f à la calculatrice, en réglant les valeurs de la fenêtre d après le tableau de variations et de telle façon que l on voie les deu aes du repère. 4. Sans justifier, quel est le minimum de f sur [ 0, 8 ; 5] et en quelle valeur de est-il atteint? 5. a) Calculer la valeur eacte du maimum de f sur [ 0, 8 ; 5]. b) En quelle valeur de est-il atteint?

6 Chapitre 8 Dérivée et variations d une fonction I EXERCICES page I-5 11 La fonction f est définie sur [ 1 ; 2, 9] par f() = La fonction f est dérivable de dérivée f Calculer la dérivée. 2. Étudier le signe de la dérivée. Détailler les calculs et donner les valeurs eactes. 3. Dresser un tableau de variation complet (signe de la dérivée, variations de la fonction, valeurs remarquables au centième près). 4. Tracer la représentation graphique de f à la calculatrice, en réglant les valeurs de la fenêtre d après le tableau de variations. 5. a) Donner la valeur du maimum de f sur [ 1 ; 2, 9] arrondie au centième. b) En quelle valeur de est-il atteint? Donner la valeur eacte. La fonction f est définie sur [0 ; 1, 5] par f() = ( 1). La fonction f est dérivable sur ]0 ; 1, 5] de dérivée f. 1. Calculer f () sous la forme a + b 2 (rappel : pour tout réel positif, 2 = ). 2. Dresser un tableau de variation complet (signe de la dérivée, variations de la fonction, valeurs remarquables au centième près). 3. Tracer la représentation graphique de f à la calculatrice, en réglant les valeurs de la fenêtre d après le tableau de variations et de telle façon que l on voie les deu aes du repère. 4. a) Donner la valeur eacte du minimum de f sur [0 ; 1, 5]. b) En quelle valeur de est-il atteint? Donner la valeur eacte. Problèmes d optimisation 13 Un rectangle a pour largeur et pour longueur y et son aire est égale à 30. Problème : comment choisir et y pour que le périmètre du rectangle soit minimal? y 1. Calculer le périmètre de ce rectangle lorsque : a) = 3 b) = 5 2. Écrire la longueur y en fonction de. 3. Écrire le périmètre p du rectangle en fonction de. 4. On appelle p() l epression précédente. Déterminer la valeur minimale de p(). 14 Un rectangle a pour largeur et pour longueur y et son périmètre est égale à 20. Problème : comment choisir et y pour que l aire du rectangle soit maimale? y 1. Calculer l aire de ce rectangle lorsque : a) = 2 b) = 4 2. Écrire la longueur y en fonction de. 3. Écrire l aire A du rectangle en fonction de. 4. On appelle A () l epression précédente. Déterminer la valeur maimale de A ().

7 Chapitre 8 Dérivée et variations d une fonction I EXERCICES page I-6 15 Partie A La fonction f est définie par : f() = de dérivée f. 1. Calculer la dérivée. sur l intervalle ]0 ; + [. Cette fonction est dérivable 2. Montrer que la dérivée peut s écrire sous la forme f () = : 3. En déduire le tableau de variation de la fonction f. Partie B Un agriculteur décide de réaliser un grand potager de forme rectangulaire dans son jardin le long de son mur. Ce potager devra avoir une aire de 392 m 2. Où doit-on placer les piquets A et B pour que la longueur de la clôture soit minimale? La figure ci-dessus représente le potager accolé à la ferme en vue de dessus. mur potager A y B On appelle la distance séparant chaque piquet du mur et y la distance entre les 2 piquets A et B ( et y sont donc positifs). 1. Sachant que l aire du potager est 392 m 2, eprimer y en fonction de. 2. Démontrer que la longueur du grillage en fonction de est : En déduire les dimensions et y pour lesquelles la clôture a une longueur minimale. Préciser cette longueur.

8 Chapitre 8 Dérivée et variations d une fonction I EXERCICES page I-7 Eercices du manuel Déclic n o 79 p 123, 81 p 123, 103 p 128

9 Chapitre 8 Dérivée et variations d une fonction II COURS page II-1 II Cours 1 Variations des fonctions usuelles, affines, du 2nd degré et autres L objectif de ce chapitre est d utliser la dérivée d une fonction dérivable pour étudier ses variations. On peut cependant étudier le sens de variation de certaines fonctions sans utiliser la dérivée. Fonctions dont on sait étudier les variations sans utiliser la dérivée fonctions carré, inverse, valeur absolue, racine, fonctions affines et polynômes du second degré, fonctions de la forme u + k, λu, u, 1, où u est une fonction carré, inverse, valeur absolue, u racine, ou affine. Eemples : eercices sur fiche n o 1 à 4. 2 Sens de variation et signe de la dérivée, etrémum Propriété Sens de variation et signe de la dérivée Une fonction f dérivable sur un intervalle est croissante sur cet intervalle si et seulement si sa dérivée f est positive cet intervalle. Une fonction f dérivable sur un intervalle est décroissante sur cet intervalle si et seulement si sa dérivée f est négative cet intervalle. Une fonction f dérivable sur un intervalle est constante sur cet intervalle si et seulement si sa dérivée f est nulle sur cet intervalle. Définitions Etrémum local f(a) est un maimum local de f signifie qu il eiste un intervalle ouvert I contenant a tel que f(a) soit le maimum de f sur I. f(a) est un minimum local de f signifie qu il eiste un intervalle ouvert I contenant a tel que f(a) soit le minimum de f sur I. f(a) est un etremum local de f signifie que f(a) est un maimum ou un minimum local de f Propriété Dérivée et etrémum local f est une fonction dérivable sur un intervalle I et a est un nombre de cet intervalle. Si f(a) est un etrémum local de f, alors f (a) = 0. f est une fonction dérivable sur un intervalle I et a est un nombre de cet intervalle. Si f s annule en a en changeant de signe, alors f(a) est un etrémum local de f. 3 Problèmes d optimisation Un problème d optimisation a pour but de trouver une solution pour qu une quantité soit maimale (un bénéfice, une durée, un volume, etc.) ou minimale (un coût par eemple). On peut donc résoudre certains problème d optimisation en faisant intervenir une fonction et en utilisant la propriété Dérivée et etrémum local ci-dessus. Eemples : eercices sur fiche n o 13 et 15, les eercices photocopiés sur fiche du manuel Déclic n o 79 p 123, 81 p 123, 103 p 128, ou encore les eercices du manuel Hyperbole de 1 re S n o 34 p 99, 46 p 101.

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