Mathématiques - ECS1. Dérivation. et accroissements finis. 30 avenue de Paris Versailles

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1 Mathématiques - ECS 6 Dérivation et accroissements finis. Lycée La Bruyère 30 avenue de Paris Versailles c 06, Polycopié du cours de mathématiques de première année.

2 6 Dérivation et accroissements finis 6. Objectifs. Dérivées à gauche et à droite. Dérivée en un point. Linéarité de la dérivation, dérivée d un produit, dérivée d une composée. Exemples. Fonctions dérivables sur un intervalle, fonction dérivée. Dérivée d un polynôme. Dérivation des fonctions réciproques. Théorème de Rolle. Interprétation graphique. Notation f. Égalité et inégalités des accroissements finis. () Si m f M sur un intervalle I, alors : (a, b) I, a b, m(b a) f (b) f (a) M(b a). () Si f k sur un intervalle I, alors : (a, b) I, f (b) f (a) k b a. Application, sur des exemples, à l étude de suites récurrentes du type : u n+ = f (u n ). Tout exposé théorique sur les suites récurrentes générales est Caractérisation des fonctions constantes et monotones par l étude de la dérivée. Définition et dérivation de la fonction arctan. Fonction p fois dérivable en un point. Notation f (p). Fonctions de classe C p, de classe C sur un intervalle. Opérations algébriques, formule de Leibniz. Théorème de composition. La dérivée (n + )-ï me d un polynôme de degré au plus n est nulle. exclu. Si f est une fonction dérivable sur un intervalle I et si f 0 sur I, f ne s annulant qu en un nombre fini de points, alors f est strictement croissante sur I. L étude de cette fonction se limitera strictement à ces deux points. 6. Dérivation Dans tout ce qui suit, I est un intervalle de R contenant au moins deux points. 6.. Nombre dérivé d une fonction en un point. On commence avec la définition :. La définition a très peu changé : Cauchy définit la dérivée d une fonction en un réel x comme la limite lorsqu elle f (x + i) f (x) existe du rapport quand i tend vers 0. i

3 6. Dérivation 3 Définition. Soit f : I R et x 0 I. On dit que f est dérivable en x 0 si le rapport f (x) f (x 0) possède une limite lorsque x x x 0 tend vers x 0 en restant dans I\{x 0 }. Si cette limite existe, on la note f (x 0 ) et on l appelle nombre dérivé de f en x 0. Remarque. Il est équivalent de demander que le rapport limite lorsque h tend vers 0. f (x 0 + h) f (x 0 ) h possède une Définition. Soit f : I R et x 0 I. Si f est dérivable en x 0, l application δ f : I R définie par δ f (x) = f (x 0 ) + (x x 0 ) f (x 0 ) est appelée approximation affine de f en x 0. sin x Exemple. On a vu que lim =. Donc la fonction sin est dérivable en 0 et sin (0) = x 0 x. ( x x0 ) ( x + x0 ) Pour x 0 R, sin x sin x 0 = sin cos donc lim sin x = sin x 0 et sin est x x0 continue sur R. Etudions les taux d accroissements sin x sin x 0 : pour tout x x 0 x x 0 ( x x0 ) sin x sin x ( 0 x + x0 ) sin = cos x x 0 x x 0 ( Pour tout x R, cos x = sin x + π ) donc cos est continue sur R. Par conséquent, lorsque ( x x0 ) ( x + x0 ) sin x x 0, cos cos x 0 et par composition de limites, x x donc 0 sin x sin x 0 lim = cos x 0 x x 0 x x 0 La fonction sin est donc dérivable en tout point x 0 R et sin (x 0 ) = cos x 0. Définition 3. Soit f : I R. On dit que f est dérivable sur I si f possède un nombre dérivé en tout point de I. L ensemble des fonctions dérivables sur I est noté D(I, R) et si f D(I, R), on note f l application x I f (x). Dérivabilité à gauche, dérivabilité à droite Définition 4. Soit f : I R et x 0 I. f (x) f (x 0 ) On dit que f est dérivable à gauche en x 0 si la limite lim x x0 existe et est finie. x<x 0 x x 0

4 4 Dérivation et accroissements finis Définition 5. Soit f : I R et x 0 I. f (x) f (x 0 ) On dit que f est dérivable à droite en x 0 si la limite lim x x0 existe et est finie. x>x 0 x x 0 Exemple. La fonction x sin x est dérivable à gauche et à droite en 0 mais n est pas dérivable en 0. Proposition. Soit f : I R et x 0 I. () Si f est dérivable en x 0 alors f est continue en x 0. () Si f est dérivable sur I alors f est continue sur I. Remarque. Attention, la continuité n implique pas en général la dérivabilité. Exercice. Soit f :], [ R dérivable en 0 et deux suites (a n ) n N et (b n ) n N tendant vers 0 telles ) que pour tout n N, < a n < 0 < b n. Montrer que la suite ( f (bn ) f (a n ) converge vers f (0). b n a n n N 6.. Tangente à une courbe en un point Soit f : I R une fonction dérivable en x 0 I et C f sa courbe représentative dans un repère orthonormé. La tangente à la courbe C f au point (x 0, f (x 0 )) est la droite T passant par le point (x 0, f (x 0 )) et dirigée par le vecteur (, f (x 0 )). Soit M un point du plan de coordonnées (x, y) dans le repère (O, i, j ). On appelle P le point de coordonnées (x 0, f (x 0 )) et u le vecteur de coordonnées (, f (x 0 )). M(x, y) T les vecteurs PM et u sont colinéaires ( ) x x la matrice 0 y f (x 0 ) f est non inversible (x 0 ) (x x 0 ) f (x 0 ) (y f (x 0 ) = 0 Proposition. Soit f : I R une fonction dérivable en x 0 I et C f sa courbe représentative dans un repère orthonormé. Une équation de la tangente à la courbe C f au point (x 0, f (x 0 )) est : y = f (x 0 ) + (x x 0 ) f (x 0 ) Opérations algébriques et dérivation Proposition 3. Soit f, g : I R, x 0 I et λ R. Si f et g sont dérivables en x 0 alors λ f + g et f g sont dérivables en x 0 et

5 6. Dérivation 5 (λ f + g) (x 0 ) = λ f (x 0 ) + g (x 0 ) et ( f g) (x 0 ) = f (x 0 )g(x 0 ) + f (x 0 )g (x 0 ) Corollaire 4. Soit f, g : I R et λ R. Si f et g sont dérivables sur I alors λ f + g et f g sont dérivables sur I et (λ f + g) = λ f + g ( f g) = f g + f g Proposition 5. Soit f : I R et n N. Si f est dérivable sur I alors f n est dérivable sur I et ( f n ) = n f f n Corollaire 6. L ensemble des fonctions dérivables D(I, R) sur I est un R-espace vectoriel stable pour le produit des fonctions. Remarque 3. L application D : f D(I, R) f est une application linéaire. Proposition 7. Soit f : I R. Si f est dérivable en x 0 et si f ne s annule pas sur I alors f est dérivable en x 0 et ( ) (x 0 ) = f (x 0 ) f f (x 0 ) Corollaire 8. Soit f : I R. Si f est dérivable sur I et si f ne s annule pas sur I alors f est dérivable sur I et ( ) = f f f Proposition 9. Soit f, g : I R. Si f et g sont dérivables sur I et si g ne s annule pas sur I alors f est dérivable sur I et g ( ) f = f g f g g g 6..4 Composition et dérivation Dérivée d une fonction composée.

6 6 Dérivation et accroissements finis Proposition 0. Soient f : I R et g : J R deux fonctions telles que f (I) J. Si f est dérivable en x 0 et g est dérivable en f (x 0 ) alors g f est dérivable en x 0 et (g f ) (x 0 ) = f (x 0 ) g ( f (x 0 )) Proposition. Soit I, J deux intervalles de R et f : I R, g : J R deux fonctions dérivables avec f (I) J. Alors g f est dérivable sur I et x I, (g f ) (x) = f (x) g ( f (x)) Dérivée d une fonction réciproque. Proposition. Soient I, J deux intervalles et f : I J une fonction. Si f est bijective, dérivable sur I et si f ne s annule pas sur I alors f est dérivable sur J et ( f ) = f f 6..5 La fonction arctangente La fonction τ : x ] π, π [ tan x R est définie, continue, impaire et strictement croissante. Puisque lim τ(x) =, lim τ(x) = +, la fonction τ réalise une bijection de x π x π ] π [, +π sur R, d après le théorème de la bijection. Définition 6. La fonction réciproque de τ est la fonction arctangente, notée arctan. La fonction arctan est () définie sur R, () impaire sur R, (3) strictement croissante sur R, (4) continue sur R, (5) et a pour limites : lim arctan (x) = π et lim x + arctan (x) = π x Sa représentation graphique est :

7 6.3 Dérivées successives 7 y y = tan x j y = arctan x i 0 x ] La fonction τ : π, π [ R est dérivable et bijective. ] Sa dérivée est donnée par τ : x π, π [ + tan x donc elle ne s annule pas sur ] π, π [. Proposition 3. La fonction arctan est dérivable sur R et sa dérivée est donnée par y R, arctan (y) = + y Remarque 4. La fonction arctan est une primitive sur R de la fonction t R + t. Exercice. Etablir l égalité : arctan = arctan 4 3. Exercice 3. Montrer que pour tout x R, cos( arctan (x)) = x sin( arctan (x)) =. + x + x et 6.3 Dérivées successives 6.3. Dérivée d ordre n N Soit f : I R une fonction, x 0 I et n N, n. Fonctions n fois dérivable sur un intervalle On dit que f est deux fois dérivable sur I si f est dérivable sur I et si f est dérivable sur I. La dérivée de f s appelle dérivée seconde de f et elle est noté f ou f (). Pour un entier n, on dit que f est n fois dérivable sur I si f est n dérivable sur I et si la (n )-ème dérivée de f, notée f (n ) est dérivable sur I. La dérivée ( f (n ) ) est appelée dérivée n-ème ou d ordre n et est notée f (n).

8 8 Dérivation et accroissements finis Pour n =, on a bien évidemment f () = f et on convient de poser f (0) = f. Remarque 5. On rencontre aussi la notation dn f pour la dérivée n-ème de f. dxn Si f est n fois dérivable sur I, on dit que f est de classe D n sur I et on note D n (I, R) l ensemble des fonctions n fois dérivables sur I. Proposition 4. Soit n et p deux entiers naturels. Alors x x p est n fois dérivable et sa dérivée n-ème est donnée par d n 0 si n > p dx n (xp ) = x p n si n p. (p n)! Corollaire 5. Soit p une fonction polynôme de degré au plus n. Alors la dérivée n + - ème de p est nulle. Formule de Taylor. Soit P R[X] un polynôme de degré n N et a R. Alors n P k (a) P(X) = (X a) k k! k=0 Remarque 6. Cette formule reste vraie si P est un polynôme complexe et a C. Proposition 6. On note K l ensemble R ou C. Soit P K[X] un polynôme, a K et r N. Alors le nombre a est racine de P d ordre de multiplicité r si et seulement si P(a) = P (a) = = P (r ) (a) = 0 et P (r) (a) 0. Exercice 4. Soit n N et P = X n n X n+ + (n )X n n X n + Quel est l ordre de la multiplicité de la racine. Même question avec le polynôme Q = X n+ (n + )X n+ + (n + )X n. Fonctions n fois dérivable en un point Définition 7. On dit que f est n fois dérivable en un point x 0 si f est n dérivable au voisinage de x 0 et si la (n )-ème dérivée f (n ) est dérivable en x 0. Fonctions de classe C n Définition 8. On dit que f est de classe C n sur I si f est n fois dérivable sur I et si f (n) est continue sur I.

9 6.3 Dérivées successives 9 On note C n (I, R) l ensemble des fonctions de classe C n sur I. Fonctions de classe C Définition 9. On dit que f est de classe C sur I si f admet une dérivée à tout ordre. Une fonction de classe C sur un intervalle I est donc une fonction de classe C n sur I pour tout n N. On dit aussi qu une telle fonction est indéfiniment dérivable. On note C (I, R) l ensemble des fonctions de classe C sur I. On a donc C (I, R) = C n (I, R) = D n (I, R) n N Exemple 3. Les fonctions usuelles (exp, ln, sin, cos, etc.) sont de classe C sur leur intervalle de définition et pour tout n N pour tout x, exp (n) (x) = exp(x) pour tout x, cos (n) (x) = cos(x + n π ) pour tout x, sin (n) (x) = sin(x + n π ) pour tout x > 0, ln (n) (x) = ( )n (n )! x n 6.3. Opérations algébriques et dérivées successives Formule de Leibniz n N Formule de Leibniz. Soit n N. Si f, g sont n fois dérivables sur un intervalle I alors f g est n fois dérivable sur I et n ( ) n ( f g) (n) = f (k) g (n k) k k=0 Exemple 4. Soit f : x R xe x. La fonction f est de classe C sur R : pour tout n N, x R f (n) (x) = xe x + ne x Exercice 5. En remarquant que x n = (x n ), calculer n k=0 ( ) n. k Exercice 6. Pour tout entier naturel n, on considère l application P n de R dans R définie pour tout réel x par : P n (x) = e dn x dx n (e x ) où dn dx n (e x ) désigne la dérivée d ordre n au point x de la fonction x e x. Établir pour tout x réel la relation : P n+ (x) = xp n (x) np n (x)

10 0 Dérivation et accroissements finis Proposition 7. Soit n N. Les ensembles D n (I, R), C n (I, R) et C (I, R) sont des R-espaces vectoriels stables pour le produit des fonctions. Ainsi, une combinaison linéaire de fonctions n fois dérivables est n fois dérivable, un produit de fonctions n fois dérivables est n fois dérivable, etc Composition Proposition 8. Soient f : I R et g : J R deux fonctions telles que f (I) J. Si f et g sont n fois dérivables (resp. de classe C n ) sur leur intervalle respectif alors g f est n fois dérivable (resp. de classe C n ) sur I. Corollaire 9. Soient f : I R et g : J R deux fonctions telles que f (I) J. Si f et g sont de classe C sur leur intervalle respectif alors g f est de classe C sur I. Proposition 0. Soient f : I R une fonction. Si f est n fois dérivable (resp. de classe C n ) sur I et si f ne s annule pas sur I alors f est n fois dérivable (resp. de classe C n ) sur I. Corollaire. Soient f : I R une fonction. Si f est de classe C sur I et si f ne s annule pas sur I alors f est de classe C sur I. Exemple 5. Pour x R, f (x) = + x. La fonction x + x est de classe C sur R et ne s annule pas sur R donc f est de classe C sur R. La fonction Arctan est donc de classe C sur R 6.4 Accroissements finis 6.4. Extremum d une fonction Soit I un intervalle non trivial, f : I R une fonction et x 0 I. On appelle point intérieur à I tout point qui n est pas une extrémité de I. Maximum local, minimum local. Définition 0. On dit que f admet un maximum local en x 0 s il existe un réel η > 0 tel que x [x 0 η, x 0 + η] I, f (x) f (x 0 )

11 6.4 Accroissements finis On dit que f admet un minimum local en x 0 s il existe un réel η > 0 tel que x [x 0 η, x 0 + η] I, f (x) f (x 0 ) Maximum global, minimum global. Définition. On dit que f admet un maximum global en x 0 si x I, f (x) f (x 0 ) On dit que f admet un minimum global en x 0 si x I, f (x) f (x 0 ) Extremum Définition. On dit que f admet un extremum local (resp. global) en x 0 si f admet un maximum ou un minimum local (resp. global) en x 0. Définition 3. Soit f : I R une fonction dérivable et x 0 un point intérieur à I. On dit que x 0 est point critique de f lorsque f (x 0 ) = 0. Proposition. Soit f : I R une fonction dérivable. Si f admet un extremum local en un point x 0 intérieur à I alors f (x 0 ) = 0. Remarque 7. Le résultat est faux en général si x 0 est une borne de I comme le montre l exemple I = [0, ] et f (x) = x. Remarque 8. La réciproque est fausse en général : f (x 0 ) = 0 n implique pas que f possède un extremum en x 0 comme le montre l exemple I = R, x 0 = 0 et f (x) = x 3. Ainsi, une condition nécessaire mais non suffisante pour qu une fonction f définie et dérivable sur un intervalle I admette un extremum local en x 0 est que x 0 soit un point critique. Exercice 7 (TVI pour la dérivée). Soit f une fonction dérivable sur [a, b] avec a < b telle que f (a) > 0 et f (b) < 0. (a) On suppose f continue sur [a, b]. Justifier l existence de c ]a, b[ tel que f (c) = 0. (b) On ne suppose plus nécessairement que f est continue. Montrer qu il existe encore c ]a, b[ tel que f (c) = 0.

12 Dérivation et accroissements finis 6.4. Théorème de Rolle Le théorème suivant dû à Michel Rolle nous permettra d établir le théorème des accroissements finis. Théorème de Rolle. Soit f : [a, b] R une fonction continue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[. Si f (a) = f (b) alors il existe c ]a, b[ tel que f (c) = 0. Applications. () Soit n N, n, et C 0,..., C n des nombres réels tels que existe x ]0, [ tel que n C k x k = 0. k=0 n k=0 C k = 0 Montrer qu il k + () Soit a < b deux réels et f une fonction continue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[ telle que f (b) f (a) = b a. Montrer que l équation f (x) f (x) = x admet au moins une solution dans ]a, b[. (3) Soit a < b deux réels et f une fonction continue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[. Le plan est rapporté à un repère orthonormé et on note C la courbe de f. Soit M(α, β) un point sur la droite passant par (a, f (a)) et (b, f (b)) tel que α [a, b]. Prouver que l on peut mener de M une droite tangente à C Théorème des accroissements finis Théorème des accroissements finis. Soit f : [a, b] R une fonction continue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[. Alors il existe c ]a, b[ tel que f (b) f (a) = (b a) f (c) Autre formulation du théorème des accroissements finis. Soit h > 0 et f : [a, a + h] R une fonction continue sur [a, a + h] et dérivable sur ]a, a + h[. Alors il existe θ ]0, [ tel que f (a + h) = f (a) + h f (a + θh) Inégalité des accroissements finis.. Soit f : [a, b] R une fonction continue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[. On suppose que pour tout x ]a, b[, f (x) M. Alors f (b) f (a) M b a. Michel Rolle (65-79) : académicien français resté célèbre pour avoir eu le premier, du moins le suppose-t-on, l idée géométrique d une démonstration du théorème qui porte son nom, énoncé dans son Traité d algèbre en 690.

13 6.5 Exercices Caractérisation des fonctions monotones parmi les fonctions dérivables A l aide du théorème des accroissements finis, Lagrange 3 lie le sens de variation d une fonction au signe de sa dérivée. Théorème de Lagrange. Soit f : [a, b] R une fonction continue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[. () f est croissante ssi pour tout x ]a, b[, f (x) 0 () f est décroissante ssi pour tout x ]a, b[, f (x) 0 (3) f est constante ssi pour tout x ]a, b[, f (x) = 0 Passons maintenant à la caractérisation de la monotonie stricte. On dit qu un ensemble A est d intérieur vide s il ne contient aucun intervalle ouvert non vide. Par exemple, les ensembles {0,, 3, 4}, N, Z, {kπ, k Z} sont d intérieur vide. En revanche, les intervalles non triviaux, ainsi que toute partie de R contenant un intervalle non trivial ne sont pas d intérieur vide. Théorème. Soit f : [a, b] R une fonction continue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[. La fonction f est strictement croissante sur [a, b] ssi : pour tout x ]a, b[, f (x) 0 et l ensemble des zéros de f est d intérieur vide. Autrement dit, une fonction dérivable est strictement croissante si et seulement sa dérivée est positive et si elle ne s annule qu en des points isolés. Conséquence : si pour tout x ]a, b[, f (x) > 0, la fonction f est strictement croissante. Exemple 6. Soit f la fonction définie sur R par f (x) = x sin x. La fonction f est dérivable sur R et pour tout x R, f (x) = cos x 0. De plus, f (x) = 0 il existe k Z, x = kπ L ensemble des zéros de f est donc {kπ, k Z} qui est d intérieur vide donc f est strictement croissante sur R. 6.5 Exercices. Utilisation de la définition. Exercice 8. Soit f une fonction définie sur R et telle que pour tout (x, y) R, Montrer que f est constante. f (x) f (y) (x y). 3. Joseph-Louis Lagrange, : mathématicien franco-ialien qui se fait connaître grâce à son ouvrage Mécanique analytique reprenant de manière rigoureuse les connaissances en Mécanique depuis Newton. Il enseigne la géométrie à Turin et à Berlin, où il remplace Euler à l académie des sciences comme directeur des mathématiques (766). Ses contributions sont importantes en algèbre, analyse ainsi qu en astronomie.

14 4 Dérivation et accroissements finis Exercice 9. Déterminer toutes les fonctions continues f : R R vérifiant min( f (x), f (y)) quels que soient les réels x, y avec x y. f (x) f (y) x y max( f (x), f (y)) Exercice 0. Soit f : I R et x 0 un point dans l intérieur de I. On suppose que f est dérivable en x 0. Déterminer la limite f (x 0 + h) f (x 0 h) lim h 0 h Dérivée d une réciproque Exercice. On considère la fonction f :]0, + [ R par f (x) = x + ln x. (a) Montrer que f est une bijection. (b) Soit g la bijection réciproque. Montrer que g est dérivable et donner l expression de g en fonction de g. Exercice. Dans cet exercice, on désigne par f une fonction dérivable d une variable réelle telle que f (x + y) = f (x) + f (y) + f (x) f (y) () () Trouver toutes les fonctions constantes f vérifiant la relation (). Dans la suite de l exercice, on suppose que f n est pas constante. () Montrer que, pour tout nombre réel x : f (x). (3) Calculer f (0). (4) On pose a = f (0). En utilisant la définition de la dérivée, exprimer f (x) en fonction de f (x) et de a. En déduire que a 0. (5) Montrer que f définit une bijection de R sur l intervalle ], [ et que la fonction f est dérivable sur cet intervalle. Calculer la dérivée de f. (6) Expliciter f (y) en fonction de y et de a. Trouver enfin toutes les fonctions f non constantes, dérivables et vérifiant la relation (). Exercice 3. Soit I un intervalle non vide et non réduit à un point, f : I R une fonction. On dit que f est absolument croissante si f est de classe C et si pour tout n N f (n) 0 sur I.

15 6.5 Exercices. 5 On définit les fonctions sh, ch et th sur R par sh (x) = ex e x, ch (x) = ex + e x, th (x) = () Montrer que th est une bijection de R sur ], [. sh (x) ch (x) () On note argth la bijection réciproque de la fonction th. Montrer que argth est dérivable sur ], [ et déterminer sa dérivée. (3) Montrer qu il existe des polynômes P et Q tels que pour tout x ], [ P(x) argth (x) = Q(x) argth (x) (4) Montrer que argth est absolument croissante sur [0, [. Calcul de dérivée n e Exercice 4. Soit n N. Trouver l ordre de multiplicité de la racine du polynôme P = (n )X n (n )X n + n X (n 3n + ) Exercice 5. Calculer les dérivées n-ème des fonctions x x cos( x ), x xn e x, x ln( + x) Exercice 6. Soit g la fonction définie sur R par g(x) = x + + x. () Montrer que g est deux fois dérivable sur R et que pour tout x, 4( + x )g (x) + 4xg (x) g(x) = 0. En déduire que g est de classe C sur R. () Etablir une relation de récurrence entre g (n) (0) et g (n+) (0). Exercice 7. Soit n N et f une fonction n fois dérivable sur ]0, + [. ( ) Calculer la dérivée n-ème en fonction des dérivées f (k) de la fonction g n (x) = x n f. x Appliquer alors le résultat pour calculer les dérivées n-ème des fonctions x ]0, + [ x n e x et x ]0, + [ x n ln ( + x). Exercice 8. Montrer que x R arctan x est de classe C puis que la fonction arctan vérifie ( + x ) arctan (n) (x) + (n )x arctan (n ) (x) + (n )(n ) arctan (n ) (x) = 0 pour tout x R et tout n N tel que n. En déduire arctan (n) (0) pour tout n N.

16 6 Dérivation et accroissements finis Exercice 9. Pour n N, montrer que A = nx n+ (n + )X n+ + (n + )X n est divisible par B = (X ) 3 et former le quotient. Exercice 0. On considère la matrice A M n (R) : A =!! 3! 3! 4! 3! n! 4! (n+)! 5! (n+)!. On.... n! (n+)! (n )! x x considère un vecteur colonne X = tel que AX = 0 et on appelle P la fonction poly-. nomiale définie par : P(t) = x n! + x (n + )! t x n (n )! tn = x n () On pose, pour tout t R, f (t) = t n P(t). Calculer f (), f (),..., f (n ) (). () En déduire les dérivées P(), P (),..., P (n ) (). (3) Montrer que P = 0 et en déduire que A est inversible. n k= x k (k + n )! tk Fonctions de classe C Exercice. On considère la fonction f définie sur R par f (x) = sin(x ) x f (0) = 0. Montrer que f est de classe C sur R. si x 0 et Exercice. On note F la fonction définie sur R par : 0 si x (x + ) si < x 0 F(x) = (x ) si 0 < x < si x Démontrer que F est de classe C sur R. Exercice 3. On note f la fonction définie sur R par : { e f (x) = x + x x si x 0 cos(x) + x si x 0 Démontrer que f est de classe C sur R. Applications du théorème de Rolle, des accroissements finis.

17 6.5 Exercices. 7 Exercice 4. Soit f : [a, b] R une fonction continue. Montrer qu il existe c ]a, b[ tel que f (c) = b b a f (t)dt. a Exercice 5. Soit f une fonction n fois dérivable sur l intervalle [a, b] avec a < b. On suppose que f s annule n + fois sur l intervalle [a, b]. Montrer qu il existe c ]a, b[ tel que f (n) (c) = 0. Exercice 6. Soit P un polynôme non nul de R[X] ayant un nombre n racines réelles distinctes. Montrer que P admet au moins n racines réelles distinctes. Exercice 7. Soit a < b deux réels et f une fonction continue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[. Le plan est rapporté à un repère orthonormé et on note C la courbe de f. Soit M(α, β) un point sur la droite passant par (a, f (a)) et (b, f (b)) tel que α [a, b]. Prouver que l on peut mener de M une droite tangente à C. Exercice 8. Soit g une fonction impaire de classe C 5 sur [ α, α] (avec α > 0) et soit β [ α, α] avec β 0. () Montrer que g(0) = g (0) = g (4) (0) = 0 () Montrer qu il existe A R tel que g(β) = β 3 (g (β) + g (0)) β5 80 A (3) Soit h la fonction définie sur [ α, α] par h(x) = g(x) x 3 (g (x) + g (0)) x5 80 A. En appliquant le théorème de Rolle successivement à h, h, h puis à la fonction x Ax g (4) (x) montrer qu il existe δ ]0, β[ tel que A = g (5) (δ). Exercice 9. Soient a < b < c trois points d un intervalle I et f une fonction de classe C sur I. (a) Montrer qu il existe un unique polynôme P R [X] tel que P(a) = f (a), P(b) = f (b), P(c) = f (c) et le déterminer. (b) En utilisant g = f P, montrer qu il existe d ]a, c[ tel que f (a) (a b)(a c) + f (b) (b a)(b c) + f (c) (c a)(c b) = f (d). Exercice 30. Soit f : [, ] R une fonction de classe C s annulant en, 0 et. On définit une fonction g par g(x) = x 4 + x + f (x). Montrer qu il existe c ], [ tel que g (c) = 0.

18 8 Dérivation et accroissements finis Exercice 3. Soit f une fonction de classe C sur R telle que ( ) n N, f = n n n + Déterminer f (n) (0) pour tout n N. Exercice 3. Divergence d une série. Soit f la fonction définie sur [e, + [ par f (x) = ln(ln(x)). En appliquant le théorème des accroissements finis sur chaque intervalle [k, k + ] où k est un entier supérieur ou égale à, montrer que n ln(ln(n + )) ln(ln()) k ln(k) puis en déduire lim n + n k= k= k ln(k). Exercice 33. Soit f une fonction dérivable sur R telle que pour tout réel x, f (x). Montrer que f est une bijection de R dans R. Etude de suites récurrentes utilisant les accroissements finis Exercice 34. Soit f la fonction définie sur ]0, + [ par f (x) = suite (u n ) en posant u 0 = et pour tout n N, u n+ = f (u n ). ln( + x). On définit une x () Montrer que l équation f (x) = x admet une unique solution l dans ]0, + [. () Montrer que pour tout n N, u n+ l u n l et en déduire que lim u n = l Exercice 35. () Étudier la fonction définie par f (x) = sin x et tracer sa courbe représentative dans un repère orthonormé du plan. () On considére la suite (u n ) n 0 définie par u 0 R et pour tout n 0 : u n+ = sin u n Montrer qu il existe un réel α > 0 tel que pour tout n 3, on a α u n. (3) Etudier la convergence de (u n ) n 0. Exercice 36. On considère l application f de R dans R et l application g de R + dans R définies par f (x) = e x ln( + e x ) et g(x) = x ln( + x). + x () (a) Déterminer le signe de g(x), selon les valeurs de x. (b) Étudier les variations de la fonction f.

19 6.5 Exercices. 9 (c) Déterminer les fonctions ϕ définies et dérivables sur R qui vérifient la relation : ϕ (x) + ϕ(x) = + e x. () On considère la suite (u n ) n N définie par u 0 = a R et la relation : n 0, u n+ = f (u n ). (a) Montrer qu il existe un unique réel α tel que f (α) = α, et vérifier que α appartient à l intervalle ]0, [. (b) Montrer que pour tout x 0, on a : ln f (x) 0. (c) Montrer que la suite (u n ) n N converge vers α. Exercices avancés Exercice 37. On considère la fonction f définie par f (x) = +x. () Montrer que f est indéfiniment dérivable sur R. () Soit n un entier naturel. On pose P n (x) = (+ x ) n+ f (n) (x) où f (n) désigne la dérivée n-ième de f. (a) Montrer que l on a : ( + x )P n(x) = (n + )xp n (x) + P n+ (x) (b) Établir que P n est un polynôme dont le coefficient dominant est égal à ( ) n (n + )!x n. (3) Soit a un réel et g une fonction continue sur l intervalle [a, + [, dérivable sur l intervalle ]a, + [ et qui vérifie g(a) = 0 et lim g(x) = 0. x + (a) On { considère la fonction G définie sur l intervalle [0, ] par G : x g( x + a ) si x ]0, ] 0 si x = 0 Montrer que G est continue sur [0, ] et dérivable sur ]0, [. (b) Montrer que G s annule en un point de ]0, [. En déduire que g s annule en un point de ]a, + [. (4) Soit h une fonction qui est continue sur l intervalle ], a], dérivable sur l intervalle ], a[, telle que h(a) = 0 et telle que lim h(x) = 0. Montrer que x h s annule en un point de l intervalle ], a[. (5) Montrer par récurrence sur n que le polynôme P n admet n racines réelles distinctes. Exercice 38. Soit n un entier naturel. On considère la fonction F n définie sur R par, pour tout x réel : F n (x) = n n! (x ) n = n n! (x )n (x + ) n et P n l application de R dans R définie par, pour tout x réel : { si n = 0 P n (x) = F n (n) (x) si n

20 0 Dérivation et accroissements finis où F (n) n désigne la dérivée d ordre n de F n. () Montrer que P n est une fonction polynôme dont on déterminera le degré et le coefficient du terme de plus haut degré. () Soit k 0, n. On note B n,k le polynôme défini par B n,k = (X + ) k (X ) n k. (a) Montrer que (B n,0, B n,,..., B n,n ) est une base de R n [X]. n ( ) n (b) Montrer l égalité : P n = n B n,k. k k=0 (c) En déduire que P n () = et P n ( ) = ( ) n. (d) Démontrer que P n ( X) = ( ) n P n (X). Étudier la parité de P n suivant les valeurs de n. (3) On suppose dans cette question que n N. Soit p un entier tel que 0 p n. (a) Démontrer que, pour tout x réel : F n (p) (x) = p p! n )( n k=0 n!( n k p k) Bn p,n k (x). (b) En déduire que F n (p) () = 0 et F n (p) ( ) = 0. (c) Démontrer que P n possède n racines réelles distinctes dans l intervalle ], [.

21 6.6 Indications pour les exercices 6.6 Indications pour les exercices Indication pour l exercice 7. Commencer par montrer qu il existe x et x dans ]a, b[ tels que f (x ) > f (a), f (x ) > f (b) puis étudier f ([a, b]). Indication pour l exercice 9. Ecrire la formule de Taylor au point. Indication pour l exercice 5. Appliquer successivement le théorème de Rolle à f, f, f,..., f (n) entre leurs zéros sur [a, b] ou alors raisonner par récurrence sur n. Indication pour l exercice 6. consécutives. Indication pour l exercice 7. Appliquer le théorème de Rolle à P entre deux racines Considérer la fonction g définie sur [a, b] par g(x) = β f (x) α x. Indication pour l exercice 9. (a) Penser aux polynômes interpolateurs de Lagrange. (b) Appliquer le théorème de Rolle à g puis une deuxième fois à g. Indication pour l exercice 3. Considérer la fonction g : x f (x) et appliquer + x le théorème de Rolle successivement à g, g, g, etc. Indication pour l exercice 33. Pour étudier les limites en ±, montrer que pour x 0, f (x) f (0) + x et pour x 0, f (x) f (0) + x en utilisant la positivité de l intégrale. 6.7 Correction des exercices

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