4. COMPARAISON DE PLUS DE DEUX GROUPES : AUTRES ANOVA
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- Alexis Bélanger
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1 4. COMPARAISON DE PLUS DE DEUX GROUPES : AUTRES ANOVA
2 ANOVA à 2 facteurs avec répétitions Permet de tester en plus l interaction entre les 2 facteurs Interaction : influence du niveau d un facteur sur l effet de l autre facteur sur la variable dépendante B A r t t t t t t t t s t t t t
3 Exemple On cherche à évaluer les effets de la dose d un médicament et de l âge sur le rythme cardiaque de patients. On veut en outre savoir si l effet éventuel du médicament diffère selon l âge. Variable : rythme cardiaque au repos Facteur A : dose de médicament Facteur B : catégorie d âge Effet différentiel selon l âge (ou l inverse) : interaction A X B
4 Effets des facteurs et de l interaction B : âge A : médicament Dose forte Dose faible Var : Rhytme cardiaque Jeune Adulte Âgé Pas d effet Jeune Adulte Âgé Effet de B Jeune Adulte Âgé Effet de A Jeune Adulte Âgé Effet de A et B
5 A : médicament Dose forte Dose faible B : âge Var : Rhytme cardiaque Jeune Adulte Âgé Interaction + effet de A Jeune Adulte Âgé Interaction et pas d effet de A et B La présence d une interaction rend complexe l étude de l effet des facteurs individuels Dans ce cas, ceux-ci doivent être étudiés plus précisément, ou non considérés
6 Test de 3 hypothèses nulles Les moyennes sont identiques selon le facteur A H 0 : µ1. = µ2. = µ3. = µr. Les moyennes sont identiques selon le facteur B H 0 : µ.1 = µ.2 = µ.3 = µ.s Les facteurs A et B n interagissent pas sur la variable
7 Sources de variation Dispersion selon le facteur A : SCEA = SCE des moyennes des groupes de A par rapport à la moyenne générale Dispersion selon le facteur B : SCEB = SCE des moyennes des groupes de B par rapport à la moyenne générale Dispersion cellulaire SCEC : au sein des cases du tableau Dispersion due à l interaction SCEAB Dispersion résiduelle SCEE : dispersion totale SCET moins SCEC
8 Variances : division par les ddl SCEA : (r - 1) donc S2 A SCEB : (s - 1) donc S2 B = SCEA/(r - 1) = SCEB/(s - 1) SCEAB : (r - 1)(s - 1) donc S2 AB = SCEAB/ (r - 1)(s - 1) SCEE : rs(t - 1) donc S2 E = SCEE/rs(t - 1)
9 Tests H 0A : F = S2 A /S2 E H 0B : F = S2 B /S2 E avec (r - 1) et rs(t - 1) ddl avec (s - 1) et rs(t - 1) ddl H 0AB : F = S2 AB /S2 E avec (r - 1)(s - 1) et rs(t - 1) ddl
10 Formules SCEAB = SCEC - (SCEA + SCEB) SCEE = SCET - SCEC
11 Tableau d ANOVA Exemple pour deux facteurs à 3 et 2 niveaux, et 8 répétitions par niveau Source ddl Somme des carrés Carré moyen F Probabilité A 2 181,32 90,66 9,483 0,0004 B 1 16,64 16,64 1,740 0,194 A X B 2 23,93 11,96 1,251 0,297 Erreur ,52 9,56
12 ANOVA : modèles I, II et III (= modèle mixte) Fonction du caractère contrôlé (niveaux fixés par l'expérimentateur) ou aléatoire (niveaux choisis au hasard parmi une gamme de possibilité) des facteurs (= critères de classification) Ce qu'on a vu jusque là est l'anova de modèle I : 2 facteurs contrôlés ANOVA de modèle II : 2 facteurs aléatoires ANOVA de modèle III (ou mixte) : 1 facteur contrôlé et 1 facteur aléatoire
13 Pas toujours aisé de différencier un facteur fixe d'un facteur aléatoire : il faut savoir si on considère les niveaux comme un échantillon aléatoire d'un groupe plus vaste (exemple : quelques années sur une longue période) Modèle II rarement rencontré en biologie Tous les calculs des SCE. restent les mêmes, ce sont les calculs des F qui changent L'estimation de l'effet d'un facteur doit tenir compte du caractère aléatoire de l'autre facteur le cas échéant, par l'intermédiaire de l'effet de l'interaction
14 Modèle mixte (III) avec facteur A contrôlé et B aléatoire : H 0A : F = S2 A /S2 AB avec (r - 1) et (r - 1)(s - 1) ddl H 0B : F = S2 B /S2 E avec (s - 1) et rs(t - 1) ddl H 0AB : F = S2 AB /S2 E avec (r - 1)(s - 1) et rs(t - 1) ddl
15 Modèle II avec facteur A et B aléatoires : H 0A : F = S2 A /S2 AB H 0B : F = S2 B /S2 AB avec (r - 1) et (r - 1)(s - 1) ddl avec (s - 1) et (r - 1)(s - 1) ddl H 0AB : F = S2 AB /S2 E avec (r - 1)(s - 1) et rs(t - 1) ddl
16 Test de Scheirer-Ray-Hare Equivalent non-paramétrique de l ANOVA à deux facteurs avec répétitions Extension du test de Kruskal-Wallis (mêmes conditions) Parfois appelé test H Test de l effet de chaque facteur et de l interaction Facteur A, à a niveaux, facteur B à b niveaux, n répétitions par combinaison de niveaux
17 Principe Placer l ensemble des valeurs en rang Remplacer les valeurs originales par leurs rangs Effectuer une ANOVA factorielle sur ces rangs, on obtient pour chaque facteur les SCE Calculer le carré moyen CM = abn(abn + 1)/12 Pour chaque facteur et l interaction, calculer les statistiques H, telles que H = SCE/CM Sous H 0 les statistiques-test suivent une loi du χ2 à un nombre de ddl correspondant au SCE testé
18 ANOVA hiérarchique Extension de l ANOVA à 1 facteur Niveaux emboîtés (nested) = hiérarchisés Pas de correspondances entre les modalités des 1... a 1... b 1... b 1... b n n n n n n n n n facteurs
19 Exemple Prélèvement et mesure de la taille de plantes dans 12 localités réparties également dans 3 chaînes de montagnes Variable : taille (pouvant faire l objet de n répétitions par localité) Facteur A : chaîne (3 niveaux) Facteur B = sous-facteur : localités (4 niveaux) Les facteurs sont emboîtés : la localité 1 de la chaîne 2 n a pas de rapport avec la localité 1 des deux autres chaînes
20 Test de 2 hypothèses nulles 1. Les moyennes sont identiques selon le sousfacteur B 2. Les moyennes sont identiques selon le facteur A Les hypothèses sont testées dans cet ordre
21 Tests Effet des sous-groupes H 0B : F = S 2 SG /S2 E avec a(b-1) et ab(n-1) ddl Effet du facteur proprement dit, tenant compte de l effet des sous-groupes H 0A : F = S 2 A /S2 SG avec (a-1) et a(b-1) ddl
22
23 Comparaison de > 2 groupes Données normales? Oui Non n i petit Test d homogénéité Succès Normaliser des variances Oui Echec n i > 145? Echec Homoscédasticité Hétéroscédasticité Non ANOVA Succès Homogénéiser les variances Echec Test non paramétrique (K-W, Friedman,...)
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