Les différentes méthodes de calcul intégral

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1 Les différentes méthodes de calcul intégral Connaissances de primitives Le calcul d une intégrale est immédiat quand on connaît une primitive de la fonction à intégrer. Tableau des primitives usuelles Dans la première colonne figure la fonction f dont on veut donner les primitives. Dans la deuième colonne, se trouve une primitive de f. Dans la troisième colonne, se trouve le domaine de définition des primitives. En particulier, on ne peut intégrer f que sur un intervalle inclus dans ce domaine.

2 Fonction f, f() Primitive F, F () Domaine de définition de F e α, α fié α eα ch ω (ω ) sh ω (ω ) cos ω (ω ) ω sh ω ω ch ω ω sin ω sin ω (ω ) cos ω ω ] tan ln cos π, π [ (π) th ln ch ch = th th cos = + tan tan ] π, π [ (π) α, α Z n, n Z {0, } n, n IN a + b, (a, b) α+ α + n+ n + n+ n + ln a ln a + b + ], 0[ ou ]0, + [ ], 0[ ou ]0, + [ ], b a [ ou ] b a, + [ a + (a 0) a Arctan a (a > 0) a Arcsin a ou Arccos a ] a, a[

3 Règles de dérivation On peut reconnaître sous le signe, la dérivée d un produit, une puissance d une fonction et sa dérivée, u u, etc... Opérations usuelles Fonction f, f() Primitive F, F () Commentaires a f, a réel a f f + g f + g f f n, n Z, n n + f n+ sur tout intervalle où f() 0 si n < 0 f f ln f sur tout intervalle où f() 0 f (g f) g f Eemples : dt = ln ln(t) tln(t) cos n (t) sin(t) dt = n + cosn+ (t) 3 Intégration des polynômes trigonométriques a) Pour obtenir une primitive de cos n () ou de sin n (), il faut linéariser en s aidant si besoin des formules d Euler. Eemples : cos (t)dt = ( + cos(t))dt = (t + sin(t)). b) Pour obtenir une primitive de cos n () sin m (), (n, m) IN, ou bien : n ou m est impair. On se ramène à des formes u u p grâce à la relation cos () + sin () =. ou bien : n et m sont pairs. on linéarise par Euler. 3

4 4 Intégration par parties propriété 3 : Soit I un intervalle de, f, gc sur I. (a, b) I I, b a f (t)g(t)dt = [f()g()] b a b a f(t)g (t)dt Applications : ) Pour éliminer une fonction dont la dérivée est plus simple. t Eemples : ln(t)dt, dt, argth(t)dt,... + t ) Pour établir une relation de récurrence entre les termes d une suite d intégrales : Eemple : Les Intégrales de Wallis : I n = π 0 sinn (t) dt = π 0 cosn (t) dt 3) Pour établir une équation : Eemple : cos(t)e t = e t sin(t) sin(t)e t = e t sin(t) + e t cos(t) cos(t)e t et ainsi cos(t)e t = e t (sin(t) + cos(t) 5 Changement de variable Théorème de changement de variable : Soit f : I continue. Soient (α, β), α < β, ϕ : [α, β], C sur[α, β] tel que ϕ([α, β]) I. Alors ϕ(β) ϕ(α) f() d = β α f(ϕ(t))ϕ (t) dt On dit qu on a effectué le changement de variable = ϕ(t). Application au calcul des primitives : Si on a effectué le changement de variable = ϕ(t) dans f() d, on obtient ainsi f() d = f(ϕ(t))ϕ (t) dt Il arrivera que le calcul d une primitive de t f(ϕ(t))ϕ (t) soit plus simple. Supposons que G en soit une, ainsi, on a : f() d = G(t) + c Mais attention, on cherche une fonction en, il faut donc revenir à l ancienne variable. Pour cela, on choisira ϕ bijective et alors t = ϕ (). Méthode pratique à utiliser pour calculer une intégrale par un changement de variable :rappelé dans le cours de PSI 4

5 6 Intégration des fonctions rationnelles Il s agit d intégrer des fonctions du type P () où P et Q sont des fonctions Q() polynômiales à coefficients réels. Première étape : Faire une décomposition en éléments simples de P () Q(). On doit en théorie vous aider pour la faire. Seconde étape : En utilisant la linéarité de l intégrale, on est donc ramené au calculs des intégrales du type : ) (t a) n dt, a IK, n Z : Si a, Si n, (t a) n dt = n + (t a)n+. Si n =, dt = ln t a. t a Si a CI/, Si n, (t a) n dt = n + (t a)n+. Si n =, on écrit a = a + ia puis t a = t a ia. (t a ) + a On est ramené après changement de variable adéquat à des intégrales du type + d = ln( + ) et d = arctan. + ) a + b + p + q) k d, (a, b, p, q) 4 et p 4q < 0. Eemples : e :Comment intégrer a + b + p + q d? a. Il faut mettre le dénominateur sous forme canonique : + p + q = ( + p ) + q p = ( + p 4 ) + d. b. Par des changements de variables adéquats, on se ramène à des intégrales du type + d = ln( + ) et d = arctan + a + b e :Comment intégrer ( + p + q) d? a. Il faut mettre le dénominateur sous forme canonique : + p + q = ( + p ) + q p = ( + p 4 ) + d. b. Par des changements devariables adéquats, on se ramène à des intégrales du type ( + ) d = ( + ) et ( + ) d : écrire = + et intégrer par partie ( + ) d en décomposant =. 5

6 7 Intégration des fonctions du type P () e a, P [X], a La méthode consiste à savoir qu une primitive de P () e a, P [X], a est de la même forme i.e Q() e a, Q [X] de même degré que P. Alors on cherche une primitive en dérivant Q() e a puis en identifiant avec P () e a. Remarque : On peut aussi faire des intégrations par partie successives en dérivant le polynôme afin de diminuer le degré. 8 Intégration des fonctions des fractions rationnelles en cos, sin, sh, ch Il s agit de méthodes pour intégrer des fonctions s écrivant comme quotient de polynôme en cos ou sin (resp : en sh et ch) 8. Intégration des fonctions des fractions rationnelles en cos, sin :Les règles de Bioche Soit à calculer R(sin(), cos())d, où R est une fonction rationnelle. Posons v() = R(sin(), cos())d. ) Si, pour tout du domaine considéré, on a v( ) = v() (en sachant que d( ) = d), alors on pourra par le changement de variable u = cos() (logique puisque cos est aussi paire!), se ramener à une primitive d une fonction rationnelle de la variable u. E : sin 3 () + cos() d ) Si, pour tout du domaine considéré, on a v(π ) = v() (en sachant que d(π ) = d), alors on pourra par le changement de variable u = sin() (logique puisque sin(π ) = sin()!), se ramener à une primitive d une fonction rationnelle de la variable u. E : cos 3 () + cos 5 () sin () + sin 4 () d, cos() d = ( cos() cos () d = cos() sin () d 3) Si, pour tout du domaine considéré, on a v(π + ) = v() (en sachant que d(π + ) = d), alors on pourra par le changement de variable u = tan() (logique puisque tan(π + ) = tan()!), se ramener à une primitive d une fonction rationnelle de la variable u. E : d cos()(sin() cos()) 8. Lorsque les règles de Bioche ne s appliquent pas... Lorsque les règles de Bioche( ne s appliquent pas, on effectue systématiquement le ) changement de variable u = tan. Ce changement de variable conduit à une fraction rationnelle en u. 6

7 Les relations à ne pas oublier pour ce changement de variable sont : du = ( + u )d E : d, a ], + [ a + cos() sin() = u + u cos() = u + u 8.3 Intégration des fonctions des fractions rationnelles en ch, sh Soit à calculer I() = R(ch(), sh())d, où R est une fonction rationnelle. En pratique, on considère J() = R(cos(), sin())d, pour laquelle on essaie d appliquer une règle de Bioche. Ceci conduirait, pour calculer J(), à l utilisation de l un des changements de variable : ( ) u = cos(), u = sin(), u = tan(), u = tan On utilise dans notre cas le changement de variable correspondant pour les fonctions hyperboliques, c est-à-dire respectivement ( ) u = ch(), u = sh(), u = th(), u = th Dans le cas du changement de variable u = th ( ), les relations à ne pas oublier sont : du = ( u )d sh() = u u ch() = + u u 7

8 Pour vous entraîner, Calculer les intégrales suivantes : ( + ) cos() e d, cos ln( + cos()) d t 3 arcsin d, sin( ln ) d, t + t + dt, d ( 7 + ) (Remarquer que ( 7 + ) = 6 t 3 + dt 7 ( 7 + ) ) t 3 ln t (t 4 + ) dt (utiliser la D.E.S de 3 ( + ) ) d (écrire le polynôme sous sa forme canonique) d (Poser u = arcsin ) e t + e t + dt (utiliser la DES de u + u + e t + u(u + ) ) arcsin d (Poser = sin(u)) sin (t) cos 5 (t) dt, sin (t) cos 4 (t) dt, sin cos d, ( ) ( + ) d, e t + dt, sin t dt, π 4 0 tan 4 d t arccos t dt ( )(3 ) d (mettre ( )(3 ) sous forme canonique et faire un changement de variable adéquat) + + d (Poser u = + ). 8