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1 CHAPIRE : CHAMPS DE EMPÉRAURE UNIDIRECIONNEL SAIONNAIRE Ca pariculier : le L équaion de la barre A) Ailee de refroidiemen à ecion droie uniforme Flux exrai par une A) Longueur infinie B) Longueur finie avec diipaion de chaleur à l exrémié Concepion A) Efficacié d une B) Rendemen d une C) Choix e concepion de Approximaion de l par la méhode de quadripôle Verion du 7 ocobre 016 (0h19)

2 CHAPIRE : CHAMPS DE EMPÉRAURE UNIDIRECIONNEL SAIONNAIRE.7. Ca pariculier : le.7.1. L équaion de la barre Le problème conidéré dan ce paragraphe e renconren dan la praique lorqu un olide, ayan une ecion ranverale relaivemen peie, émerge d un grand corp e e rouve dan un fluide a empéraure différene. De elle urface de grande éendue on de nombreue applicaion indurielle. Aini le fixée ur le urface de échangeur on pour bu d augmener le ranfer de chaleur. A) Ailee de refroidiemen à ecion droie uniforme Comme exemple imple, on conidère une ayan la forme d une barre primaique don la bae e liée a un mur poré à la empéraure uppoée conane. Nou omme donc en régime permanen. L e refroidie le long de a urface par un fluide à empéraure. L de ecion ranverale A conane e faie d un maériaux ayan une conducivié hermique uniforme λ e le coefficien d échange de chaleur enre la urface de 1' e le fluide e h. Hypohèe : Bi 01. On uppoera que le gradien radiaux de fig Ailee empéraure on i pei que la empéraure e uniforme dan n impore quelle ecion ranverale de la barre, c e-à-dire : z. L éude de limie de cee implificaion, laquelle rend le problème de 1'écoulemen de la chaleur unidimenionnel, a monré que 1'erreur commie dan une oluion unidimenionnelle e au deou de un pour cen, même pour une relaivemen épaie. Une manière de exprimer de façon plu générale e de dire que lorque le nombre de Bio e inférieur à 0.1 dan deux direcion de l epace, il e poible de réduire un problème ridimenionnel en un problème unidirecionnel. Le bilan hermique appliqué a un pei élémen de 1' permera d obenir une équaion définian la répariion de empéraure. En régime permanen, la quanié de chaleur qui enre, par conducion, par la face gauche de 1'élémen e égale à celle qui or, par conducion, par la face droie de 1'élémen e, par convecion de la urface ver le milieu exérieur, ou : flux hermique qui enre, par conducion, dan 1'élémen par la face iuée à la diance z. = flux hermique qui or, par conducion, de 1'é1émen par la face iuée à la diance z. + flux hermique qui or, par convecion, de la urface enre z e diance z. Le flux qui renre par la face z e : Q z A z Le flux qui or par la face z e : R. Ierbeek Dynamique de yème hermique - Ca pariculier : le Page -.1 -

3 Q z A z z Le régime éan permanen, le flux de convecion écrira : Q conv h P Noaion : P périmère de la ecion de la pièce empéraure du fluide m K Dè lor : Q Q Q z z conv A A h P z z z 0 A d h P d h P A z 0 h P Poon : m A L équaion finale devien : [ m ] d m 0 z (éq..1.) L équaion (.1.) e appelée équaion de l en régime permanen..7.. Flux exrai par une A) Longueur infinie La oluion de cee équaion de forme claique e : C m z C m z z 1 exp exp (éq..13.) Le différene condiion limie on : Si z 0 z 0 ( : empéraure de urface) Si z z (empéraure ambiane du fluide) 1 ère CL : C C 1 ème CL : 0 C exp m C exp m 1 C 0 e C 1 R. Ierbeek Dynamique de yème hermique - Ca pariculier : le Page -. -

4 La oluion e : z exp m z (éq..19.) avec : m h P A P éan le périmère de l e A la ecion ranverale de l. La quanié de chaleur (flux) ranmie par l au fluide peu-êre obenue par deux méhode différene. Comme la chaleur écoulan par conducion, à raver la bae de l doi êre ranmie par convecion à parir de la urface de la barre au fluide. Nou auron donc : Q A d z 0 h P z 0 Prenon la première égalié, dérivon l équaion (éq..19.) e remplaçon dan l équaion ci-deu. Nou obenon : Q A m exp m 0 A m E finalemen : Q h P A (éq..3.) Le équaion (éq..3.) e (éq..19.) on de approximaion valable pour la répariion de empéraure e du flux de chaleur ranmi pour une limiée i a longueur e relaivemen grande par rappor à l aire de a ecion ranverale A. Soi : l 10 A. B) Longueur finie avec diipaion de chaleur à l exrémié En enan compe de déperdiion calorifique par convecion à l exrémié de la barre, la chaleur écoulan par conducion de la face : z l, doi êre égale à la chaleur ranmie par convecion de la ecion finale de la barre au fluide, ou : A d z l A hl z l Le coefficien d échange de chaleur à l exrémié de la ecion erminale h l n e pa forcémen égal d à la valeur de h ur la urface exérieure de la barre. En remplaçan e z l e z l par leur valeur irée de l équaion : C m z C m z z 1 exp exp, e on obien aiémen que : z coh m l z hl m inh m l z coh m l hl m inh m l inh m l hl m coh m l Q h P A coh m l hl m inh m l (éq..30.) R. Ierbeek Dynamique de yème hermique - Ca pariculier : le Page -.3 -

5 Remarque : 1) Seul le econd erme du numéraeur e du dénominaeur coniennen h l. Ce erme indiquen l influence de pere de chaleur par l exrémié de la barre e modifien le réula obenu lorque ce pere on négligée. ) Si : h l 0 barre de longueur finie mai iolée à on exrémié. 3) Si nou recherchon la empéraure à l exrémié de la barre : z l. On conae qu il e inuile de faire de rop longue. En praique : l e avec (l : longueur e e : épaieur de l ). En oure, il fau le écarer uffiammen pour que l air de refroidiemen puie circuler facilemen enre-elle. La géomérie e la dipoiion le plu favorable de de refroidiemen d organe rè chargé éudien expérimenalemen. Applicaion.1. Dan un ube d acier de 76 mm de diamère écoule de la vapeur don la empéraure a éé meurée au moyen d un hermomère à mercure en verre plongé dan une gaine en acier conenan de 1'huile. Alor qu un manomère préci indique 10.4 amophère, la empéraure donnée par le hermomère à mercure e de 179 C. Le ableaux de propriéé de vapeur donnen, pour la empéraure de auraion de la vapeur à 10.4 amophère, la valeur 18 C. A première vue, l indicaion du hermomère, éan au deou de la empéraure de auraion, emble êre erronée. Pour le monage, repréené ur la figure ci-conre, deiné, à meurer la empéraure, monrer que l indicaion du hermomère n e pa incompaible avec celle de la preion, e, évaluer la empéraure réelle i la empéraure de la paroi du ube e 93 C e le coefficien de convecion enre la vapeur e la gaine du hermomère e de 88 W/m K. Soluion : La gaine du hermomère e eeniellemen un cylindre creux plongé dan la vapeur à la empéraure. Comme la chaleur écoule à parir de la vapeur le long de la gaine ver le paroi refroidie du ube, le hermomère n indique pa la vraie empéraure de la vapeur, mai pluô la empéraure de l exrémié de la gaine. On peu évaluer la empéraure de la vapeur en conidéran la gaine du hermomère comme une barre. La conducion le long du verre 8. 6W m K e négligeable, 76 Vapeur Paroi du ube 93 C Flux fig... - hermomère Huile ube d acier : épaieur 3 mm Réervoir à mercure puiqu elle e rè peie par rappor à la chaleur écoulan le long de la gaine en acier. Vérificaion mince 3 h V A h r Bi OK 48 La ecion ranverale de 1' e : R. Ierbeek Dynamique de yème hermique - Ca pariculier : le Page -.4 -

6 A mm Le périmère e : P d mm La conducivié hermique de 1'acier e 48 W m K. Calculon le faceur m : h P m A m 1 En première approximaion on peu uilier l équaion de l en longueur infinie avec z 51 mm, 179 C e 93 C. z exp m z z exp 1 exp m z m z exp C 1 exp Bien que cee correcion du premier ordre donne une valeur raionnable, le condiion aux limie appliquée lor de la déerminaion de 1'équaion de longueur infinie ne correponden pa aux condiion phyique de 1'exrémié de la gaine. L équaion de longueur finie e plu proche de la vérié puique la chaleur écoule égalemen de 1'exrémié de 1'. z coh m l z hl m inh m l z coh m l h m inh m l Sachan que : z l 51 mm on obien : 3 m l 3 m l l coh coh inh inh E finalemen : z 013. z C Cee dernière équaion donne une empéraure de vapeur égale à 19 C. Par, conéquen, la vapeur dan le ube e effecivemen urchauffée e 1'erreur dan la lecure du hermomère éai de 10 C. L erreur pourrai êre réduie noablemen en augmenan la longueur de la gaine du hermomère à 76 mm e en le plaçan obliquemen à 45 pour empêcher de oucher la paroi du ube. R. Ierbeek Dynamique de yème hermique - Ca pariculier : le Page -.5 -

7 .7.3. Concepion A) Efficacié d une Définiion : L efficacié d une e définie comme éan le rappor enre le flux de chaleur diipé par l e le flux de chaleur qui quierai la même urface il n y avai pa e i la empéraure de bae reai idenique. a Q h A aux de ranfer de chaleur de l' aux de ranfer de chaleur an l' (éq..49.) Noaion : h A coefficien de ranfer hermique par convecion aire ranverale de l (à la bae) empéraure de urface empéraure du fluide W/m K m K K Ca pariculier de l infinie a h P A h A P h A Donc, l efficacié d une augmene i : 1) la conducivié hermique λ augmene; ) le coefficien de ranfer hermique par convexion h diminue; 3) le rappor P A augmene ( mince). Inerpréaion de l efficacié d une : a Q Q R h conv 1 car Q 1 h A h A R R h cond h Noaion : R h conv R h cond réiance aribuable à la convexion à la bae réiance de l Aini, l efficacié d une peu êre vue comme éan le rappor enre deux réiance. Si l er à augmener le ranfer hermique, il fau que la réiance de l oi upérieure à celle aribuable à la convecion à la bae. B) Rendemen d une Définiion : Le rendemen d une e défini comme éan le rappor enre le aux de ranfer de chaleur réel de l e le aux de ranfer hermique de l qui exierai i elle éai oue à la empéraure de la bae. R. Ierbeek Dynamique de yème hermique - Ca pariculier : le Page -.6 -

8 a h A o urf aux de ranfer de chaleur de l' aux de ranfer de chaleur maximal de l' (éq..55.) Noaion : h A o urf coefficien de ranfer hermique par convecion aire oale de la urface de l empéraure de urface empéraure du fluide W/m K m K K Cee noion de rendemen e plu raionnelle e plu uiliée que celle d efficacié. En effe, la dernière condiion de l efficacié : e i la empéraure de bae reai idenique recèle le poin faible de cee noion d efficacié, dan la réalié, la empéraure de bae peu quelque peu changer i l on enlève l. En nou plaçan dan le condiion d une de longueur finie avec exrémié iolée (ou i le flux en bou de l e négligeable) : a m l m l h P A anh m l A anh anh h P l h P l m l (éq..56.) Applicaion.. Calculez la empéraure à l exrémié d une, recangulaire, de culae en aluminium ( 04 W mk ), de dimenion : mm x 80 mm e longueur égale à 5 mm. La convecion e fai de manière naurelle ( h 0W m K ). La empéraure ambiane e de 0 C e la culae e porée à une empéraure de 30 C. Quel flux ravere cee? Quelle e on efficacié aini que on rendemen? Soluion : Vérificaion mince V mm A mm h V A Bi OK Vérificaion de la longueur infinie l A 80 longueur finie Calculon le faceur m h P m A Avec : le périmère : P m mm La ecion : A mm R. Ierbeek Dynamique de yème hermique - Ca pariculier : le Page -.7 -

9 Calculon la empéraure à l exrémié de l ( z 5 mm ) Hypohèe : le coefficien de ranfer hermique par convecion e conan e le même le long de l e à on exrémié. z coh m l z hl m inh m l z coh m l h m inh m l l 1 0 coh.. inh C (>< 54 C i infini) Calculon le flux diipé par l Q h P A inh coh m l hl m coh m l m l hl m inh m l W (>< 98. W i infini) Efficacié de l Q a h A ( OK) Rendemen de l Q a h A o urf Q h P l A % R. Ierbeek Dynamique de yème hermique - Ca pariculier : le Page -.8 -

10 C) Choix e concepion de Le choix d une forme géomérique convenable d une exige un compromi aui bien enre le prix, le poid, l epace diponible e la chue de preion qu enre le propriéé du ranfer de la chaleur de urface éendue. Pour une urface plane d aire A, la réiance hermique de convecion e : Rh conv 1. L emploi de augmene l aire h A de la urface, mai en même emp, il inrodui aui une réiance conducive ur cee parie de la urface iniiale a laquelle on liée le. Aui la préence de n aura pa oujour pour effe une augmenaion du flux de chaleur (voir figure ci-conre). Auremen di, il fau que i l efficacié ( de l oi upérieur à l unié a P 1 h A e que ce faceur oi le grand poible. P Dan la praique, l emploi de e juifiable i : h A fig L examen de valeur moyenne de coefficien d échange de chaleur monre que le augmenen efficacemen le ranfer de chaleur ver ou à parir d un gaz, qu elle on moin uile lorque le milieu e un liquide en écoulemen forcé, e, qu elle n offren aucun avanage dan la ranmiion de chaleur ver le liquide en ébulliion ou à parir de vapeur qui e condenen. Aini, pour une aiguille, en aluminium de 3 mm de diamère, plongée dan un réchauffeur claique de gaz : A 47 (Réchauffeur de gaz) A (Réchauffeur d eau) Par conéquen, 1' erai plu efficace dan le réchauffeur de gaz que dan celui de l eau. Il reor de ce conidéraion que lorqu on uilie de, elle doiven êre placée à la urface d échange, du côé ou le coefficien de ranfer de chaleur enre le fluide e la urface e le plu faible. Le mince, éroie e rapprochée on meilleure au poin de vue ranmiion de la chaleur, que le epacée e épaie. Evidemmen le formée d un maériaux ayan une conducivié hermique élevée e ouhaiable. Le on, ouven, liée au pourour de la urface exérieur de ube. Le comporemen de elle peu êre déerminé, d une manière approchée, en uilian le équaion relaive aux recangulaire, avec l aire A A d e e le périmère P P d moy moy pri à la valeur moyenne enre la bae e le rayon exérieur de cee circulaire. Cee approximaion ree aifaiane an que la haueur de l e faible devan le diamère de la bae. fig R. Ierbeek Dynamique de yème hermique - Ca pariculier : le Page -.9 -

11 .7.4. Approximaion de l par la méhode de quadripôle A) Régime permanen d La relaion de bae de l en régime permanen devien : m z 0, peu e raduire par un quadripôle don, évidemmen, ou le élémen on réiif, avec, comme dan le ca du mur : coh e 1 Z1 Z 1 A 1 D 1 A inh e Z e donc : 3 ; Z1 ; Z C C C 1 Z3 A inh e h P E dan ce ca préci ( e l ) la longueur de l e m. A fig Quadripôle de l B) Régime inaionnaire A faire... R. Ierbeek Dynamique de yème hermique - Ca pariculier : le Page

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