TD T5 2/7. Les parties A et B sont totalement indépendantes. Partie B. Refroidissement de la salle de stockage

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1 b) Une GP : masse en granurs m = 1 gmassiques d eau liqui h = cest p T à la pour température un GP ; transfo 50adiabatique C sous sa pression et réversible vapeur d un gaz saturante On la vaporise entièrement sous cette pression P sat = 0, 73 bar à température constante parfait : loi La Laplace vapeur d eau = est assimilée à un gaz parfait Calculer lors cette opération : (a) la variation d enthalpie l eau ; (b) sa variation d énergie interne ; (c) sa variation d entropie γ 1 Données : R = 8, 31JK 1mol 2 γ R Par le bilan établi en a on tire : wmachines ( x) = 1 ; masse molaire T ( 0) thermiques 1 ψ γ l eau : M eau = 18 gmol 1 ; masse volumique l eau liqui : ρ en considérant que w(0) 0 eau = 1000gL M γ 1 1 ; enthalpie vaporisation l eau à 50 C : eau H = 340 Jg 1 2 Puissance Ex-T63 d une pompe Un congélateur : Une machine frigorifique fonctionne réversiblement entre ux sources à 0 C et 20 C La source Une pompe chau Couplage aspire représente l eau d un moteur l atmosphère puits et -la pompe transvase et la source àdans chaleur froi un réservoir une sallepressurisé parfaitement avec calorifugée un débit massique dans laquelle constant D m Le niveau supérieur est stockée l eau dans lale glace réservoir qui est est maintenue à une altitu à 0z C s au grâce ssus à la machine celui du puits frigorifique et la pression y est égale à P 1, supérieure TD T5 1/7 Exercice 1: On veut Calculer réguler prix la température revient d un 1 tonne bungalow glace (c est-à-dire sachant que l eau la maintenir est introduite fixe) dans à la T 2 salle = 293 K en à la pression atmosphérique P o utilisant le frigorifique site où il se à latrouve température : air extérieur 20 C chaud à T 1 = 310 K et eau froi du lac à T 3 = 285 K On Données : c a) On néglige toute P = 4, 18 kjk viscosité : le flui 1 kg suit 1 ; L alors fus = 330 Jkg la relation entre 1 ; prix : 1 kwh = 0, 15 e et 1 m enthalpie massique et pression : 3 d eau dh = (1/ρ)dP où ρ est la utilise à cet effet un moteur ditherme réversible fonctionnant entre l air extérieur et le lac, fournissant = 3 e l énergiemasse nécessaire volumique à une pompe l eau Calculer à chaleur la puissance réversible P f fournie fonctionnant par la pompe entre au le flui bungalow et le lac En appelant Q 1 la chaleur Ex-T64 reçue Congélation l eau à l ai d un réfrigérateur par le moteur l air extérieur et Q 2 la chaleur réellement reçue par le bungalow, b) La viscosité est prise en compte : l écoulement du flui dissipe une énergie KD m /ρ par unité masse transvasée, où ρ est La la masse pression volumique atmosphérique du flui est et PK atm un = coefficient 1 bar Dans caractérisant un réfrigérateur le phénomène schématisé Calculer par la une nouvelle machine valeur P f ditherme fonctionnant façon réversible, le flui réfrigérant effectue s transferts thermiques avec une source chau et une source froi La source Q 1 chau est l atmosphère extérieure à la Réponses : a) P f =D m (gz s + (P 1 P o )/ρ) ; b) P f =D m (gz s + (P 1 P o )/ρ) + KD m ²/ρ température T c = 293 K constante et la source froi est l échantillon d eau à congeler, sa masse est m 0 = 10 kg et T F sa température variable 3 Réfrigérant La capacité : thermique massique l eau liqui est c = 4, 18 kjkg 1 K 1 L enthalpie massique fusion la glace à 0 C est fus H = 340 kjkg 1 La température fusion est notée T f De l air Dans chaud l état (P 1 = initial, 6 bar, Tl eau 1 = 500 estk) à la est température refroidi façon T c etisobare la puissance jusqu à constante la température fournietà o la = 300 machine K dans un échangeur thermique estparfaitement P = 500 W calorifugé Le flui réfrigérant est constitué d eau (capacité thermique massique c = 4180 JK -1 kg -1 ) qui entre 1) à la Exprimer température le temps θ e = 12 τ 1 C auet bout qui duquel sort à la l eau température commence θ s à geler, l échangeur en fonction Le débit d eau m 0, c, est T f d, = T C 100 g/s et celui l air est et P 6,5 Effectuer g/s On donne l application M air = 29 g/mol numérique et pour l air γ 1,4 Calculer θ s 2) Déterminer la durée τ 2 correspondant à la congélation toute la masse m 0 d eau, en fonction m 0, fus H, T f, T C et P Effectuer l application numérique 1 3) Pour un réfrigérateur fonctionnant manière quelconque, calculer la masse glace maximale m formée avec un kilowattheure d énergie électrique lors la congélation déterminer l efficacité thermique d un tel dispositif, e = Q 2 Exercice 2: Exercice 3: PCSI 2 Ex-T65 Machine thermique et changement d état Dans Exercices un cycle Thermodynamique machine à vapeur, la phase motrice est une détente la vapeur d eau dans un cylindre fermé par un piston mobile On supposera que cette détente est adiabatique et réversible L état initial I correspond à une vapeur saturante sèche (soit : x qadripcsi@aolcom http ://pcsi-unautreregardover-blogcom/ V I = 1) à la température 25 T 1 = 485 K et à la pression P 1 = Π(T 1 ) = 20 bars L état final F correspond à une vapeur saturante à la température T 2 = 373 K et à la pression P 2 = Π(T 2 ) = 1 bar On cherche à déterminer le titre en vapeur x V F dans l état final : 1) En utilisant les données la table ci-jointe : Liqui juste saturé : x V = 0 x V = 1 T P v L h L s L v V h V s V (K) (bar) (m 3 kg 1 ) (kjkg 1 ) (kjk 1 kg 1 ) (m 3 kg 1 ) (kjkg 1 ) (kjk 1 kg 1 ) , ,45 0, , , ,30 1, ,36 2) Sans utiliser ces données; mais en utilisant les enthalpies vaporisation massiques à T 1, l 1 = kjkg 1, et à T 2, l 2 = kjkg 1 ; ainsi que la capacité thermique massique l eau liqui : c = 4, 18 kjk 1 kg 1 MACHINES THERMIQUES Ex-T66 Distinction entre vapeur sèche et vapeur saturante On introduit 4 g d eau dans un récipient volume V = 10 L maintenu à 80 C 1) Quelle est la pression régnant dans le récipient s il était initialement vi d air? I A propos 2) du Onstockage porte les récipient déchets ànucléaires 100 C ; quelle est la nouvelle pression? Données : M(H 2 O) = 18 gmol 1 ; P l eau : 0, P a à 80 C ; P = 1, P a à Le stockage 100 s C ; R déchets = 8, 314 radioactifs JK 1 mol constitue 1 un problème majeur dans la poursuite du programme nucléaire s nations De nombreuses solutions sont à l étu Une d entre elles a pour but d enfouir, dans la roche, ces résidus inutilisables en les incorporant au béton On Ex-T67 se propose, Métho ici, d étudier simple un s problèmes détermination posés par cette l enthalpie métho : contrôle fusion la l eau production chaleur 1) Dans un calorimètre valeur en eau M = 20 g, on dispose une quantité d eau liqui masse m 1 = 200 g à la température Les parties ambiante A et B sont t totalement 1 = 25 C Puis indépendantes on ajoute une quantité d eau soli masse m 2 = 10 g à la température t 2, t 2 = 5 C Partie B Lorsque l équilibre thermique est réalisé, on repère la valeur la température finale, t f = 20, 4 C (a) On néglige les pertes du calorimètre, Refroidissement calculer la la valeur salle stockage l enthalpie fusion la glace On donne la chaleur massique l eau liqui : c (l) = 4, 18 Jg 1 K 1 et celle l eau soli Une installation c (s) = 2, frigorifique 1 Jg 1 Kassure 1 Onle suppose maintien ces la quantités cellule (ou constantes salle) stockage sur les intervalles s déchets à une températures modérée Un flui (fréon) permet, l expérience en décrivant un cycle supposé quasi-statique, prélever l énergie à l intérieur la salle et cér l énergie à une source (b) extérieure En déduire les variations d entropie chaque masse d eau au cours la transformation Lycée Thiers - MPSI3 Commenter leurs signes Exercice 4: Laure Sanau

2 nombreuses solutions sont à l étu Une d entre elles a pour but d enfouir, dans la roche, ces résidus inutilisables en les incorporant au béton On se propose, ici, d étudier un s problèmes posés par cette métho : le contrôle la production chaleur TD T5 2/7 Les parties A et B sont totalement indépendantes Partie B Refroidissement la salle stockage Une installation frigorifique assure le maintien la cellule (ou salle) stockage s déchets à une température modérée Un flui (fréon) permet, en décrivant un cycle supposé quasi-statique, prélever l énergie à l intérieur la salle et cér l énergie à une source extérieure A la sortie l évaporateur (radiateur échangeur) E, la vapeur sèche, tout juste saturante à la pression P 1 et à la température T 1 (état A), est entraînée dans le compresseur P où elle est comprimée jusqu à la pression P 2 et la température T 2 (état B) La compression AB est considérée comme isentropique Maintenu sous la pression constante P 2, le flui, entièrement gazeux, pénètre dans le connseur (radiateur échangeur) C où il se refroidit, puis se liquéfie totalement A la fin cette étape, l état du corps pur est caractérisé par les paramètres P 2 et T 2 (état C) Le liqui passe ensuite dans le détenur D, dans lequel il subit une détente isenthalpique (absence pièces mobiles) en se vaporisant partiellement : soit x le titre (ou fraction) massique en vapeur Au terme cette étape, l état du corps pur est caractérisé par les paramètres P 1 et T 1 (état D) Ce mélange liqui-vapeur pénètre ensuite dans l évaporateur E, où il achève, à pression constante, se vaporiser à l état vapeur saturante (état A) Hypothèses travail : Le groupe fonctionne en régime permanent L énergie cinétique du flui et l action la pesanteur sont négligées h est l enthalpie l unité masse (1 kg) ce corps pur (ou enthalpie massique) c l est le cœfficient thermique massique (constant) du fréon liqui P * (T) est la pression l équilibre liqui-vapeur du corps pur, ou pression vapeur saturante, à la température T La chaleur latente (massique) vaporisation du flui, à la température T, est notée L V (T) Le corps pur gazeux, masse molaire M, est supposé parfait Sa caractéristique énergétique γ = c p,m /c v,m (rapport s coefficients thermiques molaires, respectivement isobare et isochore) est constante Données : T (K) P * (T) (bar) 0,85 1,25 2,40 3,90 5,90 8,50 T 1 = 240 K L V (T 1 ) = 170 kjkg -1 P 1 = 0, Pa T 2 = 310 K L V (T 2 ) = 130 kjkg -1 P 2 = 8, Pa M = kgmol -1 γ = 1,20 c l = 1,00 kjk -1 kg -1 R = 8,31 Jmol -1 K -1 (constante s gaz parfaits) 1) Diagramme du corps pur a) Soit u le volume massique du corps pur Représenter l allure du cycle dans le diagramme P = f(u) du corps pur On y fera figurer la courbe saturation du flui, les isothermes, ainsi que les points A, B, C et D b) Représenter l allure du cycle dans le diagramme P = f(t) du corps pur On y représentera la courbe d équilibre P * (T) ainsi que les points A, B, C et D PCSI 2 2) Compression a) Exprimer, en fonction T 1, P 1, P 2 et γ, la température T 2 du fréon à la sortie du compresseur P 2013 b) Le 2014 travail massique w, reçu par l unité masse corps pur ayant transité dans le compresseur, est égal à la variation 1/12 d enthalpie massique Δh AB ce flui Donner, en fonction T 1, T 2, M, R et γ, l expression w c) Application numérique : calculer T 2 et w 3) Refroidissement et liquéfaction dans le connseur (B C) a) Donner la température d apparition la première goutte fréon liqui b) Exprimer, en fonction T 2, T 2, M, R, γ et L V (T 2 ), l expresssion la variation d enthalpie massique Δh BC du flui c) Application numérique : calculer Δh BC 4) Détente isenthalpique (C D) a) Le fréon entre liqui à la température T 2 dans le détenur D, et en sort sous forme mélange liqui-vapeur à la température T 1 La détente est isenthalpique Soient h liq et h vap les enthalpies massiques du corps pur, respectivement liqui et vapeur Donner la relation entre h liq (T 2 ), h liq (T 1 ), h vap (T 1 ) et x b) Le liqui étant volume massique constant, il n échange que la chaleur avec l extérieur : la variation d enthalpie du liqui est approximativement égale à la variation d énergie interne Pour cette détente, quelle relation peut-on écrire entre Δh liq,cd, c l, T 1 et T 2? c) Exprimer, en fonction c l, T 1, T 2 et L V (T 1 ), la fraction massique vapeur x à la sortie du détenur d) Application numérique : calculer x 5) Fin la vaporisation (D A) a) Donner, en fonction x et L V (T 1 ), la quantité chaleur Δh DA reçue par 1 kg corps pur au cours cette étape b) Application numérique : calculer Δh DA Laure 6) Bilan Sanau énergétique du cycle a) Vérifier, numériquement, le bilan enthalpique du cycle Lycée Thiers - MPSI3

3 c) Application 4) Détente numérique isenthalpique : calculer (C T D) 2 et w a) Le fréon entre liqui à la température T 3) Refroidissement et liquéfaction dans le connseur (B 2 dans le détenur D, et en sort sous forme mélange liqui-vapeur à la C) TDa) T5 température T 1 La détente est isenthalpique Soient h liq et h vap les enthalpies massiques du corps pur, respectivement Donner la température d apparition la première goutte fréon liqui 3/7 liqui et vapeur Donner la relation entre h b) Exprimer, en fonction T 2, T 2, M, R, liq (T γ et 2 ), h L V (T liq (T 2 ), 1 ), h l expresssion vap (T 1 ) et x b) Le liqui étant volume massique constant, il n échange la que variation la chaleur d enthalpie avec massique l extérieur Δh BC : la du variation flui d enthalpie du c) Application liqui numérique est approximativement : calculer Δh BC égale à la variation d énergie interne Pour cette détente, quelle relation peut-on écrire entre Δh liq,cd, c l, T 1 et T 2? 4) Détente c) isenthalpique Exprimer, en (C fonction D) c l, T 1, T 2 et L V (T 1 ), la fraction massique vapeur x à la sortie du détenur a) Le fréon d) Application entre liqui numérique à la température : calculer x T 2 dans le détenur D, et en sort sous forme mélange liqui-vapeur à la température T 1 La détente est isenthalpique Soient h liq et h vap les enthalpies massiques du corps pur, respectivement liqui et vapeur 5) Fin Donner la la vaporisation relation entre (D h liq (T A) 2 ), h liq (T 1 ), h vap (T 1 ) et x b) Le liqui a) Donner, étant en fonction volume massique x et L constant, il n échange que la chaleur avec l extérieur : la variation d enthalpie du liqui est approximativement égale à la V (T variation 1 ), la quantité chaleur Δh d énergie interne Pour DA reçue par 1 kg corps pur au cours cette étape cette détente, quelle relation peut-on écrire entre b) Application numérique : calculer Δh Δh liq,cd, c l, T 1 et T 2? DA c) Exprimer, en fonction c l, T 1, T 2 et L V (T 1 ), la fraction massique vapeur x à la sortie du détenur 6) Bilan énergétique du cycle d) Application numérique : calculer x a) Vérifier, numériquement, le bilan enthalpique du cycle b) Définir l efficacité frigorifique ε 5) Fin la vaporisation (D A) fr l installation c) Application numérique a) Donner, en fonction x et L V (T 1 ), la quantité chaleur Δh DA reçue par 1 kg corps pur au cours cette étape α) Calculer ε b) Application numérique fr : calculer Δh DA β) Pour maintenir, en régime stationnaire, une cellule stockage déchets à température constante, il est nécessaire prélever une puissance thermique 10 5 W Calculer la puissance mécanique moyenne à fournir au flui 6) Bilan énergétique du cycle γ) Calculer la valeur correspondante D a) Vérifier, numériquement, le bilan enthalpique du cycle m, débit massique moyen du fréon, dans le circuit b) Définir l efficacité frigorifique ε fr l installation c) Application numérique P γ Réponse α) Calculer : T ' 2 = εt fr 1 γr 1 ; w = β) Pour maintenir, P 2 en régime ( stationnaire, γ 1)M T ' 2 T γr ( 1) ; Δh BC = ( une cellule stockage ( γ 1)M T 2 T ' 2) L V ( T 2 ) ; déchets à température constante, il est nécessaire prélever une puissance thermique 10 5 W Calculer la puissance mécanique moyenne à fournir au flui x[ h γ) vap Calculer ( T 1 ) h liq la ( T valeur 1 )] + h correspondante liq ( T 1 ) h liq ( T 2 ) = D 0 ; x = c l ( T 2 T 1 ) m, débit massique moyen ; Δh L du fréon, dans le circuit V ( T 1 ) DA = ( 1 x)l V ( T 1 ) ; ε fr = Δh DA w = 2,14 ; P méca = 46,65 kw ; D m = 1 kgs -1 P γ Réponse : T ' 2 = T 1 γr 1 ; w = ( P 2 ( γ 1)M T ' 2 T γr 1) ; Δh BC = ( ( γ 1)M T 2 T ' 2) L V ( T 2 ) ; II L objectif ce problème est l étu du fonctionnement stationnaire d une machine ditherme réfrigération Exercice 5: [ ] + h liq T 1 ( ) x h vap ( T 1 ) h liq ( T 1 ) ( ) h liq ( T 2 ) = 0 ; x = c l T 2 T 1 ; Δh L V ( T 1 ) DA = ( 1 x)l V ( T 1 ) ; ε fr = Δh DA Le cycle représenté, dans un diagramme Clapeyron, par la figure ci-contre w = 2,14 ; P méca = 46,65 kw ; P constitue D m = 1 kgs -1 un modèle fonctionnement d une machine réfrigération dans Courbe laquelle une masse m flui frigorigène subit les transformations suivantes : saturation A B : compression adiabatique dans le compresseur D B B D : refroidissement et liquéfaction isobares la vapeur dans le P II L objectif ce problème est l étu du fonctionnement stationnaire d une machine 2 ditherme réfrigération connseur Le cycle représenté, D dans E : détente un diagramme adiabatique Clapeyron, et isenthalpique par la dans figure le détenur ci-contre constitue un modèle E A : fonctionnement vaporisation isobare d une dans machine l évaporateur P réfrigération dans Courbe laquelle Les une sources masse m froi flui Σ F (intérieur frigorigène l enceinte subit les transformations à réfrigérer) et suivantes chau Σ: C (milieu P 1 saturation A ambiant) A B : sont compression assimilées adiabatique à s thermostats dans le compresseur températures respectives T F et T C E constantes D B B D : refroidissement et liquéfaction isobares la vapeur dans le P 2 connseur Les D variations E : détente d énergie adiabatique cinétique et isenthalpique et d énergie dans le potentielle détenur du flui sont négligeables O V E A : vaporisation isobare dans l évaporateur Les sources Données froi : Σ F (intérieur m = 1 kg l enceinte à réfrigérer) T F = 278 et K chau Σ T C (milieu C = 293 K P 1 A ambiant) PCSI Enthalpies 2 sont assimilées massiques à s du thermostats flui frigorigène températures dans les états respectives représentés T F et par T les points A, B et D : C E constantes h A = 390,2 kjkg -1 ; h B = 448,6 kjkg -1 ; h D = 286,4 kjkg -1 A Performances l installation Les variations d énergie cinétique et d énergie potentielle du flui sont négligeables A-1 Un système fermé subit une transformation isobare qui le fait évoluer O l état initial i à l état final f Au cours V cette /12 Données transformation, : le m système = 1 kg reçoit les quantités T F = 278 d énergie K Q i f par T C transfert = 293 K thermique et W i f par transfert mécanique (travail) Enthalpies A-1-1 massiques Appliquer du le flui premier frigorigène principe dans la Thermodynamique les états représentés à par cette les transformation points A, B et D : A-1-2 Etablir la relation entre la variation h A = 390,2 d enthalpie kjkg -1 ; hδh B = 448,6 kjkg -1 ; h D = 286,4 kjkg -1 i f du système et Q i f A-2 On désigne par Q F et Q C les quantités d énergie reçues par le flui, par transfert thermique, respectivement au contact la source froi et au contact la source chau, au cours du cycle défini ci-ssus A-2-1 Exprimer Q F et Q C en fonction s données 2013 A Calculer Q F et Q C 2/12 A-3 On désigne par W l énergie reçue par le flui, par transfert mécanique (travail), au cours d un cycle A-3-1 Exprimer W en fonction s données A-3-2 Calculer W A-4 On désigne par S F et S C les valeurs algébriques s entropies échangées par le flui, respectivement avec la source froi et la source chau au cours du cycle A-4-1 Exprimer S F et S C en fonction s données A-4-2 Calculer S F et S C A-4-3 Calculer l entropie S p créée au cours du cycle Conclusion A-5 Calculer l efficacité µ cette installation A-6 Sachant que la puissance P F à extraire la source froi pour maintenir sa température constante est 500 W, calculer le débit massique q m que l on doit imposer au flui frigorigène Laure Sanau B-Etu la compression la vapeur Lycée Thiers - MPSI3 La vapeur issue l évaporateur est comprimée la pression P 1 = 2,008 bar (état A) à la pression P 2 = 16,810 bar (état B) Dans cette partie du problème, on admettra que l on peut assimiler la vapeur à un gaz parfait dont le rapport γ s capacités thermiques

4 massique A-4-1 Exprimer q m que l on S F et doit S C imposer en fonction au flui s données frigorigène A-4-2 Calculer S F et S C A-4-3 Calculer l entropie S TD T5 p créée au cours du B-Etu cycle Conclusion la compression la vapeur 4/7 A-5 Calculer l efficacité µ cette installation A-6 La vapeur Sachant issue que la puissance l évaporateur P F à est extraire comprimée la source la pression froi pour P 1 = maintenir 2,008 bar sa (état température A) à la pression constante Pest 2 = 16, W, bar calculer (état B) le débit massique Dans cette q m partie que l on du problème, doit imposer on au admettra flui frigorigène que l on peut assimiler la vapeur à un gaz parfait dont le rapport γ s capacités thermiques conserve une valeur constante égale à 1,14 dans le domaine étudié On envisage le cas où cette compression pourrait B-Etu être supposée la compression adiabatique la et vapeur réversible B-1 Etablir la relation que vérifieraient les variables température T et pression P La vapeur B-2 Sachant issue que l évaporateur T est comprimée la pression P 1 = 2,008 bar (état A) à la pression P 2 = 16,810 bar (état B) A = 263 K, calculer la température T que l on atteindrait en fin compression Dans cette partie du problème, on admettra que l on peut assimiler la vapeur à un gaz parfait dont le rapport γ s capacités thermiques conserve une valeur C-Détermination constante égale à s 1,14 conditions dans le domaine fonctionnement étudié permettant d obtenir l efficacité maximale On envisage le cas où cette compression pourrait être supposée adiabatique et réversible B-1 Etablir la relation que vérifieraient les variables température T et pression P C-1 Préciser la nature du cycle réversible que vrait décrire le flui afin parvenir à l efficacité maximale µ B-2 Sachant que T A = 263 K, calculer la température T que l on atteindrait en fin compression max la machine réfrigération On indiquera avec précision la nature et le rôle s différentes transformations subies par le flui au cours ce cycle C-2 Sachant qu au C-Détermination cours ce cycle s la conditions variation d entropie fonctionnement massique permettant ΔS C du flui d obtenir au cours l efficacité la transformation maximale qu il subit au contact la source chau est 0,416 kjk -1 kg -1, calculer les quantités d énergie Q F et Q C reçues, par transfert thermique, par 1 kg C-1 flui Préciser frigorigène, la nature au cours du cycle ce réversible cycle, respectivement que vrait décrire au contact le flui afin la source parvenir froi à et l efficacité au contact maximale la source µ chau max la machine réfrigération C-3 Exprimer On l efficacité indiquera µ avec max en précision fonction la s nature températures et le rôle s T F différentes et T C et calculer transformations µ max subies par le flui au cours ce cycle C-2 Sachant qu au cours ce cycle la variation d entropie massique ΔS C du flui au cours la transformation qu il subit au contact Réponse la source : Qchau est 0,416 kjk -1 kg -1, calculer les quantités d énergie Q F et Q C reçues, par transfert thermique, par 1 kg if = Δh if ; Q F = h A h D ; Q C = h D h B ; W = h B h A ; S F = h A h D ; S C = h D h B ; S p = 180,2 JK -1 kg -1 ; flui frigorigène, au cours ce cycle, respectivement au contact la source T F froi et au contact T C la source chau C-3 Exprimer l efficacité µ max en fonction s températures T F et T C et calculer µ max µ = 1,78 ; q m = 4,8 gs -1 ; k = γ a 1 a ; Q C = -122 kjkg -1 ; Q F = 116 kjkg -1 ; µ max = 18,53 Réponse : Q if = Δh if ; Q F = h A h D ; Q C = h D h B ; W = h B h A ; S F = h A h D ; S C = h D h B ; S p = 180,2 JK -1 kg -1 ; T F T C Exercice III Propulsion µ = 1,78 ; q6: d un m = 4,8 gs -1 avion ; k = γ a 1 a ; Q C = -122 kjkg -1 ; Q F = 116 kjkg -1 ; µ max = 18,53 1) Moteur à explosion En 1890, un avion a pu décoller pour la première fois grâce à la seule poussée son moteur : Clément Ar avait équipé l Eole III Propulsion d un moteur d un à vapeur avion 20 CV, actionnant une hélice quadripôle construite avec s cannes bambou Dans la recherche la légèreté, le moteur à combustion interne et à pistons, le plus souvent à quatre temps, supplanta rapiment le moteur à vapeur 1) Dans Moteur un moteur à explosion à explosion, le flui supposé parfait décrit un cycle Beau Rochas en quatre temps : En 1890, un (1) avion : L air a pu est décoller admis dans pour le la cylindre première à fois travers grâce une à soupape la seule poussée d admission son dans moteur un volume : Clément V 1 ; Ar avait équipé l Eole d un moteur (2) à vapeur : (2a) Alors 20 CV, que actionnant les soupapes une sont hélice fermées, quadripôle mélange construite subit avec une s compression cannes bambou isentropique Dans jusqu au la recherche volume la V 2 ; légèreté, le moteur (2b) à combustion Il y a alors interne explosion et à pistons, du mélange le plus {carburant, souvent à quatre air} et temps, échauffement supplanta isochore rapiment jusqu à le moteur l état à (3) vapeur (P 3, V 3, T 3 ) ; Dans un moteur (3) : à les explosion, soupapes le restent flui supposé fermées parfait et les décrit produits un cycle la combustion Beau Rochas subissent quatre une détente temps : isentropique jusqu à l état (4) (1) (P : L air est admis dans le cylindre à travers une soupape d admission dans un volume V 1 ; 4, V 4, T 4 ) ; (2) (4) : : La (2a) soupape Alors que d échappement les soupapes sont s ouvre, fermées, le flui le mélange subit subit un refroidissement une compression isochore isentropique jusqu à jusqu au l état volume initial V 2 Le ; piston (2b) Il y a alors explosion du mélange {carburant, air} et échauffement isochore jusqu à l état (3) (P 3, V 3, T 3 ) ; refoule alors les gaz brûlés (3) : les soupapes restent fermées et les produits la combustion subissent une détente isentropique jusqu à l état (4) PCSI 2 a) Représenter le cycle dans le diagramme (P, V) (P 4, V 4, T 4 ) ; b) Exprimer le renment théorique η (4) : La soupape d échappement s ouvre, th ce cycle en fonction du taux compression α = V le flui subit un refroidissement isochore jusqu à l état 1 /V 2 Calculer la valeur du initial Le piston renment théorique refoule alors dans les le gaz cas brûlés où le taux compression est 6 Le gaz considéré est l air pour lequel γ = 1,4 a) Représenter le cycle dans le diagramme (P, V) /12 2) Turbine b) Exprimer à gaz le renment théorique η th ce cycle en fonction du taux compression α = V 1 /V 2 Calculer la valeur du Une turbine à gaz fonctionne suivant le cycle théorique Joule (ou cycle Brayton), composé ux adiabatiques et ux isobares Une unité masse d air, gaz supposé parfait, subit les transformations suivantes : Etape 1 : L air, dans l état (1) (P 1, V 1, T 1 ) est aspiré dans le compresseur qui l amène dans l état (2) (P 2, V 2, T 2 ) par 3/12 une compression isentropique On néglige les vitesses d écoulement On notera w 1 le travail utile massique fourni par le compresseur L air est initialement à la pression P 1 = 1 bar et à la température T 1 = 280 K Le compresseur le porte à la pression P 2 = 10 bar Etape 2 : Dans la chambre combustion, l air subit un échauffement isobare jusqu à l état (3) (P 3, V 3, T 3 ) On note q 2 le transfert thermique massique fourni à l air dans cette étape L échauffement est limité par la température maximale que peut supporter la turbine : T 3 = K Etape 3 : L air parvient alors dans la turbine où il subit une détente isentropique jusqu à l état (4) (P 4, V 4, T 4 ) On néglige les vitesses d écoulement aussi bien à l entrée qu à la sortie la turbine On note w 3 le travail utile massique reçu par l air dans cette transformation A la fin cette détente : P 4 = P 1 Etape 4 : L air est rejeté dans l atmosphère extérieure où il subit un refroidissement isobare jusqu à l état (1) a) Représenter le cycle Joule dans les diagrammes (P, V) et (T, S) b) Etape 1 : Etablir les expressions T 2 et w 1, puis les calculer c) Etape 2 : Etablir l expression q 2, puis calculer sa valeur d) Etape 3 : Etablir les expressions T 4 et w 3, puis les calculer 3) Turbopropulseur On étudie le cas où le réacteur étudié entraîne une hélice propulsive ainsi que le compresseur (turbopropulseur) a) Quel est le travail massique disponible pour faire tourner l hélice? b) Exprimer l efficacité ce moteur en fonction du taux compression α = V 1 /V 2 Comparer l efficacité ce moteur avec celle du moteur à explosion étudié à la question 1), pour un même taux compression α = 6 Quel peut être l intérêt du cycle Joule par rapport à celui Beau Rochas? Comparer le résultat obtenu avec le renment du cycle Carnot c) Le rapport s températures T 3 /T 1 a une valeur imposée En revanche, le taux compression peut être adapté Pour quel taux compression α m obtient-on un travail maximal? Exprimer ce travail maximal AN : γ = 1,4 ; M = 29 gmol -1 Réponse : η = 1 α P Laure Sanau; T 2 = T 1 1 P 2 γ ; w' 1 = γr M ( γ 1) T γr ( 2 T 1 ) ; q 2 = M ( γ 1) T P ( 3 T 2 ) ; T 4 = T 2 3 P 1 γ Lycée ; Thiers - MPSI3

5 PCSI 2 TD T5 5/7 l ( ) + l v ( T 2 ) ; q cond = T 1 ( s o s 3 ) ; q cond = T v ( T 2 ) 1 ; Réponse : η C = 1 T F T C = 47% ; η = 1+ q cond q GV ; q GV = c l T 2 T 1 η = 38,8% < η C ; x 3 = 64% ; h 3 = 1687kJ /kg ; η = 40,5% ; x' 3 = 79% ; h' 3 = 2046kJ /kg ; η'= 42,8% Exercice 7: + c l Ln T 2 T 2 VII La centrale nucléaire produit l'électricité par l'intermédiaire d'un alternateur couplé aux turbines à vapeur T1 et T2 Le flui caloporteur est l'eau A la sortie s turbines, l'eau se refroidit dans le connseur (l'échange d'énergie thermique peut se faire avec l'eau pompée dans une rivière) Dans l'évaporateur E', les échanges thermiques peuvent s'effectuer avec un circuit primaire d'eau qui récupère l'énergie thermique libérée au cœur du réacteur par la fission l'uranium enrichi L'eau du circuit secondaire décrit le cycle représenté sur la figure ci-ssous : * Les transformations A B et C D sont supposées adiabatiques réversibles et corresponnt au passage dans les turbines haute pression (T1) et basse pression (T2) * Entre les ux turbines, l'eau subit une surchauffe B C en repassant dans l'échangeur E' T 1 m vap On note T, P, x, température, pression et titre en vapeur (soit x = ) m totale On désigne plus par h et s les enthalpie et entropie massiques du flui On prendra h = 0 et s = 0 pour le liqui dans l'état Po = 1 atm et To = 273 K (0 gré Celsius) On négligera les variations volume l'eau liqui avec la température et la pression On donne : θ A = 287 C et P A = 70 atm (θ : température Celsius) P B = 10 atm; θ C = 270 C; P D = 0,05 atm C l = 4,18 kjk -1 kg -1 (capacité thermique l'eau liqui, supposée constante) 1) Déterminer les expressions h E, h F, s E et s F en fonction C l, T E, T F et To 2) Dresser un tableau où figurent les valeurs h, s, θ, P et x pour les différents points A, B, C, D, E, F A cet effet, on s'aira du diagramme Mollier présenté en fin d'énoncé (h est exprimé en kjkg -1 et s en kjk -1 kg -1 ) 3) Calculer les valeurs numériques s énergies thermiques "reçues" par le flui : q FA, q BC, q DE et q EF En déduire le travail par unité masse w1 fourni par la centrale au cours d'un cycle, l'énergie thermique q1 fournie par la source chau pour 1 kg flui, le renment thermique η = w 1 q 1 4) Exprimer le travail utile wu produit par les turbines lorsqu'elles sont traversées par 1 kg flui Comparer wu et w1 5) La puissance électrique la centrale est P = 1300 MW Quel doit être la valeur du débit massique flui dans le circuit secondaire? /12 Laure Sanau Lycée Thiers - MPSI3

6 TD T5 PCSI Laure Sanau 6/7 9/12 Lyce e Thiers - MPSI3