Question de cours Donner la formule du crible donnant la probabilité de la réunion de trois ensembles A, B et C.

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1 Les calculatrices sont interdites dans toutes les épreuves de mathématiques. Rédigez sur des copies doubles, laissez une marge importante pour les annotations. Changez de page à chaque exercice, et numérotez bien chaque question. Écrivez lisiblement et dans un français correct. Prêtez une attention particulière à la qualité et la rigueur de la rédaction. Justifiez tous vos résultats, mais restez concis. On pourra admettre le résultat d une question pour traiter les suivantes, en l indiquant clairement sur la copie. Si vous remarquez ce qu il vous semble être une erreur dans l énoncé, signalez-la sur sa copie et indiquez les initiatives que vous avez été amené à prendre. Question de cours Donner la formule du crible donnant la probabilité de la réunion de trois ensembles A, B et C. Exercice (Pièces défectueuses) Une société de fabrication utilise deux machines pour fabriquer ses pièces. Parmi les pièces fabriquées par la première machine (qui fabrique les 3 /4 des pièces), % sont défectueuses. Parmi les pièces fabriquées par la seconde machine, 3% sont défectueuses. ) Quelle est la proportion de pièces défectueuses au total? 2) Parmi les pièces défectueuses, quelle est la proportion des pièces venant de la seconde machine? Exercice 2 On considère la fonction suivante : F : x e x, et la suite (u n ) définie par : { u = n N, u n+ = F (u n ). ) Montrer que, pour tout réel x, e x + x, et qu on a égalité uniquement pour x = 0 (on pourra étudier la fonction x e x x). 2) Montrer que la suite (u n ) est strictement positive. 3) Proposer un programme scilab permettant de calculer les n premiers termes de la suite (u n ) (pour n donné). 4) Montrer que la suite (u n ) est décroissante. 5) En déduire que la suite (u n ) est convergente, et donner sa limite. 6) À l aide de la question, montrer que, pour tout entier n non nul, u n+ u n + u n et 7) Montrer par récurrence que pour tout entier n, u n n + u n+ u n Exercice 3 Vous êtes face à une urne, contenant b boules blanches et r boules rouges, indiscernables au toucher. On vous propose de tirer à l aveugle n boules de cette urne. Vous gagnez si vous n avez tiré qu une seule boule rouge. ) Décrire l univers de cette expérience, et en donner le cardinal. 2) Justifier que l on est en situation d équiprobabilité pour cet univers. 3) Quelle est la probabilité de ne tirer aucune boule rouge? 4) Quelle est la probabilité de tirer une seule boule rouge? 5) Quelques cas particuliers :

2 a) S il n y a qu une seule boule rouge (r = ). Montrer que la formule trouvée au 4 donne une probabilité n b+, et retrouver le fait qu il faut bien tirer toutes les boules de l urne pour maximiser ses chances. b) S il n y a aucune boule blanche (b = 0). Retrouver à l aide de la formule trouvée au 4 que la probabilité de gagner est nulle, sauf pour n =. c) S il y a deux boules rouges (r = 2). Montrer, toujours à l aide de la formule trouvée au 4, que la probabilité de gagner est alors égale à 2n(b+2 n) (b+)(b+2) En étudiant la fonction x x(b + 2 x), retrouver le fait qu il faut, pour maximiser ses chances de gagner, tirer la moitié des boules de l urne. Justifier que la probabilité de gagner est alors égale à b+2 2 b+, et qu on a alors un peu plus d une chance sur deux de gagner. Exercice 4 On effectue une suite de lancers d une pièce de monnaie. On suppose que les résultats des lancers sont indépendants et qu à chaque lancer, la pièce donne pile avec probabilité p, et face avec probabilité q = ( p). On s intéresse dans cet exercice à l apparition de deux piles consécutifs. Pour tout entier naturel non nul n, on note A n l énévement «deux piles consécutifs sont réalisés pour la première fois aux lancers numéros n et n +». On définit alors la suite (a n ) des probabilités des événements A n : n N, a n = P(A n ) (avec pour convention a 0 = 0). ) étude d une fonction On considère la fonction polynomiale f définie par, pour x R, f(x) = x 2 qx pq. a) Montrer que l équation f(x) = 0 possède deux racines réelles distinctes, r et r 2 (avec r < r 2 ). Exprimer r + r 2 et r r 2 en fonction de p et q (la formule est très simple!). b) Calculer f(), f( ) et f(0). c) En déduire l encadrement suivant : r < r 2 <. 2) étude des probabilités a) Déterminer a, a 2 et a 3 en fonction de p et q. b) En remarquant que l événement A n+2 est réalisé si, et seulement si, on a obtenu pile au premier tirage, face au deuxième, et deux piles consécutifs arrivent alors n tirages après, ou on a obtenu face au premier tirage, et deux piles consécutifs arrivent alors n + tirages après, montrer (attention à la rédaction!) que, pour tout entier naturel n, a n+2 qa n+ pqa n = 0. 3) une question d informatique... Compléter le programme scilab suivant, pourqu il permette de calculer, pour un entier naturel n,et le paramètre p, donnés, la probabilité a n. function R=deuxpiles(p,n) q=... x=0 y=p^2 for... z=... x=y y=z end R=... endfunction 2

3 4) étude asymptotique de (a n ) a) Montrer que pour tout entier naturel n, a n = p2 r 2 r (r n 2 r n ). b) En déduire la limite de (a n ). c) Montrer que an r n 2 p 2 r 2 r 3

4 Exercice (Loyer en retard) (Voir l énoncé) Commençons par introduire des événements particuliers. Face à une pièce choisie au hasard, notons : A : «la pièce provient de la machine A», B = A : «la pièce provient de la machine B», D : «la pièce est défectueuse», F = D : «la pièce fonctionne correctement». L énoncé nous indique que : P(A) = 3 4, et donc P(B) = 4, P A (D) = 00, et donc P A (F ) = 99 00, P B (D) = 3 00, et donc P B (F ) = ) On demande la probabilité de l événement D, la formule des probabilités totales (avec pour système complet d événement A, B, donne : 2) Cette fois-ci, on utilise la formule de Bayes : P(D) = P(A)P A (D) + P(B)P B (D) = = = P D (B) = P(B) P(D) P B(D) = = La moitié des pièces défectueuses proviennent donc de la machine B. Exercice 2 (Voir l énoncé) ) Notons g : x e x x. Cette fonction est dérivable, de dérivée g : x e x. On peut donc dresser le tableau de signe : x g (x) g(x) ce qui nous indique que la fonction g est toujours positive, et même strictement positive ailleurs qu en 0. 2) Montrons par récurrence que n N u n > 0. On a bien sur u = > 0, Soit n N, supposons u n > 0. On a alors e un <, et donc u n+ = e un > 0. 4

5 3) On peut proposer le programme suivant : function u=suite(n) u=zeros(,n) u()= for i=2:n u(i)=-exp(-u(i-)) end endfunction 4) Pour n N, calculons u n+ u n = (e un ( u n )) = g( u n ) < 0 en vertu de la question. La suite est donc décroissante. 5) La suite (u n ) est décroissante, et minorée par 0. En vertu du théorème de la limite monotones, elle converge donc vers une limite l 0. Puisque, pour tout n N, u n+ = F (u n ), on en déduit que l = F (l) g( l) = 0. On l a vu, ceci n est vrai que lorsque l = 0. La suite converge donc vers 0. 6) Remarquons d abord que la question peut se réécrire, pour x > 0, comme e x +x, ou encore Ceci permet d affirmer, pour n N, que e x + x u n+ = e un + u n u n, et + u n + u n u n+ u n + u n 7) Montrons par récurrence que pour tout entier n, u n n On a bien sûr u = Soit n N, supposons u n n. On a alors Exercice 3 (Voir l énoncé) + + u n+ u n n = u n+ n + = n + ) On peut prendre comme univers de cette expérience l ensemble des manières de choisir n boules parmi les b + r boules de l urne, supposées toutes distingables. Son cardinal est donc C n b+r. 2) Le tirage se faisant à l aveugle, avec des boules indiscernables au toucher, on des donc bien en situation d équiprobabilité : chaque combinaison de boules a autant de chance d arriver qu une autre.. La question demande de calculer les n premiers termes, et non le n e terme, il faut donc renvoyer un tableau contenant tous les termes voulus. 5

6 3) Notons A ; «on ne tire aucune boule rouge», et calculons son cardinal. Pour choisir un tel tirage, il faut choisir n boules parmi les b boules qui ne sont pas rouges, il y a donc (si n b) Cb n tirages possibles, et, puisqu on est en situation d équiprobabilité, P(A) = 4) Notons U ; «on tire une seule boule rouge», et calculons son cardinal. Pour choisir un tel tirage, il faut choisir boule rouge (parmi r), et n boules parmi les b boules qui ne sont pas rouges, il y a donc (si n b et r ) rc n b tirages possibles, et, puisqu on est en situation d équiprobabilité, 5) Quelques cas particuliers : a) Dans ce cas, on obtient Cn b C n b+r P(U) = rcn b Cb+r n P(U) = Cn b Cb+ n b! n!(b + n)! = (n )!(b + n)! (b + )! = n b + Cette quantité est évidemment croissante en n, et donc maximale pour n = b+, le nombre de boules dans l urne. b) Dans ce cas, on a, dès que n >, n > b = 0, et donc la probabilité est nulle (C n 0 = 0). c) Dans ce cas, on obtient P(U) = 2Cn b Cb+2 n 2b! n!(b + 2 n)! = (n )!(b + n)! (b + 2)! b! n! (b + 2 n)! = 2 (b + 2)! (n )! (b + n)! 2n(b + 2 n) = (b + )(b + 2) = 2 (b + )(b + 2) f(n), avec f : x x(b + 2 x) = (b + 2)x x 2. Cette fonction est dérivable, de dérivée f : x b+2 2x, et a donc un maximum global en x = b+2 b+2 2, qui vaut f( 2 ) = ( ) b La probabilité de gagner dans ce cas est donc maximale si on tire n = b+2 2 boules, c est-à-dire si on prend la moitié des boules de l urne. La probabilité vaut alors ( ) 2 2 b + 2 P(U) = = b + 2 (b + )(b + 2) 2 2 b + 2 Exercice 4 (Voir l énoncé) On effectue une suite de lancers d une pièce de monnaie. On suppose que les résultats des lancers sont indépendants et qu à chaque lancer, la pièce donne pile avec probabilité p, et face avec probabilité q = ( p). On s intéresse dans cet exercice à l apparition de deux piles consécutifs. Pour tout entier naturel non nul n, on note A n l énévement «deux piles consécutifs sont réalisés pour la première fois aux lancers numéros n et n +». On définit alors la suite (a n ) des probabilités des événements A n : n N, a n = P(A n ) (avec pour convention a 0 = 0). 6

7 ) étude d une fonction On considère la fonction polynomiale f définie par, pour x R, f(x) = x 2 qx pq. a) La fonction f est un polynôme du second degré, de discriminant = q 2 + 4pq > 0. f a donc deux racines distinctes r et r 2, et comme f(x) = (x r )(x r 2 ) = x 2 (r + r 2 )x + r r 2, on peut identifier : { r + r 2 = q r r 2 = pq. b) On calcule : f() = q pq = p ( p)p = p 2, f( ) = + q pq = 2 + p ( p)p = 2 + 2p p 2, f(0) = pq = ( p)p. c) Observons tout d abord que r r 2 = pq < 0, ce qui implique que r < 0 < r 2 (ils sont de signes opposés, et donc le plus petit, r, est négatif). De plus, puisque f(0) < 0 et f() > 0, 0 < r 2 <. Enfin, r + r 2 > 0, donc r 2 = r 2 > r = r. Au final, on a bien > r 2 > r. 2) étude des probabilités a) Notons, pour i N P i : «le i e lancer tombe sur pile», et F i = P i. Les événements (P i ) i sont mutuellements indépendants, et chacun de probabilité p. On a = P(P )P(P 2 ) (indépendance) P(A ) = P(P P 2 ) = p 2, = P(F )P(P 2 )P(P 3 ) (indépendance) P(A 2 ) = P(F P 2 P 3 ) = qp 2, = P(F 2 )P(P 3 )P(P 4 ) (indépendance) P(A 3 ) = P(F 2 P 3 P 4 ) = qp 2. b) Les événements P et F forment un système complet d événements. La formule des probabilités totales donne donc que, pour n N N, P(A n+2 ) = P(P )P P (A n+2 ) + P(F )P F (A n+2 ) a n+2 = pp P (F 2 A n+2 ) + qp F (A n+2 ) = pp P (F 2 )P P F2 (A n+2 ) + qp F (A n+2 ) = pqp(a n ) + qp(a n+ ) = pqa n + qa n+. 7

8 ce qui revient à dire que a n+2 qa n+ pqa n = 0. Notons au passage que a 2 qa pqa 0 = qp 2 qp 2 0 = 0, et donc que cette équation est bien vraie pour n = 0 aussi. 3) une question d informatique... On peut proposer le programme suivant : function R=deuxpiles(p,n) q=-p \\définition de q x=0 \\initialitation de a_0, l'avant-dernier terme calculé y=p^2 \\initialitation de a_, le dernier terme calculé for i=3:n \\on veut calculer les a_i à partir de a_3 jusqu'à a_n z=q*y+p*q*x \\calcul de a_(i) avec a_(i-)=y et a_(i-2)=x x=y \\on décale les termes: x prend la valeur de y, et y=z \\le dernier terme calculé, y, prend la valeur de z end R=y \\le résultat est bien la dernière valeur calculée. endfunction 4) étude asymptotique de (a n ) a) La suite (a n ) est donc une suite récurrente linéaire d ordre 2, d équation caractéristique x 2 qx pq = f(x) (quelle surprise de retouver f ici!). On a vu que cette équation avait deux racines r et r 2, et donc il existe deux réels λ et µ tels que, pour tout n N, a n = λr n + µr n 2. Calculons à présent des réels, qui doivent vérifier { a0 = 0 = λ + µ a = p 2 = λr + µr 2 { µ = λ p 2 = λ(r r 2 ) {µ = p2 λ = r r 2 p 2 r r 2 On a au final que, pour tout n N, a n = p2 r 2 r (r n 2 r n ). b) D après la première partie, r < r 2 <, et donc r n 0, tout comme rn 2 Au final, a n 0. c) On remarque que, pour n N, puisque r r r 2 < et donc n r n 2 a n r2 n 0. = p2 ( rn r 2 r r2 n ) p 2 r 2 r, 0. 8