Erreur, Probabilité et Statistique. S P 2 σ. X est proportionnelle à l intégrale sur l espace de phase

Transcription

1 Joha Collot Cours de physique expérimetale des hautes éergies du DEA de Physique Théorique Rhôe Alpi Aée : 00 Erreur, Probabilité et Statistique Tous les processus étudiés e physique des hautes éergies sot, das leurs aspects fodametaux, régis par les lois de la mécaique quatique relativiste. Il e découle que les prévisios de mesures des quatités observables sot de ature stochastique. Citos quelques exemples simples : I. Diffusio d ue particule p sur ue boîte coteat des particules p e P S P σ La sectio efficace du processus p p X est proportioelle à l itégrale sur l espace de phase ouvert du module au carré de l élémet de matrice ivariat, c est à dire : σ p p X espace de phase M d Φ M est ue desité de probabilité défiie sur l espace de phase M d σ dφ. Si la boîte e cotiet qu ue seule particule p, la probabilité d occurrece de la réactio p p X s exprime par : p= σ p p X S, où S est la surface de la face d etrée de la boîte. Si maiteat la boîte est costituée d u élémet ordiaire et qu o s itéresse à la diffusio de p sur des oyaux p, la probabilité d observer ue réactio p p X deviet : P= p e ρ S M N, où : e est l épaisseur de la boîte; ρ est la masse volumique du milieu; M est la masse atomique de l élémet; N est le ombre d Avogadro.

2 Joha Collot Cours de physique expérimetale des hautes éergies du DEA de Physique Théorique Rhôe Alpi Aée : 00 II. Décroissace d ue particule istable Ce processus est caractérisé par ue durée de vie moyee τ qui est l iverse de la largeur Γ de la résoace : brachemets avec, Γ i τ=γ espacede phase M i d Φi O voit de ouveau apparaître das l expressio de Γ des élémets de matrices ivariats qui cofèret au processus de décroissace d ue particule istable ue ature stochastique. La desité de probabilité s exprime par : P t dt= τ dt. Soit pour N 0 (à t=0 ) particules istables, dn t = N t τ dt, N t =N o e t τ, qui doe la populatio des particules restates à l istat t. Si maiteat o cosidère N 0 particules istables à t=0 que l o observe sur u itervalle de temps t petit devat τ ( t/τ << ), le ombre de décroissaces prédit sera : N p = N o τ t. Il s agit d ue prédictio. Si o réalise l expériece, il est fort probable qu o obtiedra ue valeur proche mais différete de N p.sioréalise u grad ombre de fois cette même expériece, o obtiedra ue courbe similaire à la figure suivate :

3 Joha Collot Cours de physique expérimetale des hautes éergies du DEA de Physique Théorique Rhôe Alpi Aée : 00 qui représete le ombre d observatios ( ombre d évéemets ) de N i décroissaces parmi la totalité des N expérieces réalisées. L esemble des expérieces réalisées ici est appelé u échatillo. La taille de cet échatillo est le ombre N d expérieces réalisées. La fréquece d échatilloage est défiie comme état : f N i = N i, où i est le ombre d observatios de N i décroissaces. O a évidemmet: i f N i =. La probabilité d observatio ( foctio de probabilité )estégale à la fréquece d échatilloage lorsque la taille de l échatillo ted vers l ifii, ou ecore (c est égalemet ce que l o appelle la loi des grads ombres): p N i = lim f N i = lim N N C est par coséquet ue etité théorique qui est jamais rigoureusemet accessible expérimetalemet. N i est appelée ue variable aléatoire ( discrète das cet exemple ). E physique o recotre égalemet des variables aléatoires cotiues : par exemple, la masse ivariate d ue particule istable. i N Lorsqu il s agit d ue variable aléatoire cotiue, la foctio de probabilité est remplacée par ue desité de probabilité ( ). Puisqu il est impossible d obteir u échatillo d évéemets ayat ue taille ifiie, les caractéristiques d u processus physique aléatoire e sot jamais exactemet accessibles par l expériece. Aisi, toute mesure réalisée sur u échatillo fii d évéemets sera etachée d ue icertitude que l o désige sous le om d erreur statistique. O peut aisémet admettre que l erreur statistique doit décroître lorsque la taille de l échatillo croît et doit s auler lorsque celle ci est ifiie. 3

4 Joha Collot Cours de physique expérimetale des hautes éergies du DEA de Physique Théorique Rhôe Alpi Aée : 00 À cette icertitude (erreur) statistique, o doit e gééral ajouter ue autre erreur que l o appelle l erreur systématique (ou istrumetale) qui est le reflet de l exactitude de la méthode de mesure. Ue mesure peut être très précise statistiquemet mais peut s avérer iexacte et doc écessiter ue correctio qui est elle même coue avec ue précisio limitée (erreur systématique). Si o repred l exemple des N o particules istables observées sur u temps t, et que l o réalise l expériece qui cosiste à compter les décroissaces avec u détecteur réel, il faudra predre e compte so efficacité ( ε ) de détectio pour remoter au ombre de décroissaces vraies. Ue estimatio de N p sera obteue par : N p = N i (< > sigifie moyee), das laquelle, l erreur sur N ε i sera de ature statistique et l erreur sur ε (mesurée oudétermiée par calcul ou simulatio) sera de ature systématique ou istrumetale. Caractéristiques d ue variable aléatoire : Les variables aléatoires, dot il sera questio ici, sot les prédictios théoriques de mesures des observables physiques: masse d ue particule istable, ombre d évéemets résultat de la décroissace de N o particules istables ( à t=0 ) sur t... D ue maière géérale, ue variable aléatoire x est e premier lieu caractérisée par sa desité de probabilité associée f(x), telle que : f x dx=, j ou pour ue variable discrète, f = avec,, j état l esemble des valeurs possibles de x.. Foctio de répartitio (cumulative) : La foctio de répartitio d ue variable aléatoire x est la probabilité que x soit iférieure à ue valeur a : a F a = f x dx, ou pour ue variable discrète F a =. Espérace mathématique : f avec x x x 3... x a L espérace mathématique d ue foctio u(x) d ue variable aléatoire x est défiie comme état : E u x = u x f x dx, j ou, pour ue variable discrète, E u x = f u 4

5 Joha Collot Cours de physique expérimetale des hautes éergies du DEA de Physique Théorique Rhôe Alpi Aée : 00.3 Momets : Le momet d ordre d ue distributio d ue variable aléatoire x s exprime par :.4 Moyee : α =E x = x f x dx La moyee µ d ue variable aléatoire x est pas autre chose que so momet du premier ordre : µ=α =E x = xf x dx.5 Momets cetrés : Le momet cetré d ordre d ue variable aléatoire x est défii par :.6 Variace et écart type : m =E x µ = x µ f x dx La variace d ue variable aléatoire x est le carré de so écart type. C est égalemet le momet cetré du ème ordre de x : var x =σ x =m = x µ f x dx = α µ La moyee d ue variable aléatoire x doe la positio du cetroïde de la desité de probabilité associée, alors que so écart type est ue estimatio de sa largeur..7 Distributios à deux variables aléatoires : Soit deux variables aléatoires x et y ayat ue desité de probabilité f(x,y) avec f x,y dx dy=. La desité de probabilité margiale de x est : f x = f x,y dy Pour y o obtiet : ( c est à dire sas observatio de y ). f y = f x,y dy O peut égalemet défiir les desités de probabilité coditioelles : f 3 y x f x = f x,y f 3 : desité de probabilité d obteir y avec x doée ou f 4 x y f y = f x,y f 4 : desité de probabilité d obteir x avec y doée. 5

6 Joha Collot Cours de physique expérimetale des hautes éergies du DEA de Physique Théorique Rhôe Alpi Aée : 00 À l aide de ces défiitios o peut calculer les moyees et les écarts types : µ x = xf x dx ;σ x = x µ x f x dx µ y = yf y dy ;σ y = y µ y f y dy La covariace de x et de y est défiie par : E x µ x y µ y =cov x,y C est ue mesure de la corrélatio etre les variables x et y. Le coefficiet de corrélatio est défii par : cov x,y ρ xy = avec ρ σ x σ xy y O peut motrer que : E x y =E x E y et var x y =var x var y cov x,y Pour compredre la sigificatio de la covariace, o peut examier le cas de deux variables aléatoires possédat la même variace : var x =var y =σ =σ x =σ y si ρ xy = cov x,y = σ var x y =0 si ρ xy =0 cov x,y =0 var x y =var x var y =σ si ρ xy = cov x,y =σ var x y =4σ Deux variables aléatoires sot idépedates si et seulemet si : f x,y = f x f y Si x et y sot idépedates o a : c est à dire : f 3 y x = f y f 4 x y = f x cov x,y =E x µ x y µ y =E x µ x E y µ y =0 doc ρ xy =0 D ue maière géérale si u(x) et v(y) sot des foctios de variables x et y idépedates, alors : E u x v y =E u x E v y Pour deux variables aléatoires, la foctio de répartitio est défiie par : a b F a,b =P x<a, y<b = o a évidemmet : f x,y dx dy f x,y = x y F x,y 6

7 Joha Collot Cours de physique expérimetale des hautes éergies du DEA de Physique Théorique Rhôe Alpi Aée : 00.8 Distributios à variables aléatoires : x x x x est u vecteur formé à partir des variables aléatoires x x Si la foctio de répartitio est F x, alors : f x = x F x (desité de probabilité) L espérace mathématique d ue foctio H x sera : E H x = H x f x d x De plus les covariaces et les variaces peuvet être arragées das ue matrice appelée matrice de covariace : c c c C= c c c c c c avec C ii =σ, C ij =c ji =cov, x j si i j O peut égalemet écrire cette matrice sous la forme suivate : C=E x µ x µ T avec x T = x x x, x= x x x et µ=e x 7

8 Joha Collot Cours de physique expérimetale des hautes éergies du DEA de Physique Théorique Rhôe Alpi Aée : 00.9 Chagemet de variables : Pour ue variable : g(y) dy y(x) dx f(x) y=y(x) ( ue foctio mootoe de x ) est ue ouvelle variable aléatoire. Si f(x) est ue desité de probabilité coue, la questio est de trouver g(y). Au vu de la figure ci dessus, o a : g y dy= f x dx. Puisque g y, f y 0, o obtiet fialemet : g y = dx dy f x = dx f w y dy avec x=w y foctio iverse de y. 8

9 Joha Collot Cours de physique expérimetale des hautes éergies du DEA de Physique Théorique Rhôe Alpi Aée : 00 Pour variables : y =y x x y y =y x y =y x x x x 3 f x qui est ue desité de probabilité coue. x y x y x y Alors : g y =J x y f w y où J est le Jacobie de la trasformatio, J= et w y = x est le vecteur de foctios iverses Distributios de probabilité usuelles :. Distributio biomiale : x x x y y y x x x y y y La distributio biomiale s applique aux systèmes composés de objets idetiques et idépedats qui évoluet selo u processus aléatoire commu à répose biaire ( ou 0 ; succès ou échec ). Cette situatio est mathématiquemet idetique à la réalisatio d ue série de expérieces idetiques et idépedates, chacue représetée par ue variable aléatoire biaire. Soit x= i =0,,la variable aléatoire qui calcule le ombre de succès x=0,,,,.si p est la probabilité de succès pour ue seule expériece et q= p la probabilité d échec, la probabilité d obteir la valeur x pour la série est: Var x = ex : 00 décroissaces de eutros ( ε=0,3 p=0,3, 00 x= f x,,p =C x p x q x avec C x =! x! x! E x = E =p var = E x p = p p 0 p q = pq p ν e e ) observées avec u détecteur dot l efficacité est, E x =00 0,3=30, σ x = 00 0,3 0,7=4,6 9

10 Joha Collot Cours de physique expérimetale des hautes éergies du DEA de Physique Théorique Rhôe Alpi Aée : 00. Distributio de Poisso : Il est pas toujours aisé d avoir recours à la distributio biomiale lorsque (ombre d objets idépedats) deviet grad ou lorsqu il est icou. Das la mesure où la moyee (p) reste fiie, o peut motrer que la distributio biomiale peut être simplifiée. Soit λ=p avec λ fiie (, p 0 ): c est à dire u grad ombre d objets idépedats et ue petite efficacité de succès. f x,, p =C x p x q x =! x! x! λ x λ λ x = λx x! x x λ λ x = λx x! λ x λ x si est grad, o a : i, λ x, lim λ =e λ o obtiet fialemet : f x,λ = λx x! e λ qui est la distributio de Poisso ( défiie pour λ>0 strictemet ) O peut motrer que E x =σ x =λ.opeutégalemet reteir (sas démostratio) que la variable aléatoire formée de la somme de deux variables aléatoires poissoiees idépedates de moyees λ,λ est égalemet ue distributio de Poisso ayat pour moyee λ λ. Strictemet parlat, la distributio de Poisso est utilisable que lorsque et p 0. Cepedat, e pratique elle s avère être ue très boe approximatio de la distributio biomiale plus lourde à maipuler das les calculs umériques. Au dessus de =60 pour p=0,05 opeutcosidérer qu o peut utiliser la distributio de Poisso. ex: Ladécroissace d u grad ombre de oyaux radioactifs coteus das ue source sur u temps court e comparaiso avec leur période suit ue distributio de Poisso. E effet est très grad, de l ordre de gradeur du ombre d Avogadro, et p (probabilité de décroissace par oyau) est petite: λ= p. 0

11 Joha Collot Cours de physique expérimetale des hautes éergies du DEA de Physique Théorique Rhôe Alpi Aée : 00.3 Gaussiee ou distributio ormale : La distributio ormale est ue autre approximatio de la distributio biomiale das le cas où le ombre d objets ( ou d expérieces ) deviet grad avec ue probabilité p de succès importate : c est à dire lorsque p >>. Elle est défiie par : f x,µ,σ = σ π e Pour ue Gaussiee o obtiet : E x =µ, var x =σ x µ σ fmax fmax/ Γ O peut caractériser ue distributio ( desité de probabilité ) par sa largeur totale Γ à la moitié de sa hauteur (FWHM = full width at half maximum) : Γ=,354σ pour ue Gaussiee. O peut égalemet recotrer la distributio ormale réduite qui a ue moyee ulle et u écart type égal à : f 0 x = π e x, x sa foctio de répartitio état : F 0 x = π e x dx = erf x Pour ue distributio symétrique, o a la relatio suivate: P x µ e = F e..

12 Joha Collot Cours de physique expérimetale des hautes éergies du DEA de Physique Théorique Rhôe Alpi Aée : 00 Ce qui doe pour ue distributio ormale : P x µ σ =0,68 P x µ σ =0,954 P x µ 3σ =0,998 La distributio ormale est égalemet le modèle vers lequel ue distributio de Poisso ted lorsque λ (valeur moyee) deviet grad. E pratique o peut cosidérer qu ue Gaussiee est ue boe approximatio d ue Poissoiee dès que λ dépasse 30. La somme de deux variables aléatoires ormales et idépedates de moyees µ,µ σ,σ est elle même ue variable ormale avec µ=µ µ et σ =σ σ. et d écarts type.4 Distributio ormale à variables : C est ue gééralisatio de la distributio précédete : x µ f x, µ, B = π B exp x µ T B x µ avec x = x x µ= µ µ et µ i =E B=C, C état la matrice de covariace. Cas = : x= x x µ= µ µ f x, x,µ,µ,σ,σ,ρ = πσ σ ρ x exp µ ρ x µ x µ x µ ρ σ σ σ σ

13 Joha Collot Cours de physique expérimetale des hautes éergies du DEA de Physique Théorique Rhôe Alpi Aée : 00 Les courbes d équiprobabilité sot des ellipses : x µ ρ x µ x µ x µ = ρ, σ σ σ σ où est le ombre d écarts type ( pour le cas =, il s agit de l ellipse de covariace). La probabilité de trouver x, x à l itérieur d ue ellipse à écarts type est doée par :.5 Loi de khi deux : P σ = e Si x, x, x sot des variables aléatoires idépedates et ormales, la somme : χ = µ i qui est elle même ue variable aléatoire, suit ue loi dite de Khi deux à degrés de liberté. Ladesité de probabilité de cette loi, qui e déped que de, est : f χ, = χ e χ Γ avec Γ = 0 t e t dt état la foctio d Euler Γ x =xγ x O peut motrer que : E χ =, var χ =. 3

14 Joha Collot Cours de physique expérimetale des hautes éergies du DEA de Physique Théorique Rhôe Alpi Aée : 00 O trouve égalemet que la somme i χ i suit ue loi de khi deux à = i i degrés de liberté. O peut égalemet recotrer la variable de χ réduite qui est vaut. χ dot l espérace mathématique Pour u échatillo de évéemets proveat d ue même variable aléatoire ormale de moyee µ x et d écart type σ cous, la somme : i µ i σ, suivra ue loi de khi deux à degrés de liberté. Le résultat de cette expériece devrait fourir ue valeur de χ proche de du fait que la moyee de la loi de chi deux est précisémet. 3Théorème de la valeur cetrale et modèle de l erreur expérimetale Ce théorème établit que la somme de variables aléatoires idépedates ayat chacue la même moyee (µ) et la même variace fiie (σ) ted vers ue Gaussiee lorsque ted vers l ifii: x= Gaussiee de moyee µ et de variace σ lorsque. Lorsque les ot des distributios différetes, ce théorème reste valable, das le ses où àgrad, la somme des ted vers ue Gaussiee. Das ce cas, E x = i µ i et var x =. À partir de ce théorème, e 783 Laplace a proposé u modèle de l erreur expérimetale. O peut cosidérer qu ue mesure s écrit comme : x=x vrai e e e =x vrai e i avec E e i =0 σ x vrai =0 La somme das le deuxième membre représete toutes les sources d erreurs (souvet icoues) qui, si elles sot ombreuses, produiset ue distributio de probabilité d erreur totale proche d ue distributio ormale e vertu de l applicatio du théorème de valeur cetrale. Ce modèle permet de justifier l utilisatio fréquete d ue Gaussiee pour la desité de probabilité des erreurs de mesure. Lorsqu ue mesure est effectuée das des coditios qui satisfot le théorème de la valeur cetrale, les résultats sot commuiqués de la faço suivate : m±σ où m est le résultat de la mesure et σ so erreur. Cet itervalle est à 68,3% de cofiace: c est à dire 68,3% de probabilité que la vraie valeur de la quatité mesurée soit coteue das l itervalle. Das la plupart des expérieces, l applicabilité du théorème de la valeur cetrale est jamais réellemet démotrée et il faut se méfier du iveau de cofiace des itervalles commuiqués. 4

15 Joha Collot Cours de physique expérimetale des hautes éergies du DEA de Physique Théorique Rhôe Alpi Aée : 00 4 Échatilloage et estimatio : Ue desité de probabilité costitue u modèle théorique qui permet de prédire la fréquece avec laquelle la valeur d ue variable aléatoire sera observée. Les paramètres (masse d ue particule, durée de vie, moyee, variace,...) de cette desité de probabilité sot gééralemet icous. Ce sot les mesures qui peuvet ous permettre de les détermier. C est du reste l objet, le but des mesures das la plupart des cas. Ue série de mesures d ue variable aléatoire costitue u échatillo. L esemble de tous les résultats de mesures possibles (toutes les expérieces possibles) d ue variable aléatoire est la populatio. U échatillo est u sous esemble d ue populatio. U échatillo de taille est représeté par ue série : x, x,, x. U échatillo est lui même ue variable aléatoire à dimesios (l expériece qui mesure u échatillo peut être répétée). O appelle statistique ue foctio qui déped d u échatillo: f x, x,, x. U estimateur est ue statistique destiée à produire ue valeur estimative de l u des paramètres de la desité de probabilité de la variable aléatoire mesurée. U estimateur est dit sas biais si quelle que soit la taille d u échatillo, sa moyee est égale à la valeur du paramètre recherché. 4. Estimatio d ue moyee : évéemets idépedats d ue variable aléatoire x sot mesurés : x= sas biais de sa moyee. E x = E = E x =E x est u estimateur var x =E x E x =E x x x E x = E x E x x E x... x E x = σ ou ecore σ x = σ 4. Estimatio d ue variace : évéemets idépedats d ue variable aléatoire x (de moyee icoue) sot mesurés : S = x = x est u estimateur sas biais de la variace. 5

16 Joha Collot Cours de physique expérimetale des hautes éergies du DEA de Physique Théorique Rhôe Alpi Aée : 00 Démostratio : E S = E = E = E = E = = x = E E x E x E E E x E x E x x E x x E x E x x E x x E x E E x E x x = σ σ =σ > x E x E x E x E x x (Explicatio du facteur ( ): pour =, o a évidemmet x=x et var x = E x x = 0 0, c est à dire idétermiée ) Si la moyee théorique ( E x )d ue variable aléatoire échatilloée est coue, u meilleur estimateur de sa variace est obteue par : S = E x = E x xe x 4.3 Estimatio de comptage : Très fréquemmet au cours d ue expériece, o est simplemet ameé àfaire u comptage des particules qui satisfot certaies coditios ( limites e éergie, limites agulaires...). D u poit de vue formel, cela reviet à prélever u échatillo d ue populatio biomiale: pour chaque particule o teste si elle satisfait ou o les coditios d acceptatio. Soit la taille de cet échatillo (ou ecore le ombre d évéemets eregistrés) et k le ombre de ces évéemets qui satisfot les coditios de sélectio, o a : x= = k. C est le meilleur estimateur pour le paramètre p (probabilité de succès) de la distributio biomiale. Puisque σ x = σ et que la variace d ue distributio biomiale est p( p),oa: σ x = p p.sio remplace p par so estimatio, o obtiet : σ x = k k, ou ecore σ x =k k, c est à dire σ k =k k. σ k = k k est appelée l erreur statistique de comptage. Comme e gééral est très grad, cette expressio est plus souvet coue sous la forme de : σ k = k. Il coviet de rester vigilat vis à vis de l applicabilité de cette expressio simplifiée. Si l efficacité de comptage est voisie de, o doit utiliser l expressio complète pour obteir u résultat correct. 6

17 Joha Collot Cours de physique expérimetale des hautes éergies du DEA de Physique Théorique Rhôe Alpi Aée : 00 K est grad : Si k est grad, la distributio biomiale ted vers ue loi ormale de moyee k et d écart type σ k = k k ( k si l efficacité de comptage est faible ). Le résultat est doé par u itervalle: k±σ k, qui est à 68,% de cofiace ( 95,4% pour k±σ k ). k est petit et p << : Si k est petit et que p est égalemet petit, o est das le cadre d applicatio de la loi de Poisso qui est asymétrique, ce qui coduit à u itervalle de cofiace égalemet asymétrique autour de la moyee k. Notez que l écart type reste k ce qui est coforme aux caractéristiques de la loi de Poisso. Pour obteir u ecadremet du comptage k à u certai iveau de cofiace α 0<α<,laméthode cosiste à détermier à l aide de lois de Poisso, les valeurs k mi et k max telles que : P x k, k mi α et P x k, k max α k mi P x k = α k = 4 P x k = α k max La table ci dessous doe les valeurs de k mi et k max pour les valeurs usuelles de k et de α : α pour k mi < α pour k mi < α pour k vrai < k mi k k max k vrai k vrai < k max k max 84% 0 0,84 84% 68% 84% 0,7 3,3 84% 68% 84% 0,7 4,64 84% 68% 84%,37 3 5,9 84% 68% 84%,09 4 7,6 84% 68% 84% 3,6 6 9,58 84% 68% 84% 6,89 0 4,6 84% 68% 84% 5,57 0 5,54 7

18 Joha Collot Cours de physique expérimetale des hautes éergies du DEA de Physique Théorique Rhôe Alpi Aée : 00 α pour k mi < α pour k mi < α pour k vrai < k mi k k max k vrai k vrai < k max k max 84% 68% 84% 4, , 95% % 90% 95% 0,05 4,74 95% 90% 95% 0,35 6,3 95% 90% 95% 0,8 3 7,75 95% 90% 95%,37 4 9,5 95% 90% 95%,6 6,84 95% 90% 95% 5,43 0 6,96 95% 90% 95% 3,6 0 9,06 95% 90% 95% 38, ,8 4.4 Estimatio par la méthode du maximum de vraisemblace : Cette méthode permet d estimer u paramètre quelcoque d ue desité de probabilité à partir d u échatillo de taille de mesures idépedates. Soit x, x,..., x u échatillo mesuré à partir de la variable aléatoire x. La foctio de vraisemblace est défiie par : L α = f, α où f x, α est la desité de probabilité supposée de forme coue de la variable échatilloée, α est le vecteur des paramètres à estimer. Pour briser le produit i e ue somme, o a souvet recours à la foctio logarithmique de vraisemblace : l L α = l f, α. Das cette méthode, l estimatio des paramètres est fourie e recherchat le vecteur α e qui maximise la foctio logarithmique de vraisemblace, ce qui cosiste à résoudre : l L α α =0. Exemple : Doées échatilloées à partir d ue populatio de Poisso : f x,λ = λ x x! e λ λ l λ! e λ =0 λ l λ l! λ =0 8

19 Joha Collot Cours de physique expérimetale des hautes éergies du DEA de Physique Théorique Rhôe Alpi Aée : 00 =0 λ λ= = x Exemple : Mesures idépedates et de précisios différetes. Nous predros comme hypothèse que les erreurs sot distribuées de faço ormale. La desité de probabilité est : f x,σ ;λ = x λ πσ e σ. Les doées sot,. Doc f e déped que d u seul paramètre : λ. l λ π x λ i σ e i =0 l λ π λ =0 λ =0 qui a pour solutio λ=. 4.5 Estimatio par la méthode des moidres carrés : Cette méthode est celle que l o recotre le plus souvet das les problèmes d estimatio de paramètres icous à partir de doées mesurées. Cas de mesures directes : Les mesures sot directemet reliées à la quatité icoue x. O dispose d u échatillo de mesures idépedates y i de la même quatité recherchée x ; c est à dire y i =x ε i où ε i est ormalemet distribuée autour de zéro avec E ε i =. Au passage, ous avos fait l hypothèse que les erreurs de mesure sot ormalemet distribuées (applicatio du théorème de la valeur cetrale). La foctio logarithmique de vraisemblace est: l L = y i x cost Imposer que cette foctio soit maximale reviet à demader que : M= y i x soit miimale. C est ce que l o appelle la méthode des moidres carrés. 9

20 Joha Collot Cours de physique expérimetale des hautes éergies du DEA de Physique Théorique Rhôe Alpi Aée : 00 E pratique, o obtiet : M x =0 x= y i. Les résidus sot défiis comme état: ε i =y i x. Ils sot ormalemet distribués et possèdet des ε i σ j variaces. Par coséquet, M= suit ue loi de khi deux à ( ) degrés de liberté. Le ombre de degrés de liberté ( de mois que ce que l o pourrait attedre) proviet du fait que les résidus e sot pas idépedats. E effet, la coditio de miimisatio s écrit ecore : ε i =0. y i x =0 soit Le iveau de cofiace du résultat x peut être estimé par u test de chi deux. O se doe le iveau de cofiace α auquel o souhaiterait parveir pour le résultat: attetio la défiitio de ce iveau de cofiace est iverse à celle utilisée pour les itervalles de mesures. Esuite, o cherche la valeur de pour laquelle: χ max χ max f χ, d χ = α où f χ, est ue distributio de chi deux à degrés de 0 liberté. χ max Si M dépasse, o est e droit de se douter du résultat au iveau de cofiace choisi. O remarquera que plus α est grad, plus χ max est petit ; ce qui est iverse à la logique utilisée lors de l estimatio du iveau de cofiace d u itervalle de comptage (4.3) qui faisait qu à u iveau de cofiace plus grad était associé u itervalle de comptage plus large. Les fractiles f q d ue desité de probabilité sot défiies par : F f q =q où F est la foctio de répartitio de la desité de probabilité cosidérée etq est ue probabilité comprise etre 0 et. Das le test du khi deux exposé das le paragraphe précédet, la valeur de χ max est e fait la fractile α de la loi de khi deux à ( ) degrés de liberté. La table ci cotre doe les fractiles de la loi de xhi deux pour quelques cas courats : 0

21 Joha Collot Cours de physique expérimetale des hautes éergies du DEA de Physique Théorique Rhôe Alpi Aée : 00 \ q 0,0 0,05 0, 0,5 0,9 0,99 0,0 0,46,7 6,63 0,0 0, 0,,39 4,6 9, 3 0, 0,35 0,58,37 6,5,3 4 0,3 0,7,06 3,36 7,78 3,3 5 0,55,5,6 4,35 9,4 5, 6 0,87,64, 5,35 0,6 6,8 7,4,7,83 6,35 8,5 8,65,73 3,49 7,34 3,4 0, 9,09 3,33 4,7 8,34 4,7,7 0,56 3,94 4,87 9,34 6 3, 3,05 4,57 5,58 0,3 7,3 4,7 3,57 5,3 6,3,3 8,5 6, 3 4, 5,89 7,04,3 9,8 7,7 4 4,66 6,57 7,79 3,3, 9, 5 5,3 7,6 8,55 4,3,3 30,6 0 8,6 0,9,4 9,3 8,4 37,6 5,5 4,6 6,5 4,3 34,4 44, ,5 0,6 9,3 40,3 50,9 Cas de mesures idirectes : mesures idépedates sot effectuées aux poits. Les doées y i (idépedates) doivet maiteat être comparées aux valeurs d ue foctio, f, α où le vecteur α représete les paramètres à estimer. O forme la somme suivate : y M= i f, α. Ce problème d estimatio est celui que l o recotre le plus fréquemmet e physique. modèle f(x, α )

22 Joha Collot Cours de physique expérimetale des hautes éergies du DEA de Physique Théorique Rhôe Alpi Aée : 00 Le vecteur α s solutio du système d équatios de miimisatio M α =0 costitue l estimatio des paramètres recherchés. Si les erreurs ( ) sot distribuées de faço ormale, o peut motrer que : M α s = y i f, α s, suit ue loi de khi deux à k degrés de liberté ; k état le ombre de paramètres ou la dimesio de α. Le iveau de cofiace de la solutio α s peut être testé coformémet à la méthode décrite das le paragraphe précédet. Exemple : Paramétrisatio ou ajustemet (fit e aglais) d ue droite sur ue série de poits. O dispose de poits, y i,. Le modèle est f x;a, b =ax b. La somme des carrés est doée par : La miimisatio coduit à : M a M a M= y i a b σ x y = a x i i i i y i y i a b =0 y i a b =0 = a C est u système d équatios à deucoues : a et b.. b b 5 Loi de propagatio des erreurs : Soit variables aléatoires,, et leur matrice de covariace associée : C x =E x µ x x µ x T avec µ x =E x. O costruit par trasformatios liéaires de ces, r ouvelles variables aléatoires y j : y =a t x t x t x y =a t x t x t x ou ecore y=t x a, o obtiet alors : µ y =T µ x a. y r =a r t r x t r x t r x

23 Joha Collot Cours de physique expérimetale des hautes éergies du DEA de Physique Théorique Rhôe Alpi Aée : 00 Et pour ce qui cocere la ouvelle matrice de covariace : C y =E y µ y y µ y T =E T x a T µ x a T x a T µ x a T =E T x µ x x µ x T T T =TE x µ x x µ x T T T fialemet, o obtiet : C y =TC x T T Supposos maiteat que ous ayos mesuré u échatillo à variables aléatoires et que ous ayos aisi estimé leurs moyees ( µ x ) et leur matrice de covariace associée C x. Nous formos à partir de l échatillo des u ouvel échatillo à r variables aléatoires y j obteues par des foctios du type : y j x. Si les erreurs de mesure des sot assez petites e comparaiso à leurs moyees, la desité de probabilité des erreurs e sera grade qu au voisiage des moyees. O peut alors développer les y j au voisiage des moyees µ x : ou ecore : y j x =y j µ x y j x x= µ x x µ x y j x x= µ x x µ x, j=,r, y x y x y x y x = y µ x T x µ x avec T= y x y x y x y r x y r x y r x x= µ x E appliquat la formule obteue précédemmet, o a : C y =TC x T T. Das le cas gééral, il coviet de teir compte des covariaces et des variaces das la matrice C x pour obteir les termes diagoaux de C y. Si par cotre toutes les covariaces das la matrice C x sot ulles, c est à dire si les variables sot idépedates, alors les termes diagoaux de C y sot : σ y j = y j x= µ x σ. C est ce qui est commuémet appelé la loi de propagatio des erreurs. Il faut garder à l esprit qu elle est applicable que das le cas où les variables sot idépedates. 3

24 Joha Collot Cours de physique expérimetale des hautes éergies du DEA de Physique Théorique Rhôe Alpi Aée : 00 Exemples : σ l y = σ y y y= a b σ y = σ a σ b y a b y=a b σ y =σ a σ b y=a b σ y =σ a σ b y=a b σ y =4 a σ a 4 b σ b y= f x, x où x et x e sot pas idépedates. a et b sot supposées idépedates σ y = f x f x σ x cov cov σ x f x f = f x σ x f x σ x f x f x cov x, x x 6 Équivalets fraçais de termes aglo saxos : Aglais Fraçais Acceptace Acceptatio Bias Biais Bivariate ormal distributio Loi ormale à deux variables Cofidece level Niveau de cofiace Cosistet estimator Estimateur coverget Distributio fuctio Foctio de répartitio Estimate Estimatio Expectatio Espérace mathématique Rage Étedue Sample Échatillo Sigificace level Seuil de sigificatio Stadard deviatio Écart type 4

25 Joha Collot Cours de physique expérimetale des hautes éergies du DEA de Physique Théorique Rhôe Alpi Aée : 00 Ubiassed estimator Fractile Aglais Fraçais Estimateur sas biais Fractile 7 Pour e savoir plus : Data Aalysis. Statistical ad computatioal methods for Scietists ad Egieers, Siegmud Bradt, Spriger 999 Review of Particle Properties, Physical Review D Aide Mémoire Statistique, CISIA CERESTA éditeur Statistics for uclear ad particle physicists, Louis Lyos, Cambridge Uiversity Press Data Reductio ad error aalysis for the physical scieces, Ph. Bevigto, D. Keith Robiso, Mc. Graw Hill, ic. Statistical methods i experimetal physics : W.T. Eadie, D. Drijard, F.E. James, M. Roos, B. Sadoulet, North Hollad 5