Intérêts composés - Amortissements

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1 Intérêts composés - Amortissements Objectif : - Etudier et calculer les éléments d un placement à intérêts composés. - Effectuer un tableau d amortissement. I - Approche : Examinons la publicité suivante : A la fin de chaque année, l intérêt de l année est incorporé au capital pour le calcul de l intérêt de l année suivante. Capital au début de l année 1 ère année Intérêt annuel Valeur acquise, à la fin de l année 2 ème année 3 ème année On dit que l on capitalise les intérêts, c est à dire que l on ajoute l intérêt au capital à la fin de chaque année. Autre exemple : Une voiture perd chaque année une partie de sa valeur ; il en est de même pour certains biens immobilisés dans les entreprises ( machines, équipement de bureau,... ). L amortissement par dépréciation est la constatation de la diminution de la valeur de ces biens. Les calculs sur les intérêts composés et les amortissements reposent sur le même outil mathématique : les suites.

2 II - Valeur acquise par un capital placé à intérêts composés : Le graphique ci-dessous représente l évolution dans le temps des valeurs acquises d un capital de F, placé à 13% l an à intérêts simples et à intérêts composés. A - En utilisant la technique de l approche, calculer à intérêts composés les valeurs acquises à la fin de chacune des 4 premières années. Vérifier sur le graphique les résultats obtenus. Années Capital Intérêt Valeur acquise b - Calculer la valeur acquise à intérêts simples après 4 ans de placement. c - Quelle est la différence avec la valeur acquise trouvée à intérêts composés pour la même période? d - Déduire du graphique le nombre d années de placement nécessaire pour que la valeur acquise soit le double du capital : à intérêts simples : à intérêts composés :

3 Remarque : Chaque année, la valeur acquise en fin d année est obtenue en augmentant le capital de 13%, c est à dire en le multipliant par : D une manière générale : Soit : C : Capital en F ; n : durée du placement ; t : taux d intérêt A : Valeur acquise obtenue à la fin du placement Périodes Capital au début de la période. C Intérêt à la fin de la période Valeur acquise à la fin de la période A Nous constatons que les valeurs acquise constituent une suite géométrique : - de premier terme : - de raison : RETENONS : * La valeur acquise à la fin de la n ième période d un capital placé au taux t est : A = C ( 1 + t ) n * Pour obtenir l intérêt, il suffit de retrancher le capital de la valeur acquise : I = A - C Ce calcul s effectue à la calculatrice : C 1 + t y x n = A

4 III - Exercices : 1 - a - Calculer la valeur acquise d un capital de F placé pendant 7 ans à un taux égal à 4,5%. b - En déduire l intérêt acquis pendant cette période. 2 - a - Calculer la valeur acquise par un capital de F, placé à 8% par an pendant 6 ans à intérêts composés. b - En déduire l intérêt acquis pendant cette période. IV Taux proportionnel Taux équivalents : 1 - Approche : Les taux d intérêts sont presque toujours donnés pour une période annuelle, même si la période de capitalisation est différente. Ex : Une banque propose à ses clients un placement au taux annuel de 8% avec une capitalisation mensuelle des intérêts. On place F pendant 2 ans. Pour un taux annuel de 8% : - le taux semestriel est : 2 8 = 4 donc i = 0,04 - le taux trimestriel est : 4 8 = 2 donc i = 0,02 - le taux mensuel est : 12 8 = 0,667 donc i = 0, Taux proportionnel : 3 - Applications : i k = k i i : taux annuel k : nbre de période dans l année a Calculer la valeur acquise par un capital de F placés à intérêts composés pendant 2 ans au taux annuel de 8%. b Calculer la valeur acquise par un capital de F placés à intérêts composés pendant 2 ans au taux trimestriel de 2%.

5 c Que constate-t-on? d Quel taux trimestriel faut-il employer pour que les valeurs acquises soient égales? 3 - Taux équivalents : a Définition : b Calcul du taux équivalent i k : ( 1 + i k ) k = 1 + i ou i k = k 1 + i - 1 c Exemple : Considérons le taux annuel de 9% : - le taux mensuel proportionnel est :... - le taux équivalent est : Taux effectif global ( T.E.G. ) : Pour les prêts, le taux effectif global ( T.E.G. ) tient compte des frais ( dossiers, assurances,. ) c est le taux proportionnel. Exemple : Si le taux mensuel est de 1,5%, le TEG est de :. soit... Si le taux trimestriel est de 3,5%, le TEG est de :.. soit IV - Recherche du capital initial : 1 - Calcul du capital : A = C ( 1+t ) n RETENONS : Calcul initial placé : C = A ( 1 + t ) -n A la calculatrice : A 1 + t y x n +/- = C

6 V - Exercices : 1 - Quelle somme faut-il placer à intérêts composés au taux annuel de 7,5% pour obtenir dans 3 ans, un capital de F ( Capital initial et intérêts réunis ). 2 - Calculer le capital, qui placé à intérêts composés à 6% par an pendant 5 ans, donne une valeur acquise de 3 345,57 F. 3 - Calculer le capital, qui, placé à intérêts composés à : 6% pendant 4 ans donne une valeur acquise de 3 787,43 F. 10% pendant 5 ans donne une valeur acquise de ,85 F. 4 Votre banque prélève un intérêt sur votre découvert bancaire au TEG de 18%. Pendant 1 mois il vous a manqué F ; calculez le montant des intérêts prélevés sur votre compte. 5 Un capital de F est placé pendant 5 ans. La capitalisation des intérêts est trimestrielle, le total des intérêts perçus est ,90F. a Calculez le taux trimestriel d intérêt. b Calculez le TEG. c Calculez le taux annuel équivalent. V - Amortissement : ( constant ou linéaire ) 1 - Généralités : Dans un amortissement linéaire, les annuités d amortissement sont égales. La valeur comptable nette est la différence entre la valeur d origine hors taxe du bien, et le total des amortissements déjà pratiqués. 2 - Activité : Un ordinateur acheté F H.T. en Janvier 1991, est amortissable sur 5 ans ( t=... de la valeur d origine ). Compléter le tableau d amortissement. Années Base de calcul Annuité d amortissement Valeur nette comptable Remarque : Les valeurs comptables nettes successives forment uns suite arithmétique décroissante ( r =... ).

7 3 - Exercices : a - Un matériel est amortissable sur 4 ans par amortissement linéaire. Sachant que l annuité d amortissement s élève à F : Calculer la valeur d acquisition du matériel. Dresser le tableau d amortissement. Déterminer le taux d amortissement linéaire. b - Pour 4 amortissements linéaires, compléter les renseignements manquants. valeur d acquisition Nbre d années Annuités taux % %

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