RÉVISION DE CALCUL NUMÉRIQUE

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1 RÉVISION DE CALCUL NUMÉRIQUE. Les ensembles numériques. Propriétés des nombres réels. Ordre des opérations. Nombres premiers. Opérations sur les fractions 7. Puissances entières 0.7 Notation scientifique.8 Racines carrées.9 Révision générale 8.0 Corrections des exercices Picchione Serge 0-0

2 AVANT-PROPOS Que contient cette brochure de révision de calcul numérique? Cette brochure se divise en 0 chapitres. Les 9 premiers contiennent chacun de la théorie et des exercices. Le dernier chapitre contient les corrigés complets de tous les exercices. Les 9 premiers chapitres résument toutes les notions de calcul numérique étudiées au Cycle d orientation. C est donc un document idéal pour faire de la révision pendant les vacances ou tout au long de l année scolaire. Pourquoi le calcul numérique est-il si important? En mathématique, le calcul numérique c est un peu comme l orthographe en français! C est une connaissance de base qui permet de maîtriser par la suite le calcul littéral et bien d autres branches des mathématiques. Comment utiliser au mieux cette brochure de révision de calcul numérique? Cette brochure ne se lit pas comme un roman ; il n est pas nécessaire de parcourir toutes les pages d un chapitre pour le comprendre et le maîtriser. Il est donc conseillé de résoudre une partie seulement des exercices d un chapitre et, suivant le taux de réussite, de lire ou non la théorie qui s y rapporte. Cette brochure sert avant tout à combler certaines lacunes et à réactiver les connaissances en calcul numérique acquises durant les études au Cycle d orientation. Téléchargement Vous pouvez télécharger ce document au format PDF à l adresse suivante : BON TRAVAIL! Picchione Serge 0-0

3 . Les ensembles numériques Définitions Ensemble des entiers naturels { 0;;;;...} * \ { 0} { ;;... } Ensemble des entiers relatifs {...; ; ;0;;;;... } p Ensemble des nombres rationnels p et q * q Remarque peut aussi être considéré comme l ensemble des nombres dont le développement décimal 8 7 est fini ou illimité mais périodique. Exemple :,., Un nombre avec un développement décimal fini ou avec un développement décimal illimité périodique peut toujours se mettre sous la forme d une fraction. Exemples, 0 9, ,..., On pose a, 000 a,... 0 a, a 7 a On a longtemps cru qu'il n'existait pas d'autres nombres que les rationnels jusqu'au jour où on a prouvé que n'est pas un nombre rationnel!, Il a donc fallu considérer de nouveaux nombres, ceux qui ne sont pas rationnels. Définition Un nombre irrationnel est un nombre qui ne peut pas s'écrire sous forme de fraction, ou un nombre dont le développement décimal est illimité et non périodique. Exemple π, est également un nombre irrationnel. (voir table C.R.M.) Définition Lorsqu'on considère l'ensemble de tous les nombres : entiers naturels, entiers relatifs, nombres rationnels et irrationnels, on parle de l'ensemble des nombres réels. Exemples ; 0, ; π ; ; On a les inclusions suivantes : _ P.S. / 0-0 Révision de calcul numérique

4 Exercice Donner l écriture fractionnaire irréductible des nombres rationnels suivants : a), b),7 c) 0,000 d) 8, Exercice Simplifier d'abord, si c'est possible, puis donner l écriture décimale des nombres rationnels suivants. a) 8 b) 08 Que constate-t-on? c) 78 d) Exercice Écrire le nom de l ensemble de nombres désigné par chacune des lettres suivantes : Exercice ; ; ; Compléter à l aide de l un des signes (appartient) (n appartient pas). 0,7, 0,0 0, Exercice Recopier le diagramme de Venn ci-dessous et placer les nombres suivants :, ; ; π ; ; ; ; ; 9 ; 0 ; 7, 0 ; 7, 0 Exercice Trouver dix nombres non rationnels (irrationnels). _ P.S. / 0-0 Révision de calcul numérique

5 . Propriétés des nombres réels Les nombres réels jouissent des propriétés ci-dessous, c est-à-dire que quelles que soient les valeurs que l on donne aux lettres a, b, c et d, les relations suivantes sont toujours vraies : ) ) La somme de deux nombres réels est un nombre réel. Le produit de deux nombres réels est un nombre réel. ) a + b b + a a b b a commutativité ) a + ( b + c ) ( a + b ) + c a ( b c ) ( a b ) c associativité ) 0 + a a a a élémentneutre ) a + (-a ) 0 a a élément symétrique 7) a ( b + c ) a b + a c distributivité / mise en évidence 8) ( a + b ) ( c + d ) a c + a d + b c + b d double distributivité / mise en évidence 9) ( a ) b a ( b ) a b ( a ) ( b ) a b règledes signes Illustration de la distributivité / mise en évidence (b+c) c b Deux manières de calculer l'aire du rectangle : a (b+ c) a b+ a c a Illustration de la double distributivité / mise en évidence d c (c+d) Deux manières de calculer l'aire du rectangle : (a+ b) (c+ d) a c+ a d+ b c+ b d a (a+b) b Règle de la multiplication par zéro 0) Lorsque l'on multiplie un nombre réel par 0, on trouve toujours 0. Autrement dit : a 0 0 a 0 ) Dire que le produit de deux nombres réels vaut 0 est équivalent à dire que l un des deux nombres (au moins) est égal à 0. Autrement dit : a b 0 a 0 ou b 0 _ P.S. / 0-0 Révision de calcul numérique

6 Exercice 7 (Illustration géométrique de la distributivité simple) Calculer l aire du rectangle ombré de deux manières différentes en écrivant toutes les étapes du calcul : (+) ère méthode : ème méthode : Conclusion : 0 Même question, mais avec a, b et c des nombres réels quelconques : (b+c) c b ère méthode : ème méthode : Conclusion : a Exercice 8 (Illustration géométrique de la double distributivité) Calculer l aire du rectangle ombré de deux manières différentes en écrivant toutes les étapes du calcul : (+) ère méthode : ème méthode : Conclusion : 7 (7+) Même question, mais avec a, b, c et d des nombres réels quelconques : d c (c+d) ère méthode : ème méthode : Conclusion : a (a+b) b _ P.S. / 0-0 Révision de calcul numérique

7 . Ordre des opérations Pour déterminer la valeur d'une expression arithmétique, on décide d'effectuer les différentes opérations en suivant l'ordre indiqué par les règles ci-dessous : ) Les opérations à l'intérieur d'une paire de parenthèses qui ne contient pas de parenthèse. ) Les puissances et les racines. ) Les multiplications et les divisions (de gauche à droite). ) Les additions et les soustractions (de gauche à droite). Exemple (+) ) ) ) ) Remarques a) Si, dans une écriture sans parenthèse, il ne reste que des multiplications et des divisions (ou que des additions et des soustractions) il faut effectuer ces opérations de gauche à droite : b) En général, on n'écrit pas de parenthèse autour d'un nombre seul, ni le symbole de l'addition : () ( ) + c) La barre de fraction représente une division, mais attention à l'ordre des opérations : + s'écrit, sans la barre de fraction, (+) ( ). + s'écrit, avec la barre de fraction, +. Exercice 9 Effectuer les calculs suivants : ( 0 0 0) a) ( + 7) ( ) f) ( ) ( ) b) + ( ) g) ( ) + c) 9 ( ) + h) ( 7) 7 8 ( ) + + d) + 0 ( + ) i) ( 7) + + ( ( ) ) e) ( + ) ( ) ( ) j) ( ) _ P.S. / 0-0 Révision de calcul numérique

8 . Nombres premiers Définition Un nombre n * est un nombre premier, s il a exactement deux diviseurs distincts dans * : et n. Exemples et pas d ' autres décompositions donc est premier. et donc n' est pas premier. ; ; ; 7 ; ; ; 7 ; 9 ; ; 9 ; ; 7 ; ; ; 7.. sont des nombres premiers. Remarques a) Euclide : «Il existe une infinité de nombres premiers». b) Si un nombre n est pas premier, on dit qu il est composé. Exemples : ; ; 8 sont composés. c) Le nombre n est pas premier car il a un seul diviseur : lui-même. Théorème fondamental de l arithmétique Tout entier positif peut être écrit comme un produit de nombres premiers, de façon unique. (La démonstration de ce théorème, sort du cadre de ce cours et ne sera donc pas exposée ici). Exemples Décomposons et 0 en produit de nombres premiers : (divisions successives) Exercice 0 ) Écrire les nombres entiers positifs suivants, en produits de facteurs premiers : a) 8 b) c) 00 d) 0 ) est-il un nombre composé? Justifier _ P.S. / 0-0 Révision de calcul numérique

9 . Opérations sur les fractions Définition Deux fractions sont égales si et seulement si le produit du numérateur de la première fraction par le dénominateur de la deuxième est égal au produit du dénominateur de la première fraction par le numérateur de la deuxième (produit en croix). Autrement dit : Pour tout a, c et b, d * : a c a d b d b c Exemple 9 car 9 Remarque On dit aussi que est proportionnelle à 9. Les opérations sur les fractions sont : Pour tout a, c et b, d * : Exemples : addition soustraction multiplication division a c a d + b c b d b d 7 a c a d b c b d b d 7 a c a c 0 b d b d 7 7 a c a d 7 b d b c 7 Définitions ) Simplifier une fraction, c'est diviser son numérateur et son dénominateur par le même nombre entier non nul. ) Une fraction est appelée irréductible lorsqu'il n'est plus possible de la simplifier, sinon on l'appelle réductible. Exemple donc est irréductible mais est réductible. Remarques 0 0, ainsi que tous les nombres de la forme a 0 Ce ne sont pas des nombres réels. (où a * ) ne sont pas définis. _ P.S. / Révision de calcul numérique

10 Exercice Rendre irréductible les fractions suivantes : a) 8 0 b) 8 c) 70 0 d) Exercice Compléter les égalités suivantes : a) 0,...,0 b) 0,, Exercice Effectuer les opérations suivantes sans avoir recours à une calculatrice et donner la réponse sous forme d une fraction irréductible ou d un nombre entier. ) ) + ) ) ) ) 7) ) 9) 0) ) ) ) ) + + ( ) ( ) + ( ) ( ) Exercice Exprimer en fractions d'heures les quantités suivantes (fraction irréductible). a) 7 minutes b) minutes c) 90 minutes d) minutes e) 0 secondes f) 8 minutes et 0 secondes g) seconde Exercice Lors d'une élection, il y avait 7 inscrits, 9 votants et M. X a obtenu 8 voix. a) Donner le résultat de M. X en pourcentage des votants, puis en pourcentage des inscrits. b) Donner le pourcentage d'abstention. _ P.S. / Révision de calcul numérique

11 Exercice Un constructeur automobile décide d'augmenter, le er juillet 00, le prix de tous ses modèles de %. a) Le prix d'un modèle le 0 juin 00 était de Quel est son nouveau prix le er juillet 00? b) Le prix d'un modèle le 0 juin 00 était de 7 0. Quel est son nouveau prix le er juillet 00? Exercice 7 Un magasin de vêtements décide de faire une réduction à la caisse de 7% sur tous ses articles restants en stock. Si le rabais sur un pantalon est de, quel est le prix payé à la caisse par le client? Exercice 8 Un article sur lequel on a octroyé un rabais de % coûte 0 Fr. Combien coûtait l article avant la remise? _ P.S. / Révision de calcul numérique

12 . Puissances entières Définition (Puissances à exposants dans * ) Si a est un nombre réel et n un entier naturel non nul, alors on définit: a n a a... a (produit de n facteurs de a) n facteurs Exemples facteurs Voyez la ressemblance avec : Par exemple : + + fois facteurs Définition / convention (Puissances à exposants dans ) n a a + a a (somme de n termes de a), mais sans confondre! n fois Si a 0, alors 0 a (0 0 n est pas défini) Si a est un nombre réel non nul et n un entier naturel non nul, alors a n n a a a a... a n facteurs Exemples facteurs - facteurs Propriétés des puissances entières Quels que soient les nombres réels a et b non nuls et les entiers relatifs n et m, on a: ) ) ) ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) Exemples : n m n m a a n m n+ m + 7 a a a n n n a b a b n n a a b b n a a m m n a n Remarque En général : ( ) n n n a+ b a + b _ P.S. / Révision de calcul numérique

13 Exercice 9 Effectuer les opérations suivantes sans avoir recours à une calculatrice et donner la réponse sous forme d une fraction irréductible ou d un nombre entier. ) ) ) ) 77 7 ) ( ) ( ) ) 7) ) ( ) ( ) 9) ( ) 0) ) 0 ) (,) (,) ) ) ) ( ) 0 ) 7) ( ) 8) ( 0.0) 9) 0) ) ) ) ( 0) ) ( 0 ) ) 0 0 ) ( 0 ) 0 7) 8) 9) ,0 0, ) ( 0,0 ) ) ) ( ) - ) ) ) - 00' 000 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 7) 7 0 8) ( ) 78 9) ( ) 78 0) ( ) ) ) + Exercice 0 On donne les calculs suivants : a) b) ( ) ( ) Justifier précisément chacune des égalités ci-dessus. _ P.S. / 0-0 Révision de calcul numérique

14 .7 Notation scientifique Rappels sur les puissances de ,00 ; 0 0,0 ; 0 0, ; 0 ; 0 0 ; 0 00 ; La notation scientifique Tout nombre réel a positif ( * + ) peut s écrire sous la forme suivante : n a c 0 avec c <0 et n Exemples - 0, ,78 0 avec c 8,78<0 et n 000, 0 avec c,<0 et n Remarques L écriture scientifique, est une écriture compacte et donne un ordre de grandeur aux quantités. Elle est donc particulièrement utile lorsqu il s agit d écrire de très grands nombres ou de très petits nombres. Elle est aussi présente sur les calculatrices. Illustrations La distance de la Terre à la Saturne est d environ Km, elle peut aussi s écrire 9 en notation scientifique :,7 0 Km. La masse d un atome d oxygène est de 0, grammes, ce qui s écrit en notation scientifique :, 0 grammes. Exercice Quelle est l'écriture décimale de : (Sans calculatrice!) a) d) 0 b) 0 0 e) 0 c), 0 f) ,789 0 g) 0 h). 0 i), 0 j) m) -,7 0 k) 7,8 0 n) 0, l) 7, ,7 0 0 ( ) 0 0 Exercice Combien faudrait-il de chiffres pour écrire ( ) 0 sous forme décimale? _ P.S. / 0-0 Révision de calcul numérique

15 Exercice Effectuer les opérations suivantes sans avoir recours à une calculatrice et donner la réponse en notation scientifique. Exemple : ' 000' a) 0 b) 0 7 c) 0,0 0 0 d) 0 0 e) f) 8 0, g) 0, h) ,00 0, i) 000 0,0 0 0, j) 0, 00 0,00 0 0, k) 0 0, , 70 l) 0,0 0 0, 00 0,0008 m) 000 0, 70 0,0, n) , , o) 0,0 0 0, ,0 p) 0, ,00 0, 0 Exercice Effectuer les opérations suivantes sans avoir recours à une calculatrice et donner la réponse en notation scientifique. Exemple : 7 0' 000' 000 8' ' 000' ( 7 ) ( ) a) 0, b) ( ) ( ) 00 0,0 0 c) ( 7 0 ) ( 8 0 ) 8 ( 8 ) ( 0 0 ) d) 0, e) ( ) ( ) 00 f) 0 0 ( ) g) h) 00'000 0,000'000 '000 0,00 i) 0,000 0' j) 0,0 0,000 0, k) '000 0,000, '000 0,00 0,0 l),, 0,000' Exercice Le août 989, la sonde Voyager II arriva à proximité de la planète Neptune. Cette planète se trouve alors à, milliards de kilomètres de la Terre. Les signaux envoyés par la sonde arrivent à la vitesse de la lumière ( km/s). Combien ont-ils mis de temps pour parvenir jusqu'aux antennes de réception situées sur la Terre? a) Réponse en seconde et avec la notation scientifique. b) Réponse en heures / minutes. _ P.S. / 0-0 Révision de calcul numérique

16 .8 Racines carrées Définition Si a est un nombre réel positif ou nul ( + ), alors on définit: la racine carrée de a que l on note a, comme le nombre réel positif dont le carré est égal à a, autrement dit : a b a b (a et b des nombres réels positifs) Exemples La racine carrée de vaut. 9 9 La racine carrée de 9 vaut. Remarques ) Le symbole s' appelle radical. L' exp ression sous ce symbole s'appelle le radicande. ) Insistons sur le fait qu'une racine carrée est par définition un nombre réel positif. ) La racine carrée d'un nombre réel négatif n'est pas définit dans les réels. ( ) Propriétés de la racine carrée ) + ( ) Avec a : a a a si a 0 ) Avec a : a a valeur absolue de a et a a si a<0 Exemples ) ( ) ) ( ) Propriétés de la racine carrée (suite) Avec a,b * : Exemples : + ) ) ) ) a b a b 9 9 a a pour b 0 b b a a ( ) ( ) n n a a n Remarque En général : a + b a + b _ P.S. / 0-0 Révision de calcul numérique

17 Exercice Sans calculatrice! a) Calculer : , b) Transformer l écriture de 8 en utilisant : 8 c) De l égalité 7, déduire : 7 d) En vous inspirant des exercices précédents, calculer : 7 ; 7 ; ; 9 ; 0 ; 8 0. Exercice 7 Calculer les racines suivantes sans avoir recours à une calculatrice et donner la réponse sous forme d une fraction irréductible ou d un nombre entier. Exemple : ) 9 ) 0, ) 9 ) ) ) 7) 0, 8) 9) 0) 0,000 ) ) ) ) 8 ) ) 7) 8) 9 9) 8 0) ) ( ) ) ) ( ) 9 7) Exercice 8 ) ( ) 0 ) ( ) 8) ( ) 9) ) 0) ( ) 0 0 Simplifier les expressions suivantes, de manière à ce que le nombre sous le radical soit «le plus petit possible» : Exemple : Décomposition en facteur premier a b a b a a a) 8 b) 0 c) 00 d) _ P.S. / 0-0 Révision de calcul numérique

18 Exercice 9 Regrouper les racines et réduire. Exemple : ( + + ) a) + b) c) + 7 d) 7 8 e) + 7 f) + Exercice 0 Introduire tous les nombres sous un radical. Exemple : 7 a b a b a) b) 7 c) d) e) Exercice Rendre rationnel le dénominateur des expressions suivantes. Exemples : ) ) ( ) a) b) 7 c) d) e) f) n n n g) h) i) j) k) + l) m) + n) (+ ) + _ P.S. / 0-0 Révision de calcul numérique

19 Exercice Simplifier les expressions suivantes, de manière à ce que le nombre sous le radical soit «le plus petit possible» : a) 0 d) + 0 b) e) ( ) 0 c) f) ( ) + g) + h) 0+ 8 i) + j) + k) l) Exercice Sans calculatrice! Encadrer les racines suivantes entre deux entiers consécutifs. a)... < <... b)... < <... c)... < 7 <... d)... < <... e)... < 0 <... f)... < 7,8 <... g)... < 0, <... h)... < 0,0 <... i)... <, <... j)... <,7 <... Exercice a) Résoudre les équations suivantes. ) ) x 7 ) x 0 ) x ) x 7 x b) Indiquer le nombre de solutions des équations suivantes : Justifier. ) ) ) x a si a< 0 x a si a 0 x a si a > 0 _ P.S. / Révision de calcul numérique

20 .9 Révision générale Indications générales Utiliser les propriétés ainsi que les conventions sur les puissances et les racines. Les exercices précédents peuvent vous aider!! Exercice Effectuer les opérations suivantes sans avoir recours à une calculatrice et donner la réponse sous forme d une fraction irréductible ou d un nombre entier. ) ( ) ) 0 ( ) + + ) ( 0 + ) ( 7 ) 0 + ) + ( + ) ) + ( 7 ) 7 ) ( ) + 7) ( ) 8) 9) 0) ) + 8 ) + 8 ) ) ( ) ) ) 7) 8) 9) ) ( ) ) 0 ( ) ( ) 7+ ) _ P.S. / Révision de calcul numérique

21 Exercice Effectuer les opérations suivantes sans avoir recours à une calculatrice et donner la réponse la plus simple possible. ) ) 0 ) ) ) ) ( ) 7) 8 8) ) ) ) ) ( 8 + 8) + ) ( ) + Exercice 7 Vrai ou faux? Justifier 0 a) 0 b) c) d) ( ) + ( ) ( ) Exercice 8 Écrire à l aide des puissances de 0, puis effectuer le calcul sans calculatrice. ) 000 0, 0 0 0, ) 0, 00 0, , ) 0 0, , 70 ) 0, 0 0 0, 00 0, 0008 ) 000 0, 70 0, 0, ) 0, 00 0, 0 0, 00 _ P.S. / Révision de calcul numérique

22 Exercice 9 Effectuer les opérations suivantes sans avoir recours à une calculatrice et donner la réponse sous forme d une fraction irréductible ou d un nombre entier. 7 ) + + 9, + + ) 0 ( ) ) ) ) + 7 ) 8 7 7) 9 8) 9) + ) ) 0) 9 + ) 0, ) ) 0 + ( 0, ) ) ( ) 0 ( ) + 7) 7 8) ) ( ) ( ) 9 7 0) 9 8 ), ) ) ( ) ) + _ P.S. / Révision de calcul numérique

23 Exercice 0 Effectuer les opérations suivantes sans avoir recours à une calculatrice et donner la réponse sous forme d une fraction irréductible ou d un nombre entier. ) ( ) ( + ) ) 8 + ) (, ), 0, ) ) 8 7 ( ) , ) ( 8 + ) 7) ) ( 7 + ) 9) ( 7 ) ( 7 + ) Exercice Simplifier un maximum les expressions suivantes. ) ) + 8 ) ) ( ) ( ) ) ) _ P.S. / 0-0 Révision de calcul numérique

24 .0 Corrections des exercices Correction exercice a) b),,8 Indivisible par Seulement divisible par 000 Indivisible par Seulement divisible par 00 c) 0, Indivisible par d) 8, Indivisible par Seulement divisible par 0 Correction exercice a) 8, b) 0 8 9, Périodicité c) d) 0 0, Périodicité Que constate-t-on? Tous ces nombres ont soit un développement décimal fini, soit un développement décimal illimité périodique. _ P.S. / 0-0 Révision de calcul numérique

25 Correction exercice Ensemble des entiers naturels Ensemble des entiers relatif Ensemble des nombres rationnels Ensemble des nombres réels Correction exercice 0,7, 0,0 0, Remarques IDEM : Correction exercice π - 7, 0, 7, Remarques : 9 7, , 0 70 Correction Exercice ; ; ; ; ; ; 7 ; 8 ; 9 ; 0 _ P.S. / 0-0 Révision de calcul numérique

26 Correction exercice 7 (Illustration géométrique de la distributivité simple) (+) ère méthode : ème méthode : 0 ( + ) Conclusion : ( + ) 0 Avec a, b et c des nombres réels quelconques : (b+c) c b ère méthode : a b+ ac ème méthode : a ( b+ c) Conclusion : ab + ac a ( b+ c) a Correction exercice 8 (Illustration géométrique de la double distributivité) 7 (7+) (+) ère méthode : (7 + ) + (7 + ) ème méthode :(7 + ) (+ ) Conclusion : (7+ ) + (7+ ) (7+ ) (+ ) Avec a, b, c et d des nombres réels quelconques : a (a+b) b d c (c+d) ère méthode : ( a+ b) c+ ( a+ b) d ème méthode : ( a+ b) ( c+ d) Conclusion : ( a+ b) c+ ( a+ b) d ( a+ b) ( c+ d) _ P.S. / 0-0 Révision de calcul numérique

27 Correction exercice 9 a) ( + 7) ( ) ( + ) b) ( ) ( ) [ ] [ ] c) ( ) ( ) d) + 0 ( + ) e) ( ) ( ) ( ) f) ( ) 0 ( ) (( ) ) ( ) ( ) g) ( + ) h) ( ) ( ) i) + ( + 7) + ( + 7) ( ( ) ) ( ) j) ( ) Correction exercice 0 a) Divisions successives : b) n est pas un nombre composé car il est premier (il n est divisible que par et lui-même). _ P.S. / 0-0 Révision de calcul numérique

28 Correction exercice a) 8 0 b) 8 c) d) Correction exercice a) 0 b) 0,,,0 0,, 0, Correction exercice ) ) + + ) ) ) 7 7 car le numérateur et le dénominateur sont identiques. ) ) ) _ P.S. / 0-0 Révision de calcul numérique

29 9) + + 0) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( pas de solution dans ) ) + + ( ) ) ) ) 8 Correction exercice a) c) e) f) g) 7 7 minutes h h minutes h h secondes h h 00 0 b) d) minutes h h 0 minutes h h 0 0 8, 7 8 minutes et 0 secondes 8, minutes h h 0 0 seconde h 00 _ P.S. / Révision de calcul numérique

30 Correction exercice a) M. X a obtenu 8 voix sur 9 votants. ' 8 0,788 7,88 % M. X a un résultat de 7,88 % des votants. ' 9 M. X a obtenu 8 voix sur 7 inscrits. ' 8 0,07 0,7 % M. X a un résultat de 0,7 % des inscrits. '7 b) Sur 7 inscrits il y a eu 9 votants et par conséquent 7 9 9'9 abstentions. 9' 9 0,9,9 %. Il y a eu,9 % d'abstention. '7 Correction exercice a) 0' 00 0'00 0, Le prix du modèle le 0 juin 00 étant de 0 00, l'augmentation de % correspond à Le nouveau prix est donc 0 0. b) Pour un modèle coûtant 7 0 le 0 juin 00, le nouveau prix peut être obtenu directement en écrivant : 7'0,0 7'9 Le nouveau prix est donc 7 9 Correction exercice 7 x prix de vente avant réduction x 88, 00 x 7 Prix payé à la caisse par le client 88, 7, Correction exercice 8 x prix de vente avant réduction. Prix de vente avant réduction 8,8 Fr x 8,8 Fr. 00 x 8 _ P.S. / Révision de calcul numérique

31 Correction exercice 9 ) + ) ) ) ( ) ( ) ( ) ) ) 7 8 ( ) ) ( ) 9 8) ( ) ( ) ( ) ( ) 9) ( ) 8 0) ( ) ( ) ( ) ( ) ) ) 0 8 ) 0 ( ) ( ) ) 0 ) ( ) ) ( ) (,),,,, ( ) 7) ( ) ( ) ( ) ( ) 8) ( 0.0) 0,000 9) ( ) ( ) ) ) 7 ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) ) ( ) ) ( ) + ( ) ) ( 0 ) 0 7) ) + 0,0 0, ) ) ( ) 0,0 ( 0 ) ( ) _ P.S. / Révision de calcul numérique

32 ) ( ) ) ( ) 8 ( ) ) ) ) ( ) 0 0 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) 0 ( ) 0 ( ) 0 0 8) ( ) 9) ( ) 7 8 car 7 8 est pair. 0) ( ) ( ) car 7 8 est impair. ) ) Correction exercice 0 a) b) n n n ( ) n décompostion a (ab) a b n a m n m n a a a décomposition n a n a dénominateur addition déf réduction commun puissance ( ) n n n m n m+ n m n m+ n (ab) a b a a a a a a réduction _ P.S. / Révision de calcul numérique

33 Correction exercice a) b) c) d) h) i) j) 0 0 k) 0 000, 0 000,7 0 0, , ,78 e), 0 0,000 0 l) 7,7 0,7 7 f) 7 0, m) 7, g) 0 0,0 n) 7 0,70 0 0, Correction exercice 0 (( ) ) ( ) et 0 00 chiffres sous forme décimale chiffres sous forme décimale chiffres sous forme décimale Correction exercice a) b) c) d) e) f) g) 0, 0 0, 0, 0 + 0, 0 0, 0, , , 0 0 0, 0, , ,7 0, , , , 0 7, , 0 0 0, , 0, h) ,00 0, , ,8 0 7, _ P.S. / 0-0 Révision de calcul numérique

34 i) 000 0,0 0 0, , ,8 0, j) 0, 00 0,00 0 0, , ,08 0, k) l) 0 0, , ,0 0 0, ,0 0 0, 00 0, ,80 0 0, m) n) o) p) 000 0, 70 0,0, , 7, 0 0 0,0 0 0, ,0 0 0, , ,0 0 0, ,0, , , , ,00 0, ,0 0 0, Correction exercice , ( ) ( ) a) b) ( ) ( ) , c) ( 7 0 ) ( 8 0 ) d) ( ) ( ) , e) ( ) ( ) f) 0 ( ) _ P.S. / 0-0 Révision de calcul numérique

35 g) h) , , i) 0, j) 0,0 0, , , ,0 0, ( ) 000 0,000,, 0 0, k) 000 0,00 0,0 0 0, 0, 0,, 0, 0 0,, 0 0, 0, 0, l),, 0,000,, ( ), 0, 0, 0 Correction exercice 9, milliards de kilomètres, 0 [km] vitesse v [ ] distance d temps t 9 d, 0 km t,0 s, h h 0 min v km 0 s [ ] [ ] [ ] [ ] Correction exercice a) ,0 0, b) c) 7 d) _ P.S. / 0-0 Révision de calcul numérique

36 Correction exercice 7 ) ) ) 9 ) 9 ) ) 0, 8 8 7) 0, ) 9) pas défini dans 0) ) , ) ( ) ) ) ) pas défini dans ) ) 8) 9 9 9) 8 9 0) ) ( ) ) ( ) ) ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) 7 8 ( ) ) ( ) ( ) 9 9 7) ( ) ( ) ) ( ) 7 0) ( 0 ) 0 9) 9 _ P.S. / 0-0 Révision de calcul numérique

37 Correction exercice 8 a) b) c) d) Correction exercice 9 a) 7 b) c) d) e) 7 f) Correction exercice 0 a) 80 b) c) 9 8 d) ( ) 78 e) ( ) 8 Correction exercice a) 0 b) c) d) e) f) n n n n n n n n n n g) h) i) j) + k) + + l) + m) + n) + _ P.S. / 0-0 Révision de calcul numérique

38 Correction exercice a) b) c) d) e) f) ( ) 0 ( ) g) + h) i) ( ) + ( ) ( + ) ( + ) j) k) l) ( + ) 0 0 ( + ) + _ P.S. / 0-0 Révision de calcul numérique

39 Correction exercice a) 9 < < < < b) < < < < c) < 7 < 9 < 7 < d) < < < < e) 00 < 0 < 0 < 0 < f) < 7,8 < < 7,8 < g) < 0, < < 0, < h) 00 < 0,0 < 0 < 0,0 < i) 9 <, < <, < j) 9 <,7 < 7 <,7 < 8 Correction exercice a) ) x 7 x ± 7 S { 7; 7} ) x impossible S > 0 < 0 ) x x ± ± ± S ; ) x 0 x 0 S { 0} ) x 7 impossible S > 0 < 0 b) ) Aucune solution dans. Il n existe aucun nombre dans qui multiplié par lui-même donne un résultat négatif. ) Exactement une solution dans. 0 multiplié par lui-même donne 0 et c est le seul nombre de qui multiplié par lui-même donne ce résultat. ) Deux solutions dans. Chaque nombre strictement positif de peut être obtenu en multipliant un nombre de par lui-même. Ce même résultat peut être obtenu en multipliant l opposé de ce dernier nombre par lui-même. _ P.S. / Révision de calcul numérique

40 Correction exercice ) ( ) ) 0 ( ) 0 ( ) ( ) 0 ( ) ( 8 + ) ) ( ) ( ) ) + ( + ) + 7 ) ( ) ( + ) ) ( ) ( ) ( ) ) 8) 9) + ( ) ) + ) ) ( ) _ P.S. / Révision de calcul numérique

41 ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ) 8 ) 7) 0 0 : : ( ) 9 8 8) ) ( ) ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) _ P.S. / Révision de calcul numérique

42 Correction exercice ) ) ) ) ) ( ) 0 ) ( ) ( ) 7) ) ) ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ) ) ( ) ( ) ) ( ) ( 8 ) ( 8 ) Correction exercice 7 a) b) c) Faux 0 Vrai n m n+m n m n+m + Faux car a + a a mais a a a d) ( ) ( ) n Faux car si a alors a + a a a a a n n n n n n _ P.S. / Révision de calcul numérique

43 Correction exercice 8 ) 0,8 ),08 ) ' 000 ) 0,08 ) 00 ) 9 Correction exercice 9 ) ) 7 ) 0 8 ) ) 7) 9) 0) ) 0' 00 ) 0 ) ) ) 8) 9) 8 7 ) ) ' 000 ) 0 00 ) 8 8) 08 ) ) 0) 9 ) 8 Correction exercice 0 ) 7 ) ) 9) ) ) ) 7) 8) 7 Correction exercice ) ) 9 ) ) 8 ) ) 0 _ P.S. / 0-0 Révision de calcul numérique

44 _ P.S. / 0-0 Révision de calcul numérique

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