EXERCICES D' (version 2.6 Révision 9 du )

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1 EXERCICES D' ÉCONOMÉTRIE (version 2.6 Révision 9 du )

2 EXERCICE 1. Niveau : Gymnase (lycée) Auteur : V. Isoz (isozv@hotmail.com), JP. Favre Mots-clés : système de dates exacte Enoncé : Le but de cet exercice est d'apprendre les techniques disponibles pour calculer le nombre de jours entre deux dates. Nous pouvons effectuer ce type de calcul par une méthode manuelle ou automatisée à l'aide d'outils adéquats. Voyons les deux : Le nombre de jours depuis l'an 0 est donné par : a1 a1 a1 D 2( jma.. ) 365( a1) E E E 31( m1) j où Ex [ ] est la partie entière de x et m 2. Si m 2, nous devons utiliser la relation suivante : a a a D ( jma.. ) 365( a1) E E E 31( m1) je(0.42m 2) l 2 Sinon dans MS Excel, il suffit simplement de faire une soustraction entre les deux dates et d'afficher le résultat dans une cellule formatée en Standard. Nous nous passerons donc des démonstrations MS Excel qui est accessible dans tout livre de bas niveau sur le logiciel. Les exercices pour la méthode exacte (ou "civile") sont les suivants : E1. Calculer le nombre de jours séparant le au E2. Calculer le nombre de jours séparant le au E3. Calculer le nombre de jours séparant le au E4. Calculer le nombre de jours séparant le au E5. Calculer le nombre de jours séparant le au E6. Calculer le nombre de jours séparant le au E7. Calculer le nombre de jours séparant le au Solutions : S1. Calculer le nombre de jours séparant le au : Serveur d'exercices 2/100

3 D D 2 2 ( ) ( ) D2 D S2. Calculer le nombre de jours séparant le au : D D 2 2 ( ) ( ) D2 D S3. Calculer le nombre de jours séparant le au : D 2 D 2 ( ) ( ) D2 D S4. Calculer le nombre de jours séparant le au D D 2 2 ( ) ( ) D2 D S5. Calculer le nombre de jours séparant le au D D 2 2 ( ) ( ) D2 D S6. Calculer le nombre de jours séparant le au D D 2 2 ( ) ( ) D2 D S7. Calculer le nombre de jours séparant le au D D 2 2 ( ) ( ) D2 D Serveur d'exercices 3/100

4 EXERCICE 2. Niveau : Gymnase (lycée) Auteur : V. Isoz (isozv@hotmail.com), JP. Favre Mots-clés : système de dates allemand Enoncé : Il existe plusieurs systèmes de calculs d'intervalles de jours entre deux dates dans le monde. Parmi ces système un connu est appelé "méthode Allemande" et défini sur une base 30/360 avec une exception pour le mois de février où le dernier jour (28+29) du mois est posé comme égal à 30 sauf le 28 février d'une année bissextile. Les exercices pour cette méthode sont les suivants : E1. Calculer le nombre de jours séparant le au E2. Calculer le nombre de jours séparant le au E3. Calculer le nombre de jours séparant le au E4. Calculer le nombre de jours séparant le au E5. Calculer le nombre de jours séparant le au E6. Calculer le nombre de jours séparant le au E7. Calculer le nombre de jours séparant le au Solutions : Le calcul à la main s'avère assez vite ennuyant (mais pas difficile!) dès que le nombre d'années entre les deux dates croît assez rapidement, il est alors préférable d'utiliser un logiciel comme MS Excel (le plus commun). Ce dernier prend, comme nous l'avons vu, en compte le système américain, européen et exacte mais pas le système allemand. Il faut alors développer un peu : Prenons comme exemple le calcul du nombre de jours entre le et le : Selon la méthode exacte, nous aurions : 46 jours Effectivement, nous avons les 15 jours du mois d'avril plus les 31 jours du mois de mars (selon la base 30). Selon la base 30/360 nous aurions : 46 jours Effectivement, nous avons alors le 1 jour du 29 au , les 30 jours du mois de mars et les 15 jours du mois d'avril. Selon le système allemand défini plus haut, nous devons alors compter du (étant donné que le est bissextile). Dès lors le compte est de 45 jours et non de 46. Serveur d'exercices 4/100

5 Dans MS Excel il est alors possible de bricoler un peu en saisissant les dates de départ (Date 1) et date de fin (Date 2) en tant que texte dans des cellules. Ensuite, dans B5 nous comptons le nombre d'années d'écart entre Date 1 et Date 2 (360 jours par an) et ensuite le nombre de mois entre Date 1 et Date 2 (30 jours par mois) dans la cellule B4 et enfin la différence de jours entre Date 1 Date 2. Il ne reste alors qu'à appliquer la règle de la méthode allemande et d'écrire dans B au lieu de (pour notre exemple). Mais ce système ne prend pas en compte les années bissextiles Il est aussi possible d'écrire une fonction VBA, peut-être plus adaptée à nos car elle permet de ne pas avoir à écrire l'adaptation des dates dans les cellules mêmes : S1. Calculer le nombre de jours séparant le au Méthode formule texte Excel : Serveur d'exercices 5/100

6 avec la fonction VBA : =GermanDates("07/01/2005";"27/02/2005")=50 S2. Calculer le nombre de jours séparant le au =GermanDates("01/05/2006";"01/11/2006")=180 S3. Calculer le nombre de jours séparant le au =GermanDates("27/02/2006";"13/06/2006")=106 S4. Calculer le nombre de jours séparant le au =GermanDates("15/02/2004";"29/02/2004")=15 S5. Calculer le nombre de jours séparant le au Serveur d'exercices 6/100

7 =GermanDates("20/02/2005";"28/02/2005")=15 S6. Calculer le nombre de jours séparant le au =GermanDates("29/02/2004";"15/04/2004")=45 S7. Calculer le nombre de jours séparant le au (solution = 5) =GermanDates("30/02/2004";"15/04/2004")=45 Serveur d'exercices 7/100

8 EXERCICE 3. Niveau : Gymnase (lycée) Auteur : V. Isoz (isozv@hotmail.com), JP. Favre Mots-clés : système de dates européen Enoncé : La méthode européenne de calcul d'intervalles de date est défini sur une base 30/360. En d'autres termes les dates de début et de fin correspondant au 31 du mois deviennent le 30 du même mois. Le calcul peut se faire très simplement à la main mais de nos jours l'informatique nous permet d'accélérer la procédure. Ainsi dans MS Excel une fonction est disponible pour cette méthode de calcul. =JOURS360(Date début;date Fin;VRAI) Les exercices numériques seront des les suivants : E1. Calculer le nombre de jours séparant le au E2. Calculer le nombre de jours séparant le au E3. Calculer le nombre de jours séparant le au E4. Calculer le nombre de jours séparant le au E5. Calculer le nombre de jours séparant le au E6. Calculer le nombre de jours séparant le au E7. Calculer le nombre de jours séparant le au Solutions : S1. Calculer le nombre de jours séparant le au JOURS360(" ";" ";VRAI)=50 S2. Calculer le nombre de jours séparant le au JOURS360(" ";" ";VRAI)=180 S3. Calculer le nombre de jours séparant le au JOURS360(" ";" ";VRAI)=106 S4. Calculer le nombre de jours séparant le au JOURS360(" ";" ";VRAI)=14 Serveur d'exercices 8/100

9 S5. Calculer le nombre de jours séparant le au JOURS360(" ";" ";VRAI)=8 S6. Calculer le nombre de jours séparant le au JOURS360(" ";" ";VRAI)=46 S7. Calculer le nombre de jours séparant le au JOURS360(" ";" ";VRAI)=3 Serveur d'exercices 9/100

10 EXERCICE 4. Niveau : Gymnase (lycée) Auteur : V. Isoz (isozv@hotmail.com), JP. Favre Mots-clés : système de dates américaines Enoncé : La méthode américaine de calcul d'intervalles de date est définie sur une base 30/360. Avec si la date de début est le 31 du mois, la date de début devient le 30 du même mois. Si la date de fin est le 31 du mois et que la date de début est avant le 30 du mois, la date de fin devient le 1er du mois suivant ; sinon, la date de fin devient le 30 du même mois (on ne peut faire moins compliqué ) Le calcul peut se faire très simplement à la main mais de nos jours l'informatique nous permet d'accélérer la procédure. Ainsi dans MS Excel une fonction est disponible pour cette méthode de calcul. =JOURS360(Date début;date Fin;FAUX) Les exercices numériques seront des les suivants : E1. Calculer le nombre de jours séparant le au E2. Calculer le nombre de jours séparant le au E3. Calculer le nombre de jours séparant le au E4. Calculer le nombre de jours séparant le au E5. Calculer le nombre de jours séparant le au E6. Calculer le nombre de jours séparant le au E7. Calculer le nombre de jours séparant le au Solutions : S1. Calculer le nombre de jours séparant le au JOURS360(" ";" ";FAUX)=50 S2. Calculer le nombre de jours séparant le au JOURS360(" ";" ";FAUX)=180 S3. Calculer le nombre de jours séparant le au JOURS360(" ";" "; FAUX)=106 Serveur d'exercices 10/100

11 S4. Calculer le nombre de jours séparant le au JOURS360(" ";" "; FAUX)=14 S5. Calculer le nombre de jours séparant le au JOURS360(" ";" "; FAUX)=8 S6. Calculer le nombre de jours séparant le au JOURS360(" ";" "; FAUX)=45 S7. Calculer le nombre de jours séparant le au JOURS360(" ";" "; FAUX)=3 Serveur d'exercices 11/100

12 EXERCICE 5. Niveau : Cycle d'orientation (collège) Auteur : V. Isoz (isozv@hotmail.com), JP Favre Mots-clés : conversions de durées Enoncé : Il est souvent du travail du financier de convertir une durée en une unité de base et homogène. Nous proposons ici une série d'exercices selon une base 30/360 : E1. Convertir 6 ans, 6 mois et 6 jours en mois E2. Convertir 6 ans, 6 mois et 6 jours en jours E3. Convertir 3 ans, 4 mois et 15 jours en années E4. Convertir 46 semestres en mois E5. Convertir 46 trimestres en années (solution = 11.5) E6. Exprimer années en années/mois/jours Solutions : S1. Convertir 6 ans, 6 mois et 6 jours en mois S2. Convertir 6 ans, 6 mois et 6 jours en jours / ' '346 S3. Convertir 3 ans, 4 mois et 15 jours en années S4. Convertir 46 semestres en mois 3 4 /12 15 / S5. Exprimer années en années/mois/jours (solution = 12 ans, 2 mois et 3 jours) Il faut décomposer d'abord en années ce qui est simple : 12 ans Ensuite il faut convertir en mois ce qui est aussi simple : Ent[ ] Ent[2.1] 2 Enfin, convertir 0.1 (différence entre 2.1 et 2) en jours : Serveur d'exercices 12/100

13 EXERCICE 6. Niveau : Cycle d'orientation (collège) Auteur : V. Isoz (isozv@hotmail.com), JP. Favre Mots-clés : arrondis Enoncé : E1. Arrondir au cinq centimes près E2. Arrondir à l'unité la plus proche E3. Arrondir au cinq francs les plus proches E4. Arrondir aux vingt-cinq centimes les plus proches E5. Arrondir au dixième supérieur E6. Arrondir au dixième inférieur Solutions : S1. Nous utilisons la relation : Nous avons alors : S2. Idem que précédemment : S3. Idem que précédemment : S4. Idem que précédemment : E( ) f (16.43,1/ 0.05) E( ) f (102.25,1) E( ) f (58.64,1/ 5) E( ) f (16.54,1/ 0.1) S5. Un peu différent pour arrondir non pas au plus proche mais toujours à la valeur inférieure : Serveur d'exercices 13/100

14 E( ) f (16.55,1/ 0.1) Serveur d'exercices 14/100

15 EXERCICE 7. Niveau : Cycle d'orientation (collège) Auteur : V. Isoz (isozv@hotmail.com), JP. Favre Mots-clés : intérêts simples Enoncé : E1. On a placé 2'500.- durant n mois sur un compte à 5%/an en intérêts simples (on retire donc l'intérêt chaque mois pour un usage précis). Quelle est la durée de ce placement si le capital avec les retraits successifs se monte à 2' ? E2. On a placé 2'500.- durant 3 mois sur un compte. Quel est le taux de ce placement si le capital final avec les retraits successifs se monte à 2' en intérêts simples? E3. Trouver l'intérêt global des trois placements suivants {1'000.-;90 jours;3%/an} {2'000.- ;120 jours;3%/an} {3'000.-;170 jours; 3%/an} E4. On place 22'340.- pendant 43 ans sur un compte épargne à 1.5%/an en intérêts simples (on retire donc l'intérêt chaque mois pour un usage précis). Quel est le capital final obtenu avec les retraits successifs? Solutions : S1. Le capital d'une épargne C 0 à un taux t% après une capitalisation pendant n périodes est défini logiquement par : Nous avons donc : C C (1 nt%) C I n 0 0 2' '500(1 5% n) 2' '500 1 n 0.25 an 3mois 2'500 5% 4 S2. Nous réutilisons la relation définie précédemment et procédons à de l'algèbre élémentaire : 2' % 2'500 3 S3. L'intérêt global est donné par la méthode des diviseurs fixes : m I i Ckn Nous avons alors (il n'y pas de fonctions MS Excel incorporées): k 1 I ' / 360 2' / 360 3' / k Serveur d'exercices 15/100

16 S4. Nous réutilisons ici la définition de l'intérêt simple : C C (1 nt%) 22'340 ( %) 36'749.3 n 0 Serveur d'exercices 16/100

17 EXERCICE 8. Niveau : Gymnase (Lycée) Auteur : V. Isoz (isozv@hotmail.com), JP. Favre Mots-clés : taux géométrique moyen Enoncé : Une entreprise voit son bénéfice annuel augmenter de 2% la première année, 1.5% la deuxième, 3% la troisième, 0.5% la quatrième, 6% la cinquième, 0% la sixième. Quelle est son taux d'augmentation de bénéfice moyen sur 6 ans? Solutions : Le piège serait d'utiliser la moyenne arithmétique. Il faut utiliser ici la moyenne géométrique: g n n i1 (1 t ) i ce qui donne immédiatement dans MS Excel: =MOYENNE.GEOMETRIQUE(102%;101.5%;103%;100.5%;106%;100%)=102.15% alors que la moyenne arithmétique donnerait: =MOYENNE (102%;101.5%;103%;100.5%;106%;100%)=102.17% ce qui peut paraître peu mais sur des millions de francs ou des milliards cela fait assez vite un somme d'argent non négligeable! Serveur d'exercices 17/100

18 EXERCICE 9. Niveau : Gymnase (Lycée) Auteur : V. Isoz (isozv@hotmail.com), JP. Favre Mots-clés : taux proportionnel et moyen sur intérêts simples Enoncé : E1. Trouver le taux mensuel proportionnel au taux annuel de 12% E2. Trouver le taux mensuel proportionnel au taux semestriel de 3%? (solution = 0.5%) E3. Trouver le taux annuel moyen des trois placements suivants {1'000.-;90 jours;3%} {2'000.-;120 jours;4%} {3'000.-;170 jours;5%} (solution = 4.5%) Solutions : S1. Nous avons selon la définition de l'intérêt simple : Nous avons alors : C 1 t % n C (1 t%) 0 eq. 0 t eq t% 12% % 1% m 12 S2. Selon le même principe qu'avant nous avons : S3. Nous appliquons le raisonnement suivant : t eq t% 3% % 0.5% m 6 T Nous avons alors : k T C n Cin t t t t t t1 t1 k t1 k t1 k Cin t t Cn t t t T % 90 / % 120 / % 170 / % / / / 360 Serveur d'exercices 18/100

19 EXERCICE 10. Niveau : Gymnase (Lycée) Auteur : V. Isoz (isozv@hotmail.com), JP. Favre Mots-clés : Escompte Enoncé : E1. Calculer le taux implicite i relatif à un escompte de 1% à 10 jours ou net à 30 jours E2. Calculer le taux implicite i relatif à un escompte annuel de 1% à 10 jours ou net à 30 jours E3. Un effet de valeur nominale de est remis à l'escompte le 20 avril. La date d'échéance de l'effet est le 15 juin, le taux d'escompte est de 10%. Calculez le taux implicite, la valeur de l'escompte et la valeur actuelle. Solution : S1. Nous appliquons simplement la relation ci-dessous pour les escomptes : t% 1% i 0.505% n(1 t%) 20(1 1%) S1. Nous appliquons encore une simplement la relation ci-dessous pour les escomptes : t% 1% i 18.18% n(1 t%) 20 (1 1%) 360 S3. D'abord il faut que nous déterminions le nombre de jours n. Entre le 20 avril et le 15 juin nous avons: La valeur de l'escompte est donnée par: Et donc la valeur actuelle: Nous avons donc bien: n 56 j. t% 10% i 0.19% n 56(1 10%) (1 t%) 360 e t% C n 10% VA i% Serveur d'exercices 19/100

20 EXERCICE 11. Niveau : Gymnase (Lycée) Auteur : V. Isoz (isozv@hotmail.com), JP. Favre Mots-clés : Intérêts composés Enoncés : E1. On a aujourd'hui 3' pour un dépôt effectué il y a 6 ans à 3% d'intérêt. Quel était le montant de ce dépôt? E2. Un budget prévisionnel a doublé en 20 ans. Quel est le taux d'intérêt correspondant? E3. Un investisseur a placé 50'000.- à 2.5%. Il a retiré son capital investi quand celui-ci s'est monté à 53' Quelle a été la durée du placement? E4. Imaginons que vous devez voir pour un ensemble d'emprunts donnés combien vous aurez d'intérêt après un nombre donné d'années. Créez des scénarios avec l'outil Table de MS Excel. Solutions : S1. Nous savons que l'intérêt composé est donné trivialement par : Donc : n C C (1 t%) n 0 C o Cn 3' '000. n 6 (1 t%) (1 3%) Dans MS Excel cela donne : =VA(3%;6;0; ;0)=2'999 S2. De par la relation de l'intérêt composé : i C n 20 n % Dans MS Excel cela donne : =TAUX(20;0;-1;2;0) Ce qui correspond si on avait un capital final Cn et inital Co à: =TAUX(20;0;-1;C n /C 0 ;0) S3. De par la relation de l'intérêt composé : C 0 Serveur d'exercices 20/100

21 C log n log C n log( i 1) log(2.5% 1) Dans MS Excel : =NPM(2.5%;0;-50000;53000;0)=2.35 S4. Il serait aisé de résoudre cet exercice à la main mais un peu long et ennuyeux quand même. Nous allons alors utiliser l'outil "Table" de MS Excel : La méthode est simple : on créé dans une feuille MS Excel la zone suivante et on utilise la fonction VC( ) : Ensuite de sélectionner la zone A5 à F15 et d'aller dans le menu Données et de sélectionner l'option Table et d'y faire la sélection suivante : et de valider par OK pour obtenir : Serveur d'exercices 21/100

22 EXERCICE 12. Niveau : Gymnase (Lycée) Auteur : V. Isoz (isozv@hotmail.com), JP. Favre Mots-clés : Taux composés équivalents Enoncés : E1. Trouver le taux mensuel composé équivalent au taux annuel composé de 12% E2. Trouver le taux trimestriel composé équivalent au taux mensuel composé de 1% Solutions : S1. Nous savons que par définition : il convient alors de trouver : il vient alors : S2. Le principe est identique : n C C (1 t %) n n 0 n 0 1/ n tn t n t tn 0 C (1 t %) C (1 t%) % (1 %) 1 % (1 %) 1 t 1/12 n % (1 12%) % 3 t% (1 1%) % n Serveur d'exercices 22/100

23 EXERCICE 13. Niveau : Gymnase (Lycée) Auteur : V. Isoz (isozv@hotmail.com), JP. Favre Mots-clés : Taux nominal et effectif Enoncés : E1. Dans un intérêt annuel à un taux nominal 12% payable par tranches mensuelles de 1%, quel est le taux effectif réel E2. Calculer le taux annuel effectif correspondant au taux nominal de 8% payable par fraction trimestrielles de 2%. Remarque: Solutions : S1. Les taux annuel effectif et nominal interviennent parfois dans les calculs d'emprunts, comme le petit crédit par exemple. Ils permettent à l'émetteur de l'emprunt d'afficher un taux inférieur à ce qu'il est réellement. Le scénario est le suivant : intérêt annuel de 12% payable par tranches mensuelles de 1%. Un lecteur attentif se rend compte que payer 1% tous les mois dans un système d'intérêts composés ne donne pas un intérêt annuel de 12% mais de (cf. exercice précédent) : 12 i (1 1%) % Pour que l'énoncé soit correct, il faudrait donc écrire : "Taux annuel de % par tranches mensuelles de 1%". Nous avons donc : Le taux effectif de % est le taux nominal de 12%! Dans MS Excel vous pouvez utiliser la fonction : =TAUX.EFFECTIF(12%;12) A l'inverse: =TAUX.NOMINAL(12%;12) S2. Nous appliquons toujours la même relation mais pour un trimestre : 4 8% i % 4 Dans MS Excel vous pouvez utiliser la fonction : =TAUX.EFFECTIF(8%;4) A l'inverse: =TAUX.NOMINAL(8%;12) Serveur d'exercices 23/100

24 EXERCICE 14. Niveau : Gymnase (Lycée) Auteur : V. Isoz (isozv@hotmail.com), JP. Favre Mots-clés : Taux instantané Enoncés : E1. Calculer le taux annuel effectif correspondant au taux instantané de 8% E2. Au taux d'intérêt continu de 10% l'an, calculer le nombre d'années qu'il faut pour qu'un capital de 6'000.- atteigne 15'000.- E3. Comparer le dernier résultat à taux d'intérêt composé normal Solutions : S1. Le taux effectif est défini par (rappel) : Lorsque l'on fait tendre m vers l'infini le relation précédente devient : qui est le taux effectif donné par le taux appelé maintenant "taux instantané" i ( m). Nous avons alors : S2. Nous avons par extension : i 8% e % il vient alors : Cn n ln ln ( m) Co i % S3. Il suffit de calculer : C n n log log ( m) Co log(1 i ) 6000 log(1 10%) Serveur d'exercices 24/100

25 EXERCICE 15. Niveau : Gymnase (Lycée) Auteur : V. Isoz (isozv@hotmail.com), JP. Favre Mots-clés : Taux moyen équivalent composé Enoncé : En utilisant l'outil "valeur cible" de MS Excel résolvez l'équation ci-dessous afin de trouver le taux moyen équivalent des capitalisations du tableau suivant: Placement Durée Taux an 3% an 4% an 5% Astuce : posez x=1+t Solution : Dans MS Excel, nous écrivons dans la cellule A2 : =1000*A1^1+2000*A1^2+3000*A1^3-1000*(1+3%)^1-2000*(1+4%)^2-3000*(1+5%)^3 et avec l'outil valeur cible de MS Excel nous définissons : Nous trouvons alors A1= et donc T=4.59% Serveur d'exercices 25/100

26 EXERCICE 16. Niveau : Gymnase (Lycée) Auteur : V. Isoz (isozv@hotmail.com), JP. Favre Mots-clés : Rentes post et praenumerando Enoncés : E1. Calculer la valeur actuelle d'une rente postnumerando de 3'500.- versée durant 10 ans et calculée au taux d'intérêt de 6% E2. Calculer la valeur finale d'une rente postnumerando de 3'500 versée durant 10 ans et calculée au taux d'intérêt de 6% E3. Calculer la valeur actuelle d'une rente praenumerando de 3'500.- versée durant 10 ans et calculée au taux d'intérêt annuel de 6% E4. Calculer la valeur finale d'une rente praenumerando de 3'500 versée durant 10 ans et calculée au taux d'intérêt de 6% (sol. = ) E5. On dispose aujourd'hui de 17' permettant de verser une rente praenumerando de 2'000.- par an durant 10 ans. A quel taux d'intérêt cette opération correspond-elle? E6. On dispose aujourd'hui de 17'000.- permettant de verser une rente de 2'000.- par an. Pendant combien d'années peut-on verser cette rente (y compris paiement partiel) si le taux d'intérêt est de 3% Solutions : S1. La valeur actuelle d'une rente postnumerando (retirement en fin de période) correspond à la valeur qu'il faudrait avoir pour retirer pendant 10 ans 3'500 par an sur un compte à 6% l'an (en retirant donc l'argent dès la fin de la première période). Nous savons que cette somme est donnée par : avec : 1 v 1 i Nous avons alors : C n % ' % Dans MS Excel, il suffit d'écrire : Serveur d'exercices 26/100

27 =3500*VA(6%;10;-1;0) S2. La valeur finale d'une rente postnumerando (versement en fin de période) représente le capital acquis au bout d'un certain nombre d'années après avoir capitalisé périodiquement une certaine somme fixe. Nous savons que cette somme est donnée par : avec : r 1 i Nous avons alors : C n % ' % Dans MS Excel, il suffit d'écrire : =3500*VC(6%;10;-1;0;0) S3. La valeur actuelle d'une rente praenumerando (retirement en début de période) représente correspond à la valeur qu'il faudrait avoir pour retirer pendant 10 ans 3'500 par an sur un compte à 6% l'an (en retirant donc l'argent dès le début de la première période). Nous savons que cette somme est donnée par : avec : 1 v 1 i Nous avons alors : C n % ' % 1 6% Dans MS Excel, il suffit d'écrire : =3500*VA(6%;10;-1;0;1) Serveur d'exercices 27/100

28 S4. La valeur finale d'une rente preanumerando (versement en début de période) représente le capital acquis au bout d'un certain nombre d'années après avoir capitalisé périodiquement une certaine somme fixe. Nous savons que cette somme est donnée par : n n 2 n r 1 r 1 Cn C 0s C0r r... r n C0 C0 d iv avec : r 1 i et 1 v 1 i Nous avons alors : C n 16% ' % 1 6% Dans MS Excel, il suffit d'écrire : =3500*VC(6%;10;-1;0;1) S5. Pour ce genre de question il faut utiliser des outils numériques comme l'ordinateur. Ainsi : on peut écrire la relation suivante : '572.22, donc a n 17' a n 2000 En utilisant le fonction MS Excel : =Taux(10;-1; ;0;1)=3% S6. Il est possible de résoudre cet exercice à la main mais c'est très calculatoire et quasi élémentaire. Il vaut alors mieux passer par MS Excel à nouveau, le résultat est donnée par la démarche suivante : On peut écrire : '000, donc a n 17 '000 a 8.5 n 2000 En utilisant le fonction MS Excel : =NPM(3%;-1;8.5;0;0)=9.958 Soit 9 paiements de 2'000.- et un paiement partiel de : 2000 a 1' Serveur d'exercices 28/100

29 Soit dans MS Excel: =VA(3%; ;-1;0;1) Serveur d'exercices 29/100

30 EXERCICE 17. Niveau : Université (Fac) Auteur : V. Isoz (isozv@hotmail.com), JP. Favre Mots-clés : Emprunts (indivis) à échéance fixe Enoncés : E1. Un emprunt de 1'000.- à 10% l'an est remboursé à l'échéance au bout de 4 ans. Etablir le tableau d'amortissement et déterminer le coût du crédit. E2. Etant donné un montant d'emprunt, un taux et un nombre de périodes, créez une routine VBA qui génère automatiquement un tel tableau (puisque MS Excel ne comprend pas cette fonctionnalité). Solutions : Rappel : Chaque année l'annuité comprend uniquement la part d'intérêt. La dernière année, l'annuité comprend l'intérêt ainsi que la totalité du remboursement de l'emprunt. Etat de la dette (capital emprunté) : Remboursement (amortissement) : Annuité : Intérêt : S1. Le tableau d'amortissement est alors le suivant : Période Etat de la dette Amortissement Amort. Cumulé Intérêt Annuité k Ck Rk Sk Ik Ak Le coût du crédit représente la somme des intérêts soit Serveur d'exercices 30/100

31 S2. Le code VBA qui permet de construire un tel tableau est le suivant (fait un peu à la bourrin mais fonctionne ) : Serveur d'exercices 31/100

32 Serveur d'exercices 32/100

33 EXERCICE 18. Niveau : Université (Fac) Auteur : V. Isoz (isozv@hotmail.com), JP. Favre Mots-clés : Emprunts (indivis) à amortissements constants Enoncés : E1. Un emprunt de 1'000.- à 10% l'an est remboursé par amortissement constant en 4 ans. Etablir le tableau d'amortissement et déterminer le coût du crédit. E2. Etant donné un montant d'emprunt, un taux et un nombre de périodes, créez une routine VBA qui génère automatiquement un tel tableau. Solutions : Rappel : Le montant annuel remboursé est constant. Les relations sont alors données par : S1. Le tableau d'amortissement est alors le suivant : Période Etat de la dette Amortissement Amort. Cumulé Intérêt Annuité k Ck Rk Sk Ik Ak Le coût du crédit représente la somme des intérêts soit S2. Le code VBA qui permet de construire un tel tableau est le suivant (fait toujours un peu à la bourrin mais fonctionne ) : Serveur d'exercices 33/100

34 Serveur d'exercices 34/100

35 Serveur d'exercices 35/100

36 EXERCICE 19. Niveau : Université (Fac) Auteur : V. Isoz (isozv@hotmail.com), JP. Favre Mots-clés : Emprunts à annuités constantes Enoncés : E1. Soit un emprunt à 20'000.- à 5% l'an sur 10 ans, calculer le payement annuel selon un système à annuités constantes formellement et avec MS Excel. E2. Selon l'exercice précédent, créer un tableau représentant dans l'ordre le numéro de la période, l'état de l'emprunt, l'intérêt, l'amortissement cumulé et l'annuité. E3. Avec MS Excel, déterminez la valeur de la 4 ème période de l'amortissement et des intérêts du tableau créé précédemment. E4. Calculer avec MS Excel la somme d'intérêts payés entre la période 1 et 10 (total des intérêts) et 5 et 10 ainsi que la somme de l'amortissement entre les mêmes périodes. E5. Un emprunt de 1'000.- à 10% l'an est remboursé par annuité constante en 4 ans. Etablir le tableau d'amortissement et déterminer le coût du crédit. E6. Etant donné un montant d'emprunt, un taux et un nombre de périodes, créez une routine VBA qui génère automatiquement un tel tableau. Solutions : Rappel : Le montant annuel remboursé est constant. Les relations sont alors données par : S k n Av sk Serveur d'exercices 36/100

37 S1. Soit un emprunt à 20'000.- à 5% l'an sur 10 ans, calculer le payement annuel selon un système à annuités constantes formellement et avec MS Excel. Nous avons selon les relations données : dans MS Excel, il suffit d'écrire : C C A Ak n a 1 v 1 n 1 t% 1 5% 10 5% =VPM(5%;10;20000;0;0)= S2. Selon l'exercice précédent, créer un tableau représentant dans l'ordre le numéro de la période, l'état de l'emprunt, l'intérêt, l'amortissement cumulé et l'annuité. Le tableau est construit ainsi : 1. Première colonne, nous numérotons tout simple les périodes 2. Deuxième colonne, nous prenons la valeur de l'emprunt initial auquel nous soustrayons la valeur de l'amortissement cumulé (4 ème colonne) 3. Troisième colonne, nous calculons l'intérêt sur l'emprunt en multipliant simplement l'état de la dette par le taux de 5%. 4. Quatrième colonne, il s'agit des 2' calculés dans l'exercice précédent auxquels nous additionnons l'intérêt. 5. Cinquième colonne : il s'agit de l'annuité constante à chaque période et calculée dans l'exercice précédant. Période Etat de la dette Intérêt Amortissement Annuité 1-20' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' Coût du crédit : 5' ' Le coût des intérêts sur l'ensemble de l'emprunt est donc de 5' et l'amortissement cumulé bien évidemment de 20'000.- Serveur d'exercices 37/100

38 S3. Avec MS Excel, déterminez la valeur de la 4 ème période de l'amortissement cumulé et l'intérêt du tableau créé précédemment. Pour ce faire, dans MS Excel, il suffit d'écrire : =PRINCPER(5%;4;10;20000;0;0)= -1' =INTPER(5%;4;10;20000;0)= S4. Calculer avec MS Excel la somme d'intérêts payés entre la période 1 et 10 (total des intérêts) et 5 et 10 ainsi que la somme de l'amortissement entre les mêmes périodes. Pour cela, il suffit d'écrire : =CUMUL.INTER(5%;10;20000;1;10;0)=-5' = CUMUL.INTER (5%;10;20000;5;10;0)=-2' =CUMPRINC(5%;10;20000;5;10;0)= -13' =CUMPRINC(5%;10;20000;1;10;0)=-20'000 S5. Le tableau d'amortissement est alors le suivant (calculé avec MS Excel ou à la main selon les outils vus dans les exercices précédents) : Période Etat de la dette Amortissement Amort. Cumulé Intérêt Annuité k Ck Rk Sk Ik Ak Serveur d'exercices 38/100

39 S6. Le code VBA qui permet de construire un tel tableau est le suivant (fait toujours un peu à la bourrin mais fonctionne ) : Serveur d'exercices 39/100

40 EXERCICE 20. Niveau : Université (Fac) Auteur : V. Isoz (isozv@hotmail.com) Mots-clés : Taux effectif (annuel) global (sur la base d'un emprunt à annuité constante) Enoncés : Une banque propose un prêt de 100'000.- sur 15 ans aux taux d'intérêt nominal fixe de 4.3%). E1. Convertir le taux nominal et taux mensuel effectif. E2. Calculer les mensualités avec MS Excel. E3. Calculer le taux effectif mensuel particulier en incluant de frais de dossier + 1'600.- de frais de garantie sur le crédit global ainsi que des frais d'assurance de 27.-/mois sur la mensualité avec MS Excel. E4. Transformer le taux effectif mensuel en taux nominal annuel avec MS Excel. E5. Donner la différence entre le taux nominal et le taux effectif annuel nominal avec MS Excel. Solutions : Nous construisons d'abord dans MS Excel le tableau suivant (sans formules): S1. Nous allons pour répondre à la première question, calculer les cellules B2 et B3 en utilisant des fonctions MS Excel intégrées quand celles-ci sont disponibles sinon utiliser les relations démontrées dans le chapitre d'économétrie. Ce qui donne: S2. Nous allons calculer maintenant les mensualités basées sur le taux mensuel effectif ce qui donne: Serveur d'exercices 40/100

41 soit les valeurs suivantes: S3. Pour calculer le taux effectif mensuel (particulier!) en incluant de frais de dossier + 1'600.- de frais de garantie sur le crédit global ainsi que des frais d'assurance de 27.-/mois nous créons le petit tableau suivant: ce qui donne: Serveur d'exercices 41/100

42 S4. Nous transformons le taux effectif mensuel en taux nominal annuel avec MS Excel. ce qui donne: ce qui est représenté traditionnellement sous la forme suivante: S5. Le dernier point consiste simplement à donner la représentation traditionnelle de ces derniers calculs: Serveur d'exercices 42/100

43 Serveur d'exercices 43/100

44 EXERCICE 21. Niveau : Université (Fac) Auteur : V. Isoz (isozv@hotmail.com), JP. Favre Mots-clés : Amortissement linéaire Enoncés : E1. Une machine valant initialement 20'000.- perd 18'000.- de sa valeur en 6 ans. Quel amortissement annuel faut-il enregistrer selon la méthode de l'amortissement linéaire? Calculer cette valeur à la main et avec MS Excel. E2. Calculer le pourcentage de perte en valeur par an de la machine à l'exercice 1 à la main et avec MS Excel. E3. Une machine valant initialement 1'000.- perd 90% de valeur en 5 ans. Quel amortissement annuel faut-il enregistrer selon la méthode de l'amortissement linéaire? E4. Construire le tableau d'amortissement de l'exercice 3. E5. Ecrivez une procédure VBA créant automatiquement un tel tableau Solutions : Rappel : La valeur de l'immobilisation est diminuée d'un montant annuel constant durant sa durée de vie selon : S1. L'amortissement annuel se calcule donc selon : A avec MS Excel, nous pouvons écrire : =AMORLIN(20000,2000,6)= S2. Ce calcul est facile (il est normalement inutile de faire usage d'excel pour une telle chose) : % 15% ou dans MS Excel (petite tricherie ) : =TAUX.INTERET( ; ;20000;2000;4)=-15% S3. La méthode de calcul est la même qu'en l'exercice E1, nous avons : A Serveur d'exercices 44/100

45 S4. Le tableau d'amortissement est trivialement donné par : Date Amortissement Valeur S5. Le code VBA qui permet de construire un tel tableau est le suivant (toujours avec la même remarque ) : Serveur d'exercices 45/100

46 EXERCICE 22. Niveau : Université (Fac) Auteur : V. Isoz (isozv@hotmail.com), JP. Favre Mots-clés : Amortissement arithmétique dégressif Enoncés : E1. Un bien d'une valeur initiale de 75'000.- doit être amorti en 5 ans selon l'amortissement arithmétique dégressif. Etablir le tableau d'amortissement E2. Ecrivez une procédure VBA créant automatiquement un tel tableau Solutions : Rappel : La valeur de l'immobilisation décroît inversement à l'ordre des années : Nous utilisons la fonction SYD dans Excel : SYD(valeur initiale,valeur finale,nombre de périodes,période) S1. Nous construisons le tableau selon la relation indiquée où : Ainsi : n 5, S , V 75'000., V A A A A '000 25' '000 20' '000 15' '000 10' A1 75'000 5' Serveur d'exercices 46/100

47 Le tableau d'amortissement est donc le suivant : Date Amortissement Valeur 0 75' '000 50' '000 30' '000 15' '000 5' '000 0 Avec MS Excel, il est possible de déterminer les valeurs d'amortissement avec la relation SYD comme indiqué, par exemple : =SYD(75000;0;5;3)=15'000.- S5. Le code VBA qui permet de construire un tel tableau est le suivant (toujours avec la même remarque ) : Serveur d'exercices 47/100

48 EXERCICE 23. Niveau : Université (Fac) Auteur : V. Isoz (isozv@hotmail.com), JP. Favre Mots-clés : Amortissement dégressif géométrique Enoncés : E1. Supposons qu'une vous achetiez une nouvelle machine dont la valeur neuve est de 20'000.- et dont la durée de vie prévue sur 6 années avec une valeur résiduelle de 2' Quel va être la perte de valeur à chaque période et la valeur amortie réelle? Effectuez le calcul à la main et avec MS Excel! E2. Un bien d'une valeur initiale de 1'000.- doit être amorti en 4 ans selon l'amortissement géométrique dégressif. Valeur résiduelle de Etablir le tableau d'amortissement. E3. Ecrivez une procédure VBA créant automatiquement un tel tableau Solutions : Rappel : Nous démontrons que la valeur d'amortissement à une période k est donnée par : S1. Le tableau d'amortissement se construit à la main à l'aide des valeurs suivantes : et le tableau : V 2'000., V 2000, n 6 n 0 Date k Amortissement Ak Valeur résiduelle ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' Par exemple pour A 4 (4 ème année) nous avons Serveur d'exercices 48/100

49 A ' ' ' '000 20'000 La somme des amortissements est donc d'environ : 18' Dans MS Excel pour obtenir l'amortissement A 4, nous utilisons la fonction : =DB(20000;2000;6;4;12)= S2. La construction du tableau demandé peut être faite aussi bien avec MS Excel qu'avec la relation donnée ci-dessus. Nous avons alors : Date Amortissement Valeur Attention! MS Excel cependant fait quelques erreurs d'arrondis (qui sont de longues périodes deviennent non négligeables ) S3. Le code VBA qui permet de construire un tel tableau est le suivant (toujours avec la même remarque ) : Serveur d'exercices 49/100

50 Serveur d'exercices 50/100

51 EXERCICE 24. Niveau : Université (Fac) Auteur : JP. Favre Mots-clés : Calcul d'obligations Enoncés : E1. Calculer le prix actuel de l'obligation, connaissant les informations suivantes : taux du marché 4%, coupons annuels 450.-, remboursement de l'obligation au pair dans 5 ans : 10'000.- E2. Calculer le prix actuel de l'obligation connaissant les informations suivantes : taux du marché 7%, coupons annuels de pour une valeur nominale de 5' Il reste 6 coupons sur l'obligation et le prochain est échu dans trois mois Solutions : Rappel : S'il reste n année à courir, le prix P d'une obligation au taux du marché i sera : S1. Le prix est donné par : 5 P ca Rv P 450a 10'000v 450 vv... v 10'000v n v '000v ' ' i n avec : 1 1 v 1i 14% avec MS Excel : =450*VA(4%;5;-1;0;0)+10000/(1+4%)^5 S2. On commence par calculer : v 6 P 400a 5'000v 400 5'000v ' ' i on capitalise cette valeur sur 9 mois : 9/12 P 5' (1 7%) 5' Serveur d'exercices 51/100

52 EXERCICE 25. Niveau : Université (Fac) Auteur : JP. Favre Mots-clés : Taux de rendement actuariel Enoncé : A l'aide de l'outil cible de MS Excel, calculer le taux de rendement actuariel nécessaire à l'émission d'une obligation connaissant les informations suivantes : coupons annuels de 450.-, valeur nominale 10'000.-, remboursable dans 10 ans au pair pour avoir une valeur d'émission de 9'950.- Solution : Pour répondre à cette question il est nécessaire dans MS Excel, de mettre en place le tableau suivant : et dans l'outil valeur cible (menu Outils) vous saisissez : Vous obtiendrez alors dans la cellule B5 la valeur 4.56% Serveur d'exercices 52/100

53 EXERCICE 26. Niveau : Université (Fac) Auteur : Bourse pour les nains (bnains.org) Mots-clés : Calcul de covariance de titres Enoncé : Soit la table ci-dessous : Calculez la covariance à la main entre les variations des titres de France Télécom et ST Microélectronics et ensuite vérifiez le résultat avec la fonction intégrée de la covariance dans MS Excel Solution : Rappel : la covariance est définie par : Nous avons alors à la main (voir page suivante) : Serveur d'exercices 53/100

54 Attention, nous supposons dans le calcul ci-dessus que les variations sont équiprobables d'où le fait que nous nous permettons de faire un moyenne selon la relation : 1 n X, Y i Y i X n i1 c y x Nous pouvons vérifier finalement le résultat avec la fonction intégrée de MS Excel : Serveur d'exercices 54/100

55 EXERCICE 27. Niveau : Université (Fac) Auteur : Bourse pour les nains (bnains.org), Vincent Isoz (isozv@hotmail.com) Mots-clés : Calcul de la matrice des covariances et des corrélations Enoncés : Soit la table ci-dessous dans MS Excel : E1. Calculez la matrice des covariances à l'aide des fonctions intégrées de MS Excel et ensuite de l'utilitaire d'analyse (on va plus faire ceci à la main de nos jours c'est inutile tellement c'est simpliste) E2. Calculez la matrice des corrélations à l'aide des fonctions intégrées de MS Excel et ensuite de l'utilitaire d'analyse (même remarque que précédemment) Solutions : S1. Par définition, la matrice des covariances (matrice symétrique!) est définie par : avec : Serveur d'exercices 55/100

56 C'est une matrice qui apparaît dans les modèles d'optimisation de portefeuilles (le modèle de Markowitz pour le plus connu) elle demande donc une attention particulière! Nous verrons applicatif par ailleurs plus loin avec un portefeuille de titres. La table matrice à construire est alors : ce qui donne numériquement : Remarque : nous appelons cette matrice aussi "matrice des variances-covariances" car la diagonale n'est d'autre que la variance d'un même et unique vecteur selon les propriétés mathématique de la covariance d'une variable aléatoire avec elle-même! Dans MS Excel il est possible de calculer très rapidement la moitié de cette matrice (puisqu'elle symétrique) avec l'utilitaire d'analyse disponible dans le menu Tools. (il faut d'abord l'installer en passant par Tools/Add-Ins et ensuite cocher Analysis Toolpack). Ensuite vous sélectionnez l'option Covariance : Serveur d'exercices 56/100

57 et enfin, votre sélection (voir page suivante) : Le résultat sera alors : S2. Par définition, la corrélation est définie par : R XY, c XY, V( X) V( Y) il est donc facile de construire une matrice des corrélation à partir de la matrice des covariances. Quels que soient l'unité et les ordres de grandeur, le coefficient de corrélation est un nombre sans unité, compris entre -1 et 1. Il traduit la plus ou moins grande dépendance linéaire de X et Serveur d'exercices 57/100

58 Y et ou, géométriquement, le plus ou moins grand aplatissement. Un coefficient de corrélation nul ou proche de 0 signifie qu'il n'y a pas de relation linéaire entre les caractères. Mais il n'entraîne aucune notion d'indépendance plus générale. Quand le coefficient de corrélation est proche de 1 ou -1, les caractères sont dits fortement corrélés. Il faut prendre garde à la confusion fréquente entre corrélation et causalité. Que deux phénomènes soient corrélés n'implique en aucune façon que l'un soit cause de l'autre. Ainsi: - si RXY, 1 nous avons affaire à une corrélation négative dite "corrélation négative parfaite" (tous les points de mesures sont situés sur une droite de régression de pente négative). R XY - si 1, 1 nous avons affaire à une corrélation négative ou positive dite "corrélation imparfaite" - si RXY, 0 la corrélation est nulle - si RXY, 1 nous avons affaire à une corrélation positive dite "corrélation positive parfaite" (tous les points de mesures sont situés sur une droite de régression de pente positive). Pour calculer la matrice des coefficients corrélation dans MS Excel il suffit de lancer le l'utilitaire d'analyse (toujours de la même table) avec l'option corrélation : et de choisir les options : pour obtenir (voir page suivante) : Serveur d'exercices 58/100

59 Il est possible d'obtenir les carrés des éléments de cette matrice (le coefficient de détermination) en utilisant la fonction COEFFICIENT.DETERMINATION dans MS Excel ou à la main en écrivant (toujours pour le carré) : =covariance(matrice1;matrice2/racine(var.p(matrice1)*var.p(matrice2)) ce qui donne R, il suffit ensuite d'élever le tout au carré pour retrouver la valeur du coefficient de détermination R^2. Le lecteur peut aussi vérifier les valeurs de la matrice en traçant les graphiques des différentes données et en interpolant les points par une droite tout en demandant à MS Excel d'afficher el coefficient de détermination. Serveur d'exercices 59/100

60 EXERCICE 28. Niveau : Université (Fac) Auteur : Bourse pour les nains (bnains.org), Vincent Isoz (isozv@hotmail.com) Mots-clés : Calcul de la variance d'un portefeuille Enoncés : Soit les tables ci-dessous dans MS Excel : E1. Calculez en vous inspirant de l'exercice précédent la totalité de la matrice des covariances des différents titres E2. Calculez la matrice des covariances pondérées par les poids des portefeuilles E3. Calculez la variance et l'écart-type de ce portefeuille Solutions : Rappel : la variance d'un portefeuille est donnée par (démontrée dans le cadre du modèle de Markovitz) : où nous retrouvons la matrice des covariances. n n n p X ii XYc i j i, j i1 i1 j1 i j i j S1. Nous calculons la matrice des covariances avec la même méthode que dans l'exercice précédant ce qui donne immédiatement : Serveur d'exercices 60/100

61 S2. Pour calculer la matrice pondérée des covariances nous utilisons la relation : Ce qui donne dans MS Excel : n n n p X ii XYc i j i, j i1 i1 j1 i j i j Ce qui donne pour la matrice pondérée : S3. La variance du portefeuille est alors donnée par la somme arithmétique des termes de cette matrice pondérée. Ce qui donne : P Serveur d'exercices 61/100

62 EXERCICE 29. Niveau : Université (Fac) Auteur : Vincent Isoz (isozv@hotmail.com) Mots-clés : Calcul du bêta d'un portefeuille Enoncé : Soit le bêta calculé pour des titres du CAC 40. Calculez le bêta du portefeuille du tableau cidessous : Solution : Actions Montant en Bêta de l'action Alcatel Ste Générale L'Oréal Renault Air liquide Altadis Total du portefeuille Le bêta du portefeuille est simplement donné par la pondération des montants sur le total. Nous avons alors : P '500 11'500 11'500 11'500 11'500 11'500 Le bêta de ce portefeuille est donc de Cela signifie que lorsque l'indice du CAC 40 monte de 1%, le portefeuille va s'apprécier de 0.914%. A l'opposé, si le CAC 40 baisse de 1%, le portefeuille va baisser que de 0.914% Serveur d'exercices 62/100

63 EXERCICE 30. Niveau : Université (Fac) Auteur : Vincent Isoz (isozv@hotmail.com) Mots-clés : Equation de Black & Sholes Enoncé : Soit une titre ayant une valeur de support S de 61.- et un prix d'exercice E de 65.- avec une expiration T dans 0.25 an avec un intérêt r de 8% et une volatilité de 30%. Quelle est la valeur du call (option d'achat d'une titre à une date future T) et du put européen (option de vente d'une titre à une date future T) de ce support au temps t=0? Calculer également le delta du put et du call. Solution : Il suffit d'appliquer les relations du modèle de Black & Sholes: avec : Nous avons alors. et : Le delta du call est donné par : et du put par : d d CSt (, ) CS (,0) PSt (, ) PS (,0) Nd ( ) 41% 1 Serveur d'exercices 63/100

64 Nd ( ) 1 59% 1 Il est clair qu'au temps t=0 le valeur du call et du put sont maximum et qu'au temps t=t le call à une valeur nulle et le put comme valeur la différence entre 65.- et 61.- soit 4.- Serveur d'exercices 64/100

65 EXERCICE 31. Niveau : Université (Fac) Auteur : Alain Boitel Mots-clés : MEDAF Enoncé : Le rendement espéré d'une action A présentant un bêta de 0.75 est de 15% et le rendement espéré d'une action B présentant un bêta de 1.5 est de 20%. Q1. Considérant que le MEDAF est vérifié et validé quel est le taux d'intérêt sans risque et le rendement espéré de marché. Q2. Calculez le ratio de Sharpe pour chacune des actions sachant que la volatilité du taux de rendement du marché est de 3%. Solutions : S1. Si ER ( A ) est le rendement moyen d'un titre A, R f le taux sans risque et ER ( m ) le rendement moyen (du portefeuille) du marché, nous avons la relation suivante du MEDAF (démontrée dans le chapitre d'économétrie): ER ( ) ER ( ) R R A m f f Ce qui donne deux équations à deux inconnues R f et ER ( m ). Le problème est aisé à résoudre (niveau collège): 0.15 ER ( ) R 0.75 R m f f 0.20 ER ( ) R 1.50 R m f f Ce qui nous donne (peut-être facilement résolu dans MS Excel et généraliser automatiquement avec du VBA): ER ( m ) % R % f S2. La ration de Sharpe est simplement donné par pour les deux actions par: ER ( m) Rf S % Serveur d'exercices 65/100

66 EXERCICE 32. Niveau : Université (Fac) Auteur : Vincent Isoz Mots-clés : MEDAF Enoncé : Soit les données suivantes: Q1. Déterminer le beta du portefeuille avec une régression linéaire graphique dans MS Excel Q2. La moyenne géométrique du taux sans risque avec MS Excel Q3. Le rendement espéré du portefeuille Solutions : S1. Il y a plusieurs manière de calculer le beta directement mais comme il l'est demandé de faire sous forme graphique, nous obtenons: Serveur d'exercices 66/100

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