BERTA AMOR. 6 ème Montesquieu PROFESSEUR M. PRIETO. Lycée Français Molière Villanueva de la Cañada Année

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1 BERTA AMOR 6 ème Montesquieu PROFESSEUR M. PRIETO Lycée Français Molière Villanueva de la Cañada Année

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3 Consultation du manuel en ligne Accéder au site web de sésamath : Choisir «Les manuels de sésamath» Dans les manuels, choisir celui de sixième. On peut accéder au manuel directement. On peut aussi télécharger le manuel en version PDF. Maintient du cahier Le cahier est un instrument qui nous permet de travailler en classe et de préparer les évaluations. Il doit toujours être complet pour bien pouvoir l'utiliser, donc si pour une raison quelconque, on perd une partie, il faut la compléter dés que possible. Les évaluations doivent être toujours signées par vos parents, collées en "partie exercices" et corrigées à côté. Les "fiches info" ou autres, doivent aussi être collées en "partie exercices". Les exercices qui ne seront pas finis en classe, devront être finis à la maison. Préparer un Devoir Il faut connaître et comprendre tout le cours parfaitement. Il faut savoir faire les exercices qui ont été faits en classe. Il faut avoir le matériel nécessaire pour le réaliser (copie double préparée à la maison, de quoi écrire, instruments de géométrie en bon état...). Préparer la copie: Première ligne à gauche : nom, prénom et classe ; à droite : date. Troisième ligne (en grand) : type de devoir (devoir surveillé, contrôle de leçon...) et le numéro. Huitième ligne, un trait rouge qui annonce le début du devoir.

4 Plan pour résoudre un problème 1. Lecture compréhensive 2. Exposition des données 3. Exposition des calculs 4. Réalisation des calculs 5. Réponse et vérification Programme de construction Un programme de construction est une liste détaillée des étapes nécessaires pour construire une figure.

5 Chapitre 1 Nombres entiers 1 I. Chiffres, nombres, rangs et décomposition A. Chiffres Les chiffres sont les symboles que l on utilise pour écrire les nombres : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9. Avec eux, selon le rang qu ils occupent, on peut écrire tous les nombres entiers. B. Rangs Les rangs se comptent de droite à gauche : Le troisième rang pour le nombre est occupé par le chiffre 6 et le premier rang, par le chiffre 8. La position de chaque chiffre dans un nombre, détermine sa valeur. Exemple : dans le nombre , le 3 placé au 6ème rang, représente le nombre et le 6 du 3ème rang, représente la valeur 600. C est ainsi que l on construit tous les nombres entiers. Remarque : Les chiffres, dans un nombre, se séparent légèrement, en formant des groupes de trois, pour pouvoir les lire plus facilement.

6 C. Décomposition Un 7 au troisième rang, a une valeur de 700, c'est à dire 7 fois 100 ou 7 x 100. Ainsi, chaque nombre est la somme de ses chiffres chacun d'eux multiplié par 10, 100, d'accord à son rang. Exemples : 123 = (1 x 100) + (2 x 10) = (9 x ) + (8 x 1 000) + (7 x 100) + (6 x 10) + 5 La décomposition d'un nombre est la somme détaillée de chaque chiffre de ce nombre multiplié par 10, 100, d'accord à son rang. II. Les repérer sur une demi-droite Sur une demi-droite graduée, il est possible de représenter tous les nombres entiers. L'origine est le 0 et chaque unité occupe la même longueur sur la demi-droite. Chaque nombre est l'abscisse d'un seul point sur la demi-droite. Exemples : A(5), O(0), B(7) Remarque : C'est l'identité du point ; pour le placer sur la demi-droite, il est possible que l'on soit obligé à placer au début de la demi-droite, à gauche, un autre nombre que 0 ; ou bien que, l'espace entre deux marques consécutives sur la demi-droite, représente autre que 1. Exemples : A(550), B(600), C(725)

7 III. Comparer et ranger des entiers A. Comparer deux nombres Comparer deux nombres, c'est exprimer lequel est supérieur (ou plus grand) ou inférieur, ou s'ils sont égaux. Pour cela, on utilise trois symboles : supérieur à (>), inferieur à (<) ou égal (=). Exemples : 3 > 1 5 < 9 2,0 = 2 GRAND > PETIT PETIT < GRAND B. Ranger une liste de nombres Ranger une liste de nombres, c'est les comparer deux à deux, et les écrire : en ordre croissant : du plus petit au plus grand (en utilisant le symbole <) en ordre décroissant : du plus grand au plus petit (en utilisant le symbole >) Exemples : 1. Ranger les nombres : 345, 234, 567, 123 et 456, en ordre croissant. 123 < 234 < 345 < 456 < Ranger les nombres : 345, 234, 567, 123 et 456, en ordre décroissant. 567 > 456 > 345 > 234 > 123 IV. Addition et soustraction d'entiers Pour poser ces opérations, il est indispensable de les organiser en respectant les rangs (colonnes).

8 A. Addition La somme est le résultat d'additionner deux termes. Exemple : = 100 termes somme L'addition est commutative : l'ordre des termes ne change pas la somme. Exemple : = = = 127 B. Soustraction La différence est le résultat de soustraire un terme d'un autre. Exemple : = 20 termes différence Remarque : la soustraction n'est pas commutative.

9 Chapitre 2 Eléments de géométrie I. Points et droites A. Vocabulaire Définitions : a. Un point est un unique endroit dans l'espace. On nomme les points avec des lettres majuscules et on les représente par des croix. b. Une droite est une infinité de points alignés. Tous les points qui sont sur une droite sont alignés et si un point est aligné avec deux autres qui appartiennent à une droite, alors lui aussi appartient à la droite. On nomme les droites par une lettre minuscule, deux de ses points ou deux directions, TOUJOURS ENTRE PARENTHÈSES. Exemple :

10 B. Droites passant par points a. Par un point passent une infinité de droites. b. Par deux points ne passe qu'une seule droite. c. Deux droites qui se coupent en un seul point s'appellent droites sécantes. Le point où elles se coupent est le point d'intersection. d. Un point peut être aligné avec les points d'une droite ; dans ce cas, le point appartient à la droite. Si un point n'est pas aligné aux points d'une droite, ce point n'appartient pas à la droite.

11 II. Autres objets géométriques A. Segments Un segment est une partie d'une droite limité par deux points que l'on appelle ses extrémités. B. Demi-droites Une demi-droite est une partie d'une droite, que l'on peut prolonger d'un côté mais pas de l'autre ; cette limite est appelée origine de la demi-droite.

12 Chapitre 3 : Nombres entiers 2 I. La multiplication Définition : le produit est le résultat de multiplier deux facteurs. Exemple : Donner le produit de 123 par 45 En écriture mathématique : 123 x 45 = 123 x 45 = facteurs Le produit de 123 par 45 est produit x Propriété : la multiplication est commutative ; l'ordre des facteurs ne change pas le produit. Exemple : 45 x 123 = 123 x 45 = Remarque : ceci est intéressant si nous voulons connaitre le produit de 7 par 654, car la propriété nous permet de poser 654 x 7 au lieu de 7 x 654 : x x II. La division euclidienne Définition : La division euclidienne nous permet de savoir combien de groupes identiques (quotient) on peut former avec un ensemble d'objets ou êtres vivants (dividende) qui ne peuvent pas être divisés

13 à leur tour. On peut donc obtenir un groupe avec moins d'élément que les autres, que l'on appelle "reste" : Dividende = diviseur x quotient + reste avec reste < diviseur D = d x q + r avec r < d D = dividende = nombre d'objets d = diviseur = nombre d'objets de chaque groupe q = quotient = nombre de groupes D r d q r = reste = reste qui ne peut pas former un groupe comme les autres car le nombre est insuffisant (r < d). 987 = 54 x avec 15 < III. Divisibilité A. Vocabulaire Si dans une division euclidienne (D = d x q + r avec r < d) le reste est 0 (r = 0), alors : D est multiple de d et de q D est divisible par d et par q D = d x q d et q sont des diviseurs de D (ou d et q divisent D) Exemple : 432 = 8 x (r = 0), donc 432 est multiple de 8 et de 54, 432 est divisible par 8 et par 54 et 8 et 54 sont des diviseurs de 432 (8 et 54 divisent 432) B. Critères de divisibilité Tous les nombres pairs (chiffre des unités pair) sont divisibles par 2.

14 Tous les nombres dont leur chiffre des unités est 0 ou 5 sont divisibles par 5. Tous les nombres dont ses deux derniers chiffres formant un nombre est multiple de 4, sont divisibles par 4. Tous les nombres dont la somme de ses chiffres est multiple de 3, sont multiples de 3. Tous les nombres dont la somme de ses chiffres est multiple de 9, sont multiples de 9. C. Exemples 3524 est divisible par 2 (son chiffre des unités, 4, est pair) et par 4 (24 = 6 x 4 donc multiple de 4) n'est pas divisible par 5 (son chiffre des unités n'est ni 0 ni 5), n'est pas divisible par 3 ( = 14 qui n'est pas multiple de 3) et n'est pas divisible par 9 ( = 14 qui n'est pas multiple de 9). 765 est divisible par 5 (son chiffre des unités est 5), par 3 ( = 18 qui est multiple de 3), et par 9 ( = 18 qui est multiple de 9) ; mais n'est pas divisible par 2 (son chiffre des unités n'est pas pair), ni par 4 (65 n'est pas multiple de 4). IV. Opérations sur les durées A. Conversions 1. Pour convertir des heures en minutes ou des minutes en secondes, il faut multiplier par Pour convertir des heures en secondes, il faut multiplier par (60 x 60).

15 3. Pour convertir des secondes en minutes ou des minutes en heures, il faut diviser par 60 et laisser le reste en secondes ou en minutes respectivement. 4. Pour convertir les secondes en heures, il faut diviser par B. Opérations Pour additionner ou soustraire des durées, il faut effectuer séparément secondes, minutes et heures, et ensuite convertir tous les résultats supérieurs à 60, les secondes en minutes, et les minutes en heures (on peut aussi le faire pour convertir les heures en jours, mais cette fois-ci en divisant par 24). Exemples : 3 h 05 min 13 s + 56 min 48 s = 3 h 61 min 61 s = 4 h 02 min 01 s 1 h 55 min 29 s - 46 min 27 s = 1 h 09 min 02 s

16 Chapitre 4 Distances et cercles I. Les segments A. Mesure d'un segment La mesure d'un segment [AB] est la distance entre ses deux extrémités et on la note AB. B. Milieu d'un segment Le milieu d'un segment [AB] est le point M du segment, qui se trouve à la même distance des deux extrémités du segment. On dit que M est équidistant de A et de B ou en langage mathématique : AM = MB ; sur la figure, on code avec un symbole sur chaque partie de segment égale. II. Le cercle et ses objets associés A. Le cercle Un cercle (C) de centre O est l'ensemble de tous les points équidistants de O, c'est à dire les points qui sont à distance r de O. On appelle r le rayon du cercle et donc si A (C) alors AO = r. B. Objets géométriques associés au cercle 1. Le centre du cercle O est le point équidistant de tous les points du cercle. Remarque : le centre d'un cercle n'appartient pas au cercle.

17 2. Un rayon d'un cercle est un segment qui a pour extrémités le centre du cercle et un point du cercle : [OA]. Remarque : chaque point du cercle est une extrémité d'un rayon de ce cercle, l'autre extrémité est toujours le centre du cercle : [OA], [OB] et [OD] sont des rayons de (C). 3. Une corde d'un cercle est un segment d'extrémités deux points du cercle : [FE]. 4. Un diamètre d'un cercle est une corde qui passe par le centre du cercle : [BD]. 5. Un arc de cercle est formé par les points du cercle situés entre deux de ses points :. C. Remarques : 1. Parfois on emploiera les mots rayon et diamètre pour indiquer la longueur du rayon et du diamètre au lieu des segments. 2. Le diamètre d'un cercle est le double du rayon.

18 Chapitre 5 Fractions 1 I. Fractions A. Vocabulaire a est le numérateur b est le dénominateur Dans une fraction, le numérateur et le dénominateur sont des nombres entiers et le dénominateur est TOUJOURS différent de 0. B. Fraction : des parties d'un tout Le dénominateur indique en combien de parties égales est divisé l'unité. Ce nombre donne un nom à ces parties (demis, tiers, quarts, cinquièmes, sixièmes...). Le numérateur indique combien de ces parties il faut considérer. Exemples : Remarque : 2 = 3 = 5 = n = n

19 C. Fraction : un nombre Définition : une fraction est le nombre qui multiplié par b donne a. Exemples : a x b = a b 3 x 8 = x 2 = x 5 = 1 5 II. Décomposition d'une fraction et ses applications A. Fractions et unité Si a < b, alors Si a = b, alors Si a > b, alors a b < 1. Exemple : 3 4 a b = 1. Exemple : 5 5 a b > 1. Exemple : 5 4 B. Décomposition d'une fraction Toute fraction peut s'écrire comme la somme d'un entier et une fraction inférieure à l'unité. Si a < b, alors a b < 1 et donc a b = 0 + a b Si a = b, alors a b = 1 (un entier); a a = 1 Si a > b, alors a b > 1 et donc a b = c + d b c et d sont des entiers.

20 Pour trouver le plus grand nombre entier c, inférieur à une fraction donnée, il faut faire la division euclidienne du numérateur par le dénominateur ; le quotient sera ce nombre entier, c, et le reste sera le numérateur, d, de la fraction inférieure à 1. Exemples : 22 = c + d 5 5 Pour trouver c et d, il faudra diviser 22 par 5 : On obtient donc : 2 22 = Mais 5 = 1 5 et 4 = C. Encadrement d'une fraction entre deux entiers consécutifs D'après le paragraphe précédent, pour toute fraction, on peut trouver un entier c, inférieur à elle : a b = c + d b alors c < a b < c + 1 D. Fractions et la demi-droite graduée Pour placer un point ayant pour abscisse une fraction, sur la demidroite graduée, il faut la décomposer, et placer sa partie inférieure à 1, à partir de l'entier correspondant. Pour cela, il faut diviser l'unité en autant de parties comme indique le dénominateur.

21 Exemple : Placer sur une demi-droite graduée la suivante fraction : 15 6 = alors 2 < 15 6 < 3

22 Chapitre 6 Droites parallèles et perpendiculaires I. Droites parallèles Rappel : Deux droites sont sécantes si elles se coupent en un seul point. Définition : Deux droites sont parallèles si elles ne sont pas sécantes. Notation : si (d) et (d') sont parallèles, on écrit (d) // (d') Construction : Soit (d) une droite et N un point tel que N (d) Placer l'équerre sur la droite et la règle sur l'équerre, perpendiculairement à la droite (d). Glisser l'équerre jusqu'au point N et tracer la droite (d') parallèle à (d) passant par N. Propriété : Deux droites parallèles sont, soit distinctes (aucun point commun), soit confondues (tous les points sont communs) II. Position de deux droites Propriété : Deux droites sont, soit sécantes, soit parallèles.

23 III. Droites perpendiculaires Définition : Deux droites sont perpendiculaires si elles se coupent en formant un angle droit. Notation : si (d) et (d') sont perpendiculaires, on écrit (d) (d') Remarque : Les droites perpendiculaires sont sécantes. Construction : Soit (d) une droite et N un point. Placer la règle sur la droite et l'équerre sur la règle. Glisser l'équerre jusqu'au point N et tracer la droite (d') perpendiculaire à (d) passant par N. Coder l'angle droit. IV. Médiatrice d'un segment Définition : La médiatrice d'un segment est la droite qui le coupe perpendiculairement en son milieu. Construction : Soit [AB] un segment. Placer M, milieu du segment [AB]. Tracer (m), droite perpendiculaire au segment, passant par M.

24 Coder la figure : angle droit et segments de même longueur.

25 Chapitre 7 Nombres décimaux I. Fractions décimales et nombres décimaux Définition : une fraction décimale est une fraction de dénominateur 1, 10, 100, Exemples : 1 10 = 1 : 10, c'est l'unité divisée en dix parties égales : 1 dixième Donc 1 = 0,1. 10 Remarque : dix dixièmes complètent l'unité : 10 x 0,1 = = 1 : 100, c'est l'unité divisée en cent parties égales : 1 centième Donc 1 = 0, Remarque : cent centièmes complètent l'unité : 100 x 0,01 = = 1 : 1000, l'unité divisée en mille parties égales : 1 millième

26 Donc 1 = 0, Remarque : mille millièmes complètent l'unité : 1000 x 0,001 = 1 Définition : un nombre décimal est un nombre qui peut s'écrire comme une fraction décimale. Exemples : 0,7 = 7 0,03 = 3 0,004 = Remarque : les nombres entiers sont aussi des nombres décimaux. Exemple : 85 = 85 = 850 = II. Décomposition des nombres décimaux Vocabulaire : Un nombre décimal sera composé d'une partie entière et d'une partie décimale. Composition et décomposition : La partie décimale sera composée par un certain nombre de dixièmes, un certain nombre de centièmes, un certain nombre de millièmes, et ainsi de suite. Exemple : 85,734 = La première partie de l'expression est l'écriture décimale et la deuxième est appelée décomposition d'un nombre décimal. Remarque :

27 3 100 = 30 et 7 = 7 donc ,734 = = = = III. Repérage sur la demi-droite graduée Comme pour les nombres entiers, chaque nombre décimal est l'abscisse d'un point sur la demi-droite graduée (distance qui le sépare du point O qui a pour abscisse 0) Exemple : 85,734 est l'abscisse d'un point qui est à 85 unités, 7 dixièmes, 3 centièmes et 4 millièmes de O.

28 IV. Comparaison et rangement de nombres décimaux Pour comparer deux nombres décimaux, il faut comparer d'abord la partie entière ; si elles sont égales, il faut comparer chaque chiffre, correspondants à un même rang décimal (dixième avec dixième, centième avec centième, et ainsi de suite). Exemples : comparer 65,97 et 34,56 : on compare les parties entières (65 et 34) et on déduit que 34,56 < 65,97. comparer 34,97 et 34,56 : on compare les parties entières (34 dans les deux cas) donc on compare les dixièmes et on déduit que 34,56 < 34,97. comparer 34,97 et 34,953 : on compare les parties entières (34 dans les deux cas), donc on compare les dixièmes (9 dans les deux cas), donc on compare les centièmes et on déduit que 34,953 < 34,97 car 5 < 7.

29 Chapitre 8 Angles I. Angles A. Définition Définition : Un angle est l'ensemble des points compris entre deux demi-droites de même origine. Nommer un angle : Pour nommer un angle, il faut citer les demi-droites et leur origine commune, toujours au milieu : = = = Vocabulaire : L'origine des deux demi-droites s'appelle sommet de l'angle : O. Les demi-droites qui délimitent l'angle s'appellent les côtés de l'angle : [OB) = [Ox) et [OC) = [Oy). Remarque : Deux demi-droites de même origine donnent lieu à deux angles : l'ensemble de points en bleu et celui en rouge. L'angle en bleu s'appelle angle saillant et l'angle en rouge s'appelle angle rentrant. B. Mesure d'un angle La mesure d'un angle nous indique son ouverture. L'unité que l'on emploie pour les mesurer, est le degré (º).

30 L'instrument que l'on emploi pour les mesurer, est le rapporteur. Deux angles de même mesure doivent être codés. II. Différents types d'angles A. Angle nul L angle nul mesure 0º et ses côtés sont confondus. = 0º B. Angle aigu Les angles aigus sont ceux qui mesurent entre 0º et 90º. 0º < < 90º C. Angle droit L angle droit mesure 90º ; ses côtés sont perpendiculaires. = 90º D. Angle obtus Les angles obtus sont ceux qui mesurent entre 90º et 180º. 90º < < 180º

31 E. Angle Plat L angle plat mesure 180º ; un des côtés est le prolongement de l autre. = 180º F. Angle plein L angle plein mesure 360º ; ses côtés sont confondus. = 360º III. Bissectrice d un angle Définition : La bissectrice d un angle est la demi-droite qui le divise en deux angles de même mesure. Figure : [OG) est la bissectrice de l'angle car et ensemble complètent et ils ont la même mesure (codage).

32 Chapitre 9 Gestion de données I. Tableaux Les tableaux nous aident à organiser des ensembles de données, pour pouvoir lire l'information plus efficacement. Les tableaux à simple entrée acceptent des séries de seulement deux données relatives. Exemple : élèves de la classe Classe de 6M filles garçons total Nombre d'élèves Les tableaux à double entrée acceptent des séries de plusieurs données relatives. Exemple : élèves du collège Nombres d'élèves 6 H 6 M 5 C 5 P 4 D 4 R 3 P 3 T Filles Garçons Total II. Représentations graphiques A. Graphique cartésien On l'utilise pour représenter la relation entre deux séries de grandeurs (l'une en fonction de l'autre).

33 Exemples : B. Diagramme en bâtons (en barres) On l'utilise pour représenter des valeurs correspondantes à une série de données. La hauteur des bâtons est proportionnelle à la quantité représentée. Exemples :

34 C. Diagramme circulaire et semi-circulaire On l'utilise pour représenter des valeurs ou des pourcentages, correspondantes à une série de données, qui complète la totalité des choix. La mesure des angles est proportionnelle à la quantité représentée. Exemples :

35 Chapitre 10 Symétrie axiale I. Figures symétriques Définition : Deux points, A et B, sont symétriques par rapport à une droite (d), si la droite (AB) est perpendiculaire à (d) et le point d intersection des deux droites, est le milieu du segment [AB]. Remarques : La droite (d), l axe de symétrie, est la médiatrice de [AB]. Les points sur l axe de symétrie sont leurs propres symétriques. Définition : Deux figures sont symétriques par rapport à une droite, si tous les points qui composent une des figures, sont les symétriques des points de l autre figure, par rapport à cette droite.

36 II. Construction de symétriques Le symétrique d un point A par rapport à la droite (d) est un point S, sur la droite perpendiculaire à (d) passant par A, et tel que la distance entre A et la droite soit la même que entre S et la droite. A. Avec règle graduée et équerre B. Avec compas (méthode 1) C. Avec compas (méthode 2)

37 III. Propriétés de la symétrie axiale A. Alignement Propriété 1 : Le symétrique d une droite par rapport à un axe, est une droite. Propriété 2 : La symétrie axiale conserve l alignement. Les symétriques de trois points alignés, par rapport à une droite, sont alignés. B. Longueurs Propriété 1 : La symétrie axiale conserve les longueurs. Propriété 2 : Le symétrique d un segment par rapport à un axe, est un segment de même longueur.

38 Remarque : Le symétrique du milieu d un segment est le milieu du segment symétrique. Propriété 3 : Le symétrique d un cercle par rapport à un axe, est un cercle de même rayon que le premier et de centre, le symétrique du centre du premier cercle. C. Angles Propriété 1 : La symétrie axiale conserve la mesure des angles : le symétrique d un angle est un angle de même mesure.

39 Chapitre 11 Opérations sur les nombres décimaux I. Ordres de grandeur L ordre de grandeur d un nombre est une valeur approchée simple de ce nombre qui nous permet d obtenir des résultats approchés. Exemple : Pour acheter une voiture qui coûte pour laquelle il faut payer 795 d impôts et 200 d assurance, on payera, à peu près : = ( = 8 945) Autres exemples : 9,5 + 2, = 12 9,5 2, =8 Remarque : L ordre de grandeur nous permettra de vérifier la cohérence d un résultat. II. Additions et soustractions de nombres décimaux Pour additionner ou soustraire deux nombres décimaux, il faut bien aligner la virgule en posant. Remarque : l'addition de nombres décimaux est commutative. Exemple : 6,5 + 12,6 + 1,5 = 6,5 + 1,5 + 12,6 = ,6 = 20,6

40 III. Multiplication et division par 10, 100, A. Multiplier par 10, 100, Si on multiplie un nombre par 10, son chiffre des unités devient celui des dizaines, celui des dizaines devient celui des centaines et ainsi de suite. Son chiffre des dixièmes devient celui des unités, celui des centièmes devient celui des dixièmes et ainsi de suite. Bref, les chiffres de ce nombre sont décalés d'un rang vers la gauche (la virgule ne change pas). Multiplier par 100 revient à multiplier par 10 deux fois de suite, donc les chiffres seront décalés de deux rangs. Pour multiplier par 1000, on décale les chiffres de trois rangs, et ainsi de suite. Exemples : 23,54 x 10 = 235,4 23,54 x 100 = ,54 x = (il faut ajouter un zéro pour que le 4 devienne le chiffre des dizaines) B. Diviser par 10, 100, Si on divise un nombre par 10, son chiffre des unités devient celui des dixièmes, celui des dizaines devient celui des unités et ainsi de suite, donc tous les chiffres sont décalés d'un rang vers la droite (le contraire que pour la multiplication). Diviser par 100 revient à diviser par 10 deux fois de suite, donc les chiffres seront décalés de deux rangs. Pour diviser par 1000, on décale les chiffres de trois rangs, et ainsi de suite.

41 Exemples : 23,54 : 10 = 2,354 23,54 : 100 = 0, ,54 : = 0,02354 C. Conversion des unités de longueur et de masse Longueurs km hm dam m dm cm mm Masses kg hg dag g dg cg mg Pour passer d'une case à une case voisine, il faut multiplier par 10 si cette case se trouve à droite et diviser par 10 si elle se trouve à gauche. Exemples : 24 g = 24 : 10 dag = 2,4 dag 57 dm = 57 x 10 cm = 570 cm IV. Multiplication de deux nombres décimaux Pour multiplier deux nombres décimaux, il faut d'abord transformer les facteurs en nombres entiers, en les multipliant par 10, 100, , multiplier les deux nombres entiers et diviser le résultat par le produit des nombres par lesquels ont été multipliés les facteurs. Exemples : 2,4 x ,25 x x 0,2 x 10 x 2 x 2,1 x 21 0,48 : ,825 : x 10

42 V. Division d'un nombre décimal par un nombre entier A. Méthode Pour diviser un nombre décimal par un nombre entier, il faut agir comme si le dividende était entier, en plaçant la virgule au quotient au moment où on abaisse le chiffre des dixièmes. Exemple : 2 5, , B. Valeurs approchées Si on n'a pas besoin d'obtenir un quotient avec plus de chiffres décimaux (on veut arrêter la division) et le reste continue à ne pas être 0, on peut donner une valeur approchée du quotient. Cette valeur peut être approchée par défaut (inférieure au quotient exact) ou par excès (supérieure au quotient exact).

43 Exemples : Valeur approchée de 25,67 : 9 par défaut par excès au dixième 2,8 2,9 au centième 2,85 2,86 au millième 2,852 2,853...

44 Chapitre 12 Triangles et quadrilatères I. Triangles A. Définitions Définition : Un triangle est un polygone à trois côtés. Un triangle a trois côtés et trois sommets. Dans un triangle ABC, A est le sommet opposé au côté [BC] et [AB] est le côté opposé au sommet C. B. Constructions Pour construire un triangle connaissant les longueurs de ses côtés, il faut écrire les données (nom du triangle et longueurs des côtés), faire un schéma en indiquant ces données et utiliser le compas pour construire. Exemple : construire le triangle KLM sachant que KL = 6 cm, LM = 5 cm et KM = 4,5 cm. Données : KLM triangle KL = 6 cm LM = 5 cm KM = 4,5 cm

45 C. Triangles particuliers 1. Triangle équilatéral Un triangle équilatéral est un triangle qui a ses trois côtés de même longueur. 2. Triangle isocèle Un triangle isocèle est un triangle qui a deux côtés de même longueur. On dit que le triangle ABC est isocèle en B si AB = BC. Ce sommet, commun aux deux côtés de même longueur, s'appelle sommet principal. Le côté opposé au sommet principal s'appelle la base. 3. Triangle rectangle Un triangle rectangle est un triangle qui a un angle droit. Le côté opposé à l'angle droit s'appelle hypoténuse. On dit qu'un triangle ABC est rectangle en A si = 90º. Ce triangle peut être construit avec seulement les longueurs AC et AB. II. Quadrilatères A. Définitions Un quadrilatère est un polygone de quatre côtés. Un quadrilatère a quatre sommets et quatre côtés.

46 Chaque côté n'a qu'un côté opposé mais deux côtés consécutifs. Chaque sommet n'a qu'un sommet opposé mais deux sommets consécutifs. Le segment d'extrémités deux sommets opposés s'appelle diagonale. Un quadrilatère a deux diagonales. Dans le quadrilatère ABCD, [AB] et [CD] sont des côtés opposés et [AB] et [BC] sont des côtés consécutifs. A et C sont des sommets opposés et A et B sont consécutifs. Les diagonales sont [AC] et [BD]. B. Quadrilatères particuliers 1. Losange Un losange est un quadrilatère avec tous ses côtés de même longueur. 2. Rectangle Un rectangle est un quadrilatère qui a ses angles droits. 3. Carré Un carré est un quadrilatère qui a ses quatre côtés de même longueur et ses quatre angles droits. Remarque : un carré est à la fois un losange et un rectangle.

47 Chapitre 13 Fractions 2 Fractions quotients Définition : Soient a et b deux nombres entiers avec b 0, alors est le quotient de a par b : = a : b. Rappel : une fraction est le nombre qui multiplié par b, donne a : x b = a. Exemple : x 7 = 35 mais = 35 : 7 = 5 et effectivement 5 x 7 = 35. Remarques : Tout nombre entiers peut être représenté par une fraction : 13 = = =... Tout nombre décimal peut être représenté par une fraction : 13,42 = = =... Mais pas toute fraction est un nombre décimal... = 0, qui n'est pas un nombre décimal. III. Fractions égales Définition : Deux fractions et sont égales si on peut trouver k 0 qui vérifie a = c x k et b = d x k ou a = c : k et b = d : k.

48 Exemples : = = car = = et = = IV. Simplification de fractions Simplifier une fraction c'est trouver une fraction égale avec a > c et b > d. Si cette nouvelle fraction ne peut pas être encore simplifiée, on dit qu elle est irréductible. Exemples : = = et cette fraction est irréductible. = = mais cette fraction n est pas irréductible car = =. V. Prendre une fraction d'un nombre Prendre une fraction d'une quantité c'est multiplier la fraction par la quantité. Exemples : La moitié de 15 : x 15 = = 7,5 Les deux cinquièmes de 25 : x 25 = = 10

49 Pour multiplier un nombre a par une fraction : a x, on peut : 1. obtenir a x b puis diviser le résultat par c : 25 x = = obtenir puis multiplier le résultat par a : 5 x = 5 x 7 = obtenir puis multiplier le résultat par b : 12 x = x 3 = 6 x 3 = 18 Le résultat sera toujours le même mais, suivant les cas, une méthode sera plus facile que les autres. VI. Pourcentages Un pourcentage est une fraction de dénominateur 100. Pour trouver un pourcentage d'une quantité, il suffit de multiplier le pourcentage par la quantité. Exemple : 25 % de 320 = x 320 = x 320 = = 80 Certains pourcentages sont particuliers : 10 % = = 20 % = = = 25 % = = 50 % = = 75 % = = 100 % = = 1