RÉSUMÉ. Résumé. Abstract

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1 Mémoire de Masère de Saisique présené e souenu par MOMEYA R.H RÉSUMÉ Résumé Les Processus de Lévy consiuen une classe idéale de candidas pour modéliser la dynamique des acifs financiers sur les marchés. En effe, leur grande flexibilié perme de conourner les difficulés que présene le modèle classique de Black e Scholes. ouefois, leur uilisaion dans le cadre des modèles exponenielle-lévy suppose que soi résolu le problème de calibraion par rappor aux données observées sur le marché. Rama Con e Peer ankov proposen dans l aricle une approche non-paramérique basée sur la minimisaion de l enropie relaive encore appelée informaion de Kullback-Leiber. Nous prenons préexe de ce ravail pour présener le cadre général e classique de la héorie des opions, relevan clairemen au passage les insuffisances du modèle de Black e Scholes e ce faisan les voies de généralisaion. Aussi, nous implémenons sur les modèles simples de Cox-Ross-Rubinsein e de Black-Scholes, les procédures de simulaion à la Mone-Carlo. Absrac he Lévy process offers an ideal class of candidaes for modelling he dynamic of financial Asse in markes. In fac, hanks o heir grea flexibiliy, insufficiencies found in he Classical Black-Scholes model can be bypassed. Howewer, heir use in exponenial-lévy model suggess ha he calibraion wih marke daa has been solved. In heir paper, Rama Con and Peer ankov propose a non-parameric approach based on he minimizaion of he relaive enropy called Kullback-Leiber informaion. We use he opporuniy of his work o presen he general and henceforh classical framework of he opions pricing heory while meanime clearly poining ou he weaknesses of he Black-Scholes-Meron model, hus specifying generalizaions ways. Besides, for Cox-Ross-Rubinsein and Black-Scholes models, we implemen Mone-Carlo simulaion procedures.. i

2 Mémoire de Masère de Saisique présené e souenu par MOMEYA R.H DEDICACE A mon regreé père, Papa, oi qui n as pu voir la promesse des fleurs d un jardin si merveilleusemen enreenu A ma rès chère, Claire, découvres-la les bourgeons de nore jardin fuur ii

3 Mémoire de Masère de Saisique présené e souenu par MOMEYA R.H REMERCIEMENS L occasion m es donnée ici de émoigner oue ma graiude à mon encadreur, le Pr Henri GWE qui malgré ses muliples conraines a oujours eu le emps pour dire un mo sur l avancemen du ravail. Je iens à remercier égalemen ous nos enseignans du Masère de Saisique, pour cee merveilleuse expérience que nous avons pu parager duran l année. Enfin, je remercie ous mes camarades de classe pour les bons momens passés, e ou pariculièremen mon homonyme Hervé KWADJIO. Las bu no leas, Grand merci à oue ma famille, à mes amis e à ous ceux qui on oujours crû en moi. iii

4 Mémoire de Masère de Saisique présené e souenu par MOMEYA R.H SOMMAIRE Résumé... i Absrac... i DEDICACE...ii REMERCIEMENS...iii SOMMAIRE... iv INRODUCION GÉNÉRALE... CHAPIRE : LE VOCABULAIRE FINANCIER... O- Marché financier... O- Acifs ou insrumens financiers... O-- Les acions... O-- Les obligaions... O-3 Les produis dérivés ou acifs coningens... 3 O-3- Définiion d une opion... 3 O-3- La prime d une opion... 3 O-3-3 Valeur inrinsèque (inrinsic value) d une opion... 3 O-3-4 Valeur-emps (ime value) d une opion... 4 O-3-5 Opion (dans /en dehors/ à) la monnaie... 4 O-4 NOE : l hypohèse d Absence d Opporunié d Arbirage (AOA)... 4 CHAPIRE I :QUELQUES MODÈLES MAHÉMAIQUES SIMPLES D ÉVALUAION DES OPIONS... 5 I- Le modèle binomial (ou de Cox-Ross-Rubinsein, 979)... 5 I-- Le cadre probabilise... 5 iv

5 Mémoire de Masère de Saisique présené e souenu par MOMEYA R.H I-- Définiions e hypohèses... 6 I--3 Proposiion... 7 I--4 Conséquences de la proposiion... 8 I--5 La formule d évaluaion d un Call européen... 9 I--6 Définiions... I--7 Proposiion... I--8 Proposiion 3... I- Le modèle de Black e Scholes/ Meron (973)... 4 I-- Noions de Calcul sochasique... 4 I-- Hypohèses e définiions... 6 I--3 Lemme... 8 I--4 Proposiion I--5 Valorisaion de l opion... I-3 Les imperfecions du Modèle de Black e Scholes/Meron... 3 I-3- Sur le caracère Brownien de la dynamique du sous-jacen... 3 I-3- Le problème du «Smile» de la volailié... 4 CHAPIRE II : EXENSIONS DU MODÈLE DE BLACK E SCHOLES :... 6 LES MODÈLES EXPONENIELLE-LÉVY... 6 II. Définiions générales e Principales propriéés... 6 II.. Généraliés sur les processus de Lévy... 6 II-- Les modèles exponenielle-lévy... 7 II- Le problème du pricing dans un modèle exponenielle-lévy... 3 II-- La méhode de Fourier... 3 II-- La méhode de Mone-Carlo... 3 II-3 Le problème de calibraion dans les modèles exponenielle-lévy v

6 Mémoire de Masère de Saisique présené e souenu par MOMEYA R.H II-3- Posiion du problème II-3- Algorihme de déerminaion de la volailié e de la mesure de Lévy II-3-3 Reformulaion du problème (II.4) CHAPIRE III : INÉRÊ SCIENIFIQUE DE L APPROCHE DE RAMA CON E PEER ANKOV III- Inroducion III- Revue de la liéraure III-3 Originalié e Conribuions des aueurs III-3- Originalié de l aricle III-3- Conribuions des aueurs... 4 CHAPIRE IV : SIMULAIONS NUMERIQUES... 4 IV- Le modèle de Cox-Ross-Rubinsein... 4 IV-- Calcul explicie par la formule analyique... 4 IV-- Simulaion Mone-Carlo du modèle binomial IV--3 Comparaison des résulas IV- Le modèle de Black-Scholes-Meron IV-- Calcul explicie par la formule analyique IV-- Simulaion Mone-Carlo du modèle de Black-Scholes-Meron IV--3 Comparaison des résulas CONCLUSION E PERSPECIVES BIBLIOGRAPHIE vi

7 Mémoire de Masère de Saisique présené e souenu par MOMEYA R.H INRODUCION GÉNÉRALE Le marché des opions, insrumens de spéculaion mais égalemen assurances conre le risque financier causé par les flucuaions des acions, s es développé avec l élaboraion des modèles permean de les valoriser. Jusqu à la publicaion de Black e Scholes[], la gesion de porefeuille faisai un recours minimalise aux méhodes mahémaiques, c es plus une approche inuiive e esseniellemen basée sur le comporemen vis-à-vis du risque du déeneur (Modèle de Markowiz) qui es alors mise en avan. Reprenan les idées émises par Bachelier dans sa hèse en 9, le modèle de Black e Scholes inrodui une vériable révoluion dans le monde de la finance : il donne non seulemen le prix d un «Call» (opion d acha) mais défini égalemen la couverure du vendeur par l acha d une ceraine quanié de l acif sous-jacen. Ainsi, la méhode de " pricing" proposée de façon indépendane par Black e Scholes (973) d une par e Meron (973) d aure par donne une soluion aux deux problèmes majeurs sur lesquels se heuraien leurs prédécesseurs : d une par, au lieu d aniciper l évoluion fuure de l acion on en déermine le comporemen aléaoire en mesuran la volailié ; d aure par, l acualisaion ramenan au présen la valeur fuure de l acion doi se faire au aux sans risque : c es le principe de la valorisaion risque-neure. La résoluion de ces deux problèmes a donné naissance à la héorie mahémaique des opions. Celle-ci vise avan ou l'évaluaion e la couverure des produis dérivés connaissan l'évoluion aléaoire des variables de marché (sous-jacens). Mais, il fau noer que l'implémenaion de ces modèles implique d'abord d'esimer les paramères inhérens à parir des données de marché (prix d'opions). Il s'agi là du problème inverse de celui de l'évaluaion des opions. Cee éape, qui correspond à la calibraion d'un modèle aux données de marché, es préliminaire à oue uilisaion/applicaion d'un modèle pour les opions. En ermes mahémaiques, il s'agi d'un problème inverse mal posé qui peu ne pas avoir de soluion ou en avoir une infinié e dans le meilleur des cas, la correspondance (héorique) enre les données e la soluion peu êre insable (disconinue). C es sur ce dernier aspec que pore le suje de nore mémoire. Nous essayons à ravers l analyse de l aricle de Rama Con e Peer ankov [] d inscrire le problème dans le cadre général de la héorie mahémaique des opions e surou, de présener l originalié de la conribuion des deux aueurs. Le présen ravail es organisé en quare chapires ou secions : Dans le premier, nous inroduisons le leceur à la héorie mahémaique des opions au ravers des modèles classiques de Cox-Ross-Rubinsein e de Black e Scholes e, relevons au passage les insuffisances du modèle de Black e Scholes. Pour conourner ces lacunes, des exensions e plus généralemen de nouveaux modèles on éé proposés. Le second chapire de nore mémoire ou en rendan compe d une de ces généralisaions, inrodui le cadre mahémaique dans lequel s ancre le problème de la calibraion analysé par R.Con e P. ankov. Le roisième chapire, cœur même de nore exposé, es dédié à la présenaion de la conribuion des deux aueurs. Nous erminons en présenan des simulaions numériques pour les principales formules analyiques obenues au chapire II.

8 Mémoire de Masère de Saisique présené e souenu par MOMEYA R.H CHAPIRE : LE VOCABULAIRE FINANCIER Nous présenons dans cee secion un cerain nombre de noions qui facilieron la compréhension de l exposé. Ces conceps son esseniellemen issus du vocabulaire de l ingénierie financière qui s es développée rès rapidemen avec l appor des modèles mahémaiques. O- Marché financier : C es une place, plus ou moins physique, organisé de façon à mere en relaion direce les demandeurs e les pourvoyeurs de fonds présens dans une économie donnée. Un marché financier réuni rois ypes d opéraeurs : le spéculaeur qui prend un risque plus ou moins imporan ; le «hedger» qui refuse de prendre des risques e se couvre au conraire e enfin l arbiragise, qui en exploian les déséquilibres de marché conribue à les faire disparaîre e assure ainsi leur liquidié e leur efficience. O- Acifs ou insrumens financiers Du poin de vue de l enreprise, ce son des conras émis par elle pour se financer. Ils se réparissen fondamenalemen enre ires représenaifs des dees (les obligaions) e ires représenaifs des capiaux propres (les acions). Par conre du poin de vue des ménages, un acif financier es un moyen d effecuer des ransfers ineremporels de richesse. Lorsque ces ransfers de richesse son parfaiemen connus, on parlera d acifs à revenu fixe (fixed-income securiies) e concrèemen, cela désignera ypiquemen les obligaions. A l inverse, les acions son des exemples d acifs financiers permean des ransfers de richesse non parfaiemen connus aujourd hui. Nous précisons : O-- Les acions Une acion (equiy, sock, share) es un ire de propriéé d une enreprise donnée. Elle génère donc pour ses déeneurs (les acionnaires ou les shareholders) un cerain nombre de drois, noammen le droi de recevoir une parie des bénéfices fuurs (dividendes) e un droi de voe sur les décisions sraégiques de l enreprise. O-- Les obligaions Les ires obligaaires son des ires de dee e non de propriéé comme les acions. Ces ires s apparenen complèemen à une opéraion de prê/emprun : une enreprise qui éme des obligaions emprune des fonds aux acheeur de ires. La seule différence avec les opéraions bancaires d emprun e de prê réside dans le caracère négociable de ces ires. L acheeur iniial du ire a la liberé de revendre son ire à un aure inervenan, ce dernier devenan le créancier de l émeeur du ire. Liéralemen, couvreur! On parle de marché primaire pour désigner la mise en vene iniiale des ires, puis de marché secondaire par la suie.

9 Mémoire de Masère de Saisique présené e souenu par MOMEYA R.H O-3 Les produis dérivés ou acifs coningens Après avoir inrodui précédemmen les acifs de base, nous abordons ici les acifs coningens (coningen claim), c es à dire les acifs don les flux de richesse qu ils génèren son des foncions- pas nécessairemen coninues- des prix des acifs de base. L essor prodigieux des marchés de produis dérivés (acifs coningens) es principalemen dû à un impéraif de gesion des risques (risk managemen). Ceci se jusifie économiquemen par l accroissemen du bien-êre d un individu en environnemen incerain, lorsqu il lui es donné la possibilié de s assurer. Le produi dérivé le plus courammen uilisé dans l ingénierie financière es l opion. Il en exise une muliude suivan le sous-jacen sur lequel il es développé e surou la foncion de gain ou payoff qu il rappore. O-3- Définiion d une opion Une opion es un ire donnan à son déeneur le droi e non l obligaion d acheer ou de vendre (selon qu il s agi d une opion d acha/call ou de vene/pu) une ceraine quanié d acif financier, appelé acif sous-jacen- cela pouvan êre un acif financier (acions, obligaions, bons du résor, conras à erme, devises, ) ou un acif physique (maières premières agricoles ou minérales )- à une dae convenue, appelée dae d exercice/mauriy ou encore échéance, e à un prix fixé à l avance, appelé prix d exercice/srike price. Le déeneur de l opion peu exercer son opion (c es à dire acheer l acif sous-jacen s il déien une opion d acha ou le vendre s il déien une opion de vene) soi à la dae d exercice, soi pendan une période, appelée période d exercice. Suivan les deux alernaives évoquées, on parlera pour la première d une opion d acha ou de vene européenne e dans le second, d opion d acha ou de vene américaine. Il fau noer que cee disincion n es basée sur aucun crière géographique, en effe la grande majorié des opions coées en bourse son des opions américaines où que l on se rouve des deux côés de l Alanique, alors que les opions de gré à gré son majoriairemen européennes. L opion es une sore de d assurance conre le risque de marché du sous-jacen. Le vendeur de l opion éan l assureur e l acheeur l assuré. O-3- La prime d une opion C es la valeur à laquelle es acheée ou vendue une opion. Lorsque l opion es coée sur un marché organisé, la prime es donnée par le marché selon la loi de l offre e de la demande. En l absence de coaion, le problème du calcul de la prime se pose. E, même pour une opion coée, il peu êre inéressan de disposer d une formule ou d un modèle permean de déecer d évenuelles anomalies de marché. O-3-3 Valeur inrinsèque (inrinsic value) d une opion Il correspond au gain/pay-off qu on recevrai si l opion éai ou pouvai (car le déeneur de l opion n en a pas nécessairemen le droi) êre exercée aujourd hui. Concrèemen, pour une opion d acha c es la différence enre le cours de l acif sous-jacen e son prix d exercice ; andis que pour une opion de vene, c es l opposé. 3

10 Mémoire de Masère de Saisique présené e souenu par MOMEYA R.H O-3-4 Valeur-emps (ime value) d une opion C es la différence enre le prix de marché de l opion aujourd hui e sa valeur inrinsèque. Cela correspond seulemen au supplémen de valeur dû au fai que l opion sera exercée dans le fuur. En d aures ermes, c es l anicipaion d une hausse de la valeur inrinsèque de l opion. O-3-5 Opion (dans /en dehors/ à) la monnaie On di que le Call (respecivemen le Pu) es dans la monnaie/in he money quand le cours de l acif sous-jacen es supérieur (respecivemen inférieur) au prix d exercice. Dans le conraire, on di que le Call (respecivemen le Pu) es en dehors de la monnaie/ou of money. Enfin, si le cours de l acif sous-jacen es égal au prix d exercice, l opion es die à la monnaie/a he money. Pour erminer cee secion, nous rappelons un fai fondamenal en finance de marché. O-4 NOE : l hypohèse d Absence d Opporunié d Arbirage (AOA) Il y a possibilié d arbirage lorsqu un invesisseur peu réaliser des gains sur le marché sans prendre aucun risque. Un porefeuille qui offre une possibilié d arbirage es un porefeuille de valeur nulle à un insan iniial (arbirairemen choisi) e qui aura une valeur posiive à un insan ulérieur avec une probabilié égale à l unié. Enoncé de la loi fondamenale de la finance de marché : Dans un marché rès liquide, où il n y a pas de coûs de ransacion, pas d asyméries de l informaion, ni limiaions sur la gesion (acha-vene) des acifs suppors, il n y a pas d opporunié d arbirage, c es-à-dire qu il n es pas possible de gagner de l argen à coup sûr à parir d un invesissemen nul. En effe, dans les marchés financiers il exise des arbiragises qui son des inervenans don l acivié es de déecer les produis financiers don le prix es décalé par rappor à ce qu il devrai êre compe enu des aures prix du marché e d en irer pari pour faire des profis sans prendre de risque. Ils conraignen ainsi les prix à vérifier ceraines relaions conduisan à la règle die de l unicié des prix des produis dérivés au sens où : Deux sraégies qui donnen le même flux à l horizon de gesion dans ous les éas du monde on la même valeur à oue dae inermédiaire. 4

11 Mémoire de Masère de Saisique présené e souenu par MOMEYA R.H CHAPIRE I :QUELQUES MODÈLES MAHÉMAIQUES SIMPLES D ÉVALUAION DES OPIONS Ean donné les prix ou cours des acifs de base (les acions par exemple), quelles valeurs doiven prendre les prix des produis dérivés consruis à parir de ces sous-jacens, dans le cas des opions en pariculier? C es à cee principale problémaique qu es dédiée cee secion. Nous y présenons des exemples de modélisaions mahémaiques qui donnen une soluion au problème de la valorisaion des opions. Comme nous le verrons, la pierre d angle de ous ces modèles es l hypohèse d absence d opporunié d arbirage (AOA) que nous avons évoquée dans le chapire précéden. Nous commençons par un modèle d évaluaion simple : le modèle binomial ou de Cox-Ross-Rubinsein. I- Le modèle binomial (ou de Cox-Ross-Rubinsein, 979) I-- Le cadre probabilise Nous considérons un marché financier qui se ien uniquemen à deux daes : la dae e la dae ; en plus on suppose que le cadre probabilise n es consiué que deux éas Ω= ω, ω. possibles du monde à la dae : { } On suppose présen sur le marché uniquemen deux acifs financiers : une acion e un placemen sans risque (comme un bon du résor ou plus généralemen une obligaion). On S S,, B= B, =, les processus d évoluion des noera respecivemen par = { = } e { } cours de l acion (sock) e de l obligaion (bond). Par définiion, le processus de B es déerminise : (cour erme) sans risque ; B B = = + R, où R ( ],[ ) correspond au aux d inérê Le processus de S es sochasique : S = s, avec s + e PS ( = s u) = pu e PS ( = s d) = pd avec pu + pd =. S s u =, u e d son des réels els que < d < u s d La dynamique des deux processus se représene facilemen ainsi qu il sui : Dynamique de B : + R 5

12 Mémoire de Masère de Saisique présené e souenu par MOMEYA R.H Dynamique de S : Ce dernier diagramme représene un arbre binomial. On peu réécrire la définiion de S sous la forme suivane : S = s e S = s Z où Z es une variable aléaoire discrèe elle que PZ ( = u) = pu e PZ ( = d) = pd. I-- Définiions e hypohèses A/ Définiions Porefeuille : il s agi d un veceur bidimensionnel 3 h= (x, y) où x (resp. y) désigne le nombre d Obligaions (resp. Acions) déenues par un individu. Il fau noer que x e y peuven prendre des valeurs posiives ou négaives. En effe, si au emps l individu déien un cerain nombre de pars de l obligaion (posiion longue), alors x es posiif e es égal à ce nombre de pars. Si par conre, il emprune un cerain nombre de pars d obligaions auprès d une banque, x sera ce nombre affecé du signe négaif (posiion coure). Il en va de même pour y. h h Valeur d un porefeuille : On défini par V { V,,} h marché du porefeuille h : V = xb + ys. = =, le processus de la valeur de h h On obien immédiaemen que V = x+ ys; V = x( + R) + ys Noions d arbirage Un porefeuille qui offre une possibilié d arbirage es un porefeuille h avec les propriéés suivanes : V = ; V >, avec une probabilié égale à. Nous explicions dans l encadré suivan la noion d opporunié d arbirage. 3 On rappelle que l on ne dispose que de deux ires (acion e obligaion) sur le marché financier 6

13 Mémoire de Masère de Saisique présené e souenu par MOMEYA R.H Un exemple d opporunié d arbirage : On suppose le modèle binomial sur une période suivan :.5 ; pu =.4 s = ; Z = ;.; pd =.6 R =.5 Que fai un agen avisé? Au emps o, il emprune à la banque (i.e x = -) e achèe par de h l acion au prix (i.e y= -). Ainsi, V = x+ ys = - + () ()=. Au emps, la valeur de son porefeuille es : V h x(.5) + ys(.5) = 5 + 5() = 45, pu =.4 = x(.5) + ys(.) = 5 + () = 5, pd =.6 Dans les deux éas du monde, le déeneur du porefeuille s en ire avec un gain posiif. Ainsi, sans avoir invesi un sous de sa poche e sans avoir pris aucun risque, l agen liquide le ire, rembourse son emprun e il lui rese au moins 5 uniés monéaires. B/ Hypohèses fondamenales du modèle On suppose les condiions suivanes concernan le marché financier : ou élémen h es un porefeuille permis. Cela signifie que les posiions coures son permises e qu il es possible de déenir des fracions de ires financiers (des fracions d une acion par exemple) ; Le prix d acha e le prix de vene son ideniques pour chaque ire ; Aucun frais de ransacion n es requis ; Le marché es complèemen liquide. On peu acheer ou vendre en quaniés illimiées sur le marché. On peu aussi empruner auan qu il es possible. Conservan les noaions admises plus hau, nous présenons dans la proposiion suivane, les condiions nécessaires e suffisanes pour que le modèle binomial n offre pas de possibiliés d arbirage. I--3 Proposiion Le modèle binomial sur une période n offre pas de possibilié d arbirage si e seulemen si les condiions suivanes son remplies : Preuve : d + R u (I.) On démonre que l absence d arbirage implique (I.). Par conraposiion, 7

14 Mémoire de Masère de Saisique présené e souenu par MOMEYA R.H Supposons que (+R) > u. Ceci implique aussi que (+R) > d ; il s ensui qu il es profiable d invesir dans l obligaion pluô que dans l acion. Au emps, on consiue le porefeuille h= (s, -) en vendan l acion au prix s (y= -) e on invesi s dans l obligaion (x= s). Cela implique que h V =. h Au emps, on a V s R sz s[ R Z] h = ( + ) = ( + ) > par hypohèse. Comme V >, le marché offrai une possibilié d arbirage d où conradicion. Si on supposai pluô que (+R) < d, alors il es clair que (+R) < u. Il s ensui qu il es profiable d invesir dans l acion pluô que dans l obligaion. Au emps, on consiue un porefeuille h = (-s, ) en emprunan s (x= -s) e on h invesi dans l acion (y=). Ceci impliquev =. h Au emps, on a V s R sz s[ Z R ] h = ( + ) + = ( + ) > par hypohèse. Comme V >, le marché offrai une possibilié d arbirage d où conradicion. On démonre que (I.) implique l absence d arbirage. Supposons (I.) vraie, considérons alors un porefeuille quelconque el que. h V = x+ ys=, ceci enraîne que x = ys. Au emps, comme h V = x( + R) + yz = ys( + R) + yz, on a : [ ] [ ] h V = ys u ( + R), siz= u ou ys d ( + R), siz= d Si le nombre d acions y >, alors il y arbirage si e seulemen si u > +R e d >+R, ce qui conredi (.) Si par conre le nombre d acions y <, alors il y a arbirage si e seulemen si +R>u e +R > d, ce qui conredi encore (I.). I--4 Conséquences de la proposiion La condiion (I.) implique (+R) apparien au segmen relian d à u. En d aures ermes, il exise deux réels posiifs q e q u els que q + q = e + R= q d + q u. d d u d u Les coefficiens qd e q u peuven êre inerpréés comme des probabiliés sous une nouvelle mesure de probabilié Q don la propriéé es : QZ ( = u) = q e QZ ( = d) = q. u d Définissons on consae que : Q E comme l espérance sous la mesure de probabilié Q. Sous cee mesure, E S E R + + R Q = Q [ S ] 8

15 Mémoire de Masère de Saisique présené e souenu par MOMEYA R.H = ( qsd d + qsu u ) + R = ( ) + R + R s = = S s On en dédui la relaion : E S + R Q = S Cee dernière égalié rappelle la caracérisique d une maringale. Reprenan les noaions du paragraphe I--, nous pouvons écrire : Définiion : une mesure de probabilié Q sur { ω, ω } maringale ou mesure de probabilié risque- neure on a : E S + R Q = { } On rappelle que S S( ω i, ) ;( i, ) {,} {,} { ω, ω } + Ω= e à valeurs dans. S Ω= es appelée une mesure = es un processus sochasique sur On dédui de cee définiion, une aure formulaion de la proposiion 4 : Le modèle binomial sur une période n offre pas de possibiliés d arbirage Si e Seulemen S il exise une mesure maringale (ou neure au risque) Q. De façon concrèe, cee mesure de probabilié es définie ( + R) d u ( + R ) par qu = e qd =. u d u d I--5 La formule d évaluaion d un Call européen Supposons que le prix d exercice «Srike» K es el que sd <K<su. Alors, selon le modèle binomial, Si S > K, le déeneur exercera son opion d acha (i.e acheer le ire au prix K), revendra sur le marché l acion au prix S K > ; S e encaissera un profi de S < K, le déeneur n exercera pas son opion ; elle es d une valeur nulle. 4 Cee formulaion es une version simplifiée du Fondamenal heorem of Asse Pricing (héorème fondamenal d évaluaion des acifs financiers) obenu par M. Harrison e S. Pliska (98) dans le cadre général où l espace Ω des éas de la naure es fini. 9

16 Mémoire de Masère de Saisique présené e souenu par MOMEYA R.H Ainsi, si X désigne la valeur inrinsèque de l opion, il es éviden de voir que X es une variable aléaoire car foncion mesurable de l aléa Z. De façon précise X = max( S K,) ou encore X = φ( Z) = su K si Z = u ou X = φ( Z) = si Z = d. Le problème es de rouver le prix juse («fair») de l opion. Noons Π( ; X) le prix de l opion au emps. Pour évier des possibiliés d arbirage, nous devons avoir Π (; X ) = X. Quesion : Que vau Π (; X )? (i.e le prix de l opion aujourd hui). Pour répondre à cee quesion, nous avons besoin d inroduire de nouveaux conceps. I--6 Définiions ) Une opion (ou généralemen ou produi dérivé) de valeur inrinsèque X es h die aeignable ou simulable s il exise un porefeuille h el que V = X, avec une probabilié. ) Un el porefeuille es appelé porefeuille de couverure ou porefeuille permean de reproduire l opion. 3) Si dans un marché financier, oues les opions peuven êre reproduies, alors on di que le marché es comple. Remarques ) Du poin de vue de l émeeur, un porefeuille de couverure es un porefeuille qu il peu consiuer dans le bu de se proéger ou de se couvrir conre le risque financier auquel il s expose en émean un produi dérivé. ) D un poin de vue financier, il n exise pas de différence ener déenir le produi dérivé ou déenir le porefeuille de couverure. 3) «Principe» de prime : Si une opion (ou généralemen un produi dérivé) de valeur inrinsèque X es aeignable avec un porefeuille h, alors le seul prix raisonnable auquel on h peu l évaluer es donné par Π (; X) = V ; =,. I--7 Proposiion Supposons qu un produi dérivé (opion) de valeur inrinsèque X peu êre h reprodui avec un porefeuille h. Alors ou prix au emps différen de V condui à une possibilié d arbirage. Preuve : Supposons qu un individu es prê à acheer une opion de valeur inrinsèque X 5 pour un prix Π (; X) = V h + où >. Alors au emps, le vendeur de l opion compose un porefeuille h don la valeur V h lui permera de reproduire l opion au emps e aussi achèe 5 Il es éviden que ne peu êre négaif car si el éai le cas, le vendeur éan raionnel ne céderai cerainemen pas l opion.

17 Mémoire de Masère de Saisique présené e souenu par MOMEYA R.H obligaions. Au emps, le vendeur possèdera Π (; X ) = V h + ( + R) = X + ( + R) e fera ainsi un profi d une valeur ( + R) sans avoir pris de risque. La proposiion suivane nous perme de conclure sur le problème iniial. I--8 Proposiion 3 En l absence d opporunié d arbirage, le modèle (marché financier) binomial à une période es comple. Preuve : On considère une opion de valeur inrinsèque X. on veu monrer qu il exise un porefeuille h=(x, y) el que h φ ( u), si Z = u V = φ ( d), si Z = d On cherche la soluion (x, y) du sysème linéaire à équaions e inconnues suivan : ( + Rx ) + suy= φ( u) ( + Rx ) + sdy = φ( d) où d < u La soluion unique es : uφ ( d) dφ( u) x = + R u d φ( d) φ( u) y = s u d Ce qui achève la preuve. Revenons au problème iniial de l évaluaion d un Call européen dans le modèle binomial, nous obenons que : Π (; X ) = x+ ys uφ( d) dφ( u) φ( u) φ( d) = + s + R u d s u d ( + R) d u ( + R) = φ( u) + φ( d) + R u d u d e si l on se souvien que ( + R) d u ( + R) qu = e qd =, on peu écrire u d u d

18 Mémoire de Masère de Saisique présené e souenu par MOMEYA R.H Q Π (; X) = E X = E ( Z) + R + R Q [ ] [ φ ] (I.) qui donne le prix «sans arbirage» (e unique) de oue opion (ou produi dérivé) de valeur inrinsèque X= φ ( Z). Cas général : modèle à périodes ( \, { } ) Le modèle binomial à une période se généralise de façon évidene à un nombre de périodes quelconque. Ici le nombre d éas de la naure à considérer es, correspondan au nombre de rajecoires possibles enre la dae e la dae. Si nous noons C le prix du produi dérivé (call par exemple) à la dae, alors par un raisonnemen à rebours à parir de la période erminale, nous obenons encore la propriéé des maringales apparue dans la formule (I.): Q C = E [ C+ ], pour ou [, + R Q où E désigne l espérance condiionnelle (sachan S e son passé) calculée avec la probabilié risque-neure Q. La déducion de la valeur du call européen se fai en remarquan qu à la dae d exercice : C = max( S K,), donc le prix acualisé s écri : Q C = E S ( + R) [ max( K,) ] ] Comme la loi de S condiionnellemen à S ou à la ribu es une loi binomiale B(, q ) ou B(, q ), nous avons concrèemen : u k= k k d { } S = S ( + R) Z avec Z, k =,..., variables indépendanes ideniques à Z S j j j j K C = j qu( qu) max u d ; (I.3) ( + R) j= S e par suie, il vien ( ) En posan K = inf / >, la formule (I.3) se réécri : S j j k j u d S K C ( ) q q u d (I.4) j j j j = j u( u) ( + R) j= k S Nous en déduisons la formule d évaluaion de Coss-Ross-Rubinsein :

19 Mémoire de Masère de Saisique présené e souenu par MOMEYA R.H qu u K C = SB -, k, B ( -, k, q u) (I.5) + R ( + R) ( ) ( ) où B -, k, q = q ( q ). j j u j u u j= k Cee formule perme d exprimer le prix d un Call européen à un insan dans un modèle binomial en foncion du emps e du prix du sous-jacen. S Remarque L évaluaion en emps discre nous a permis de mere en relief de façon assez simple les principales noions qui inerviennen de façon fondamenale dans la héorie des opions : il en es ainsi de la noion de mesure maringale ou de probabilié risque-neure qui se dédui de l hypohèse d absence d arbirage. ouefois, la réalié des marchés penche pour un emps coninu. En effe, à cause du développemen des echnologies de l informaion e de l inernalisaion des échanges, la plupar des marchés financiers imporans foncionnen presque en coninu. Ceci jusifie l inroducion des modèles d évaluaion coninus. 3

20 Mémoire de Masère de Saisique présené e souenu par MOMEYA R.H I- Le modèle de Black e Scholes/ Meron (973) Pour définir le cadre probabilise du modèle, nous avons besoin des ouils du Calcul Sochasique. I-- Noions de Calcul sochasique A/ Définiions générales Soi ( Ω, FP, ) es un espace probabilisé comple : Ω désigne habiuellemen l ensemble des éas possibles du monde ; F es une σ algèbre de paries de Ω e P une mesure de probabilié définie sur Ω. a) On appelle processus sochasique à valeurs dans un espace E muni d une ribu E, une famille ( X ) de variables aléaoires définies sur l espace probabilisé ( Ω, FP, ) à valeurs dans (E, E). Pour ouω Ω, l applicaion X ( ω) es appelée la rajecoire associée àω. Le processus ( X ) es di à rajecoires coninues (resp. à rajecoires p.s coninues) si pour ou ω Ω(resp. pour ou ω hors d un ensemble négligeable), X ( ω) es coninue. b) Une filraion ( F ) es une famille croissane (au sens de l inclusion) de sous-ribus de F. Un processus ( X ) es adapé à la filraion ( F ) si pour ou, X es F - mesurable. On appelle filraion naurelle d un processus X la plus peie filraion par rappor à laquelle X es adapé, en d aures ermes pour ou, il s agi de la ribu engendrée par la famille{ X s, s }, ribu compléée par les P-ensembles négligeables. c) Un processus X es di prévisible s il es adapé à la famille F ={, } rajecoires son coninues à gauche. F e si ses d) On appelle (F, P)-maringale, ou processus X adapé à F,, inégrable el que : X = P (,) s, s E X F s s e) On appelle mouvemen Brownien (ou processus de Wiener) sandard, un processus B vérifian : i) B = P ps. ; ii) B es à accroissemens indépendans: i.e pour ou n-uple n (,, n) el que n, les variables B B son indépendanes ; j j iii) B es à accroissemens saionnaires : i.e pour ou e ou h>, la loi de B B ne dépend que de h ; + h 4

21 Mémoire de Masère de Saisique présené e souenu par MOMEYA R.H iv) s s B Bs N( s) + + < (,),,, ; v) B es à rajecoires coninues. f) Un processus { } [, ] X = X es un processus d Iô à valeurs réelles s il exise µ () processus adapé e σ ( ) processus prévisible vérifian : () s ds< P ps. () s ds< P. µ σ ps els que X = X + µ () s ds + σ () s ds,, ]. On écri cee dernière équaion sous la forme concise : dx = µ () + σ() db() X( o) = X [ Nous rappelons ici deux résulas fondamenaux en Calcul Sochasique. On peu consuler Brownian moion and Sochasic Calculus (Karazas, I. e Shreve, S.E, Springer verlag,99) pour leurs preuves. B/ Quelques résulas uiles Lemme d IÔ, Soi f C ([ ], ), e X un processus d Iô el que : dx = µ () + σ () db(). Soi Y f(, X ). Alors Y es un processus d Iô vérifian : = f (, ) f (, ) () f = + µ + (, ) σ() () + f (, ) () σ dy X d X d X db X d x x x héorème de GIRSANOV Soi L le processus défini par L exp = h( s) db ( ), { ( )} s h s ds où h s s [, ] es un processus adapé borné. Le processus es l unique soluion de dl L h db, L = = e il vérifie E( L ) [, ] maringale. Soi Q la probabilié définie sur (, ) processus L =.Le processus es une Ω par QA ( ) E P [ L] B = B h() s dses un mouvemen Brownien. A L =. Sous Q, le 5

22 Mémoire de Masère de Saisique présené e souenu par MOMEYA R.H I-- Hypohèses e définiions A/ Hypohèses Nous considérons l inervalle [, ] avec < comme horizon emporel de nore marché financier. oues les variables aléaoires son définies sur Ω= ω:,, ω coninue qui es l espace des éas possibles du monde. { [ ] } = e P la mesure de probabilié définie sur ( Ω, ) elle Noons σ{ ω(): o } que le processus canonique W définie par W [ ] ( ω) = ω( ), ω, soi un mouvemen brownien sandard de dimension sous P 6. Par ailleurs, appelons ( Ω,, P) le compléé de l espace probabilisé ( Ω,, P) e inroduisons la filraion, [, ] elle que pour ou { } = σ { Ws : o s }, il s agi de la plus peie σ algèbre qui rend mesurable W s ( s [, ] ),e qui conien ous les P-ensembles négligeables de où =. Comme dans le cas binomial, le marché compore deux acifs : un acif à risque (acion) S = S,, e un acif sans risque (bon du résor ou don le processus de prix es { [ ]} obligaion) de prix B { B, [, ] } =. Ces deux processus son définis par : S = S exp(( µ σ ) + σw); [, ] (I.6) B r = e [, ] (I.7) où r >, µ, σ > e S > es une consane posiive. Le paramère σ es appelé volailié du modèle. On monre en uilisan le fai que W es un brownien sandard, que µ {( e S, ), [, ] } es une L -maringale sous P. Par ailleurs, il es éviden que les processus S e B son coninus e adapés à e vérifien (à ravers le lemme d Iô) les équaions différenielles sochasiques suivanes : ds = µ S d + σs dw {, db = rb d [, ] (I.8) En plus des hypohèses sur le cadre probabilise, nous conservons inégralemen les hypohèses économiques (II--/B) du modèle binomial. Mainenan, nous donnons des définiions uiles pour la suie. 6 Une elle mesure de probabilié es encore appelée mesure de Wiener. 6

23 Mémoire de Masère de Saisique présené e souenu par MOMEYA R.H B/ Définiions Définiion / Une sraégie de gesion es un processus sochasique φ à valeurs dans { } = = e vérifian les propriéés suivanes :, φ φ ( α, β ), [, ] (i) [ ] ( B ) φ :, Ω es mesurable, où φ(, ω)= φ ( ω); (ii) φ φ [ ] es adapé, i.e, pour ou, ; (iii) α d < e β d < P presque sûremen. Ces condiions assuren la finiude P-p-s des inégrales ds α s s e β db s s e aussi le fai que comme foncions de, elles définissen des processus sochasiques adapés. Définiion / La valeur à l insan du porefeuille associé à φ es donnée par V( φ) = αs + βb Définiion 3/ Une sraégie de gesion es die auofinançane si nous avons : [ ] V ( φ) = V ( φ) + α ds + β db, ou en d aures ermes, s s s s P-p-s. (I.9) [ ] dv ( φ) = α ds + β db,, P-p-s. (I.) En pariculier, cee dernière écriure signifie que les changemens inervenus dans la valeur du porefeuille ne son dus qu aux variaions des acifs conenus dans le porefeuille, aucune source de variaion exerne (ajou de capial ou prise de bénéfice) n es permise. Soi φ une sraégie de gesion, les processus de prix acualisé de l acion e de la valeur du porefeuille associé à φ son donnés respecivemen par : S S = = e S r B V ( φ ) r = = φ [ ] V ( φ ) e V( ),, B (I.) (I.) En uilisan (I.8) e (I.), il vien pour [, ] que sous P, r ds = rsd + e ds = ( µ r) Sd + σsdw (I.3) 7

24 Mémoire de Masère de Saisique présené e souenu par MOMEYA R.H Donnons une condiion nécessaire e suffisane pour qu une sraégie de gesion soi auofinançane. I--3 Lemme Une sraégie de gesion φ es auofinançane si, e seulemen si, s s [ ] P-presque sûremen. (I.4) V ( φ) = V ( φ) + α ds, pour ou, Preuve (Condiion nécessaire) Supposons que φ es une sraégie de gesion auofinançane, alors par définiion nous écrivons : ( ) ( ) V φ = V φ + αsdss + βsdbs [, ] Aussi, par définiion V ( φ) V ( φ) = dv s ( rs ) rs mais dv rs s = d e Vs = re Vsds + e dvs rs rs = re ( α S + β B ) + e ( α ds + β db ) pour s [, ] [, ] s s s s s s s s l on a remplacé les expressions de dvs e V s ; en prenan en compe les formules de (I.8), l on dédui : rs dvs = e α s(( µ r) Ssds + σssdws ) s s [, ] [, ] = α ds pour s d après (I.3) Finalemen on obien V ( φ) V ( φ) α ds e en remarquan quev aboui au résula. (Condiion suffisane) = V s s ( φ) = ( φ), on ou Inversemen, on suppose (I.4) vérifiée. Par dérivaion simple, on a dv [, ]. = α ds, pour En uilisan la définiion de S e r S, nous avons par simple dérivaion : = ( r ) r ds = d e S = re S d + e r ds d où dv = e ( rα S d rβ B d + β db + α ds ) en r uilisan (I.8). Il vien ensuie dv = e r ( rv ( φ) d + α ds + β db ) avec la définiion dev ( φ ). 8

25 Mémoire de Masère de Saisique présené e souenu par MOMEYA R.H Ainsi, dv = d( e V ) = re V d + e dv r r r = rv ( φ) d + ( rv ( φ) d + α ds + β db ) = αds + βdb, ce qui monre que φ es auofinançane. si : Définiion 4/ Une sraégie de gesion auofinançane φ es une opporunié d arbirage [ ] V ( φ) =, V ( φ), e E V ( φ) >. (I.5) Sous l hypohèse d absence d opporunié d arbirage (AOA) sur le marché 7, nous avons : I--4 Proposiion 4 Il exise une mesure de probabilié Q 8 équivalene à P elle que les prix acualisés soien des Q-maringales. Preuve : Nous voulons monrer qu une elle mesure de probabilié Q exise. De (I.6) e (I.), nous pouvons écrire S = S exp(( µ r σ ) + σw) (I.6) e en pariculier, P-presque sûremen ds ( µ r) S ds σs dw, s [, ] = + (I.7) s s s s En inégran sur[, ], ( [, ] ) nous définissons une P-maringale par rappor à {, [, ] } le deuxième erme du membre de droie dans (I.7), mesure de probabilié Q équivalene à P elle que le prix acualisé. Ainsi, nous chercherons une de l acion saisfasse une équaion différenielle sochasique semblable à (I.7) mais sans la dérive ( µ rsds ) s. Pour ce faire, on uilise la ransformaion de Girsanov qui perme de modifier la dérive d un mouvemen brownien. µ r Posons θ = e Λ = exp( θw θ ), [, ]. Par un calcul direc, on monre σ ( Λ, ),, es une maringale posiive sous P. Définissons Q sur ( Ω, ) par : que { [ ]} S 7 Un el marché es di viable. 8 Une elle mesure de probabilié es appelée mesure maringale ou probabilié risque-neure. 9

26 Mémoire de Masère de Saisique présené e souenu par MOMEYA R.H dq P =Λ sur i. e Q( A) = E [ AΛ ], A (I.8) dp Remarquons que Q es bien une mesure de probabilié sur ( Ω, ). En effe, comme ( Ω ) = Λ = Λ =Λ =. P P P {( Λ, ), [, ] } es une P-maringale, Q E [ ] E E De plus, comme Λ >, il vien que pour chaque A, Q( A) = si e seulemen si P( A) =. Ce qui monre que Q es équivalene à P. Pour erminer, monrons que les prix acualisés des acifs son des Q-maringales. a) L acif sans risque B acualisé a un prix consan égal à donc c es une Q- maringale. b) En ce qui concerne l acif risqué don le prix acualisé es, posons : W = W + θ,, [ ], par le héorème de Girsanov, nous déduisons que W,, [, ] es mouvemen brownien sandard sous Q. Ainsi, pour ou, en uilisan (.4) nous avons : S S = S exp µ r σ + σ W θ (I.9) = S + W e P ps ds = S dw exp σ σ,. σ,, [ ] où es un mouvemen brownien sandard sous Q e on vérifie immédiaemen que W, [, ] (I.9) es une Q-maringale par rappor à { }. I--5 Valorisaion de l opion i) Considérons le porefeuille auofinançanφ inrodui au paragraphe précéden de valeur V( φ) = αs + βb.d après (I.4), sa valeur acualisée V ( φ ) vérifie s s [ ] V ( φ) = V ( φ) + α ds, pour ou, e défini donc une Q-maringale. Nous pouvons donc écrire : r Q r V ( φ) = e V( φ) = E e V( φ) (propriéé des maringales). Un el porefeuille es di admissible.

27 Mémoire de Masère de Saisique présené e souenu par MOMEYA R.H ii) Aussi, supposons (a priori) l exisence d une foncion (, S) CS (, ) C, elle que sa valeur-limie lorsque end vers soi égale ([ ] + ) au pay-off de l opion. Dans le cas pariculier d un Call européen, on écri : lim CS (, ) = max( S K,). Formons un porefeuille ϕ consiué d une par de l opion (Call) e d un porefeuille auofinançan (,, C(, S )) αβ empruné sur le marché. La valeur à l insan de ϕ es : V( ϕ) = C(, S) αb βs. En pariculier, sa valeur es nulle 9 à l insan iniial. En faisan le choix de ( α, β ) el que : C C + σ S α S = e β C =, il vien par le lemme d Iô e la propriéé rb S d auofinancemen du porefeuille( αβ,, C(, S )) que : ( ) C C C dv ϕ = ds + + σ S d α db β ds S S C C C = β ds + + σ S α rb d S S où l on a uilisé db = rb d. L on dédui que dv ( ϕ ) = pour ou [, ] e par suie V ( ϕ) pour ou [, ] donc CS (, ) = α B + β S. Ce qui assure l exisence d un porefeuille répliquan exacemen l opion. De plus, on vérifie immédiaemen que ϕ es une sraégie de gesion auofinançane. En effe : db ds ds S ds S s S C C C α s s + β s s = s + + σ s = dc car CS (, ) = α B + β S = CS (, ) C(, S), d où le résula. Mainenan en prenan pour φ le porefeuille obenu ci-dessus, nous voyons que sa valeur erminale V ( φ ) es égale au pay-off de l opion C (, S ). Ainsi par la loi de l unique prix (AOA), l opion a pour valeur à la dae : CS (, ) = V( φ) = E Q e r ( ) V ( φ) (I.) 9 En effe, à l insan iniial nous déenons le porefeuille (,, C(, S )) auofinançan : C(, S) = α B + β S. αβ qui es

28 Mémoire de Masère de Saisique présené e souenu par MOMEYA R.H Dans le cas pariculier d un Call européen, nous avons C (, S ) = max( S K,) donc CS (, ) = E Q r ( e ) max( S K,) pour ou [, ] (I.) La formule (I.) donne le prix implicie du Call européen, nous pouvons aller plus loin dans les calculs. En effe, en remarquan que condiionnellemen à, ln S ℵ ln S + ( r σ )( ); σ ( ), donc la densié de l mesure de Lebesgue sur es : S n par rappor à la x S + r f( x) = exp πσ σ ( ) ln ( σ )( ) (I.) Au oal, le prix du Call européen s écri : r ( ) x C = e + max( e K;) f( x) dx e r ( ) x = + e f( x) dx K + f( x) dx ln K e en ln K uilisan la foncion de répariion Φ de la loi normale cenrée réduie, on peu écrire expliciemen : r ( ) ( ) C S, K,, r = SΦ( d ) Ke Φ( d ) (I.3) S avec d = ln σ r ( ) + σ Ke d S = ln σ = d σ σ Ke e r ( ) On obien ainsi la célèbre formule de Black e Scholes. Remarques La simplicié du modèle de Black e Scholes en a fai la référence absolue dans la modélisaion mahémaique e la gesion des risques financiers. ouefois, malgré son caracère praique il présene quelques insuffisances don : La mauvaise spécificaion de la disribuion du processus du sous-jacen : Des ess saisiques on condui à rejeer l hypohèse suivan laquelle le logarihme du rendemen du sous-jacen sui une loi normale e que ses incrémens son indépendans ; Cee formule jusifie donc a poseriori l hypohèse que nous avons faie sur la régularié de C(.,.)

29 Mémoire de Masère de Saisique présené e souenu par MOMEYA R.H Smile de la volailié : Alors que le modèle suppose une volailié consane, l inversion de la formule de Black e Scholes fourni pour chaque prix d opion une volailié. On obien ainsi une foncion non consane don la courbe représenaive possède une forme caracérisique qui lui donne le nom de «Smile». Ces remarques donnen le suje du paragraphe suivan où nous discuons des deux principales lacunes que présene le modèle classique de Black e Scholes. I-3 Les imperfecions du Modèle de Black e Scholes/Meron Nous commençons par aborder les quesions liées à la dynamique du sous-jacen. En pariculier l hypohèse selon laquelle il suivrai un mouvemen Brownien géomérique. I-3- Sur le caracère Brownien de la dynamique du sous-jacen Dans le modèle de Black e Scholes, le rendemen de l acif sous-jacen sui un mouvemen brownien géomérique, donc es à rajecoires coninues. Mais l observaion aenive de l évoluion des cours sur les marchés financiers fai remarquer, à la suie d une informaion subie, un changemen insanané de régime semblable à un sau(vers le hau ou vers le bas) qui romp la coninuié des rajecoires des cours. Ceci relève le caracère naurellemen disconinu des cours boursiers. Figure : Saus (disconinuiés) dans la rajecoire du aux de change Deuschmark/dollarUS dans un inervalle de 5 minues. Benoî Mandelbro (963) a monré, sur la base de séries chronologiques sur les cours du Coon aux USA, que : Pour des inervalles de emps inférieurs au quar d heure, il a éé prouvé l exisence d une corrélaion enre les incrémens du logarihme Les aenas de Londres par exemple! 3

30 Mémoire de Masère de Saisique présené e souenu par MOMEYA R.H Les changemens de prix de mois en mois suiven la même disribuion que les changemens de jour en jour (propriéé d auoaffinié ou de sabilié) ; La disconinuié es rès présene dans le processus selon la valeur d un paramère libre «alpha» qui vau dans la disribuion de Gauss e dans un mouvemen brownien sandard, mais es inférieur à dans les «disribuions sables». En pariculier, ce paramère valai.7 pour la série éudiée ; Il survien souven dans le processus de prix des «évènemens rares» 3, ce que ne rend pas compe un modèle brownien du fai qu il sous-esime foremen la fréquence de ceux-ci. Au oal, l observaion empirique penche pour une disribuion du sous-jacen qui serai asymérique (éalée vers la droie), plus effilée que la disribuion normale e qui aurai des queues épaisses ou «lourdes» en comparaison de la disribuion normale. Une elle disribuion devra en oure rendre compe des saus (disconinuiés) observés sur les marchés. Figure : Comparaison enre la densié de probabilié observée du processus du prix d un acif (rai coninu) e la densié log-normale prédie par le modèle de Black e Scholes (rai poinillé). I-3- Le problème du «Smile» de la volailié Le modèle de Black e Scholes perme de calculer le prix d un Call européen connaissan S le prix du sous jacen, K le prix d exercice de l opion, r le aux d inérê sans risque, σ la volailié, la maurié e le emps écoulé depuis l émission. ous les paramères son connus (K,, ) ou son observables (S, r) sauf la volailié, qui doi donc êre esimée. Mais le modèle de Black e Scholes suppose une volailié consane, or cela n es absolumen pas le cas dans la réalié. En effe, connaissan une fourchee des prix de marché du Call obenus par la loi de l offre e de la demande, on peu en inversan la formule de Black e Scholes déduire pour chaque prix une valeur unique pour la volailié qui correspond à ces différenes coaions (ainsi la vraie volailié du marché). Cee volailié es appelée implicie volailié implicie e noée σ e es soluion de l équaion: (,, ) (,,, ) C S = x K = C S = x K σ (I.4) Observé Black Scholes implicie 3 Il s agi des évènemens qu on qualifie de risques exrêmes en Saisique des processus. 4

31 Mémoire de Masère de Saisique présené e souenu par MOMEYA R.H Les graphes suivans meen en évidence le «Smile» ou dépendance convexe de la volailié par rappor au srike K e la maurié. Figure 3 : Smile de volailié observée sur le aux de change mensuel du Dollar/yen le 9 //988 Figure 4 : Nappes de volailiés implicies en foncion du srike K e de la maurié Remarques Pour pallier les différens écueils relevés précédemmen e, en pariculier pour reconsruire le «smile» de la volailié, de nombreuses exensions du modèle de Black e Scholes on éé proposés dans la liéraure spécialisée. Ces différens modèles peuven êre groupés en rois grandes classes : les modèles à volailié dépendan du emps e du prix du sous-jacen ; les modèles à volailié sochasique dans lesquels la volailié du sous-jacen es un processus sochasique gouverné par un deuxième brui (Brownien ou aure) corrélé à celui du sous-jacen ; e les modèles de diffusion à saus. 5

32 Mémoire de Masère de Saisique présené e souenu par MOMEYA R.H CHAPIRE II : EXENSIONS DU MODÈLE DE BLACK E SCHOLES : LES MODÈLES EXPONENIELLE-LÉVY Cee secion présene une des exensions du modèle de Black e Scholes les plus couranes dans la liéraure spécialisée. En relâchan l hypohèse de la normalié des incrémens de la dynamique du sous-jacen, les modèles de Lévy (ou exponenielle-lévy) offren plus d une source d inceriude permean ainsi d inégrer des fais observés comme la disconinuié (présence des saus) de la dynamique du sous-jacen. II. Définiions générales e Principales propriéés II.. Généraliés sur les processus de Lévy Soi ( Ω,,( ), ) < P un espace probabilisé filré comple saisfaisan les condiions habiuelles 4. Un processus adapé X = ( X ) avec X = es un processus de Lévy si les propriéés suivanes son vérifiées : X es à accroissemens indépendans: i.e pour ou n-uple n ([ ]) j j (,, ),, les variables son indépendanes n el que n X X X es à accroissemens saionnaires : i.e pour ou, e ou h > el que + h,, la loi de X + h X es coninue en probabilié : [ ] [ ] X ne dépend que de h [ ] ε ( s ε) i. e, pour ou, e quelque soi >, lim P X X > =. La loi d un processus de Lévy es enièremen déerminée par un riple caracérisique( σ, υγ, ) où σ, γ e υ es une mesure posiive sur vérifian : υ + ({}) = ; min( x,) υ( dx) < X En pariculier, la foncion caracérisique Φ ( λ) de X se dédui à parir de riple à ravers le résula suivan : s 4 ( ) i. e : Ω,, P es un espace probabilisé comple ous les P ensembles négligeables de son dans ( ) es une filraionconinue à droie( i. e = pour ou > ) < s s> 6

33 Mémoire de Masère de Saisique présené e souenu par MOMEYA R.H héorème (représenaion de Lévy-Khinchine) Il exise une foncion ] [ [ ] Ψ:, + el que pour ou,, pour ouλ X iλ X Ψ( λ ) Φ ( λ) = E e = e, avec iλx Ψ ( λ) = iγλ σ λ ( e + iλx { } υ( ) x < ) dx (II.) Ψ es appelé exposan de Lévy-Khinchine. Preuve : Voir «An inroducion o Lévy Processes» de J.Beroin (997) Remarques a) La mesure υ qui n es généralemen pas une mesure de probabilié es appelée mesure de Lévy. Lorsque υ ( dx) <. Le processus de Lévy es di à acivié finie 5 e υ peu donc êre ransformée sur inerpréée comme la disribuion des saus du processus. υ( dx) en une mesure de probabilié µ =. Cee dernière es υ( dx) b) Un processus de Lévy se décompose généralemen en une parie brownienne, une parie déerminise linéaire (représenée par le ermeγ -endance ou dérive) e une parie caracérisan les saus purs. c) Les mouvemens browniens, les processus de Poisson e de Poisson composés son des exemples de processus de Lévy. II-- Les modèles exponenielle-lévy Les modèles exponenielle-lévy son obenus en remplaçan dans le modèle de Black e Scholes la dynamique du sous-jacen (acif risqué) par la suivane : S = S e + r X (II.) où X es un processus de Lévy sur ( Ω,,( ) <, P) de riple caracérisique ( σ, γυ, ) e r le aux d inérê insanané. Exemples de modèle exponenielle-lévy Les différens modèles exponenielle-lévy proposés dans la liéraure financière se disinguen par le choix de la mesureυ. E on peu les regrouper en deux grands groupes 5 Ce qui signifie que le nombre de saus arrivan à l insan infiniésimal d es fini. 7