VII. Etudes de fonctions : quelques compléments.

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1 VII. Etudes de fonctions : quelques compléments.. Théorème des valeurs intermédiaires Si f : R R : f(), fonction continue dans [a, ] Soient A et B, points du graphe de f d'ascisses respectives a et On oserve que toute parallèle à l'ae des ascisses dont l'ordonnée est comprise entre f(a) et f() (d équation : = c avec c compris entre f(a) et f()) coupe l'arc AB en un point au moins. Dans l'eemple illustré ci-contre, la droite = C coupe le graphe de f en un point P tandis que la droite = C le coupe en trois points (Q, Q, Q 3 ) Ceci nous permet d'arriver à la formulation générale du théorème des valeurs intermédiaires : Soit f : R R f() Si f est continue dans [a, ] c [f(a), f()] r [a,] : f(r) = c C-à-d : tout réel compris entre f(a) et f() est l'image d'au moins un réel compris entre a et. Cas particulier. Si on se trouve dans les conditions d'application du théorème des valeurs intermédiaire avec a et de signe contraire, nous pouvons affirmer qu'il eiste au moins une racine de la fonction f dans l'intervalle [a, ] Du point de vue graphique, cela se traduit par : si f continue sur l'intervalle [a, ] et f(a) et f() de signes contraires alors le graphe de f coupe l'ae des ascisses en au moins un point. Le graphique ci-dessus illustre également cette situation.. Résolution d'une équation f() = 0 par approimations successives. Résolution d'une équation f() = 0 par dichotomie Eemple : soit la fonction polnôme f() = Une rapide étude de cette fonction nous donne les résultats suivants : dom f = R f(0) = 3 Racines : f(), f(-), f(3) et f(-3) sont tous différents de 0. Le taleau de Horner ne nous permet donc pas ici de déterminer les racines. Nous allons laisser ce point en suspens pour l'instant. f ' () = 3-0 racines : = 0 et = 0/3 f " () = 6-0 racine : = 5/3 Quelques valeurs et le graphique : f() 5/3-69/7 0/3-5.5 N.B. : les unités sont différentes selon les aes. 0 5/3 0/3 f ' f " ma min P.I Oservation : le théorème des valeurs intermédiaire (et l'éauche du graphique) nous permet d'affirmer l'eistence de 3 racines situées respectivement entre - et 0, entre 0 et et enfin une racine supérieure à //03 CNDP Erpent - Etudes de fonctions : quelques compléments VII -

2 Mais comment déterminer ces racines plus précisément? Attachons-nous à la recherche de la première racine. Nous avons : - 0 f() A ce stade, on peut dire que la racine est déterminée à l'unité près. Nous allons maintenant augmenter la précision en calculant des valeurs intermédiaires f() la racine ]- 0.8; - 0.7[ Pour otenir une approimation à 0,0 près, on recommence le même procédé. X f() Eercices. Déterminer les deu autres racines de ce polnôme à 0.0 près (solutions ]0.85; 0.86[ et 3 ]4.87; 4,88[ ). Résolution par la méthode de Newton.. Principe de la méthode On recherche une valeur approchée de la solution de l'équation f() = 0 Soit a 0, une première valeur approchée de celle-ci. A partir de cette valeur, nous allons en calculer une autre plus proche de la solution réelle. Graphiquement, nous voons qu'il s'agit de a, point d'intersection avec l'ae des de la tangente à la coure au point (a 0, f(a 0 )) (t ) Pour cela, nous recherchons l'équation de t (a 0, f(a 0 )) et de pente f ' (a 0 ) t - f(a 0 ) = f '(a 0 ) ( - a 0 ) Pour déterminer le point d'intersection de cette droite avec l'ae des, il suffit d'annuler dans cette équation. - a 0 = - f ( a 0 ) = a 0 - f ( a 0 ) = a, la nouvelle valeur approchée de la solution f' ( a ) f' ( a ) 0 0 Il suffit alors de reprendre le procédé avec cette nouvelle valeur pour otenir : a = a - f ( a ) f' ( a ).. Eemple Reprenons l'eemple traité plus haut par la dichotomie. f() = f '() = 3-0 a 0 = - a = - - f ( ) f' ( ) = = - 0,769 De même, on otient : a = - 0,75 Nous constatons que dès la seconde approimation, on a un aussi on résultat que dans la première méthode. Eercice. Calculer les autres racines du polnôme par la méthode de Newton. sol : a) a 0 = a = 0,857 a = 0, ) a 0 = 4 a = 5,65 a = 5,036 a 3 = 4,88 a 4 = 4,8737 a 5 = 4, Critère d'arrêt. Deu sortes de critères d'arrêt peuvent être emploés : ) Otenir n décimales eactes (la racine est alors déterminée à 0, près, 0,0 près...) VII - CNDP Erpent - Etudes de fonctions : quelques compléments 7//03

3 ) On peut également s'arrêter lorsque f() < k fié ( e : f() < 0,00).3 Eercices Déterminer les racines des fonctions suivantes en utilisant la dichotomie et la méthode de Newton (critère d'arrêt : à 0,0 près / tel que f() < 0,00) ) f() = sol : ]-0,33; - 0,3[ / si a 0 = 0 a 5 = - 0,336 et f(a 5 ) = -, E-0 ) f() = sol : ]0,; 0,3[ / si a 0 = 0 a 4 = 0,4366 3) f() = sol : ]-,0;-,[ /si a 0 = - 3 a 5 = -,0380 4) f() = sol : ]-0,33; -0,3[ / si a 0 = 0 a 4 = -0,3360 et f(a 4 ) = -, E-0 3. Points de reroussement Définition : Un point du graphe d'une fonction est un point de reroussement ssi la dérivée à gauche de ce point n'est pas égale à la dérivée à droite et que ces deu dérivées sont infinies. Eemple soit f() = : f()= et : f() = < : f '()= et > : f '() = f ' g () = = - et f ' d () = = + Les dérivées à gauche et à droite de ne sont pas égales et sont toutes deu infinies : le point (, 0) est un point de reroussement du graphe de f() Eemple soit f() = 4 ]-, -] [, [ f()= 4 et [-, ] f() = 4 ]-, -] [, [ f '()= et [-, ] : f '() = f ' g (-) = - et f ' d (-) = - 4 Les dérivées à gauche et à droite de - ne sont pas égales et sont toutes deu infinies : le point (-, 0) est un point de reroussement du graphe de f() De même que le point (,0) Points anguleu. Définition : Un point du graphe d'une fonction est un point anguleu ssi la dérivée à gauche de ce point n'est pas égale à la dérivée à droite et que l'une de ces dérivées au moins n'est pas infinie. 7//03 CNDP Erpent - Etudes de fonctions : quelques compléments VII - 3

4 Eemple soit f() = R f()= - et R f() = R : f '()= - et R : f '() = f ' g (0) = - et f ' d (0) = Les dérivées à gauche et à droite de 0 ne sont pas égales et l'une d'entre elles au moins n'est pas infinie : le point (0, 0) est un point anguleu du graphe de f() Comme nous l avons précisé précédemment, la fonction f() = est continue mais n est pas dérivale en = Eemple soit f() = - 4 ]-, -] [, [ f()= 4 et [-, ] f() = ]-, -] [, [ f '()= et [-, ] f '() = - f ' g (-) = - 4 et f ' d (-) = 4 Les dérivées à gauche et à droite de - ne sont pas égales et l'une d'entre elles au moins n'est pas infinie : le point (-, 0) est un point anguleu du graphe de f() -4 - De même : f ' g () = - 4 et f 'd () = 4 : le point (, 0) est également un point anguleu du graphe de f Comme dans l eemple, cette fonction est continue mais non dérivale en = - et en = 5. Théorème de Rolle Soit f : R R : f() continue sur l'intervalle [a, ] et dérivale sur ]a, [ et telle que f(a) = f() c ]a, [ : f '(c) = 0 Nous ne démontrerons pas ce théorème, mais nous pouvons aisément le vérifier graphiquement : en effet, le graphe ci-contre nous montre qu'il eiste au moins un point c ]a, [ où la tangente au graphe de f est horizontale c. à d où f' (c) = 0 Les eemples suivants prouvent la nécessité des hpothèses Eemple : si f() = Nous avons f(-) = f() et pourtant, ]-, [ f'() 0 Dans ce cas, la fonction f() n'est pas continue au point 0 : le théorème de Rolle n'est pas applicale VII - 4 CNDP Erpent - Etudes de fonctions : quelques compléments 7//03

5 Eemple : si f() = Nous avons f() = f 3 = et pourtant, ], 3 [, f' () 0 Dans ce cas, f est continue sur [, dérivale sur ], 3 [ 3 ], mais n'est pas Au point, f n'est pas dérivale. 6. Théorème de Lagrange (ou théorème des accroissements finis) Soit f : R R : f() continue sur l'intervalle [a, ] et dérivale sur ]a, [ a c ]a, [ : f () f(a) = ( a). f' (c) Le théorème de Lagrange est une généralisation du théorème de Rolle. Il eprime que pour une fonction continue sur un intervalle [a, ] et dérivale sur ]a,[ il eiste un point c de l'intervalle ]a,[ où le coefficient angulaire de la tangente au graphe ( c. à d. f ' (c)) est égal au coefficient angulaire de la sécante joignant les points (a, f(a) et (, f(). Le graphe ci-contre illustre la propriété Comme dans le cas du théorème de Rolle, les hpothèses sont indispensales et nous allons reprendre les eemples précédents pour le justifier. Reprenons le premier eemple : f() = (fonction qui n'est pas continue sur [-3, ] ). Nous constatons qu'il n'eiste pas de point c ]-, [ tel que f () f(-) = ( + ). f' (c) (pas de tangente de pente nulle entre et ) De même si f() = (fonction non dérivale sur l'intervalle ], [) Nous constatons qu'il n'eiste pas de point c ], [ tel que f() f() = ( ) f ' (c) pas de tangente de pente égale à dans l'intervalle ], [ 7. Graphes déduits. 7. Le produit de fonctions = h() = f(). g() Le graphe d'une fonction, produit de deu autres peut être otenu à partir des graphes des fonctions initiales en respectant quelques règles simples.. Si f() = 0 ou g() = 0 alors h() = 0 les racines de chaque facteur sont des racines du produit.. Si f() = alors h() = g() et de même si g() = alors h() = f() si l'une des fonctions du produit vaut, alors le produit vaut l'autre fonction. 7//03 CNDP Erpent - Etudes de fonctions : quelques compléments VII - 5

6 3. Si f() = - alors h() = - g() et de même si g() = - alors h() = -f() si l'une des fonctions du produit vaut -, alors le produit vaut l'opposé de l'autre fonction. 4. Si f() > et g() > alors h() > ma ( f(), g() ) 5. Si f() < et g() < alors h() < min ( f(), g() ) Eemple : Le graphe ci-contre représente la situation où f() = et g() = Les fonctions f() et g() sont tracées en pointillés tandis que la fonction h() est en trait plein. N.B. : il est parfois utile de tracer le graphe de l'opposé d'une des fonctions Applications : En appliquant les principes énoncés ci-dessus, tracer les graphes des fonctions suivantes : a) f() = ) f() = 3 c) f() = ( - ) ( ) 7. L'inverse d'une fonction : g()=: f (). Si f() = alors a a f () = 0. De même si f() = 0 alors a a f () = Les points et se traduisent en quelque sorte par une inversion entre «racines» et «asmptotes verticales» 3. Si f() = alors, = f () 4. f() et sont de même signe. f () 5. Si f() est croissante, alors est décroissante et inversement. f () ' ' f '() Justification : () = et () est donc du signe contraire de celui de f ' () f f () f En conséquence : les maimums et les minimums sont inversés. 6. Si la droite = ( 0) est asmptote horizontale du graphe de f() alors la droite = est asmptote horizontale du graphe de f Justification : f() = f () = (et de même en -) 7. Si la fonction f() admet une asmptote olique en alors la fonction admet l'ae o comme asmptote horizontale en f () Justification : dans ce cas : f() = et donc = 0 f () N.B. : Si f() admet une AH = 0 en alors, on ne peut rien conclure : peut admettre une asmptote olique ou ne pas avoir d'asmptote en f () Eemple : Le graphe ci-contre illustre le cas où f() = - 3. La fonction f() est en tirets et la fonction g() en trait plein. Applications : VII - 6 CNDP Erpent - Etudes de fonctions : quelques compléments 7//03

7 En appliquant les principes énoncés ci-dessus, tracer les graphes des fonctions suivantes : f () = f 4 () = sin f () = 3 f 5 () = tan f 3 () = f 4 () = (inverse de l eercice du point.4) La racine carrée d'une fonction : g() = f () Si g() = f (). Le domaine de g() est la restriction du domaine de f à l'ensemle des valeurs de pour lesquelles f() est positive.. Les fonctions f et g ont les mêmes racines. 3. Si f() vaut alors g() vaut également. 4. Si f() est croissante (ou décroissante) alors, g() est également croissante (ou décroissante) et les ascisses des etrémums de ces fonctions sont identiques. f '() justification : comme g ' () =, les signes de g' () et de f ' () et leurs f () racines sont identiques. Eemple : soit f() = 3 + La fonction f() est en pointillé et la fonction g() en trait plein. - 0 Applications : f () = f () = 8. Racine carrée d une fonction du second degré. 8. Eemple Soit la fonction : f : R R : f() = 3 En utilisant les oservations du point 3.3, nous otenons aisément le domaine et le taleau de variation de cette fonction à partir de la fonction du second degré : g() = 3 (racines : - et 3) - 3 f' - + f 0 0 Il reste donc à rechercher les éventuelles asmptotes de cette fonction. Le calcul nous permet de vérifier que la fonction admet une asmptote olique en + : = - et une asmptote olique en - : = - + Et nous otenons ainsi le graphique ci-contre (où les asmptotes et la fonction g() ont également été représentées). 8. Généralisation : Déterminons le graphe de la racine carrée d'une fonction du second degré à partir du graphe de celle-ci. Remarquons que lorsque a < 0, le domaine est réduit à l'intervalle entre les racines ou à l'unique racine ou égal à l'ensemle vide selon que est positif, nul ou négatif. Nous otenons alors le taleau suivant : 7//03 CNDP Erpent - Etudes de fonctions : quelques compléments VII - 7

8 A partir des oservations précédentes, nous pouvons aisément étalir le graphe de la racine carrée d'une fonction du second degré. Le seul prolème qui susiste est la détermination des asmptotes si nécessaire. Cette recherche n'a de sens que lorsque a 0 (sinon la fonction m = En + p = a c = a c a = a a = a c a a c n'eiste pas en ) a a c c a c a c = = = = = a c a a c a a a a a En ; par un calcul similaire, on trouve p = a La fonction a c admet pour asmptote olique la droite d = a en + a et la droite d = a en - a Remarque : on otient les mêmes résultats à partir des oservations suivantes : = a = a c = a a c = a a a a. = 8.3 Applications a a c a = a a a a c a a c Etudier les fonctions suivantes et tracer leurs graphes en tenant compte des conclusions précédentes :. f() = 3. f() = f() = 9 4 VII - 8 CNDP Erpent - Etudes de fonctions : quelques compléments 7//03