Chapitre 07 - Degré 2

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1 Chapitre 07 - Degré François Viète 0-60 Problème Quelle heure à la seconde près, entre heures et heures les aiguilles d'une montre sont : a) Superposées b) Dans le prolongement l'une de l'autre c) A quelle heure font-elles un angle droit? Copyleft - Edition 0-6 7

2 [Activité] Étude de la représentation graphique de fonctions de degré. Représenter graphiquement avec GeoGebra la fonction g définie par g (x )=x.. Montrer que la fonction g définie ci-dessus admet un axe de symétrie d'équation x=0 (axe Oy). Indication : Pour montrer que la représentation graphique d'une fonction g est symétrique par rapport à l'axe Oy, il faut prouver que, pour tout réel x, g( x) = g(x). f définies par :. Représenter graphiquement les fonctions f ( x)=( x ) f ( x)=( x ) c. f ( x)=( x ) d. f ( x)=( x + ) Comment obtenir la représentation graphique des fonctions définies par une expression de la forme f ( x)=( x k ) à partir de celle de g? [où k est une constante réelle quelconque]. Représenter graphiquement les fonctions f définies par : f ( x)=( x ) f ( x)=8( x ) c. f (x )=0.(x ) d. f ( x)= ( x ) Comment obtenir la représentation graphique des fonctions définies par une expression de la forme f ( x)=a ( x k ) à partir de celle de g? [où k et a sont des constantes réelles et a 0 ]. Représenter graphiquement les fonctions f définies par : f ( x)=( x ) + f ( x)=( x ) + c. f ( x)=( x ) d. f ( x)=( x ) Comment obtenir la représentation graphique des fonctions définies par une expression de la forme f ( x)=a ( x k ) + m à partir de celle de g? [où k, m et a sont des constantes réelles et a 0 ] [Activité] Représenter graphiquement - re partie. Quelle est la définition générale «naturelle» d'une fonction de degré?. Soit f la fonction de degré définie par développée de f. f ( x )=x + x +. Cette écriture s'appelle la forme Écrire f sous forme f ( x)=a ( x k ) + m. Cette écriture s'appelle la forme canonique de La méthode utilisée s'appelle la complétion du carré. Expliquer pourquoi ce nom. f. Dans l'écriture sous forme canonique, quelles informations obtient-on facilement au sujet de la représentation graphique de f? Même question pour l'écriture sous forme développée. c. Représenter graphiquement la fonction f.. En déduire un algorithme permettant de représenter graphiquement une fonction de degré.. L'appliquer aux fonctions 8 g et h définies par g ( x )=x 6 x +7 et h (x )= x x +. Chapitre 07 - Degré

3 [Aller plus loin] Forme canonique - cas général Démontrer le théorème suivant : Théorème : Si une fonction s'écrire sous la forme f est définie par f ( x)=ax + bx+ c (avec a 0 ), alors f peut aussi f ( x )=a ( x k ) + m avec k = b ac b et m=. a a Voir la théorie à et l'exercice [Activité] Maximiser la recette d'un théâtre Le directeur de la salle de théâtre de Lancy a remarqué qu'à 8 CHF la place, il peut compter sur 00 spectateurs, et que chaque baisse de 0,0 CHF lui amène 00 spectateurs de plus. Poser n = baisse du prix du billet et considérer la fonction f (n) = recette totale. Choisir quelques valeurs de n et calculer leurs images par f. Trouver une formule générale pour f (n). c. Déterminer les valeurs de n pour lesquelles f existe. d. Combien doit-on faire payer la place pour obtenir une recette maximale? Quelle est alors cette recette? Justifier. (On supposera la capacité de la salle suffisante). e. Interpréter graphiquement. Voir la théorie et les exercices à 6 [Activité] Hauteur zéro Depuis un pont situé à 0 m au-dessus d'une rivière, on lance une pierre verticalement vers le haut avec une vitesse initiale de 8 m/s. La hauteur h de la pierre (en mètres) au dessus de la rivière en fonction du temps t (en secondes) est donnée par Représenter graphiquement la fonction pierre à arriver dans la rivière. h(t )=,9 t +8t +0. h(t) et en déduire le temps approximatif que met la Quelle équation faut-il résoudre pour déterminer le temps exact? 6 [Activité] Équations simples?. Résoudre l'équation x = 9.. Résoudre l'équation x =. Chapitre 07 - Degré 9

4 . Résoudre l'équation 9x 8x = 0.. Résoudre l'équation 6x = x 9.. Trouver tous les nombres dont le carré du nombre additionné à lui-même vaut. 7 [Activité] Trouver la bonne méthode Pour résoudre l'équation (x + 7)(x + ) = (x + 7)(x + ) Noémie et Simon ont chacun leur méthode : Méthode de Noémie : (x + 7)(x + ) = (x + 7)(x + ) x + = x + x = 0 x=0 L'équation a une solution : S={0}. Méthode de Simon : (x + 7)(x + ) = (x + 7)(x + ) x + 8x + = x + 7x + x + x = 0 x + = 0 x= 7 L'équation a une solution : S={ 7}.. A votre avis, quelle méthode est préférable? Pourquoi?. Et vous, comment résolveriez-vous cette équation? Voir la théorie à 6 et les exercices 7 à 0 8 [Activité] Complétion du carré. Pour trouver une solution de l'équation x + 0x = 9, Al- Khwarizmi (astronome et mathématicien perse du IXe siècle) traduisait l'équation en termes d'aires : autour du carré de côté x, il construisait deux rectangles de côtés x et. En considérant les aires de la figure ci-contre, expliquer pourquoi l'équation x + 0x = 9 peut s'écrire (x + ) = 9. Quelle solution Al-Khwarizmi obtenait-il alors? c. Résoudre les équations x + x = 8 et x + 6x = 6 à la manière d'al-khwarizmi. d. Quel est l'inconvénient de cette méthode?. Résoudre l'équation 9x + 6x 8 =0 en vous inspirant de cette méthode. 0 Chapitre 07 - Degré

5 . Pourquoi parle-t-on de «complétion du carré»?. Résoudre les équations suivantes par complétion du carré : 9x + 6x + =0 c. x + x + =0 9x + 6x + 8 =0 d. x + x =0 9 [Activité] Formule de Viète Si a 0, alors les solutions de l'équation ax + bx + c = 0 sont données par x = (formule de Viète). b± b a c a. Résoudre les équations suivantes en utilisant la formule de Viète et donner un résultat exact simplifié au maximum : x x =0 c. 6x + x + = x + x + x + = 0 d. x x =. Factoriser le plus possible : x x c. 6x + x + 9 x + x + d. x x +. * Démontrer la formule de Viète en utilisant la complétion du carré dans le cas général.. * Qui était François Viète? Faire une recherche. 0 [Activité] Hauteur zéro bis A présent, résoudre algébriquement le problème : Depuis un pont situé à 0 m au-dessus d'une rivière, on lance une pierre verticalement vers le haut avec une vitesse initiale de 8 m/s. La hauteur h de la pierre (en mètres) au dessus de la rivière en fonction du temps t (en secondes) est donnée par met la pierre pour arriver dans la rivière. h (t )=,9 t +8 t +0. Déterminer le temps que [Aller plus loin] Équation paramétrique Pour quelles valeurs de m ℝ l'équation x(x+)= m admet-elle une unique solution? Voir la théorie 7 à 8 et les exercices à Chapitre 07 - Degré

6 [Activité] Construction d'une boîte On veut construire une boîte ouverte de base carrée à partir d un morceau de métal carré, en coupant à chaque coin un carré de cm de côté et en pliant les côtés. De quelle taille doit être le morceau de métal pour que la boîte ait un volume de 8 cm? Mettre en équation ce problème. Interpréter graphiquement cette équation et déterminer graphiquement la(les) solution(s). c. Résoudre algébriquement l'équation trouvée en d. Mêmes questions, mais on désire cette fois fabriquer une boîte de volume 0 cm³. e. Comparer les deux approches, graphique et algébrique. Voir la théorie 9 à 0 et les exercices à [Activité] A partir d'un graphique On donne ci-dessous les représentions graphiques de deux fonctions de degré, g et h. Déterminer l'expression algébrique de chaque fonction. Donner, à chaque fois, les trois formes développée, canonique et factorisée. Voir la théorie et les exercices 6 à 9 [Activité] Intersections Calculer les coordonnées des points d'intersection des fonctions et g (x )= 0,( x x ). f et g définies par f (x )= x Voir la théorie et les exercices 0 à Chapitre 07 - Degré

7 [Aller plus loin] Degré supérieur à. Résoudre les équations suivantes : x(x 6)(x )=0 d. 7(x )(x + x )=0 x(x )(x )(x )(x )(x )(x 6)=0 c. x(x 6)(x )=0 e. ( f. x)x (x x) = x(x x ) x( x)(7 x)(x )( x)=0. Déterminer les zéros des fonctions définies ci-dessous, puis utiliser GeoGebra pour explorer leurs représentations graphiques : f (x )=(0 x +7)( x )( x +) f (x )=(x +)( x )( x ) c. f (x )=x ( x )(7+ x ) d. f (x )= (x + x +)( x + x+)(x + x +) Voir la théorie et les exercices à Chapitre 07 - Degré

8 [A savoir] Fonctions de degré Définition On appelle fonction de degré une fonction coefficients a, b et c sont des constantes réelles et f définie par f (x )=ax +bx +c, où les a 0. Exemples : La fonction f définie par La fonction f (x )= x + x 7 est une fonction de degré. Ses coefficients sont a=, b= et c= 7. g définie par g (x )=( x )( x+) est une fonction de degré, car g (x )= x x. Ses coefficients sont a=, b= et c=. h définie par h (x )=( x+) x n'est pas une fonction de degré, car h(x )=x + x + x = x+ et donc a=0. La fonction [A savoir] Étude de la représentation graphique de fonctions de degré La fonction de degré «la plus simple» est la fonction g définie par g (x )=x dont la représentation graphique est donnée ci-dessous. g admet un axe de symétrie d'équation x=0, car g ( x)=( x )=x =g ( x). La courbe représentative de la fonction f définie par f ( x)=( x k ) correspond à la courbe représentative de g qu'on a déplacée horizontalement d'une distance k. Attention, le sens du déplacement dépend du signe de k>0 k. k<0 Chapitre 07 - Degré

9 La courbe représentative de la fonction f définie par f ( x)=a ( x k ) correspond à la courbe représentative de g qu'on a déplacée horizontalement d'une distance k, puis qu'on a resserrée ou élargie autour de l'axe vertical x = k selon la valeur de De plus, si a est négatif, la courbe est «tournée vers le bas». 0<a< a> <a<0 a< La courbe représentative de la fonction f définie par f ( x)=a ( x k ) + m correspond à la courbe représentative de g qu'on a déplacée horizontalement d'une distance k, puis qu'on a resserrée ou élargie autour de l'axe vertical x = k selon la valeur de Enfin on l'a déplacée verticalement d'une distance m. Attention, le sens du déplacement dépend du signe de m. 0<m m<0 Chapitre 07 - Degré

10 Vocabulaire La courbe représentative d'une fonction de degré s'appelle une parabole. Théorème Si une fonction f est définie par f ( x)=ax + bx+ c (avec a 0 ), alors : b ac b et m= ; a a b sa courbe représentative admet un axe de symétrie d'équation x = ; a b b a c elle admet un sommet au point S (k ; m) = S ( ; ) ; a a f peut aussi s'écrire sous la forme f ( x )=a ( x k )+ m avec k = si a> 0 elle est convexe (de forme ) et si a< 0 elle est concave (de forme ). a ( x k ) +m par complétion du Écrire une expression de degré sous la forme carré Pour compléter le carré k x + kx ou x kx, on ajoute ; c'est-à-dire on ajoute le carré de la moitié du coefficient de x. f la fonction définie par f (x )=x x+. Écrire f sous la forme f (x )=a ( x k ) + m. Puis en déduire l'axe de symétrie et les coordonnées du sommet de sa Exemple : soit courbe représentative. f (x) = x x + On complète le carré en ajoutant ()() f (x) = x x + ()() +. ( ) () f (x) = x + + On récrit l'identité remarquable sous forme factorisée. ( ) f (x) = x + On met les termes constants au même dénominateur. ( ) f (x) = x On réduit. Donc, la forme recherchée est : D'où : axe de symétrie : x= ( f (x ) = x ) et on a : k = et m =. ) ; sommet : S ( ; Vocabulaire Une fonction f de degré peut s'écrire sous différentes formes : f (x )=ax +bx+c s'appelle la forme développée. Cette écriture est toujours possible et elle permet de lire immédiatement l'ordonnée à l'origine c. f (x )=a ( x k )+ m s'appelle la forme canonique. Cette écriture est toujours possible et permet de d'obtenir facilement le sommet S (k ; m) de la parabole. 6 Chapitre 07 - Degré

11 [A savoir] Représenter graphiquement une fonction de degré en utilisant la forme canonique Méthode Illustration avec On cherche l'intersection avec l'axe Oy en calculant f (0). Si x=0, alors f (0)= =. Donc l'intersection avec Oy est le point (0 ; ). On identifie l'axe de symétrie : x = b a Axe de symétrie : On identifie le sommet : S ( b b a c ; ) a a f ( x )= x 6 x+ Sommet : x=. 7 ( ; ). Si c'est possible, on obtient un point supplémentaire de la représentation graphique par symétrie du point intersection avec l'axe 0y. Le symétrique de x =0 par rapport à l'axe de symétrie est x =. Donc le point (; ) appartient aussi à la représentation graphique. On précise, en fonction de a, la forme convexe ou concave de la parabole. a=, donc (c'est-à-dire Si nécessaire, on détermine encore quelques points supplémentaires, ainsi que leurs symétriques par rapport à Prenons l'axe x = b. a a >0, donc parabole convexe ). x = alors f ()= 6 += donc le point ( ; ) appartient à la parabole. Par symétrie, le point ( ; ) appartient également à la parabole. Toutes ces informations se placent dans le repère et permettent de tracer la parabole. Voir l'exercice Chapitre 07 - Degré 7

12 [A savoir] Résoudre un problème d'optimisation Définition Un problème d'optimisation est un problème dans lequel il s'agit de déterminer la valeur extrême (le maximum ou le minimum) d'une grandeur. Exemple : un fermier désire construire un enclos rectangulaire pour ses moutons le long d'une rivière. La clôture à construire n'aura que trois côtés, car le quatrième côté sera constitué de la rivière. Il dispose de 0 mètres de clôture. Quelles dimensions faut-il donner à l'enclos pour qu'il ait une aire maximale? Quelle est alors la valeur de cette aire? Étape n : Choisir la (ou les) inconnue(s) Soit x la largeur de l'enclos et longueur. On repère la ou les grandeurs non connues dans l'énoncé. y la On les note généralement x, y,... Étape n : Exprimer la grandeur à optimiser à l'aide d'une fonction La grandeur à maximiser est l'aire l'enclos : A de A = xy x + D'où y = 0 y = 0 x A = x (0 x) On identifie la grandeur à optimiser et on l'exprime à l'aide des inconnues. On réduit l'expression à une seule inconnue en utilisant une (ou plusieurs) relation(s) existant entre les inconnues. On obtient ainsi une fonction d'une seule variable. A(x) = x (0 x) Étape n : Déterminer les domaine des valeurs intéressantes pour le problème x doit être (strictement) positif, car c'est une longueur, et inférieur à 0 m, car la longueur totale de la clôture est de 0 m. Donc On détermine pour quelles valeurs de la variable le problème a un sens. x ] 0 ; 0 [. Étape n : Étudier la parabole A(x) = x (0 x) = x + 0x a = <0, donc parabole concave ( ), donc le sommet est le maximum. A est en : b 0 x = = = 60 m a ( ) Le maximum de On détermine la forme convexe ou concave de la parabole et on calcule les coordonnées du sommet de la parabole. Et l'aire maximale est donc de : Amax = =7 ' 00 m Étape n : Vérifier 60 ] 0 ;0 [ 8 Donc c'est bon. On vérifie que la valeur trouvée pour la variable est dans le domaine des valeurs intéressantes pour le problème. Chapitre 07 - Degré

13 Étape n 6 : Conclure La largeur de l'enclos ayant une aire maximale est de 60 m, sa longueur est de 0 60 = 0 m et la valeur de l'aire est de 7'00 m. Voir les exercices à 6 [A savoir] Équations du e degré Définition Une équation du deuxième degré (ou équation de degré ) [à une variable notée x] est une équation de la forme p(x)=q(x), où p(x) et q(x) sont des polynômes tels que le degré de p(x) q(x) est égal à. Remarque : une équation du deuxième degré est toujours équivalente à une équation de la forme ax +bx+c=0, où x est une variable réelle et a, b et c sont des constantes réelles avec a non nulle. Exemples : x = x x et π x x= sont des équations du e degré. x = x x et x = ne sont pas des équations du e degré. 6 [A savoir] Résoudre une équation du e degré par factorisation Théorème «Cas particulier de l'équation Les solutions de l'équation x = a» x =a (pour a 0 ) sont x = a et x = a. Théorème du produit nul Si p et q sont des expressions algébriques, alors : p q=0 p=0 ou q=0 Autrement dit : Un produit de facteurs est nul si et seulement si l un au moins des facteurs est nul. Cette propriété permet de trouver toutes les solutions d'une équation de degré lorsqu'une factorisation est trouvée. Attention, il faut qu'un des membres de l'équation soit nul (c'est-à-dire que le nombre 0 doit apparaître d'un côté de l'équation). Exemple : résoudre l'équation x x - x = x + x +. - x = x + x + x - x - = 0 (x )(x 7) = 0 Chapitre 07 - Degré On rend nul le membre de droite. On factorise le membre de gauche. 9

14 Par le théorème du produit nul, on a : x =0 x 7=0 ou x= x=7 On peut tester les valeurs trouvées : Pour Pour x = : (-) - (-) = 7 et (-) + (-) + = 7 x=7: (7) - (7) = 77 et (7) + (7) + = 77 Donc S = { ; 7}. Remarque : cette méthode fonctionne aussi pour une équation de degré supérieur à qu'on peut factoriser. Voir les exercices 7 à 0 7 [A savoir] Résoudre une équations du e degré suite Résoudre une équation de degré par la complétion du carré Pour compléter le carré k x + kx ou x kx, on ajoute ; c'est-à-dire on ajoute le carré de la moitié du coefficient de x. Exemple : résoudre l'équation x x + = 0 par la complétion du carré x x + = 0 ()() x x + +=0 On complète le carré en ajoutant ()() +. ( ) () x +=0 On récrit l'identité remarquable sous forme factorisée. 0 x ( ) ( ) d'où x x + =0 On réduit. = On réduit encore et on isole le carré. On prend la racine carrée des deux =± côtés (selon le théorème x=a) x= ± On isole x. x= ± On met au même dénominateur. S= { + ; } On note les solutions de l'équation. Chapitre 07 - Degré

15 Théorème «Formule de Viète» ax +bx+c=0 une équation du e degré. On appelle discriminant de l'équation le nombre Δ = b a c. Alors on a : Soit Si Δ>0 : si x0 = ; a l'expression ax +bx+c se factorise : ax +bx+c= a( x x )( x x ) l'expression ax +bx+c ne peut pas être factorisée. ax +bx+c= a ( x x 0 ) Exemple : résoudre l'équation x + x = x + x = Ici b l'équation ax +bx+c=0 n'a pas de solution ; l'expression ax +bx+c se factorise : l'équation ax +bx+c=0 a une unique solution : b± Δ ; a Δ<0 : si l'équation ax +bx+c=0 a deux solutions distinctes : x, = Δ=0 : x + 8. x + 8 x + x 8 = 0 On écrit l'équation sous la forme a =, b =, c= 8, donc ax +bx+c=0. = b a c = 8 = 0 Cette équation a donc solutions distinctes : x, = Ce qu'on note ainsi : b ± Δ ± ± = = 6 a x = = 6 = 6 Et donc l'ensemble des solutions est : x = = 6 = 8 et 6 { 6 S= 8; } 6. Remarque : on obtient également une factorisation de l'expression x 8 8 x + x 8= ( x ( ))( x )= (x + )( x )=( x + 8 )( x ) Exemple : factoriser l'expression Ici + x 8 : x x+. a =, b =, c=, donc Δ = b a c = ( ) = 0 Cette expression a donc seul facteur (double) qui s'annule pour : x0 = et on peut factoriser : x x+= (x ). Remarque : on a aussi résolu l'équation Exemple : résoudre l'équation Ici b = = a {} x x+=0 : S = x x+=0. a =, b =, c=, donc Δ = b a c = ( ) = < 0 Cette équation n'admet donc pas de solution : S = Remarque : on a aussi démontré que l'expression Chapitre 07 - Degré x x+ n'est pas factorisable.

16 8 [Aller plus loin] François Viète (0-60) François Viète étudia le droit à l'université de Poitiers. C'est ainsi qu'il fut avocat puis conseiller au parlement (cour de justice) sous Henri III et Henri IV. Mais Viète s'intéressa à l'astronomie et découvrit les mathématiques. On lui doit de nombreuses publications de géométrie (coniques, problèmes de construction, trisection de l'angle, quadrature du cercle). Selon certains historiens, il aurait perçu avant Kepler la nature elliptique des orbites planétaires dans son Harmonicon Coeleste, vers 97, mais ce traité est hélas perdu. Viète résolut complètement l'équation du second degré ax +bx+c=0. Source: Voir les exercices à 9 [A savoir] Représenter graphiquement de manière efficace une fonction de degré Caractéristiques de la parabole Pour représenter graphiquement une fonction de degré il faut déterminer, lorsque cela est possible, les informations suivantes : l'ordonnée à l'origine les zéros l'axe de symétrie le sommet la forme convexe ou concave quelques points supplémentaires Les différentes formes d'écriture d'une fonction f de degré forme développée : f (x )=a x +b x +c Cette écriture est toujours possible ; elle permet de lire immédiatement l'ordonnée à l'origine c. forme canonique : f (x )=a( x k ) + m Cette écriture est toujours possible ; elle permet de lire immédiatement les coordonnées du sommet S (k ; m) de la parabole. forme factorisée : f (x )=a( x x )( x x ) Cette écriture n'existe que si Δ 0 ; elle permet de lire immédiatement les intersections de la parabole avec l'axe Ox, à savoir, les deux points (x ; 0) et (x ; 0 ) si Δ>0 ou l'unique point ( x 0 ; 0) si Δ=0. Selon la forme sous laquelle la fonction est donnée, certaines informations peuvent donc être obtenues directement. Les autres informations sont ensuite déterminées sans forcément passer par l'écriture des deux autres formes de la fonction. Exemple : pour la fonction f définie par f (x) = (x+)(x ) donner, si cela est possible, l'ordonnée à l'origine, les zéros, l'axe de symétrie, le sommet, la forme convexe ou concave et la représenter graphiquement. f (x) est sous forme factorisée, on obtient donc directement les points d'intersection de Chapitre 07 - Degré

17 la parabole avec l'axe Ox : ( ;0) et (;0) ( Z f ={ ; } ). L'axe de symétrie de la parabole est la droite verticale passant par le milieu de (-;0) et (;0) : x= + x = est aussi l'abscisse du sommet ; on calcule l'ordonnée : y= f ( )= ( +)( )= ( )( )= ). Donc : S ( ; x = a = < 0 donc la parabole est concave ( ) f (0) = (0+)(0 ) = ( ) = 8, donc le point d'intersection avec l'axe Oy est (0;8) De plus, le symétrique de (0;8) par rapport à l'axe de la parabole est (-;8). Toutes ces informations se placent dans le repère et permettent de tracer la parabole : Exemple : pour la fonction f définie par f (x )=(x + ) donner, si cela est possible, l'ordonnée à l'origine, les zéros, l'axe de symétrie, le sommet, la forme convexe ou concave et la représenter graphiquement. f (x) est sous forme canonique, on obtient donc directement les coordonnées du sommet de la parabole : S ( ; ) et l'axe de symétrie : x =. (x + ) =0 d'où Z f ={ ; }. Recherche des zéros : il faut résoudre l'équation : (x + ) = x + =± x =± f (x )=0 Remarque : Pour résoudre cette équation, on aurait aussi pu développer puis utiliser la formule de Viète. a = > 0 donc la parabole est convexe ( ) 9 f (0)= (0+ ) = =, donc le point d'intersection avec l'axe Oy est (0;). Chapitre 07 - Degré

18 Le symétrique de (0;) par rapport à l'axe de la parabole est (-;). Toutes ces informations se placent dans le repère et permettent de tracer la parabole : Exemple : pour la fonction f définie par f (x )=x x+ donner, si cela est possible, l'ordonnée à l'origine, les zéros, l'axe de symétrie, le sommet, la forme convexe ou concave et la représenter graphiquement. f (x) est sous forme développée, donc on obtient directement l'ordonnée à l'origine :. Δ=( ) = 7<0 donc la forme factorisée n'existe pas et Axe de symétrie : x= x = Z f =. b = = a est l'abscisse du sommet ; on calcule l'ordonnée : f ( )=( ) ( )+= =. Donc S ( ; ). a = > 0 donc la parabole est convexe ( ) f ( )=( ) ( )+= et f ( )=( ) ( )+=8 Points supplémentaires : Le symétrique de (-;) par rapport à l'axe de la parabole est (;). Le symétrique de (-;8) par rapport à l'axe de la parabole est (;8). Le symétrique de (0;) par rapport à l'axe de la parabole est (;). Toutes ces informations se placent dans le repère et permettent de tracer la parabole : Chapitre 07 - Degré

19 0 [A savoir] Résoudre un problème Exemple : la hauteur h (en m) au-dessus du sol d une fusée jouet t secondes après son h (t )=,9 t +6t. Quand la fusée sera-t-elle à 60 m du sol? lancement est donnée par Approche graphique : h et g définies par g (t )=60. h (t )=,9 t +6t et On considère les fonctions On les représente graphiquement de façon précise (voir ci-contre) et on lit que leurs points d'intersection ont comme abscisses environ, et,8. Approche algébrique : Il faut résoudre l'équation : Ici,9 t +6t = 60,9 t 6 t +60=0 a =,9, b = 6, c = 60, donc Δ=( 6)²,9 60=0 Les solutions sont : D'où t = t,= 6± 0 6± 0 8± 0 = =,9,9, ,6 s et t =,79 s,9,9 La fusée est donc à 60 m au-dessus du sol aux temps,6 s et,79 s environ. Voir les exercices à [A savoir] Déterminer l'expression algébrique d'une fonction de degré à partir de sa représentation graphique Exemple : on donne ci-dessous la représentation graphique d'une fonction Déterminer son expression algébrique f(x). Chapitre 07 - Degré f de degré.

20 Sur le graphique, on lit les informations suivantes : le sommet de la parabole : S( ;) d'autres points : f () = et la parabole est concave donc f ( ) = a<0 (On ne peut pas lire précisément les zéros.) f (x )=a( x k )+ m avec k = et m= : f (x )=a( x ( )) + d'où f (x )=a ( x+)+. Comme on connaît le sommet, on utilise la forme canonique Il reste à déterminer a : on utilise un des points connus de la parabole, par ex, f () = f ()=a (+) + = a + f ()= Donc } a += a= a = (on a bien a < 0) f (x )= ( x +) +. Exemple : on donne ci-dessous la représentation graphique d'une fonction Déterminer son expression algébrique g(x) : g de degré. Sur le graphique, on lit les informations suivantes : les zéros : d'autres points : la parabole est convexe donc Z g={ ; } g (-) = et g () = a>0 (On ne peut pas lire précisément les coordonnées du sommet.) g (x )=a ( x x )( x x ) avec x = et x = : g (x )=a( x ( ))( x ) d'où g (x )=a ( x +)(x ). Comme on connaît les zéros, on utilise la forme factorisée Il reste à déterminer a : on utilise un des points connus de la parabole, par ex, g () = g ()=a(+)( )= a g()= Donc } a = a = (on a bien a > 0) g (x )= ( x +)(x ). Voir les exercices 6 à 9 6 Chapitre 07 - Degré

21 [A savoir] Intersections Exemple : déterminer algébriquement les coordonnées des points d'intersection des fonctions f et g définies par f (x )= x + et g ( x )=x + x. Il faut résoudre le système { y = x +. y = x + x On utilise la méthode par comparaison : x + = x + x x + x =0 9 C'est une équation à une inconnue de degré à résoudre : Δ =( ) ( )= 9 ± 7 ±. On remplace x dans la re équation pour trouver y : y = ( )+ =0, 7 puis on fait de même avec x : y = + =. donc x, = D'où S ={ ( ;0);( ; 7 )}. = d'où x = et x = 7 Les points d'intersection sont donc ( ;0) et ( ; ). Voir les exercices 0 à [Aller plus loin] Degré supérieur à Lorsqu'on peut factoriser l'expression algébrique d'une fonction de degré ou supérieur à, le théorème du produit nul permet de trouver ses zéros. Exemple : déterminer les zéros de la fonction f définie par Il faut résoudre l'équation : f (x )=x + x x. x + x x =0 x (x +) (x +)=0 (x +)( x )=0 (x +)(x +)( x )=0 Par le théorème du produit nul, on a : x+=0 Donc : x= ou x+=0 x= ou x =0 x= Z f ={ ; ; } Remarques : Une méthode pour trouver les zéros entiers et rationnels de fonctions de degré supérieur à (à coefficients entiers) sera vue en deuxième année. Les représentations graphiques de fonctions de degré supérieur à seront étudiées en deuxième et troisième années. Voir les exercices à Chapitre 07 - Degré 7

22 Forme canonique Pour chacune des fonctions de degré définies ci-dessous, donner, si cela est possible, la forme canonique, l'ordonnée à l'origine, l'axe de symétrie, le sommet et la représenter graphiquement : f ( x)=x + x + f ( x)= x + x + c. f ( x)= x + x+ Un fermier dispose de 60 m de clôture pour entourer un champ rectangulaire. Une grange de m de long forme partiellement clôture le long d un de ses côtés. Quelles seront les dimensions du plus grand champ que l on pourra entourer? Déterminer le domaine des valeurs intéressantes pour le problème et interpréter graphiquement. Voir la théorie à Problèmes d'optimisation 6 On dispose de 88 m de clôture grillagée pour construire 6 enclos pour un zoo selon le plan ci-contre. Quelles dimensions donner à ces enclos de manière à maximiser leur surface au sol? Voir la théorie Pour quelle valeur de x l'expression x + (x + ) + (x + ) est-elle minimale, et que vaut alors cette expression? Interpréter graphiquement. Équations re partie Une agence de voyage organise une excursion. Le prix du billet a été fixé à 60 CHF, mais la compagnie a consenti, dans le cas où plus de 00 personnes feraient le voyage, à baisser le prix de chaque billet de cts par personne additionnelle. Sachant qu'il en coûte 000 CHF à l'agence pour transporter les 00 premiers passagers et CHF par passager additionnel, trouver le nombre de passagers pour lequel le bénéfice net de la compagnie est maximal. Interpréter graphiquement. L'équation Dans un rectangle ABCD, dans lequel AB = 8 et AD =, on construit un quadrilatère MNPQ tel que AM = BN = CP = DQ = x. A x M B D x Quel nom prend le quadrilatère c. Exprimer l aire de valeurs MNPQ? MNPQ en fonction de x. d. Pour quelle valeur de x l aire est-elle minimale? Quelle est cette valeur minimale? e. Pour quelle valeur de x l aire est-elle maximale? Quelle est cette valeur maximale? 8 est 8 Résoudre les équations suivantes : x(x )+x (x ) = 0 (x+) = 0 c. (x )(x+) (x )(x ) = 0 d. x(x )+(x )( x) = 0 x (x+) = 0 9 Résoudre les équations suivantes : C Déterminer le domaine des intéressantes pour le problème. c. L'équation (x+)( x) = 0 équivalente à l'équation x+ = x. f. x (x+) = 0 N P x = (x+) n'a pas de solution. L'équation (x+)( x) = 0 admet une seule solution. e. x Q x 7 Vrai ou faux? Justifier. x x + = 0 x + = 0 c. x = d. x =0 0 Résoudre les équations suivantes : x 7x = 0 (x ) 7(x ) = 0 c. x + x + = (x )(x + ) Voir la théorie à 6 Chapitre 07 - Degré

23 9 Équations e partie Résoudre les équations suivantes par la complétion du carré : x + 8 x + 9 = 0 x + 6x + 7 = 0 c. x d. * x = 0 x x = 0 Résoudre les équations suivantes en donnant un résultat exact simplifié au maximum : x + x + 6 = 0 x+ 9 x + =0 c. x 7x = - e. 0 =x + x + 0 f. 0 * Déterminer la valeur du nombre réel p pour que l'équation de la forme x 6 x + p =0 satisfasse la condition donnée (x et x sont les solutions de l'équation) : x = x x = x x + x + = 0 Résoudre les équations suivantes, puis factoriser le membre de gauche : x + x + 9 = 0 f ( x)= x x = x f (x )= x + x Voir la théorie 7 à 8 c. x + x + 8 = 0 Représentations graphiques et problèmes d. x x + 8 = 0 e. 9x + x + 9 = 0 les d. Dans chaque cas, déterminer l'ensemble des préimages de, 0 et par la fonction réelle f définie par : x + 7x + 0 = 0 sont rectangle dont : x = x * Existe-t-il un nombre réel tel que la somme de ce nombre et de son inverse soit égale à? Si oui, donner un exemple, sinon quelle devrait être cette somme pour qu'un tel nombre existe? d. 7x + = x Quelles c. x = + x g. 9x + = 0x h. * On considère les équations de la famille x + m x + m +=0 où m est un réel. Quelles sont les équations de cette famille qui admettent deux solutions de signe opposés? dimensions d'un le périmètre vaut 78m et l'aire 60m? le périmètre vaut 68m et l'aire 90m? Un terrain rectangulaire de 6m sur 0m est entouré d'un trottoir de largeur constante. Si l'aire de ce trottoir est 0m, quelle est sa largeur? 6 Trouver les trois côtés d'un triangle rectangle sachant que le petit côté a cm de moins que le moyen et que celui-ci a cm de moins que l'hypoténuse. 7 À midi, les extrémités des aiguilles de cette horloge sont distantes de 7cm. À neuf heures, elles sont distantes de 8cm. Calculer la longueur de ces aiguilles. 8 * On considère les équations de la Pour chacune des fonctions f de degré définies ci-dessous, donner, si possible, l'ordonnée à l'origine, l'ensemble des zéros, l'axe de symétrie, le sommet et la représenter graphiquement : f ( x)= x 6 x + f ( x)= x c. f ( x)=( x)( x+ ) d. f ( x)=( x + ) e. f ( x)= ( x+ ) f. f (x )=( x)(x + ) g. f ( x)=x x + h. f ( x)= x + x + i. f ( x)=( x + ) j. f ( x)= x + x + famille x + m x +8=0 où m est un nombre réel. Quelles sont les équations de cette famille qui admettent comme solution? Quelle est alors l'autre solution? Chapitre 07 - Degré k. f ( x)= x 8 x 0 9

24 Une balle de baseball est lancée verticalement avec une vitesse initiale de 9,9 m/s. La hauteur h au-dessus du sol en mètres après un temps t en secondes est donnée par la fonction 7 On considère les représentations graphiques suivantes de quatre fonctions P, P, P, P de degré. Déterminer l'expression algébrique de chacune de ces fonctions. h (t )=,9 t +9,6 t. Quand la balle sera-t-elle à,6 m audessus du sol? Quand touchera-t-elle le sol? Résoudre d'abord graphiquement algébriquement ce problème. puis A partir d'un pont situé à 0 m au dessus d'une rivière, une pierre est jetée vers le haut avec une vitesse initiale de 0 m/s. A partir de ce moment, la hauteur h du projectile par rapport à la rivière [en m] au temps t [en s] est donnée par la formule : h(t )=0 +0t g t, où g 0 m/s. A quel moment la pierre atteint-elle sa hauteur maximale? 8 Voici une représentation graphique de deux fonctions du deuxième degré f et g : g f Quelle est cette hauteur maximale? c. Combien de temps après son lancer la pierre retombe-t-elle dans l'eau? d. Déterminer le domaine des intéressantes pour le problème. valeurs e. Interpréter graphiquement. Voir la théorie 9 à 0 Exprimer à partir d'une représentation graphique 6 On considère les représentations graphiques suivantes de quatre fonctions P, P, P, P de degré. Déterminer l'expression algébrique de chacune de ces fonctions. 60 Déterminer l'expression algébrique de chaque fonction. (Donner les formes développée, canonique et factorisée de chaque fonction.) Calculer les coordonnées exactes des points d'intersection des fonctions avec les axes Ox et Oy. 9 Voici les représentations graphiques de deux fonctions du premier degré ƒ et h et d'une fonction du deuxième degré g : Chapitre 07 - Degré

25 * Résoudre les équations suivantes. Déterminer à partir du graphique : ƒ () ƒ ( ) ƒ (0) g () h () g ( ) h ( ) x 6x x+=0 g (0) h (0) c. 8x x+x=7 Vrai ou faux? «Le point ( 9; 8) appartient à la courbe représentative de h.» c. Résoudre graphiquement : x x=0 d. x+7x=0x e. x =0 Voir la théorie f (x) = f (x) = h ( ) g (x) = g (x) = h (x) h (x) = 0 g (x) > f (x) f (x) = g() g (x) = g (x+) d. Lire sur le graphique les zéros de f, EXERCICES SUPPLEMENTAIRES Résoudre les équations suivantes: (x )(x 8) = 0 g et h. e. Déterminer les expressions algébriques de f, g et h. Voir la théorie (x )(6 x) = 0 c. ( 8x)(x 7) = 0 d. (7 x)(x 7) = 0 e. x (x ) (x ) = 0 Intersections f. 0 Déterminer dans chaque cas les coordonnées des points d'intersection de la g. (x ) (x ) = 0 droite d et de la parabole P suivantes : Résoudre les équations suivantes: d : x + y =0 et P : y = x x+ ; d : x+ y =0 et P : y= x +. On considère les trois fonctions f, définies par f (x )= x + x, x (x ) (x ) = 0 x 0x 6 = 0 d. x x = 6 x x = 0 c. 6 = g et h g (x )= ( x ) et h ( x)= (x )( x 6). e. x 8 x 7 = 7 x 6 Voici une représentation d'une fonction h : graphique Déterminer graphiquement les coordonnées des points d intersection de ces fonctions. Déterminer algébriquement les coordonnées des points d intersection de ces fonctions. Voir la théorie Degré > 9)(x + ) = (x + )(x + ) (x + )( x)(x + ) + ( x + )( x)( x) = (x + )(x ) Chapitre 07 - Degré 0 Quelle est l'image de 0 par la fonction * Résoudre les équations suivantes : (x h? Quels nombres ont pour image 0 par la fonction h? c. Donner une valeur approchée de l'image de par la fonction h et de l'image de par la fonction h. 6

26 7 On considère la fonction g définie par g(x) = (x )(x ). Quelle est l'image de par Voici une représentation graphique d'une fonction f du deuxième degré : g? Quelle est l'image de par fonctions. Puis illustrer graphiquement. g? c. Quelles sont les préimages de 0 par g? d. Quelles sont les préimages de par g? 8 On considère les fonctions du deuxième f et g définies par : f ( x)= x + x+ et g ( x)=x 8 x+. degré Déterminer pour chacune de ces fonctions : les zéros ; l axe de symétrie de la parabole ; Déterminer l'expression algébrique de c. les coordonnées du sommet ; Calculer les coordonnées exactes des points d'intersection de f avec les axes Ox et Oy. d. la concavité ou convexité de la parabole ; e. l ordonnée à l origine ; f. * Résoudre les équations suivantes: f. une représentation graphique. 9 La distance qu une voiture parcourt entre le moment où le conducteur décide de freiner et celui où la voiture s arrête est appelée la distance de freinage. Pour une certaine voiture circulant à v km/h, la distance de freinage d (en m) est donnée (x 7)(x )(x ) = 0 x = 8 c. x = x d. (x ) (x ) = 0 par d =0, v+0,006 v. Si un conducteur décide de freiner 00 m avant un signal stop, à quelle vitesse doit-il rouler pour s arrêter au bon endroit? Résoudre d'abord graphiquement algébriquement ce problème. puis 0 Lorsque le prix d un lecteur de CD en vogue est 00 CHF, un magasin en vend par semaine. Cependant, chaque fois que le prix est réduit de 0 CHF, on en vend deux de plus par semaine. Quel était le prix de vente si les revenus de la semaine sont de 7000 CHF? On considère les fonctions f et g définies par f (x )= x x + et g (x )= x + x +. Déterminer algébriquement les coordonnées des éventuels points d'intersection de ces fonctions. Puis illustrer graphiquement. On considère les fonctions f et g définies par f (x )= x x + et g (x )= x +7. e. x = x(x ) f. (x x ) ( x x ) = 0 * Résoudre les équations suivantes. x = x x (x x x) (x 7) = 0 c. x x = 0 d. x 8 = 8x 6 * Résoudre les équations suivantes. (x ) (x 0) = 0 (x ) (x ) = 0 c. (x ) ( x) = 0 d. (x ) (x 9) = 0 e. (x ) (9x ) = 0 Déterminer algébriquement les coordonnées des éventuels points d'intersection de ces 6 Chapitre 07 - Degré

27 RÉPONSES DES EXERCICES SUPPLÉMENTAIRES e. f (0) = f. S={-;8} S={-6; c. S={ } 7 ; } 8 d. S={7} e. S={ ;0; } Pour la fonction f. S={-;0;} g. S={ g: g ( x)= x² 8 x+ =( x )( x 6) donc les zéros de g sont x = et x = 6 et Z f ={ ; 6 }. ; } S={;8} c. S={-6;6} S={-;} d. S={;} e. S={0;8} 6 L'image de 0 par h est. Les nombres qui ont pour image 0 par h sont et. x= c. S =(- ; ) d. a > 0 parabole convexe e. f (0) = f. c. Une valeur approchée de l'image de par h est,. Une valeur approchée de l'image de par h est,. 7 g() = ( )( ) =. g ( ) = ( )( ) = c. g (0)= { ; } d. g ( )= {0 ; } 8 Pour la fonction pas de zéros ( f: Z f = ) x = - c. S =(- ; ) d. a > 0 parabole convexe Chapitre 07 - Degré 9 La vitesse est d'environ, km/h. 0 Le prix de vente était de 00CHF. Les points d'intersection de f et g sont (;) et ( 0 ; ). 9 Il n'y a pas de point d'intersection entre f et g. 6

28 f (x )=( x +) (forme canonique) ( ;0), ( ;0) et (0 ;-) S={-; 7 ; 7 } S={-;} c. S={ ;0; } d. S={0} e. S={-;-;} f. S={-;} S={ ;0; } S={ 7 ; c. S={ + ;0; ; 7 } ; } d. S={-;} 6 S={ ; } ; } S={ c. S= d. S={-; e. S={ 6 } 0 ; } Chapitre 07 - Degré

29 «Présentée sous forme mathématique, l'erreur acquiert un grand prestige» Gustave Le Bon, anthropologue, psychologue et sociologue français (8-9) A savoir en fin de chapitre Fonctions de degré connaître la définition des fonctions de degré et leurs caractéristiques : axe de symétrie, sommet, concave/convexe, forme canonique, forme développée ; représenter graphiquement une fonction de degré en utilisant la forme canonique ; Voir la théorie à et l'exercice Optimisation modéliser une situation à l'aide d'une fonction de degré ; déterminer le domaine des valeurs intéressantes pour le problème ; déterminer les valeurs extrêmes de la variable dépendante ; Voir la théorie et les exercices à 6 Équations de degré simples connaître le théorème du produit nul ; résoudre des équations de degré par factorisation ; Voir la théorie à 6 et les exercices 7 à 0 Équations de degré avec Viète connaître la formule de Viète ; résoudre des équations de degré en utilisant la formule de Viète ; factoriser une expression du e degré à l'aide de la formule de Viète ; résoudre un problème en le modélisant par une équation de degré ; Voir la théorie 7 à 8 et les exercices à Représentation graphique et résolution de problèmes représenter graphiquement de manière efficace une fonction de degré quelle que soit la forme (développée, canonique, factorisée) sous laquelle elle est donnée ; résoudre algébriquement un problème pouvant être modélisé par une équation ou une fonction de degré et interpréter graphiquement ; Voir la théorie 9 à 0 et les exercices à Expression algébrique à partir d'un graphique déterminer l'expression algébrique d'une fonction du deuxième degré étant donnée sa représentation graphique ; Voir la théorie et les exercices 6 à 9 Chapitre 07 - Degré 6

30 Intersections poser et résoudre un système d'équations pour déterminer les coordonnées des points d'intersection de deux fonctions ; Voir la théorie et les exercices 0 à * Degré > résoudre des équations de degré supérieur à en se ramenant aux degrés ou par factorisation ; Voir la théorie et les exercices à Quelques exercices types en vidéo 07-sexercervideo 66 Chapitre 07 - Degré

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