CONVERSION DE PUISSANCE

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1 Spé ψ 8-9 Devoir n 6 CONVERSION DE PUISSANCE UTILISATION DE L ENERGIE EOLIENNE Un aéromoteur entraîne une génératrice électrique destinée à alimenter une installation électrique. Pour les aéromoteurs de faible puissance dont la vitesse de rotation présente certaines fluctuations, on adopte le choix d une génératrice à courant continu. A - Étude de la génératrice La génératrice est constituée d un stator inducteur dont l excitation est indépendante, d un rotor (induit) alimentant une installation (figure 1). N.B.Le schéma ne représente pas les noyaux ferromagnétiques existant dans l inducteur et dans l induit. On désigne par : i e, le courant d excitation circulant dans le bobinage inducteur du stator ; U, la tension aux bornes de l induit ; I, le courant circulant dans l induit ; figure 1 Ω, vitesse angulaire de rotation du rotor ; E, la tension à vide aux bornes de l induit. Les caractéristiques de la machine en fonctionnement générateur sont regroupées sur la figure : figure Caractéristiques 1 : U(I) à Ω et i e fixés (Courbes 1) Caractéristiques : E (i e ) à Ω fixé (Courbes ) Caractéristiques 3 : i e (I) à Ω et U fixés (Courbes 3) En outre, on rappelle que la force électromotrice à vide délivrée par l induit s écrit E = ΦΩ, et si R désigne la résistance totale du bobinage induit, alors U = E RI. A.1) Quelles caractéristiques de la machine peut-on déterminer à partir de la courbe 1? A.) Quelle est l expression du couple électromagnétique exercé sur l arbre de la machine dans la convention de signes indiquée. A.3) Quelle est l unité de Φ? A.4) Tracer l allure des variations de Φ en fonction de i e. A.5) Interpréter sans calcul mais de manière précise les parties de la courbe correspondant à i e < i emax et i > i emax.. Spé ψ 8-9 page 1/5 Devoir n 6

2 Lorsque le rotor tourne à la vitesse Ω, le courant d excitation, égal à i e, est obtenu pour un rapport cyclique α =,5. La tension délivrée par la génératrice est alors ajustée à la valeur souhaitée U. Une fluctuation de vitesse modifie le fonctionnement précédent. On note alors les grandeurs précé- Dans toute la suite, on se placera dans le cas où lorsque i e < i emax et on posera Φ = βi e, β étant une constante caractéristique de la machine que l on ne cherchera pas à déterminer. Le générateur constitué par la génératrice à courant continu doit délivrer une tension U, constante, destinée à alimenter soit un ensemble d accumulateurs au plomb, soit un onduleur de tension. La tension U doit donc être stable. Afin d assurer la stabilité de la tension U lors d une fluctuation de Ω, on agit sur le courant inducteur i e par l intermédiaire d un montage de commande. Le bobinage du stator se présente sous la forme d un dipôle R S, L S. On insère entre la source figure 3 d alimentation et le bobinage, un convertisseur à deux interrupteurs représenté en figure 3. La source de tension idéale délivre une force électromotrice continue de valeur e. A.6) Quel est le nom de ce convertisseur? A.7) Si T désigne la période de fonctionnement et α le rapport cyclique ( α 1), K 1 conduit pendant la durée αt tandis que K est bloqué, et inversement pendant la durée (1 α)t. Quelle est la nature de ces deux interrupteurs? A.8-a) En considérant que le régime périodique est atteint et que i e reste strictement positive, déterminer pour t dans les intervalles [, αt] puis [αt, T] les expressions de i e (t). τ = L S /R S. b) En déduire les valeurs minimale i m, maximale i M de i e en fonction de e, R S, T, α et c) On suppose dans la suite que t << 1 quel que soit t dans l intervalle [, T]. Montrer que dans ce cas, les expressions obtenues précédemment deviennent im = α τ e T F + R H G ( 1 α) I 1 S K J et τ e T im = α F R H G ( 1 α) I 1 K J. τ S d) En déduire la valeur moyenne i MOY de i e. A.9) On définit le taux d ondulation par le rapport (i M i m )/i MOY. Montrer que lorsque T/τ est suffisamment petit devant 1, ce rapport s écrit (1 α)t/τ. A.1) Déterminer le domaine des valeurs de T assurant une ondulation inférieure à 1% pour un rapport cyclique de α =,5. Application numérique : τ = 5 ms. Justifier le choix de α =,5. Dans toute la suite, cette condition sera réalisée, et de ce fait, l intensité sera assimilée à sa valeur moyenne. B - Régulation de la tension de sortie de la génératrice figure 4 : Montage régulateur à vide (la génératrice ne débite aucun courant (I = ) Spé ψ 8-9 page /5 Devoir n 6

3 dentes Ω, i e, α et U. On réalise le montage de régulation dont l ensemble des schémas bloc est décrit en figure 4. Le dispositif représenté par le bloc A, non détaillé ici, délivre le rapport cyclique suivant la relation α = k U/U + α, k étant une constante de réglage sans dimension. Le hacheur, permettant d ajuster i e à partir de la commande α, correspond au bloc H. Le but est d asservir U à la grandeur de consigne U. B.1) Rappeler la relation entre α, e, R S et i e imposée par H ainsi que celle entre U, Ω et i e imposée par la génératrice lors d un fonctionnement à vide. B.) On suppose que k >> α. En posant Ω = Ω Ω, établir dans le cas où U/U << 1 la relation U Ω α. U k Ω B.3) Quelle valeur faut-il donner à k pour qu une variation relative de 1% en Ω engendre une erreur relative,1% de en U. C - Alimentation d une installation électrique La génératrice fournit une tension U continue. L installation électrique fonctionne avec une tension sinusoïdale de fréquence f = 5 Hz et de valeur efficace de 3 V. La conversion se fait à l aide d un onduleur dont le schéma de principe est décrit en figure 9. Le circuit récepteur, représentant l installation, est de type inductif et sera modélisé dans ce qui suit par un dipôle de charge (R C, L C ) en série. C.1) Déterminer en régime sinusoïdal à la pulsation ω, la fonction de transfert i C /u C en fonction de R C, L C et ω. Quelle est la nature du filtre obtenu? La commande des interrupteurs est périodique, de période T = π/ω. La tension u C, obtenue aux bornes du récepteur, est représentée sur la figure 6. figure 5 L angle δ est lié à la commande des interrupteurs. C.) On pose θ = ωt. En adoptant une origine des temps adéquate, calculer les coefficients a n du développement en série de Fourier de la tension u C (θ) tels que : u ( θ) = a cos( nθ). C n n zπ On donne an = uc ( θ ) cos( nθ ) dθ. π Les coefficients seront exprimés en figure 6 fonction de U, n et δ. C.3) On souhaite que le courant dans la charge soit sinusoïdal de fréquence f = 1/T = 5 Hz. Montrer en vous appuyant sur l étude faite à la question C. qu il suffit d annuler l harmonique de rang trois pour y parvenir avec une très bonne approximation. C.4) Déterminer la valeur de δ pour lequel a 3 est nul. Spé ψ 8-9 page 3/5 Devoir n 6

4 1 zπ C.5) On définit la valeur efficace de u C suivant l expression U EFF = uc ( θ) dθ. Calculer cette valeur. Quelle erreur commet-on sur la valeur efficace si on utilise pour expression de u C π celle obtenue à partir de son fondamental? Conclure. C.6) Déterminer la valeur de U afin d obtenir une valeur efficace de V. On assimile pour cette question la tension à son fondamental. C.7) Calculer la puissance active consommée par l installation lorsque celle-ci est composée de dix lampes de 1 W et d un moteur dont le facteur de puissance est égal à cos(ϕ m ) =,8 et consommant une puissance nominale de P m = 3 kw, le tout branché en parallèle. Déterminer les valeurs R C et L C de l impédance équivalente de la charge. D - Étude d un alternateur synchrone Pour les aéromoteurs de plus forte puissance, on adopte plutôt le choix d une génératrice à courant alternatif. L aéromoteur entraîne le rotor d un alternateur à la vitesse angulaire Ω = 75 tours par minute (f 1,5 Hz). Ce rotor est assimilé à une bobine alimentée par un courant continu I créant un champ magnétique tournant bipolaire (deux pôles magnétiques). Le stator est constitué de trois enroulements identiques E 1, E et E 3 décalés l un par rapport à l autre de π r. On note ei (i = 1,, 3) le vecteur unitaire de l axe porté par la bobine n i. On admet que le 3 flux de B r à travers chacune des trois bobines est sinusoïdal : Φ i (t) = Φ cos(ωt θ i ), avec θ 1 =.. Le champ r B est donc dirigé selon r e 1, porté par l axe Ox à l instant initial t =. La convention d orientation des bobines du stator est définie par les vecteurs r e i correspondant à Φ positif. D.1) Déterminer les forces électromotrices e 1 (t), e (t) et e 3 (t) dans les trois enroulements. Exprimer leur valeur efficace commune E en fonction de Φ. figure 7 Stator de l alternateur ; la phase à t = du flux traversant la bobine i est θ i = π(i 1)/3 D.) À quelle vitesse angulaire Ω le rotor devrait-il tourner pour que l on puisse coupler directement cet alternateur au réseau EDF? D.3) Les trois enroulements ont une borne commune N, appelée neutre (figure 5). Les trois autres bornes, appelées phases, sont reliées par des fils identiques de résistance R F à une charge formée de trois impédances identiques Z C montées en étoile. L impédance équivalente à l association série (R F, Z C ) est notée Z = Z C + R F = Z exo(jϕ). Le neutre est relié au centre O de l étoile par un fil de résistance R R. On suppose d abord que R R est négligeable. Exprimer en notation complexe les intensités i 1, i et i 3 dans chacune des impédances. En déduire l expression du courant i N (t) dans le fil ON. Quel est l avantage de ce montage par rapport à un montage où les impédances seraient reliées indépendamment à chaque enroulement (sans neutre)? figure 5 Symboles et conventions pour enroulement et charge triphasés Spé ψ 8-9 page 4/5 Devoir n 6

5 D.4) On ne néglige plus la résistance R R. Exprimer les relations liant chacune des intensités i 1, i et i 3 à Z et à R F. En déduire la nouvelle expression de i N (t). Commenter le résultat et exprimer les courants i 1 (t), i (t) et i 3 (t) dans chacune des phases. D.5) Exprimer la puissance électrique moyenne P EL fournie par l alternateur, en fonction de E, Z et ϕ. La turbine fournit une puissance de 3,5 1 6 W, le rendement de l alternateur est égal à ρ =,95, E = 5 V et Z = 18 Ω ; calculer le cos(ϕ). D.6) Chaque bobine i induit au niveau du rotor le champ magnétique uniforme B r i = αi i (t) e r i, où α est une constante positive. Montrer que la composante selon e r X du champ magnétique résultant B r IND s écrit B ( E t ) = 3 IND,X α t Z sin bω ϕg. On admettra que la composante selon e r Y s écrit B ( E t ) = 3 IND,Y α t Z cos Ω ϕ b g Quelles sont les caractéristiques de ce champ magnétique (axe, sens et vitesse angulaire de la rotation)? Exprimer en particulier l angle qu il fait avec le champ magnétique B r du rotor. r D.7) La bobine du rotor peut être représentée par son moment magnétique M = M e. r Préciser la direction de ce moment magnétique. Exprimer le couple Γ r ROT exercé par le champ magnétique induit sur la bobine. Exprimer la puissance P ROT reçue par le rotor. En considérant un bilan de puissance, retrouver que la puissance électrique est proportionnelle à E Z cos( ϕ ). Rappel : F a + b F a b cos( a) + cos( b) = cos cos I I F a + bi a b F I sin( a) + sin( b) = sin cos F I F I F a bi a + b F I a + b a b cos( a) cos( b) = sin sin sin( a) sin( b) = sin cos Spé ψ 8-9 page 5/5 Devoir n 6