Données : ρ = masse volumique de l eau ρ p = masse volumique de la pierre ρ < ρ p. Formules : P archi = ρ V dep g
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- Corinne Mongrain
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1 Exercice (ancien Kane) (nouveau Kane) : Un homme transporte de grosses pierres dans son bateau. Arrivé au centre du lac, il les jette par-dessus bord. Une fois l opération terminée, le niveau du lac a-t-il monté, descendu ou gardé la même valeur? ρ = masse volumique de l eau ρ p = masse volumique de la pierre ρ < ρ p P archi = ρ V dep g Il faut calculer le volume d eau déplacé par la barque et les pierres avant et après avoir lancé les pierres dans l eau : Avant La barque remplie de pierres flotte, donc on a : P archi = Poids de la barque + Poids pierres P archi = ρ V dep g = M b g + M p g V dep = M b /ρ + M p /ρ Après La barque vide flotte, donc P archi = Poids de la barque P archi = ρ V dep1 g = M b g V dep1 = M b /ρ Mais les pierres sont au fond de l eau => elles déplacent un volume d eau égal à leur propre volume V dep2 = M p /ρ p Le volume déplacé total vaut : V dep = V dep1 + V dep2 V dep = M b /ρ + M p /ρ p Maintenant nous pouvons comparer V dep et V dep Comme ρ < ρ p, on a que V dep > V dep Quand on jette les pierres à l eau, on déplace donc moins d eau que quand on les transporte dans la barque => le niveau baisse!
2 Exercice (ancien Kane) (nouveau Kane): Un morceau de chêne pèse 90 N dans l air. Un bloc de plomb pèse 130 N quand il est immergé dans l eau. Attachés l un à l autre, ils pèsent 100 N dans l eau. Quelle est la masse volumique du bois? P(chêne) = 90 N P(plomb) dans l eau = 130 N P(chêne + plomb) dans l eau = 100 N ρ eau = 1000 kg/m 3 Inconnue : ρ bois? Parchi = ρ liq.v im.g P(chêne) = 90 N = ρ bois x V bois x g (1) P(plomb) dans l eau = 130 N = (ρ plomb x V plomb x g) (ρ eau x V plomb x g) Poids (plomb) Poussée archi (plomb) P(chêne + plomb) dans l eau = 100 N = Poids(chêne) + Poids(plomb) Poussée(plomb) Poussée(chêne) = 90 N N- (ρ eau x V bois x g) => ρ eau x V bois x g = 120 N =>V bois = 120/(g. ρ eau ) = m 3 Dès lors, grâce à (1) on peut trouver ρ bois = 90N/(g.V bois ) = 750 kg/m 3-2-
3 Exercice (ancien Kane) (nouveau Kane) : Le cerveau d un être humain debout se trouve à 0.5 m au-dessus du cœur. Si une personne se penche et que son cerveau se situe à 0.4m en dessous de son cœur, quel est le changement de la pression du sang dans le cerveau? ρ(sang) = kg/m 3 h = 0.5 m h(penché) = -0.4m Bernoulli : Pcerv + ρgh cerv = Pcoeur + ρgh coeur => Pcerv = Pcoeur - ρg(h cerveau - h coeur ) On perd de la pression lorsque le sang monte! => Moins de pression au cerveau qu au cœur! => Pcerv = ρgh1 - ρgh2 = ρg h La différence de pression de sang dans le cerveau entre la position debout et penchée viendra de la différence de hauteur par rapport au cœur : h = h-h(penché) = 0.5-(-0.4) = 0.9 m => P = x 9.8 x 0.9 = 9.34 kpa -3-
4 Exercice (ancien Kane) (nouveau Kane) : Un pilote d avion à réaction redresse son avion après un piqué. Il subit une accélération de 3g dirigée vers le haut. Prédisez la pression du sang au niveau de son cerveau. 3g ρ(sang) = kg/m 3 Pcoeur = Pa a = 3g Si le corps subit une accélération a vers le haut, son poids effectif est donné par m(g+a) => on doit utiliser l équation de Bernoulli en remplaçant g par (g+a). Bernoulli : Pcerv + ρ(g+a)h cerv = Pcoeur + ρ(g+a)h coeur =>Pcerv = Pcoeur - ρ(g+a)(h cerv h coeur ) Ici, a = 3g et h = h cerv h coeur = 0.4 m => Pcerv = Pcoeur 4gρ h = x9.8 x x0.4 = Pa = -3.3 kpa => le sang n arrive plus au cerveau et le pilote perd conscience (et la vie!) -4-
5 Exercice (nouveau Kane) - Exercice (ancien Kane) : Lors d une transfusion de sang complet, l aiguille est insérée dans une veine où la pression est de 2000 Pa. A quelle hauteur, par rapport à la veine, faut-il placer le récipient de sang pour que le sang puisse tout juste entrer dans la veine? ρ(sang) = kg/m 3 P veine = P atm Pa P récipient = P atm => P veine - P récipient = 2000 Pa Bernoulli : P veine + ρgh veine = P récipient + ρgh récipient => P veine - P récipient = ρg(h récipient h veine ) La hauteur de la veine est choisie comme h veine = 0 m. P veine - P récipient = ρg(h récipient h veine ) 2000 = x 9.8 x h récipient => h récipient = 2000/( x 9.8) = m -5-
6 Exercice (ancien Kane) (nouveau Kane) : Pour vider un réservoir d eau, on utilise un siphon de section A = m 2. On ferme les deux bouts du siphon initialement rempli d eau, ensuite on place l un des deux bouts à 25 cm en dessous de la surface libre du réservoir. L autre, on la laisse pendre à l extérieur du récipient à 50cm en dessous du bout immergé. Calculer la vitesse de l eau à la sortie du siphon après l ouverture des extrémités du siphon. Le débit est-il constant? Quelle est la vitesse de l eau à la sortie quand la surface libre du réservoir se trouve à 10 cm au-dessus du bout immergé? 25 cm (1) 50 cm A = m 2 (2) Bernouilli en (1) et (2) P 1 + ρgh 1 + ½ ρv 1 2 = P 2 + ρgh 2 + ½ ρv 2 2 P 1 = P 2 = Patm v 1 = 0 => ρgh 1 = ρgh 2 + ½ ρv 2 2 => gh 1 = gh 2 + ½ v 2 2 => v 2 = [2g(h 1 -h 2 )] 1/2-6-
7 h max = h 1 -h 2 = 0.75 m => v 2 = [2g(h 1 -h 2 )] 1/2 = [2x9.8x(0.75)] 1/2 = 3.83 m/s Le débit n est pas constant étant donné que débit = Av 2. Comme v 2 dépend de la différence de hauteur (si h 1 -h 2 diminue, v 2 diminue), il va diminuer quand le niveau va baisser et le débit va donc également diminuer. Quand l extrémité immergée du tuyau est à 10 cm de la surface, h 1 -h 2 = 0.6 m => v 2 = [2g(h 1 -h 2 )] 1/2 = [2x9.8x(0.6)] 1/2 = 3.43 m/s La vitesse v 2 diminue quand le niveau baisse! -7-
8 Exercice (ancien et nouveau Kane) : Considérer l écoulement du sang à 37 C dans une artère de 2mm de rayon. Jusqu à quelle vitesse moyenne du sang l écoulement reste-t-il laminaire? Quel est le débit correspondant? R = m ρ(sang) = kg/m 3 η(sang) = Pa.s N R = 2ρvR/η Si N R < 1000 écoulement laminaire Si N R > 2000 écoulement turbulent Débit Q = A.v Le N R doit être inférieur à 1000 N R = 2ρvR/η < 1000 v < 1000η/2ρR v < 1000 x /(2x1059.5x0.002) v < m/s Le débit vaut alors : Q = A.v = 3.14 x x = m 3 /s -8-
9 Exercice (ancien Kane) (nouveau Kane) : Une petite artère a une longueur de 0.11 cm. Et un rayon de m. Calculer sa résistance. Si la perte de charge le long de l artère est de 1.3 kpa quel est le débit? R = m = m L = 0.11 cm = m ρ(sang) = kg/m 3 η(sang) = Pa.s Résistance à l écoulement : R f = 8ηL/(πR 4 ) Relation entre la Perte de charge P, le Débit Q et la Résistance R f : R f = P/Q La résistance à l écoulement vaut : R f = 8 x x / [3.14x( ) 4 ] = kpa.s/m 3 Le débit vaut donc : Q = P/R f = 1.3 / = m 3 /s Remarque : attention de bien rester cohérent pour les unités Pa ou kpa -9-
10 Exercice (ancien Kane) (nouveau Kane) : Calculer la résistance à l écoulement d un capillaire humain typique. Le rayon est de m et la longueur vaut 1mm. Estimer le nombre de capillaires dans le corps humain étant donné que le débit de l aorte est de m 3 /s et que la différence de pression entre le système artériel et veineux est de 11.6 kpa. Supposer que tous les capillaires sont en parallèle et que la perte de charge dans les capillaires correspond à 9% de la perte de charge totale. Question supplémentaire : Quelle est la puissance développée par le cœur pour alimenter tout le système sanguin? R = m η(sang) = Pa.s L = m P totale = 11.6 kpa ρ(sang) = kg/m 3 Q aorte = m 3 /s Résistance à l écoulement : R f = 8ηL/(πR 4 ) Relation entre la Perte de charge P, le Débit Q et la Résistance R f : R f = P/Q La résistance à l écoulement vaut : R f = 8 x x / [3.14x( ) 4 ] = kpa.s/m 3 La perte de charge dans les capillaires vaut 9% de la perte de charge totale : P = 0.09 x 11.6 = kpa le débit d un capillaire Q = P/R f Q = / = m 3 /s Le nombre de capillaires nécessaires pour recevoir le débit de l aorte ( m 3 /s) : N = / = capillaires Réponse à la question supplémentaire : 5 P= PQ. = = W -10-
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