Généralités. La magnétostatique étudie les effets magnétiques indépendant du temps. Interaction magnétique Interaction à distance

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2 Généralités La magnétostatique étudie les effets magnétiques indépendant du temps Interaction magnétique Interaction à distance attraction limaille de fer déviation particules électriques en mouvement

3 Sources magnétiques Aimants Conducteur parcouru par un courant naturels artificiels Expérience d Oersted (18) solides ferromagnétiques Fe, Co, Mn leurs oxydes; la magnétite : Fe 3 O 4 alliages du Fe, Co, Ni

4 L expérience d Oersted (18)

5 Topologie du champ magnétique Position de la boussole : influence le sens de rotation Le champ magnétique n a pas le même sens en dessus et en dessous du fil

6 La conclusion d Oersted 1) CHAMP MAGNÉTIQUE CRÉE PAR UN FIL ÉLECTRIQUE

7 ) CHAMP MAGNÉTIQUE CRÉE PAR UN AIMANT Elles «sortent du pôle nord» et «entrent au pôle sud» Si l on met une boussole, le champ la traverse depuis le sud vers le nord

8 3) CHAMP MAGNÉTIQUE CRÉE PAR UNE SPIRE CIRCULAIRE 4) CHAMP MAGNÉTIQUE CRÉE PAR UN SOLENOIDE

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10 Force magnétique - Force de Lorentz Une particule de charge q de vitesse v dans un champ magnétique est soumise à une force dite de Lorentz telle que F q.v direction sens norme F qv, q.v,,f forment un trièdre direct F q.v..sin(qv, )

11 Force de Laplace Un élément de longueur dl orienté dans le sens du courant qui le traverse placé dans le champ Soit dq la charge totale des électrons libres contenus dans dl dl I la force magnétique totale s exerçant sur l ensemble des électrons dans dl df déf Intensité du courant dq.v I dq dt df df I.dt.v dl I.dt. dt v dl dt Force de Laplace s exerçant sur l élément de courant dl df I.dl direction sens norme dl, dl,,df df forment un trièdre direct df I.dl..sin(dl,)

12 Loi de iot et Savart Soit un élément infiniment petit parcouru par un courant I Le vecteur dl est orienté dans le sens de I Soit P le point milieu de dl Le champ magnétique créé par l élément de courant I.dl au point M à la distance PM = r s écrit I dl P r M d u I.dl 4π r perméabilité magnétique du vide = 4p.1-7 usi direction sens norme I.dl.sin(dl, r) d dl,r dl,r,d d 4p r forment un trièdre direct

13 Remarque : a) Comme en électrostatique, le principe de superposition en magnétostatique reste valable : E i b) est un vrai vecteur par contre est un pseudovecteur (ou vecteur axial) puisque il découle d un produit vectoriel ( change de sens) i c) Pour une distribution volumique : d u jd 4π r

14 Exemple 1 Champ magnétique créé par un arc circulaire

15 Exemple ( série 4) Champ d une boucle de courant Déterminer le champ crée par une spire Circulaire parcourue par un courant I en un Point M de son axe d R x O I r d Réponse I dl u d 4 p r ( loi de biot et Savart) y - + d z z Symétrie :? d x dcos Idl sin 4p r (R et sont constant s) d x I sin IR dl 4p r ( R x ) 3/ I 3 sin R

16 Champ sur l axe d un solénoïde court Solénoïde = ensemble de spires, de même axe, même rayon, parcourues dans le même Sens par un même courant, bobinées sur un cylindre. Champ sur l axe z d une spire de rayon a Ia ( a z ) 3/ Soit un solénoïde ayant n=(l/a) spires par unité de longueur : Soit une tranche d épaisseur dz. Elle contient ndz spires et crée au point P le champ: I 3 d sin. ndzk R Avec : z acot g dz a d sin d où : In d (cos cos1 ) k

17 Cas d un solénoïde très grand : l a 1 p et ni

18 Exemple 3 Champ magnétique créé par un long fil Un élément Idz au point P crée un champ d au point M, normal au plan de la figure donné par : I dz u d ( loi de biot et Savart) 4 p r Idz sin d 4p r on a z = OP = R tg dz avec r z R d R cos P o r R M Tout les d sont colinéaires et de même sens d I 4pR 1 cosd I (sin sin1) 4pR Cas d un fil infini p p 1 Et I pr

19 Champ magnétique créé par un long fil Symétrie Tout plan contenant le fil Donc, est suivant u ( u r, u ) est plan de symétrie Fil infini à une symétrie cylindrique (,, z) ( ) Loi de iot et Savart

20 Propriétés de symétrie du champ magnétique Plan de symétrie Plan d antisymétrie Exemple : deux fils infinis parallèles à l'axe Oz parcourus par un courant i. zoy = plan de symétrie zoy = plan d antisymétrie

21 Direction et invariances du champ magnétique pour trouver la direction du champ magnétique en un point M, il suffit d'identifier un plan de symétrie de de la distribution de courants passant par M. Le champ (M) est alors perpendiculaire à ce plan P identifier deux plans d antisymétrie passant par M,le champ (M) est parallèle à la droite matérialisant l'intersection des deux plans. Les invariances de la distribution de courants permettent de connaître les variables d'espace dont dépendent les composantes du champ magnétique.

22 Théorème d Ampère La circulation du vecteur induction magnétique le long d une courbe fermée (de forme arbitraire) est égale à la somme algébrique des intensités parcourant les conducteurs embrassés par le contour. (L).dl. I a lg I ( ) I(3) I(4) I(5) I(6) 4A 1A 3A + A A 1A A A (1) () (3) (4) (5) (6) (7) Le th. Ampère permet de déterminer le champ créé par éléments de courant Le théorème d Ampère est l analogue du théorème de Gauss en électrostatique

23 On a b. Forme locale I j ds dl I j ds Par le théorème de la circulation, on a dl rotds dl rot ds j ds rot j

24 Flux du champ magnétique Conservation du flux magnétique Considérons une surface fermée S quelconque, s appuyant sur une courbe C fermée et orientée, S = S1 + S Le flux du champ magnétique à travers cette surface fermée vaut ds div (absence de charge magnétique) Cette loi est générale et reste valable même en régime variable. Or : divrota Pour tout vecteur a Le champ magnétique dérive d un potentiel vecteur : rot A

25 Le fil infini : Application théorème d Ampère : Symétrie : C Tout plan contenant le fil infini est plan de symétrie, donc est perpendiculaire à ces plans e Fil infini est invariant par translation et par rotation autour du fil, donc ne dépend que de r ( r) e. ds prh I I pr

26 Champ d un solénoïde long ( ex TD) Symétrie : Tout plan perpendiculaire à Oz est un plan de symétrie est donc perpendiculaire à ce plan est donc suivant Oz Système invariant par translation suivant Oz et par rotation autour de Oz ( r,, z) z ( r) k Théorème d Ampère au contour C ( 1 - )l = 1 = Donc : est uniforme à l extérieur du solénoïde Comme est nul à l infini, donc à l extérieur =

27 Champ à l intérieur du solénoïde. Le contour (C1) d intégration permet de montrer que est uniforme à l intérieur du solénoïde. Th. d Ampère pour le contour C3 dl l nli. ni obine toroïdale (TD) Symétrie Tout plan passant par OM et normal à la figure est un plan de Symétrie. est donc perpendiculaire à ce plan ( r,, z) e Système invariant par rotation autour du tore : ( r,, z) ( r) e O M

28 Th d Ampère sur C 1 Soit N = nombre total de spire dans le tore.. dl pr NI NI pr C1 C Th d Ampère sur C La somme des courants qui traverssent C est nulle, donc =

29 Th d Ampère sur C. dl pr = Fil conducteur rectiligne, de rayon R, infini parcouru par un courant D Symétrie : R Même règles de symétrie pour fil infini donc : ( r) e Cas ou le contour est à l extérieur du fil : r C1. dl pr I I pr Cas ou le contour est à l intérieur du fil : I J. ds int C J est la densité du courant du conducteur

30 On a : le courant qui passe dans le conducteur est I J. ds JpR D où J I pr Th d Ampère. dl Iint J. ds pr Jpr Exemple: câble coaxial Ir pr

31 Plan infini Trouvez le champ magnétique à une distance z au dessus d un plan infini portant un courant de surface J s dirigé suivant +âx Symétrie l Tout plan XoZ est plan de symétrie Donc est suivant Oy y Système invariant par translation suivant Ox et Oy Ox z Donc : = (z)e y C On a J S di dy Th d Ampère suivant le contour C :. dl J S. dy ( z) l J S l S J J e S y e y z z

32 Exercice Déterminer le champ magnétique crée au point A par les deux circuits suivants : a) Deux demi-droites infinies. b) Deux demi-droites infinies liées par un quart de cercle de rayon a A a A a a a Réponse On utilise les résultats du champ crée par un segment parcourue par un courant I I (sin sin1) 4pr

33 Cas a : p 4 p 1 Pour la première demi droite p p 1 4 Pour la deuxième demi droite Comme le champ crée par les deux demi-droites ont le même sens au point A T I ( A) 1 (1 pa ) I ( A) (1 p a T ) k

34 Cas b 3 1 ) ( A T 1 champ crée par la première demi-droite a I p 4 1 champ crée par un quart du cercle a I 8 3 champ crée la la deuxième demi-droite a I p 4 3 ) 4 (1 ) ( 3 1 p p a I A T

35 Exercice On considère un circuit polygonal formé de N côtés éguaux parcourus par un courant Constant I. On désigne par a la distance d un côté au centre O du polygone et par L angle sous lequel on voit un côté du centre O 1) Déterminer le champ crée en O par l un des côtés. En déduire le champ crée par l ensemble au point O ) Que devient l expression de si N tend vers l infini Réponse : Déterminons d abord l angle On a N p p N

36 Le champ crée par un côté au point O est : I (sin sin( )) 4pa I sin pa I p sin pa N O I Le champ crée par le polygone : Comme les champs crée par tous les côtés ont le même sens, le champ total est O N I pa sin p N

37 p ) N N lim lim I a p sin N p N I a O n n (champ crée par un cercle en son centre) Car lim x sin x x N.. Résultat prévisible car si N devient très grand, le polygone devient un cercle

38 Exercice Déterminer le champ au centre du demi cercle de rayon R crée par le circuit suivant Au point O O R Le champ crée par le demi cercle au point O est I 4 R Les deux demi droites ifinis créent un champ magnétique nul au point O Le champ total au point O est donc I 4 R

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