FLEXION SIMPLE. Zone comprimée. Zone tendue Fibre neutre. Cours de résistance des matériaux

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1 FLEXION SIMPLE 1) Introduction epérimentale : considérons une poutre reposant sur deu appuis soumise à une charge concentrée verticale. Après déformation, cette poutre accuse un flèche ( déplacement vertical des différents points, d où le nom de fleion ) et on constate que les fibres situées en partie supérieure sont sollicitées en compression tandis que celles qui sont situées en partie inférieure sont sollicitées en traction. Entre ces deu régions, il eiste une fibre qui n est ni tendue ni comprimée : c est la fibre neutre. P Zone comprimée P Zone tendue Fibre neutre Hpothèses : On considèrera dans cette étude des poutres à plan moen, c est-à-dire pour lesquelles est ae de smétrie de la section droite. En outre, toutes les forces sont appliquées dans le plan ( o). ( les couples et moments sont portés par z). 56

2 Les matériau sont supposés homogènes. La fibre neutre est donc confondue avec la ligne moenne ( c est-à-dire que la fibre neutre passe par le centre de gravité de toutes les sections droites). ) Différents tpes de fleion plane : 1-) Fleion pure : Cette fleion correspond au cas où les sollicitations dans une section quelconque se réduisent au seul moment fléchissant ( pas d effort tranchant ). Remarquons que ce cas, bien que très intéressant d un point de vue théorique car il permet de dissocier les effets du moment fléchissant de ceu de l effort tranchant, n apparaît pratiquement jamais dans la réalité. Epérimentalement, on observe un comportement de fleion pure dans un cas comme celui-ci : P P Zone où V =0 M = C te 57

3 1-) : C est le cas où les sollicitations dans une section s epriment sous la forme du torseur : V() M() Dans ce cas, on mettra en évidence par le calcul l effet de l effort tranchant associé à celui du moment fléchissant. 3) Etude de la fleion simple : 3-1)Ccontrainte normale due au moment fléchissant : Considérons une poutre sur deu appuis soumise à une charge quelconque. Nous allons eaminer le comportement d une section Σ ( o ) et reprendre l hpothèse de Navier- Bernoulli : M z M z M z Avant déformation Après déformation Pour que l hpothèse de Navier-Bernoulli soit vérifiée, il est nécessaire que l allongement relatif de la fibre sur laquelle est située le point M soit une fonction linéaire des coordonnées du point M dans la section Σ (). D après la loi de Hooke, il en est de même pour la contrainte, que nous écrirons : σ = a + b. + c.z comme nous l avons vu à la fin du chapitre 3, les sollicitations s écrivent : N( o ) = (o) σ (, z)ds (1) M( o ) =.σ (,z) ds () (o) 58

4 Développons l epression (1) en remarquant que l effort normal est nul : (o) a.ds + (o) b..ds + (o) c.z.ds = 0 les aes et z passant par le centre de gravité G de la section, on a (d après la définition du centre de gravité ) : (o).ds = (o) z.ds = 0 on en déduit donc : a = 0 développons de même l epression () : (o) a..ds + (o) b.².ds + (o) c..z.ds = M( o ) le troisième terme du premier membre est nul : (o)..z.ds étant le produit d inertie d une section smétrique par rapport à l ae. on reconnaît en outre la quantité ².dS (o) qu est le moment quadratique de la section Σ (o) par rapport à l ae z. on déduit de cette équation l epression de la constante b : b = M(o) Iz en eprimant la nullité du moment fléchissant porté par ( problème plan) on déduit très aisément : c = 0 d où l epression de la contrainte normale en un point M(,z) de la section Σ ( o ) : M(o) σ(o, ) = Iz. Eemple : Variation de la contrainte normale dans une section rectangulaire. Considérons la section suivante Σ (o) d une poutre droite : 59

5 σ s h G z G( 0 ) σ b Le moment quadratique par rapport à l ae z s écrit : faisons varier de s écrivent : h à 6.M(o) σ s = - bh² bh Iz= 1 + h. Les contraintes en fibres supérieure et inférieure 3 σ i = -σ s σ i = + 6.M(o) bh² le diagramme de répartition des contraintes normales dans la section Σ(o) est donc : 60

6 4) Déformations : Nous allons dans ce paragraphe établir des relations entre la déformation de la poutre et le moment fléchissant qui la sollicite. Considérons un tronçon de longueur d d une poutre avant et après déformation. Considérons une fibre m 1 m située à la distance de la fibre neutre. Après déformation cette fibre est représentée par m 1 m. La déformation relative s écrit : m' m ε = m1m Ω dα m 1 m m G 1 G d les déformations étant petites, on peut écrire : m m =.dα en outre : m 1 m = d la déformation s écrit donc : ε =. dα d et d après la loi de Hooke, la contrainte a pour epression : σ = E.. d α d eprimons à présent le raon de courbure de la fibre neutre : 61

7 R = Ω.G d dα en remplaçant dans l epression de la contrainte, il vient : σ = E. R puis en égalant à la valeur de la contrainte normale en fleion pure, on obtient une relation entre la courbure χ ( qui est l inverse du raon de courbure) et le moment fléchissant : M() χ = 1 = R E.Iz le terme 1 est appelé «fleibilité» de la poutre, inverse de la rigidité en fleion : EIz. E.Iz Nota : la courbure représente en outre la rotation de la section : χ = dα d détermination de la configuration déformée de la poutre : on démontre, en géométrie analtique, que le raon de courbure d une courbe d équation = f() s écrit : (1+ '²) R = '' 3/ et, les déformations étant faibles, ² est négligeable devant 1. on peut donc eprimer R sous la forme : R = 1 '' Si = f() est l équation de l allure déformée de la poutre, nous pouvons écrire : M() ' ' = E.Iz c est l équation différentielle de la «déformée». * Processus d intégration : En intégrant une première fois l équation (1), on obtient la pente ou la rotation de la déformée à l abscisse qui est égale a : d = tgθ = θ [rd] () ( car θ est petit ) d 6

8 de l équation () on peut écrire : d où d² d dθ = = d² dθ = M EI.d M EI en intégrant une deuième fois l équation (1), on obtient la flèche de la déformée à l abscisse Eemple : * On considère une poutre droite qui repose sur deu appuis simples et soumise à une charge uniformément répartie q : q A θ A C c B l * Déterminer les équations de la déformée et sa pente, puis calculer la rotation θ A de la déformée à l appui A et la valeur de la flèche c à mi-portée de la poutre. (on suppose que EI est constante ). Solution : On a R A = R B = ql/ Et Mf() = (ql/). (ql/).² De l équation (1) on a : d² d² = M EI = 1 EI q.l (. - q.² ) 63

9 3 d ql² q En intégrant une première fois, on a : EI. = EI.θ = - + C1 d 4 6 ql3 q4 En intégrant une deuième fois, on aura : EI. = - + C1.. + C 1 4 On détermine les constantes d intégration par les conditions au limites ( C.A.L), au appuis A et B. - en A, pour = 0, A =(0) = 0 donc, C = 0 - en B, pour = l, B =(l) = 0, d où, en remplaçant ces valeurs dans l équation (1), on aura d où on trouve : ql 4 ql C1. l = q.3 d q. l.² q. l 3 θ() = = - - d 4EI 6EI 4EI () = q. l.3 q.4 q. l3. - 1EI 4EI 4EI pour = o Eemple : pour = l/ C 1 = θ A q. l 3 4 q. l3 = - 4EI l 4 5 q. c = ( l/) = EI F A θ A C c B l * Déterminer les équations de la déformée et sa pente, puis calculer la rotation θ A de la déformée à l appui A et la valeur de la flèche c à mi-portée de la poutre. (on suppose que EI est constante ). 64

10 Solution : On a Et R A = R B = F/ Pour 0 l/ : M f () = R A. = (F/). Pour l/ l : M f () = R B.(l-) = (F/).(l - ) De l équation (1) on a : Pour 0 l/ d² d² = M EI = 1 EI ( F.) d En intégrant une première fois, on a : EI. = EI.θ = F.² + C1 (1) d 4 F.3 En intégrant une deuième fois, on aura : EI. = + C1.. + C () 1 On détermine les constantes d intégration par les conditions au limites ( C.A.L), au appuis A et B. - en A, pour = 0, A =(0) = 0 donc, C = 0 - en C, pour = l/, θ B = θ(l/) = 0, d où, en remplaçant ces valeurs dans l équation (1), on aura ( ) + C = 0 F 1 4 l C 1 = F. l 16 d où on trouve : d θ() = = 1 ( F² - F l ) d EI 4 16 ² () = 1.( F. F. 1 ) 3 l EI 16 ². pour = o pour = l/ θa = - 16.EI F. l ² F. l 3 c = ( l/) = - 48 EI 65

11 5) Epression de la contrainte tangentielle : Considérons une poutre droite dans laquelle nous allons isoler un parallélépipède, pris en partie supérieure de la poutre : Bilan des efforts sur toutes les faces : - face 11 : pas d efforts ( bord libre de la poutre ) - face : contrainte longitudinale τ, s appliquant sur une surface b.d M() - face : * contrainte normale σ 1 =. 0 donnant lieu à une résultante Iz N = M 1 Iz S o.ds * contrainte tangentielle τ dont on ne connaît pas la répartition. M( + d) - face 3 3 : * contrainte normale σ =. 0 donnant lieu à une résultante Iz M(+ d) N = Iz S o.ds * constante tangentielle dont on ne connaît pas la répartition. N 1 N G 1 G d Ecrivons l équation d équilibre en projection sur l ae du parallélépipède : 66

12 M() b.d.τ - Iz M(+ d).ds.ds 0 S o + Iz S o = la quantité o.ds n est autre que le moment statique de la face soit m(so). S Donc : m(so) M(+ d) - M() τ = -. b.iz d La quantité entre parenthèses est la dérivée du moment fléchissant par rapport à, soit encore l inverse de l effort tranchant. Il vient donc : τ = V. b.iz m(so) Application Cas d une section rectangulaire : Considérons la section rectangulaire suivante : So v G o h v b Eprimons la contrainte τ à l aide de la formule que nous venons d établir : bh Iz= 1 3 m (So) =.So = b.( h - ). 1 o.( h Go + d où τ = ( h² - ²) bh 6V o 3 4 o) o on constate que la variation de τ en fonction de o est parabolique. Cette variation a pour allure : τ ma τ Remarquons que la contrainte maimale a pour epression : τma = 3. bh V 67

13 6) Applications : On donne la poutre simplement appuée qui supporte des charges concentrées ( voir figure ci-après). F F=100 kn b ho A B C D R A R B H z L =1.00 m b o a- Déterminer les diagrammes des efforts tranchants et des moments fléchissant le long de la poutre ; b- Tracer le diagramme de la contrainte normale σ, au niveau de la section la plus sollicitée ; c- Tracer l allure du diagramme de la contrainte tangentielle au niveau de la section C et calculer τ ma. On donne : H=80 cm, b=100 cm, h o =0 cm et b o =30 cm Solution : On a R A = R B = 100 kn ( par raison de smétrie ) ; a-1) détermination du diagramme des efforts tranchants : pour 0 4m, V = - R A = -100 kn pour 4 8m, V = -R A + F= = 0 pour 8 1m, V =- R A + F +F = = +100 kn -100 kn A C D B +100 kn V ( DET ) 68

14 a-) détermination du diagramme des moments fléchissant : pour 0 4m, M = R A. = 100. = 0, M=0 ; = 4, M = 400 kn pour 4 8m, M = R A. F.(-4) = 4, M= 400 kn.m ; = 6, M = 400 kn.m; = 8, M = 400 kn.m. A C D B 400 kn.m ( DMF ) b-1) Caractéristiques géométriques de la section : surface : S = 3800 cm² position de G : v = 8.95 cm; v = cm. * inertie : I GZ = cm 4 σ s b-) contrainte normale : σ = avec M fz = 400 kn.m Mfz. IGZ v z σ d où ( la section la plus sollicitée ) =. = ,17.10 σ 4 v σ i et σ(v) = σ s = σ(89.5) = 5.5 Mpa σ(-v ) = σ i = σ(-510.5) = -9.7 Mpa c) contrainte tangentielle : τ = m( ) b.iz V. so en C, l effort tranchant V = 100 kn 69

15 pour o = v = 89.5 mm m so = 0 τ(89.5) = 0 o = 89.5mm m so = mm 3 τ(89.5) = 5.95 Mpa (pour b = 300mm) τ(89.5) = Mpa (pour b = 1000mm) o = 0 m so = mm 3 τ(0) = 7.84 Mpa d ou l allure suivant du diagramme de la contrainte tangentielle : v τ z v τ ma 70