Système d équations. 1. La résolution par une table de valeurs d un système d équations linéaires du premier degré à deux variables

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1 École Secondaire Sieur de Coulonge (Mathématique cst 4) Système d équations Résolution de systèmes d équations Résoudre un système d équations c est de trouver les coordonnées du point ou des points que les droites ont en commun, c est-à-dire, trouver les coordonnées du point d intersection des deux droites. On peut résoudre les systèmes d équations par différentes méthodes. Toutes les méthodes sont bonnes, mais il peut être plus facile d en utiliser une plutôt que l autre selon la situation. Il existe plusieurs stratégies qui permettent de résoudre un système de deux équations du premier degré à deux variables. 1. La résolution par une table de valeurs d un système d équations linéaires du premier degré à deux variables La table de valeurs présente une compilation ordonnée de différentes valeurs des variables dépendantes en fonction de la variable indépendante du système d équations. Elle prend la forme d un tableau qu on divise en trois colonnes : On inscrit dans chaque colonne les valeurs appropriées. Pour obtenir ces données, on choisit certaines valeurs pour la variable indépendante (x) et on calcule à partir de chacune des équations la valeur correspondante de chaque variable dépendante (y 1 et y 2 ). Exemple Soit le système d équations linéaires suivant : Pour construire la table de valeurs, on choisit des valeurs successives pour x et pour chacune de ces valeurs, on calcule la valeur de y 1 et y 2.

2 La solution du système correspond au couple (2, 10), c est-à-dire la valeur de x = 2 pour laquelle y 1 = y 2 = 10. N.B. La méthode de la table de valeurs est une méthode qui peut être longue et laborieuse. Il n est pas du tout garanti de trouver la solution rapidement. Plusieurs essais sont parfois nécessaires pour y arriver. 2. La résolution par un graphique d un système d équations linéaires du premier degré à deux variables. La résolution graphique d un système d équations consiste à chercher les coordonnées du point où les deux droites représentatives des équations du système se croisent. On cherche les coordonnées du point de rencontre des deux droites. Pour y parvenir, il faut tracer chacune des droites dans le même plan cartésien. Pour tracer les droites, on peut utiliser une table de valeur ou tracer directement la droite à l aide de la valeur initiale et du taux de variation. Dans tous les systèmes linéaires réguliers, les droites ne se croisent qu en un seul point. Il existe aussi des systèmes linéaires particuliers qui peuvent ne présenter aucune solution ou au contraire une infinité de solutions. Réfère-toi au besoin à la section précédente de cette fiche. Un premier exemple La base d un rectangle est deux fois plus grande que sa hauteur. Son périmètre est de 18 cm. Quelle est la mesure de chaque côté de ce rectangle. Identifions les variables x : la mesure de la hauteur du rectangle en cm y : la mesure de la base du rectangle en cm

3 Posons les équations La première partie du texte, La base d un rectangle est deux fois plus grande que sa hauteur, nous permet de poser la première équation. La deuxième partie du texte, Son périmètre est de 18 cm, nous permet de poser la deuxième équation du système : Il est préférable d isoler la variable y pour tracer cette droite. Dessinons les droites

4 Le point d intersection des deux droites c est le couple solution de notre système d équations. Donc pour respecter toutes les conditions, la mesure de la hauteur rectangle doit être de 3 cm et la mesure de la base du rectangle doit être de 6 cm. Un deuxième exemple Soit le système d équations linéaires suivant : Isolons y 1 dans la première équation pour tracer plus facilement le graphique. Traçons le graphique. Il est facile de lire les coordonnées du point de rencontre de ces deux droites dans ce graphique. Or, les points de rencontre n arriveront pas toujours aux cordonnées entières. Voilà pourquoi il est aussi important de maîtriser les méthodes algébriques pour résoudre les systèmes d équations. Les méthodes algébriques nous permettent d obtenir la solution de notre système d équation de façon très précise et surtout sans perdre de temps.

5 3. La résolution algébrique d un système d équations linéaires du premier degré à deux variables. 1- La méthode de comparaison On privilégie généralement la méthode de résolution d un système d équations par comparaison lorsque les deux variables dépendantes (y 1 et y 2 ) sont déjà isolées. Autrement dit lorsque le système a la forme suivante : Comme la résolution d un système consiste à trouver la valeur de x pour laquelle y 1 et y 2 ont la même valeur (y 1 = y 2 ), on posera directement : On obtient ainsi une équation où il n y a qu une variable. Il arrive parfois que l on procède à quelques manipulations algébriques pour arriver à isoler la variable dépendante. Exemple Reprenons le système d équations linéaires de l exemple précédent : Pour utiliser la méthode de comparaison, il faut tout d abord isoler y 1 dans la première équation. Nous pouvons effectuer la comparaison. Il faut maintenant isoler x pour en connaître la valeur.

6 On substitue dans une des équations de départ la valeur trouvée de x. Ce qui nous permettra de trouver la valeur des variables dépendantes (y 1 et y 2 ). On peut substituer la valeur de x dans n importe laquelle des équations de départ, par contre, pour effectuer une vérification supplémentaire il peut être intéressant de substituer x dans les deux équations de départ. On devrait obtenir la même valeur pour y 1 et y 2. Si ce n est pas le cas, nous avons alors commis une erreur dans notre parcours. La solution à notre système d équation est le couple (7, 16). 2-La méthode de substitution On privilégie généralement la méthode de résolution d un système par substitution lorsqu une seule des deux variables dépendantes est isolée. Autrement dit le système a la forme suivante : La méthode de substitution consiste à remplacer la valeur de y dans l équation qui n est pas isolée par la valeur de y de l autre équation isolée. Un petit schéma s impose pour mieux visualiser.

7 Exemple Soit le système d équations suivant : Pour commencer on isole une variable dans l une des deux équations si ce n est pas déjà fait. C est déjà fait dans notre exemple. On remplace alors cette variable dans l équation où elle n est pas isolée par la valeur à laquelle elle égale dans l autre équation. On isole la variable x pour en calculer la valeur.

8 On substitue la valeur que l on vient de déterminer pour x dans l une des équations de départ pour déterminer la valeur de y. Il est évidemment plus simple d utiliser l équation où la variable y était déjà isolée. Mais c est toujours une bonne idée d utiliser aussi l autre équation comme vérification.

9 3-La méthode de réduction On privilégie généralement la méthode de résolution d un système par réduction lorsque les deux variables dépendantes et indépendantes du système ne sont pas isolées. Autrement dit lorsque le système a la forme suivante : Avec cette méthode, on cherche à faire en sorte que, par des manipulations algébriques, le coefficient devant l une des variables soit le même dans les deux équations. Ensuite, on soustrait les deux équations, éliminant ainsi la variable ayant un coefficient unique. Exemple Soit le système d équations linéaires suivant : On veut que les coefficients d une des deux variables deviennent égaux alors on choisit la variable. Dans notre exemple on a choisi la variable dépendante y. On commence par effectuer l opération qui rend les coefficients devant y égaux. Cela signifie qu on multiplie tous les termes de l une des deux équations par la constante appropriée. Ici, on peut multiplier la deuxième équation par (-3) : On soustrait maintenant les deux équations, éliminant ainsi la variable y : On isole la variable qui nous reste, la variable x dans notre cas, pour en connaître la valeur :

10 Maintenant qu on connaît la valeur de x, on substitue x par cette valeur dans l une des équations afin de trouver la valeur de y. Comme pour les autres méthodes il est recommandé de substitué x dans les deux équations pour effectuer une vérification. Si le résultat n est pas le même pour les deux équations c est signe que nous nous sommes trompés en quelque part. PETITE NOTE Au lieu de multiplier la deuxième équation par (-3) nous aurions pu multiplier la deuxième équation par (3). Alors, ensuite au lieu de soustraire nous devrions additionner les deux équations. Tout ceci nous mènera au même résultat. Regardez bien.

11 Additionnons maintenant les deux équations. Isolons la variable x maintenant. Nous obtenons le même résultat. L important dans la méthode de réduction c est de pouvoir faire disparaître une des deux variables du système d équation.