Produit Scalaire. u = AB. La norme du vecteur. u un vecteur du plan, A et B deux points du plan tels que. u = 1, on dit que le vecteur est unitaire

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1 Prodt Scalare I éfntons d prodt scalare : a norme d'n ecter : défnton : Soent n ecter d plan, et dex ponts d plan tels qe =. La norme d ecter est la longer d segment []. n la note. S = 1, on dt qe le ecter est ntare proprétés admses : = s et selement s = Ex : Soent et dex ponts d plan tels qe =. re qe = reent à dre qe et sont confonds. S a por coordonnées (x;y dans n repère orthonormé ( ; ; d plan alors = x 2 + y 2 Ex : M a por coordonnées (x;y et M = a por coordonnées (; donc = M = (x 2 + (y 2 = x 2 + y 2 y M ans l'exemple c-contre = = 25 = 5 x Por tot nombre réel k, on a k = k x en partcler, = Ex : ans l'exemple c-contre, FE = 2 et FE = 2 = 1 et = = 3 EF et = EF E 2 F 3 1

2 b prodt scalare de dex ecters : défnton : Soent et dex ecters d plan. Le prodt scalare de et noté. est le nombre réel défn par :. = s n des ecters o est nl. = cos(, s et Sot la mesre de l'angle géométrqe assocé à (,. = cos ans le cas de dex ecters et non nls, on a donc. = x x cos l'angle géométrqe a le même cosns qe l'angle orenté (, aqel l est assocé!! Ex : ans n plan mn d'n repère ( ; ;. = x cos = 5 x 3 x cos 6 = 15 x 1 2 = 7,5. = x cos = 3 x 2 x cos 12 = 6 x 1 2 = 3 S l'angle est ag, le prodt scalare est postf. S l'angle est obts, le prodt scalare est négatf! proprété : Soent et dex ecters d plan. - s et sont colnéares de même sens, alors. = - s et sont colnéares de sens contrare, alors. = S = o = alors = o = et = or, par défnton, s = o = alors. = donc. = = = S et s et sont colnéares de même sens, (, = donc cos(, = 1 et. = cos(, = s et sont colnéares de sens contrare, (, = donc cos(, = 1 et. = cos(, = Ex : ans le plan mn d'n repère ( ; ;. = x = 3 x 3 = 9. EF = x EF = 3 x 4 = 12 F E 2

3 défnton : Soent et dex ecters d plan. Le prodt scalare de et noté. est le nombre réel défn par :. Par conenton,. = 2 = 2 = 1 2 ( ne expresson dffcle à retenr? Mas.. os poez la retroer faclement! Pensez à l' dentté remarqable qe os connassez ben.. (a+b 2 = a 2 + 2ab + b 2 donc 2ab = (a + b 2 a 2 b 2 donc ab = 1 [ ] 2 (a +b2 a 2 b 2 Imagnez mantenant qe a et b soent des ecters... Ex : Sot n parallélogramme + = n a, d'après la défnton précédente :. = 1 ( = 1 ( proprété : "expresson d prodt scalare dans n repère orthonormé" + ans n repère orthonormé ( ; ;, soent n a :. = xx' + yy' ( x y et ( x' y' c' est l'expresson analytqe d prodt scalare! Soent ( x y et n a donc ( + ( x' y'. ( x + x' y + y', 2 = x 2 + y 2 et 2 = x' 2 + y' 2 (or proprétés admses n a ass + 2 = (x + x' 2 + (y + y' 2 = x 2 + 2xx' + x' 2 + y 2 + 2yy' + y' 2 Exprmons le prodt scalare de et,. = 1 2 ( = 1 ( 2 x2 + 2xx' + x' 2 + y 2 + 2yy' + y' 2 x 2 y 2 x' 2 y' 2 = xx' + yy' 3

4 Ex : Sot n repère orthonormé ( ; ; d plan Soent les ecters ( 4 1 et ( 2. = 4 x x 4 = c atres expressons d prodt scalare de dex ecters : aec n proeté orthogonal M défnton : Soent ne drote d et n pont M d plan. Le proeté orthogonal de M sr la drote d est le pont d'ntersecton H de d et la perpendclare à d passant par M. d H proprété : Soent et dex ecters non nls. ' et ' sont les proetés orthogonax de et sr la drote (. n a alors. =. '' on a prs l'habtde de dre qe '' est le proeté orthogonal de sr! ' ' Ex : Sot n trangle socèle de sommet prncpal tel qe = 3cm et = 4cm Sot le mle de []. alcler. Le proeté orthogonal de sr [] est le pont car est socèle en. n a donc, 3 cm. = x = 2 x 4 = cm

5 II Prodt scalare et opératons : proprété : Soent,, w tros ecters d plan et n nombre réel a. ( +. w =. w +. w ( a. = a(. ans n repère orthonormé, soent les ecters d plan (x;y, (x';y', w (x";y" et n nombre réel a ( +. w = (x + x'x" + (y + y'y" = xx" + x'x" + yy" + y'y" = (xx" + yy" + (x'x" + y'y". w +. w = (a. = axx' + a yy' = a(xx' + yy' = a(. conséqence (denttés remarqables : Soent et dex ecters d plan. ( + 2 = ( 2 = = 2 2 ( + ( III Vecters orthogonax : défnton : Soent et dex ecters non nls tels qe = et =. et sont orthogonax s et selement s ( et ( sont perpendclares conenton : le ecter nl est orthogonal à tot ecter. proprété : ex ecters et sont orthogonax s et selement s. = ans n repère d plan (; ;, on sppose qe et sont orthogonax. S = o = alors. = S et Soent et tels = et =. Par défnton, (( et = 9. = x x cos = x x cos 9 = x x = alors. = ans n repère d plan (; ;, on sppose qe. =. S et Soent et tels = et =. n a. = x x cos = e pls, et sont dfférents de ( et sont non nls. Par ste, cos = donc = 9 et (( donc et sont orthogonax. S = o = alors et sont orthogonax (par conenton 5

6 conséqence : ans n repère orthonormé, soent (x;y et (x';y' dex ecters non nls. et sont orthogonax s et selement s xx' + yy' = Ex : Sot n repère orthonormé ( ; ; d plan Soent les ecters ( 1 3 et ( 6 2. n a. = 1 x x 2 = = et sont orthogonax. IV Vecter normal à ne drote : défnton : Sot d ne drote d plan. Un ecter normal à d est n ecter non nl n orthogonal à tot ecter drecter de d. d n proprété : ans n repère orthonormé, S ne drote d a por éqaton cartésenne ax + by + c = (a o b alors le ecter n (a;b est n ecter normal à d Récproqement, s n ecter n non nl ayant por coordonnées (a;b est normal à ne drote d alors d a ne éqaton d type ax + by + c = ans n repère orthonormé, sot ne drote d d'éqaton ax + by + c = (a o b. Sot n le ecter de coordonnées (a;b. n sat qe ( b;a est n ecter drecter de d. r. n = a( b + ba = ab +ba = onc n est n ecter normal à d Sot n (a;b n ecter non nl normal à ne drote d. Sot n pont (x ;y de la drote d. re q'n pont M appartent à d reent à dre qe M. n = (conséqence de la défnton précédente donc (x - x a + (y y b = et par ste, ax + by ax b y = n obtent ben ne éqaton d type ax + by + c = (c= ax b y 6

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