BAC BLANC TS. x = t y = 2 t z = 2 2 t t. Proposition 5 : «la droite (AG) admet pour représentation paramétrique

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1 BAC BLANC TS La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l appréciation des copies. Exercice (5 points, non spécialistes) Polynésie juin 6 Pour chacune des cinq propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une démonstration de la réponse choisie. Une réponse non démontrée ne rapporte aucun point. Dans l'espace rapporté à un repère orthonormal (O; i, j, k), on donne les points A( ; ; ) B( ; 4 ; ) et C( ; ; ). On désigne par I le milieu du segment [BC], par G l isobarycentre des points A, B et C, et par H le projeté orthogonal du point O sur le plan (ABC). Proposition : «l'ensemble des points M de l espace tels que AM BC = est le plan (AIO)». Proposition : «l'ensemble des points M de l espace tels que MB + MC = MB MC est la sphère de diamètre [BC]». Proposition 3 : «le volume du tétraèdre OABC est égal à 4». Proposition 4 : «le plan (ABC) a pour équation cartésienne x + y + z = 4 et le point H a pour coordonnées 8 9, 4 9, 8 9.» Proposition 5 : «la droite (AG) admet pour représentation paramétrique x = t y = t z = t t Exercice (5 points) non spécialistes Le plan complexe est muni du repère orthonormal direct (O,u, v) ; unité graphique cm. On appelle A et B les points du plan d affixes respectives a = et b =. On considère l application f qui, à tout point M différent du point B, d affixe z, fait correspondre le point M d affixe z' définie par z' = z z +. On fera une figure qui sera complétée tout au long de cet exercice. Déterminer les points invariants de f c est-à-dire les points M tels que M = f (M). a) Montrer que, pour tout nombre complexe z différent de, (z' ) (z + ) =. b) En déduire une relation entre z' et z +, puis entre arg (z' ) et arg (z + ), pour tout nombre complexe z différent de. Traduire ces deux relations en termes de distances et d angles. 3 Montrer que si M appartient au cercle (C) de centre B et de rayon, alors M' appartient au cercle (C') de centre A et de rayon. 4 Soit le point P d affixe p = + i 3. a) Déterminer la forme exponentielle de (p +). b) Montrer que le point P appartient au cercle (C). c) Soit Q le point d affixe q = p où p est le conjugué de p. Montrer que les points A, P' et Q sont alignés. d) En utilisant les questions précédentes, proposer une construction de l image P' du point P par l'application f. Exercice (5 points, spécialistes) Pour chacune des cinq propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une démonstration de la réponse choisie. Une réponse non démontrée ne rapporte aucun point. Proposition : «Pour tout entier naturel n, 3 divise le nombre n». Proposition : «Si un entier relatif x est solution de l équation x + x (modulo 6) alors x (modulo 3)». Proposition 3 : «L ensemble des couples d entiers relatifs (x ; y) solutions de l équation x 5 y = 3 est l ensemble des couples (4 + k ; k) où k Z». Proposition 4 : «Il existe un seul couple (a ; b) de nombres entiers naturels, tel que a < b et PPCM(a ; b) PGCD(a, b) =». Deux entiers naturels M et N sont tels que M a pour écriture abc en base dix et N a pour écriture bca en base dix. Proposition 5 : «Si l entier M est divisible par 7 alors l entier M N est aussi divisible par 7».» IR

2 Exercice 3 (4 points) On a posé à personnes la question suivante : «Combien de fois êtes-vous arrivé en retard au travail au cours des deux derniers mois?». Les réponses ont été regroupées dans le tableau suivant : Retards le er mois ou plus Total Retards le ème mois ou plus Total On choisit au hasard un individu de cette population. a) Déterminer la probabilité que l'individu ait eu au moins un retard le premier mois, b) Déterminer la probabilité que l individu ait eu au moins un retard le deuxième mois sachant qu'il n en a pas eu le premier mois. On souhaite faire une étude de l évolution du nombre de retards sur un grand nombre n de mois (n entier naturel non nul). On fait les hypothèses suivantes : si l individu n'a pas eu de retard le mois n, la probabilité de ne pas en avoir le mois n + est,46. si l individu a eu exactement un retard le mois n, la probabilité de ne pas en avoir le mois n + est,66. si l individu a eu deux retards ou plus le mois n, la probabilité de ne pas en avoir le mois n + est encore,66. On note A n, l évènement «l individu n'a eu aucun retard le mois n, B n, l'évènement «l individu a eu exactement un retard le mois n», C n, l'évènement «l'individu a eu deux retards ou plus le mois n». Les probabilités des évènements A n, B n, C n sont notées respectivement p n, q n et r n. a) Pour le premier mois (n = ), les probabilités p, q et r sont obtenues à l'aide du tableau précédent. Déterminer les probabilités p, q et r. b) Exprimer p n + en fonction de p n, q n, et r n. On pourra s'aider d un arbre. c) Montrer que, pour tout entier naturel n non nul, p n + =, p n +,66. d) Soit la suite (u n ) définie pour tout entier naturel n non nul par u n = p n,55. Démontrer que (u n ) est une suite géométrique dont on donnera la raison. e) Déterminer lim n + u n. En déduire lim n + p n.. Exercice 4 (6 points) On désigne par f la fonction définie sur l'ensemble IR des nombres réels par f (x) = + e x. On note la courbe représentative de f dans un repère orthonormal (O; i ; j ), (unité graphique : 5 cm). Partie A : étude de la fonction f. e x Vérifier que pour tout nombre réel x : f (x) = + e x. Déterminer les limites de f en et en +. Interpréter graphiquement les résultats obtenus. Calculer f '(x) pour tout nombre réel x. En déduire les variations de f sur IR. Dresser le tableau des variations de f. Tracer la courbe et ses asymptotes éventuelles dans le repère (O; i ; j ). Partie B : quelques propriétés graphiques. On considère les points M et M' de la courbe d abscisses respectives x et x. Déterminer les coordonnées du milieu A du segment [MM']. Que représente le point A pour la courbe? Soit n un entier naturel. On désigne par D n le domaine du plan limité par la droite d équation y =, la courbe et les droites d équations x = et x = n, A n désigne l aire du domaine D n exprimée en unité d aire. a) Calculer A n. b) Etudier la limite éventuelle de A n, lorsque n tend vers +. Partie C : calcul d un volume Soit un réel positif, On note V( ) l intégrale [f (x)] dx. On admet que V( ) est une mesure, exprimée en unité de volume, du volume engendré par la rotation autour de l'axe des abscisses, de la portion de la courbe obtenue pour x. Déterminer les nombres réels a et b tels que : pour tout nombre réel x, Exprimer V( ) en fonction de. 3 Déterminer la limite de V( ) lorsque tend vers +. e x (e x + ) = a ex e x + + b e x (e x + )

3 Exercice (5 points, non spécialistes) Polynésie juin 6 Pour chacune des cinq propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une démonstration de la réponse choisie. Une réponse non démontrée ne rapporte aucun point. Dans l espace rapporté à un repère orthonormal (O; i, j, k), on donne les points A( ; ; ) B( ; 4 ; ) et C( ; ; ). On désigne par I le milieu du segment [BC], par G l isobarycentre des points A, B et C, et par H le projeté orthogonal du point O sur le plan (ABC). Proposition : «l ensemble des points M de l espace tels que AM BC = est le plan (AIO)». Faux : I ( ; ; ) et BC ( ; 4 ; ) OI BC = + 4 donc BC n'est pas un vecteur normal de (AOI) Variante AM BC = (x ) 4 (y ) + (z ) = x 4 y =. les coordonnées de I ne vérifient pas cette équation. Proposition : «l'ensemble des points M de l espace tels que MB + MC = MB MC est la sphère de diamètre [BC]». Vrai : MB + MC = MI et MB MC = CB MB + MC = MB MC MI = BC. Le milieu de [BC] est centre de la sphère et le rayon est égal à BC Proposition 3 : «le volume du tétraèdre OABC est égal à 4». Faux : OA OB = OA OC = OB OC donc V = 3 OA aire (OBC) = 3 OA OB OC = 6 4 = 8 3 Proposition 4 : «le plan (ABC) a pour équation cartésienne x + y + z = 4 et le point H a pour coordonnées 8 9, 4 9, 8 9.» Vrai : x A + y A + z A = = 4, x B + y B + z B = 4 et x C + y C + z C = Les coordonnées des points A, B et C vérifient l'équation donnée donc l'équation de (ABC) est : x + y + z = 4. Remarque : A, B et c ne sont pas alignés. Il reste à vérifier que les coordonnées du point H' 8 9, 4 9, = = = 4 donc H' 8 9, 4 9, 8 9. OH' = 4 n avec n (,, ) et n est normal qu plan (ABC) donc (OH') 9 (ABC). x = t Proposition 5 : «la droite (AG) admet pour représentation paramétrique y = t z = t t vérifient l'équation du plan (ABC) et que (OH') (ABC) G 3, 4 3, 3 donc AG 3, 4 3, donc le vecteur u ( ; ; ) est bien colinéaire à AG et est donc bien vecteur 3 directeur de la droite (AG) A( ; ; ) est un point de la droite (AG) et u ( ; ; ) est un vecteur directeur de (AG) donc la représentation paramétrique de la droite (AG) est bien celle donnée. Exercice (5 points) Le plan complexe est muni du repère orthonormal direct (O, u, v ) ; unité graphique cm. On appelle A et B les points du plan d affixes respectives a = et b =. On considère l application f qui, à tout point M différent du point B, d affixe z, fait correspondre le point M d affixe z' définie parz' = z. On fera une figure qui sera complétée tout au long de cet z + exercice. Déterminer les points invariants de f c est-à-dire les points M tels que M = f (M). M = f (M) z = z z + z = z z = z = i ou z = i z + Les ^points invariants de f sont donc les points d'affixe i et - a) Montrer que, pour tout nombre complexe z différent de, (z' ) (z + ) =. (z' ) (z + ) = z z z (z + ) = (z + ) =. z + z + b) En déduire une relation entre z' et z +, puis entre arg (z' ) et arg (z + ), pour tout nombre complexe z différent de. Traduire ces deux relations en termes de distances et d'angles. (z' ) (z + ) = donc (z' ) (z + ) = donc z' z + = (z' ) (z + ) = donc arg ( (z' ) (z + ) ) = arg ( ) donc arg( z' ) + arg( z + ) = z' z + = AM' BM = arg( z' ) + arg( z + ) = (u, AM') + (u, BM) =. 3 Montrer que si M appartient au cercle (C) de centre B et de rayon, alors M' appartient au cercle (C') de centre A de rayon On sait que AM' BM = donc BM = AM' On a donc M (C) BM = = AM' = M' (C') AM'» IR

4 4 Soit le point P d affixe p = + i 3. a) Déterminer la forme exponentielle de (p +). p + = + i 3 + = + i 3 = + i 3 = e i /3 b) Montrer que le point P appartient au cercle (C). BP = p + = donc P (C) c) Soit Q le point d affixe q = p où p est le conjugué de p. Montrer que les points A, P' et Q sont alignés. (p' ) (p + ) = donc l'affixe du vecteur AP' est : p' = p + = e i /3 = e i /3 L'affixe de AQ est : q = ( i 3) = + i 3 = e i /3 p' = 4 (q ) donc AP' = AQ d) En utilisant les questions précédentes, proposer une construction de l image P' du point P par l'application f. P (C) donc P' (C') et Q est le symétrie de P par rapport à (Oy). P' est à l'intersection du segment [AQ] avec le cercle (C') Exercice (5 points, spécialistes) Pour chacune des cinq propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une démonstration de la réponse choisie. Une réponse non démontrée ne rapporte aucun point. Proposition : «Pour tout entier naturel n, 3 divise le nombre n». Vraie n = 4 n et 4 modulo 3 donc n n modulo 3 donc n modulo 3. Proposition : «Si un entier relatif x est solution de l équation x + x (modulo 6) alors x (modulo 3)». Faux + = 6 donc + modulo 6 donc + est divisible par 6. Pourtant n'est pas divisible par 3. Proposition 3 : «L ensemble des couples d entiers relatifs (x ; y) solutions de l équation x 5 y = 3 est l ensemble des couples (4 + k ; k) où k Z» = 3 donc (4 ; 9) est solution. Si (x, y) est solution alors x 5 y = = 3 (x 4) 5 (y 9) = (x 4) = 5 (y 9)? 5 divise (x 4) et 5 est premier avec donc, d'après le théorème de Gauss, 5 divise x 4 donc, il existe un entier relatif k tel que x = k. On a alors 5 k = 5 (y 9) donc y = 9 + k. Les solutions sont donc de la forme (4 + 5 k ; 9 + k) réciproque ment s'il existe k entier relatif tel que x = k et y = 9 + k alors x 5 y = (4 + 5 k) 5 (9 + k) = k k = = 3. Alors (x ; y) est solution. Si k est imp on obtient une solution de l'équation x 5 y = 3 qui n'a pas la forme souhaitée. Proposition 4 : «Il existe un seul couple (a ; b) de nombres entiers naturels, tel que a < b et PPCM(a ; b) PGCD(a, b) =». a b = PPCM(a, b) PGCD (a, b) = ( + PGCD(a, b)) PGCD(a, b) On note d = PGCD(a, b). On a a = d a' et b = d b' avec a' et b' premiers entre eux. PPCM(a, b) = d a' b' = + d d (a' b' ) = a' b' = et d = a' b' = et d = a' = et b' =. La seule solution possible est donc a = d = et b = d = PPCM-(, ) =, PGCD(, ) = donc PPCM (, ) PGCD(, ) =. Deux entiers naturels M et N sont tels que M a pour écriture abc en base dix et N a pour écriture bca en base dix. Proposition 5 : «Si l entier M est divisible par 7 alors l entier M N est aussi divisible par 7». M = c + b + a et N = a + c + b On a donc M N = c + b + a a c b = 99 a 9 b 9 c = 9 ( a b c) Si M est divisible par 7 alors il existe k entier naturel tel que M = c + b + a = 7 k On a alors c + b = 7 k a et M N = 9( a 7 k + a) = 9 (7 k + a) = 9 3 (9 k + 37 a) Remarque pour que M N soit divisible par 7 il suffit que M soit divisible par 3.

5 Exercice 3 (4 points) On a posé à personnes la question suivante : «Combien de fois êtes-vous arrivé en retard au travail au cours des deux derniers mois?». Les réponses ont été regroupées dans le tableau suivant : Retards le er mois ou plus Total Retards le ème mois ou plus Total On choisit au hasard un individu de cette population. a) Déterminer la probabilité que l'individu ait eu au moins un retard le premier mois, 38 + personnes sur ont eu au moins un retard le premier mois donc p = 48 =,48. b) Déterminer la probabilité que l individu ait eu au moins un retard le deuxième mois sachant qu'il n en a pas eu le premier mois personnes ont eu au moins un retard le deuxième mois parmi les 57 qui n'en n'ont pas eu le premier : p = 3 57 = 55 8,54. On souhaite faire une étude de l évolution du nombre de retards sur un grand nombre n de mois (n entier naturel non nul). On fait les hypothèses suivantes : si l individu n'a pas eu de retard le mois n, la probabilité de ne pas en avoir le mois n + est,46. si l individu a eu exactement un retard le mois n, la probabilité de ne pas en avoir le mois n + est,66. si l individu a eu deux retards ou plus le mois n, la probabilité de ne pas en avoir le mois n + est encore,66. On note A n, l évènement «l individu n'a eu aucun retard le mois n, B n, l'évènement «l individu a eu exactement un retard le mois n», C n, l'évènement «l'individu a eu deux retards ou plus le mois n». Les probabilités des évènements A n, B n, C n sont notées respectivement p n, q n et r n. a) Pour le premier mois (n = ), les probabilités p, q et r sont obtenues à l'aide du tableau précédent. Déterminer les probabilités p, q et r.,46 A n + p = 57 =,57, q = 38 =,38 et r = =, A n B n + b) Exprimer p n + en fonction de p n, q n, et r n. On pourra s'aider d un arbre. p n + =,46 p n +,66 q n +,66 r n c) Montrer que, pour tout entier naturel n non nul, p n + =, p n +,66. p n + =,46 p n +,66 (q n + r n ) =,46 p n +,66 ( p n ) =,46 p n,66 p n +,66 =,66, p n d) Soit la suite (u n ) définie pour tout entier naturel n non nul par u n = p n,55. Démontrer que (u n ) est une suite géométrique dont on donnera la raison. u n + = p n +,55 =,66, p n,55 =,, p n u n = p n,55 p n = u n +,55 Donc u n + =,, p n =,, u n,,55 =, u n la suite (u n ) est donc géométrique de raison,. e) Déterminer lim u n. En déduire lim p n.. n + n + <, < donc lim u n = et lim p n = lim (u n +,55) =,55. n + n + n + Exercice 4 (6 points) On désigne par f la fonction définie sur l'ensemble IR des nombres réels par f (x) = + e x.on note la courbe représentative de f dans un repère orthonormal (O; i ; j ), (unité graphique : 5 cm). Partie A : étude de la fonction f. Vérifier que pour tout nombre réel x : f (x) = + e x. e x f (x) = + e x = e x ( + e x ) = e x e x + Déterminer les limites de f en et en +. Interpréter graphiquement les résultats obtenus. lim e x e x = donc lim f (x) = lim x x x e x =. Donc la droite d'équation y = est asymptote à en. + lim x + e x = donc lim f (x) = lim x + x + + e x =. Donc la droite d'équation y = est asymptote à en +. Calculer f '(x) pour tout nombre réel x. En déduire les variations de f sur IR. u (x) = + e x et u' (x) = e x u' (x) f '(x) = (u (x)) = e x + e x >. f est donc croissante sur IR e x p n C n +,66 A n + q n B n B n + r n C n + A n +,66 C n B n + C n +

6 Dresser le tableau des variations de f. Tracer la courbe et ses asymptotes éventuelles dans le repère (O; i ; j ). x + f '(x) + f Partie B : quelques propriétés graphiques. On considère les points M et M' de la courbe d abscisses respectives x et x. Déterminer les coordonnées du milieu A du segment [MM']. Que représente le point A pour la courbe? + e x + e x e x + x + ( x) f (x) + f ( x) x A = = et y A = = = A est le centre de symétrie de la courbe. Soit n un entier naturel. On désigne par D n le domaine du plan limité par la droite d équation y =, la courbe et les droites d équations x = et x = n, A n désigne l aire du domaine D n exprimée en unité d aire. a) Calculer A n. A n = n n n + e x n e x ( f (x)) dx = + e x dx = + e x dx = + e x dx u (x) = + e x et u' (x) = e x e x u' (x) donc + e x = u (x) n A n = [ ln u (x) ] = ln ( + e n ) + ln ( + e ) = ln ln ( + e n ) b) Etudier la limite éventuelle de A n, lorsque n tend vers +. lim n + e n = donc lim A n = ln. n + Partie C : calcul d un volume Soit un réel positif, On note V( ) l intégrale [f (x)] dx. On admet que V( ) est une mesure, exprimée en unité de volume, du volume engendré par la rotation autour de l'axe des abscisses, de la portion de la courbe e x obtenue pour x. Déterminer les nombres réels a et b tels que : pour tout nombre réel x, (e x + ) = a ex e x + + b e x (e x + ) a e x e x + + b e x (e x + ) = a ex ( + e x ) + b e x ( + e x ) = a e x + (a + b) e x ( + e x ) e x (e x + ) = a ex e x + + b e x a = a = e x e x e x (e x + ) a + b = b = ( + e x ) = + e x ( + e x ) Exprimer V( ) en fonction de. V( ) = [f (x)] e x e dx = x e x ( + e x ) dx = + e x ( + e x ) dx = ln ( + e x ) + + e x = ln ( + e ) + ln ( + e ) e = ln + ln ( + e ) e 3 Déterminer la limite de V( ) lorsque tend vers +. lim + e = donc lim + V ( ) = ln + ln ( + ) ( + ) = ln + = ln