CHAPITRE 9. Intégrales triples.

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1 CHAPITE 9 Intégrales triples. Dans ce chapitre, nous définirons l intégrale triple d une fonction f(,, sur une région bornée de 3 et nous présenterons quelques-unes de ces propriétés. Ensuite nous verrons comment calculer ces intégrales au moen d intégrales itérées. Nous conclurons ce chapitre en discutant des coordonnées clindriques et sphériques et du théorème de changement de variables pour l intégrale triple dans ces cas particuliers. Soient, une région bornée de 3, c est-à-dire que est contenue dans un parallélipipède rectangle suffisamment grand, et f(,, une fonction définie et bornée sur. On définit l intégrale de f(,, sur, que l on note comme étant la limite lim n ma{δ i i n} f(,, dd d n f( i, i, i V i, i pour laquelle nous considérons toutes les subdivisions de la région en n sous-régions:,,..., n, dont le diamètre de i, c est-à-dire la distance maimale entre deu points quelconques de i, est noté δ i, en laissant n, le nombre de ces sous-régions devenir de plus en plus grand et le maimum ma{δ i i n} des diamètres de ces sous-régions devenir de plus en plus près de éro; de plus dans cette définition, ( i, i, i peut être n importe quel point de i et V i est le volume de la sous-région i. Cette limite n eiste pas toujours. Cependant si est une région bornée, f(,, est continue sur et que le bord de consiste en une réunion finie de surfaces lisses, alors l intégrale triple f(,, dd d eiste. Dans ce dernier cas, il est possible d interpréter l intégrale triple dans le cas où f(,, pour tout point (,, de et que l on considère comme une fonction de densité comme étant la masse de. Il est aussi possible de vérifier à partir de la définition de l intégrale que dd d est égale au volume de. Dans ce dernier cas, la fonction à intégrer est la fonction constante f(,, et nous supposons que la région est bornée et que son bord est une réunion finie de surfaces lisses. Nous allons maintenant énumérer quelques-unes des propriétes des intégrales triples dans la proposition ci-dessous. Elle est démontrée en utilisant la définition de l intégrale triple. Proposition 9.: Soient,, deu régions de 3 telles que l intersection de celles-ci est contenue dans les bords de et. Soient f(,,, g(,, deu fonctions réelles et a, b deu nombres réels. Alors: a (règle linéaire (a f(,, +b g(,, dd d a f(,, dd d+b g(,, dd d b f(,, dd d f(,, dd d + f(,, dd d si ces intégrales eistent. Tout comme pour l intégrale double, il est possible d évaluer une intégrale triple au moen d intégrales itérées. Dans la prochaine proposition, nous allons considérer une première situation et ultérieurement faire l énumération d autres situations. Proposition 9.: Si la région est du tpe suivant: {(,, 3 a b, g ( g (, h (, h (, } pour laquelle g (, g ( sont des fonctions de telles que g ( g ( pour tout avec a b et h (,, h (, sont des fonctions de et telles que h (, h (, pour tout (, avec a b et g ( g (. Alors b ( g( ( h(, f(,, dd d f(,, d d d a g ( 73 h (,

2 si ces intégrales eistent. Nous avons représenté la région à la figure 9.. h (, face supérieure face verticale a face verticale h (, face inférieure b g ( g ( figure 9. La preuve de cette proposition est similaire à celle de la proposition 8.. Elle ne sera pas présentée dans ces notes. Avant de discuter des variantes de cette proposition 9., nous allons considérer deu eemples. Eemple 9.: Soit, la région de 3 à l intérieur du tétraèdre dont les sommets sont A (,,, B (,,, C (,, et D (,,. Nous avons représenté la région à la figure 9.. équation du plan ABD est - + D équation du plan ACD est - B A C équation du plan BCD est figure 9. segment de droite d'équation - dans le plan des, L équation du plan passant par les trois points A, B et D est +. Nous obtenons cette équation en sachant qu elle sera de la forme a + b + c d et dont a, b, c, d sont à déterminer. Mais par ce que A, B et D appartiennent au plan, leurs coordonnées doivent vérifier cette équation. Nous obtenons ainsi a( + b( + c( d a( + b( + c( d a( + b( + c( d. Nous obtenons a, d et b + c. Il a une infinité de solutions. Il nous en faut qu une seule. Prenons par eemple c. Conséquemment b et c est ainsi que nous obtenons l équation + 74

3 pour ce plan. L équation du plan passant par B, C et D est. L équation du plan passant par A, C et D est. L équation de la droite dans le plan des, passant par A et C est. De tout ceci, nous pouvons affirmer que est une région du tpe de la proposition 9.. En effet, {(,, 3,, }. Alors dd d ( ( ( 3 ] 6 d d d d 3 6 d ( ( ( 4 4 ] ] 4. d d ( d d Eemple 9.: Evaluons l intégrale triple dd d sur la région {(,, 3,, ( + }. Cette région est celle contenue dans le premier octant à l intérieur du paraboloïde d équation + et sous le plan horiontal d équation. Elle est du tpe de la proposition 9.. Nous avons représenté la région à la figure 9.3. plan d'équation surface d'équation + figure 9.3 arc de cercle d'équation + En effet, {(,, 3,, ( + }. Donc ( ( ( ( ] dd d d d d d d + + ( ( ( ( + ( d d ( 3 d d 4 4 (( 4 4 ( d 4 ( ] ] 4 d ( + 4 d ( ( ( 4 Nous allons énumérer des variantes de la proposition précédente. Essentiellement tout ce qui est différent d un cas à l autre, c est le tpe de la région d intégration. Il est préférable non pas de mémoriser ces formules, mais plutôt de les comprendre et de bien les visualiser. 75 d

4 Proposition 9. : a Si la région est du tpe suivant: {(,, 3 a b, g ( g (, h (, h (, } pour laquelle g (, g ( sont des fonctions de telles que g ( g ( pour tout avec a b et h (,, h (, sont des fonctions de et telles que h (, h (, pour tout (, avec a b et g ( g (. Alors f(,, dd d si ces intégrales eistent. b Si la région est du tpe suivant: b ( g( ( h(, a g ( h (, f(,, d d d {(,, 3 a b, g ( g (, h (, h (, } pour laquelle g (, g ( sont des fonctions de telles que g ( g ( pour tout avec a b et h (,, h (, sont des fonctions de et telles que h (, h (, pour tout (, avec a b et g ( g (. Alors f(,, dd d si ces intégrales eistent. c Si la région est du tpe suivant: b ( g( ( h(, a g ( h (, f(,, d d d {(,, 3 a b, g ( g (, h (, h (, } pour laquelle g (, g ( sont des fonctions de telles que g ( g ( pour tout avec a b et h (,, h (, sont des fonctions de et telles que h (, h (, pour tout (, avec a b et g ( g (. Alors f(,, dd d si ces intégrales eistent. d Si la région est du tpe suivant: b ( g( ( h(, a g ( h (, f(,, d d d {(,, 3 a b, g ( g (, h (, h (, } pour laquelle g (, g ( sont des fonctions de telles que g ( g ( pour tout avec a b et h (,, h (, sont des fonctions de et telles que h (, h (, pour tout (, avec a b et g ( g (. Alors f(,, dd d si ces intégrales eistent. e Si la région est du tpe suivant: b ( g( ( h(, a g ( h (, f(,, d d d {(,, 3 a b, g ( g (, h (, h (, } 76

5 pour laquelle g (, g ( sont des fonctions de telles que g ( g ( pour tout avec a b et h (,, h (, sont des fonctions de et telles que h (, h (, pour tout (, avec a b et g ( g (. Alors si ces intégrales eistent. f(,, dd d b ( g( ( h(, a g ( h (, f(,, d d d La preuve de cette proposition est similaire à celle de la proposition 8.. Elle ne sera pas présentée dans ces notes. Nous allons poursuivre notre présentation d eemples de l utilisation d intégrales itérées pour le calcul d intégrales triples. Eemple 9.3: Soit {(,, 3,, ( +, }. est la région de 3 contenue dans le premier octant au-dessus du plan horiontal d équation, en-dessous du plan d équation et à l intérieur du cône d équation +. Nous avons représenté dans la figure 9.4. plan d'équation plan d'équation cône d'équation + figure 9.4 Considérons l intégrale triple 43 dd d. La région est d un des tpes présentés à la proposition 9.. En effet {(,, 3,, }. Donc 4 3 dd d 8 5 ( ( 4 3 d d d ( ( d d ( ] d 8 ( d ] ( ] ( 4 ( ( d d ( ( d 5 d d Eemple 9.4: Soit, la région de 3 à l intérieur de l heaèdre dont les sommets sont A (,, 4, B (,, 3, C (, 4, 6, D (4, 4, 8, E (,, 8, F (,, 6, G (, 4, et H (4, 4, 6. Nous avons représenté à la figure

6 A B C D E F G H figure 9.5 En procédant comme nous l avons fait à l eemple 9., nous pouvons déterminer les équations des plans bordant. L équation du plan contenant les points A, B, E et F est, celle du plan contenant les points C, D, H et G est 4, celle du plan contenant les points A, D, E et H est, celle du plan contenant les points B, C, F et G est, celle du plan contenant les points A, B, C et D est + + et finalement celle du plan contenant les points E, F, G et H est + +. Déterminons le volume de. Nous savons que le volume de la région est dd d. La proposition 9. est applicable dans ce cas-ci, car {(,, 3 4, (/, ( + ( + }. Donc Volume de ( / ( ( (+ (+ d d d ( + d d / ( (/ + d 7 ( ] ( ( + d ( ( ( / ] d / ] (+ d (+ Il a plusieurs façons de décrire les points de 3. Parmi tous ces sstèmes de coordonnées, deu apparaissent souvent; il s agit des coordonnées clindriques et des coordonnées sphériques. Nous allons maintenant considérer ces sstèmes de coordonnées, ainsi que le théorème de changement de coordonnées pour les intégrales triples dans le cas des changements des coordonnées cartésiennes à ces coordonnées. Au point (,, du plan 3, nous pouvons lui associer ses coordonnées clindriques (r, θ, pour lesquelles r est la distance entre le point (, et l origine (, dans le plan des,, alors que θ est la mesure (dans le sens inverse des aiguilles d une montre de l angle formé par la demi-droite des positifs et la demi-droite commençant à l origine et passant par le point (, dans le plan des,. Finalement dans les coordonnées clindriques (r, θ, du point (,, est la composante par rapport à l ae des. Nous avons représenté ceci à la figure d

7 (,, r θ figure 9.6 projection (,, Ainsi nous avons r, θ < π et. Les changements de coordonnées sont les suivants: r cos(θ r + r sin(θ et θ arctan(/,. Ceci est une conséquence simple de la définition de r, θ et. Nous pouvons maintenant énoncer une proposition similaire à la proposition 8.3 avec dans ce cas-ci le changement de coordonnées cartésiennes à coordonnées clindriques. Proposition 9.3: Soient, une région de l espace des,,, {(r, θ, [, [, π (r cos(θ, r sin(θ, }, la région correspondante dans l espace des r, θ, et une fonction réelle f : telle que l intégrale triple f(,, dd d eiste. Alors l intégrale f(r cos(θ, r sin(θ, r dr dθ d eiste et nous avons f(r cos(θ, r sin(θ, r dr dθ d f(,, dd d. Preuve: Celle-ci est similaire à celle de la proposition 8.3 au chapitre précédent. Il s agit de calculer un petit élément de volume. Ceci est obtenu dans la figure 9.7. angle de mesure θ i i ri r i i côté de longueur r i θ i volume de la i -ième sous-région est r r θ i i i i figure

8 Cette région représente la i-ième sous-région dans la définition de l intégrale triple. Son volume est r i ( θ i ( r i ( i. Ceci eplique la présence du facteur r dr dθ d dans l intégrale du côté gauche de l égalité. Eemple 9.5: Soit {(,, 3 +, }. Cette région est celle à l intérieur du clindre dont l ae est l ae des et de raon, à l etérieur du clindre dont l ae est aussi l ae des et de raon, au-dessus du plan d équation et en-dessous du plan d équation. Nous avons représenté cette région à la figure 9.8. cercle d'équation + dans le plan, cercle d'équation + dans le plan, figure 9.8 Evaluons l intégrale triple ep( + dd d. Nous pouvons utiliser la proposition 9.3 pour évaluer celle-ci. La région correspondant à dans les coordonnées clindriques sera {(r, θ, r, θ π, }. Noter que + (r cos(θ + (r sin(θ r. De la proposition 9.3, nous avons ( π ( ep( + dd d ep(r r dr dθ d ( π ( ep(r ] r ( π (e 4 e dθ d r (e4 e ( π dθ d (e4 e ( ] θπ θ d θ ( ] (e 4 eπ d (e 4 eπ (e4 eπ. r ep(r dr dθ d dθ d Eemple 9.6: Soit {(,, 3 +, 4( +, }. est la région de 3 à l intérieur du clindre dont l ae de smétrie est l ae des et de raon, entre les deu plans horiontau d équation respectivement et et à l etérieur du cône d équation 4( +. Nous avons représenté cette région à la figure

9 cône d'équation 4( + cercle de raon centré au point (,, - dans le plan - figure 9.9 Evaluons l intégrale triple ( + + dd d en utilisant les coordonnées clindriques plutôt que les coordonnées cartésiennes. La région correspondant à en coordonnées clindriques sera {(r, θ, θ π, r, r r}. Notons aussi que + + (r cos(θ + (r sin(θ + r +. En utilisant la proposition 9.3 et de ce qui précède, nous obtenons ( + + dd d (r + r dr dθ d π ( ] r (r 3 + r3 3 8 π ( ] r 5 r dθ r 5 π dr r π ( dθ dθ 8 5 ( r (r + r d dr dθ r ( 8r 4 3 dr dθ π ( θ ] θπ θ 56π 5. Au point (,, du plan 3, nous pouvons aussi lui associer ses coordonnées sphériques (ρ, θ, ϕ pour lesquelles ρ est la distance entre le point (,, et l origine (,, dans 3, alors que θ est la mesure (dans le sens inverse des aiguilles d une montre de l angle formé par la demi-droite des positifs et la demi-droite commençant à l origine et passant par le point (, dans le plan des, et ϕ est la mesure de l angle formé par la demi-droite des positifs et la demi-droite commençant à l origine et passant par le point (,, dans 3. Ainsi nous avons ρ, θ < π et ϕ π. Nous avons représenté ceci dans la figure 9.. Les changements de coordonnées sont les suivants: ρ sin(ϕcos(θ ρ sin(ϕsin(θ ρ cos(ϕ et ρ + + θ arctan(/, ϕ arctan( + /. Ceci est une conséquence simple de la définition de ρ, θ et ϕ. 8

10 (,, ϕ ρ θ figure 9. Nous pouvons aussi énoncer une proposition similaire à la proposition 8.3 avec dans ce cas-ci le changement de coordonnées cartésiennes à coordonnées sphériques. Proposition 9.4: Soient, une région de l espace des,,, l ensemble des (ρ, θ, ϕ [, [, π [, π] tels que (ρ sin(ϕ cos(θ, ρ sin(ϕ sin(θ, ρ cos(ϕ, la région correspondante dans l espace des ρ, θ, ϕ et une fonction réelle f : telle que l intégrale triple f(,, dd d eiste. Alors f(ρ sin(ϕcos(θ, ρ sin(ϕsin(θ, ρ cos(ϕρ sin(ϕdρ dθ dϕ eiste et nous avons f(ρ sin(ϕcos(θ, ρ sin(ϕsin(θ, ρ cos(ϕρ sin(ϕdρ dθ dϕ f(,, dd d. Preuve: Celle-ci est similaire à celle de la proposition 8.3 au chapitre précédent. Il s agit de calculer un petit élément de volume. Ceci est obtenu dans la figure 9.. Cette région représente la i-ième sous-région dans la définition de l intégrale triple. Son volume est ρ i sin(ϕ i( ϕ i ( θ i ( ρ i. Ceci eplique la présence du facteur ρ sin(ϕdρ dθ dϕ dans l intégrale du côté gauche de l égalité. ρ i côté de longueur ρ sin(ϕ θ i i i côté de longueur ρ ϕ i i ρ angle de mesure ϕ i ϕ i i côté de longueur ρ i θ i segment de longueur ρ i sin(ϕ i angle de mesure θi figure 9. 8

11 Eemple 9.7: Soit {(,, 3 +,, + + }. Ainsi est la région de 3 contenu à l intérieur de la sphère centrée à l origine et de raon, à l intérieur du cône d équation + et au-dessus du plan horiontal d équation. Nous avons représenté dans la figure 9.. sphère d'équation + + π/4 cône d'équation + figure 9. Evaluons l intégrale triple ( + + 3/ dd d en utilisant les coordonnées sphériques. La région correspondant à en coordonnées sphériques sera {(ρ, θ, ϕ ρ, θ π, ϕ π/4}. Notons aussi que + + ρ. En utilisant la proposition 9.4 et de ce qui précède, nous obtenons ( + + 3/ dd d (ρ 3/ ρ sin(ϕdρ dθ dϕ ( π ( π/4 ρ 5 sin(ϕdϕ dθ dρ ( π ( π ( π π( ρ 5 ( cos(ϕ ρ 5 ( ] ϕπ/4 ϕ ( dθ dρ dθ dρ ( ρ 5 dθ dρ ( ρ 5 dρ ( ( ρ 6 π 6 ] ρ ρ ] θπ ρ (θ 5 dρ θ ( π. 6 Eemple 9.8: Soit {(,, 3, + + 4}. Nous avons représenté la région à la figure

12 sphère d'équation + + sphère d'équation + + figure 9.3 Evaluons l intégrale triple dd d. La région correspondant à en coordonnées sphériques sera {(ρ, θ, ϕ θ π, ρ, ϕ π/}. En utilisant la proposition 9.4 et de ce qui précède, nous obtenons dd d ρ cos(ϕρ sin(ϕdρ dθ dϕ π ( ( π/ ρ 3 sin(ϕcos(ϕdϕ dρ dθ π π 5 8 ( ( π ( ρ 3 sin (ϕ ρ 3 dρ dθ 5π 4. ] ϕπ/ dθ ϕ π dρ dθ ( π 4 4 ] ρ dρ ρ Eemple 9.9: Evaluons l intégrale de l eemple 9.6 en utilisant les coordonnées sphériques plutôt que les coordonnées clindriques. appelons que nous avons représenté à la figure 9.9. La région correspondant à en coordonnées sphériques est {(ρ, θ, ϕ θ π, ϕ min ϕ π ϕ min, ρ / sin(ϕ}. Il est facile de vérifier que ϕ min est tel que tan(ϕ min /, sin(ϕ min / 5, cos(ϕ min / 5, sin(π ϕ min / 5 et cos(π ϕ min / 5. Pour obtenir ceci, nous utilisons le fait que ρ sin(ϕ pour les points sur le 84

13 bord clindrique vertical de notre région. En utilisant la proposition 9.4 et de ce qui précède, nous obtenons ( + + dd d ρ ρ sin(ϕdρ dθ dϕ π ( π ϕmin (/sin(ϕ ρ 4 sin(ϕdρ dϕ dθ 5 5 ϕ min π ( π ϕmin ( ρ 5 ] ρ/ sin(ϕ ϕ min ρ π ( π ϕmin ϕ min π 8 5 π π 5 5 sin 4 (ϕ dϕ dθ ( cos(ϕ 3 sin 3 (ϕ cos(ϕ 3 sin(ϕ ( ( / 5 3(/ ( / (/ 5 dθ 8 ( ] θπ θ 56π 5 5. θ sin(ϕ dϕ dθ ] ϕπ ϕmin ϕϕ min Dans le calcul précédent, il a fallu utiliser l intégrale indéfinie cos( sin 4 d ( 3 sin 3 ( cos( 3 sin( + c. dθ ( (/ 5 3(/ 5 (/ 5 3 3(/ 5 Il est possible d obtenir ce dernier résultat en intégrant par parties. Noter premièrement que ( d cot( d ( cos( d d sin( sin (. Alors et conséquemment 3 ( sin 4 ( d d cos( sin d ( d sin( cos( cos( ( cos( sin ( sin( sin( sin 3 d ( cos( cos sin 3 ( ( cos( ( sin sin 4 d ( sin 3 ( ( sin 4 d ( cos( sin 4 d ( sin 3 ( + cos( sin d ( sin 3 ( cos( sin( + c. dθ Eercices 9.: Evaluer chacune des intégrales triples suivantes: a ( + + dd d où est l intérieur du tétraèdre de 3 dont les sommets sont (,,, (,,, (,, et (,, 3; 85

14 b dd d où est la région de 3 telle que, et + ; c dd d où est l intérieur du parallélipipède de 3 dont les sommets sont (,,, (,,, (, 3,, (,,, (,, 3, (,, 3, (, 4, 3 et (, 3, 3; d ( + + dd d où est l intérieur du prisme de 3 dont les sommets sont (,,, (,,, (,,, (,,, (,, et (,, ; e dd d où est l intérieur de la pramide de 3 dont les sommets sont (,,, (,,, (,,, (,, et (,, ; f dd d où est la région de 3 telle que,, 4 et + ; g + dd d où est la région de 3 telle que + 9, et ; h dd d où est la région de 3 telle que et est comprise entre le paraboloïde d équation + et le cône d équation + ; i + dd d où est la région de 3 telle que et est comprise entre le paraboloïde d équation + et le cône d équation + ; j ( + + dd d où est la région de 3 telle que, et + ; k dd d où est la région de 3 telle que et + + ( 4. l dd d où {(,, 3 }, m ( + + dd d où {(,, 3,,, (/a + (/b + (/c } avec a, b, c des nombres réels >. n 3 /( + ( + + dd d où {(,, 3,,, + + }. 86