Distributions. Chapitre Espace fonctionnel Définition Fonctionnelle

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1 53 Chapitre 5 Distributions 5. Espace fonctionnel 5.. Définition On appelle espace fonctionnel un ensemble F de fonctions ayant une structure d espace vectoriel. L (IR) et L (IR) forment des espaces fonctionnels. L (A) est la classe de fonctions Lebesgues intégrables sur A. Si on convient d identifier les fonctions de L (A) égales presque partout, on obtient un nouvel espace L (A) (f p.p. = g dans L (A) est équivalent à f = g dans L (A)) Fonctionnelle On appelle fonctionnelle T sur un espace fonctionnel { F une application linéaire de F dans C. On note : F C T : f <T,f> L (IR) C T : f <T,f>= f(x) dµ(x) L espace fonctionnel F est dit topologique si on a donné un sens à l expression la suite ϕ n (x) de fonctions de F converge pour n + vers la fonction ϕ(x) F. Si F est normé, on peut donner à l expression la suite ϕ n (x) de fonctions de F converge pour n + vers la fonction ϕ(x) F le sens suivant : ε N = N(ε) tel que n > N = ϕ n ϕ ε Ce choix de convergence est appelé convergence en norme.

2 54 CHAPITRE 5. DISTRIBUTIONS La fonctionnelle T sur un espace fonctionnel topologique F est continue si pour toute suite de fonctions (ϕ n ) n de F convergeant vers ϕ F, la suite numérique (< T,ϕ n >) n converge vers <T,ϕ>. Elle est linéaire si pour tous complexes λ et λ 2 et toutes fonctions ϕ et ϕ 2 de F on a <T,λ ϕ + λ 2 ϕ 2 >= λ <T,ϕ > +λ 2 <T,ϕ 2 >. Soit F et G deux espaces fonctionnels topologiques, chacun muni de sa propre notion de convergence. On dit que F G: si ϕ F,ϕ G si une suite de F converge dans F au sens de la norme de F, alors elle converge aussi dans G au sens de la norme de G. On prend F = C 0( [0,],IR ), muni de la topologie de la convergence uniforme et G l ensemble des fonctions bornées de [0,] dans IR, muni de la topologie de la convergence simple. On a F G. Densité Soit F et G tels que F G. On dit que F est dense dans G si toute fonction de G est la limite au sens de la convergence de G d une suite d éléments de F. Rappels On appelle support d une fonction ϕ : IR C le plus petit fermé contenant {x IR/ϕ(x) 0}. On peut normer l espace vectoriel L (IR) des classes d équivalences de L (IR), pour la classe d équivalence "presque partout égale à", par : L (IR) IR L (IR) : f f L (IR) = f(x) dµ(x) Notation On note C 0 c {IR} l ensemble des fonctions continues et à support borné. L espace fonctionnel C 0 c {IR} est dense dans L (IR) Dual d un espace fonctionnel topologique Le dual F d un espace fonctionnel topologique F est l ensemble des fonctionnelles linéaires et continues sur F. Soient F et G deux espaces fonctionnels topologiques. Si F Get si F est dense dans G, alorsg F.

3 5.2. DISTRIBUTIONS Espace fonctionnel D L ensemble des fonctions ϕ : IR C infiniment dérivables et à supports bornés forme un espace fonctionnel noté D et appelé espace fonctionnel de Schwartz. Les éléments de D sont appelés fonctions d essai. La fonction de Schwartz définie par : IR IR ζ : {e x x 2 si x < 0 si x C est une fonction de classe C ayant pour support [,]. ζ Det on a : - 0 n N ζ (n) ( ) = ζ (n) () = 0 Soit ϕ D et soit f sommable à support borné, alors le produit de convolution ( ϕ f ) (x) = x ) f(x ) dµ(x ) appartient à D. ϕ(x 5..5 Convergence dans D On dit qu une suite de fonctions (ϕ n ) n Dconverge vers ϕ Dau sens de D quand n tend vers l infini si : les supports de tous les ϕ n sont contenus dans un même ensemble borné pour p N donné, la suite ( ϕ (p) ) n converge uniformément vers ϕ(p) n N 5.2 Distributions 5.2. Définition On appelle distribution toute fonctionnelle linéaire et continue sur D. L ensemble des distributions est noté D. Une distribution est une fonctionnelle, et non une fonction.

4 56 CHAPITRE 5. DISTRIBUTIONS Propriété L espace D est un espace vectoriel avec les lois suivantes : <T + T 2,ϕ > = <T,ϕ > + <T 2,ϕ > λ C <λt,ϕ> = λ<t,ϕ> s T est dite nulle si et seulement si ϕ D, < T,ϕ >=0 T = T 2 si ϕ D, < T,ϕ >=< T 2,ϕ > Distributions régulières Soit f de IR dans C, localement sommable. L application de D dans C définie par : T f : ϕ <T f,ϕ >= f(x) ϕ(x) dµ(x) est une distribution dite régulière. Toute distribution qui ne peut pas s écrire sous cette forme est dite singulière. En physique on note souvent f la distribution régulière T f. Soient f et g deux fonctions localement sommables. On a : T f = T g f = g presque partout La fonction de Heaviside est localement sommable et on peut lui associer une distribution régulière notée T H : C est la distribution de Heaviside. ϕ D <T H,ϕ >= H(x) ϕ(x) dµ(x) = 0 ϕ(x) dx Distribution de Dirac Distribution de Dirac On définit une distribution δ, appelée { distribution de Dirac, telle que : D C δ : ϕ <δ,ϕ>= ϕ(0) δ est une distribution singulière : il n existe pas de fonction δ localement sommable telle que δ(x) ϕ(x) dµ(x) =ϕ(0) ϕ D De manière générale, le produit de deux distributions n est pas défini.

5 5.2. DISTRIBUTIONS 57 (cas particulier) Soit ψ : IR C de classe C (pas forcément à support borné). Soit T ψ la distribution régulière associée à ψ. LeproduitT ψ T d une distribution quelconque T D par T ψ est défini par : ϕ D <T ψ T,ϕ >=< T,ϕψ> Distributions singulières découlant de δ soit a IR δ (a) est notée δ(x a) en physique. soit λ IR δ (a) : { D C ϕ ϕ(a) D C δ(λx): ϕ λ ϕ(0) Valeur principale de Cauchy. Soit f une fonction à valeurs réelles définie en tout point d un intervalle fini [a,b], à l exception d un point c ]a,b[ au voisinage duquel elle n est pas bornée. Il se peut que l intégrale impropre de Riemann b a f(x) dx déf = lim soit infinie, mais que la limite suivante : lim ε 0 + ε 0 + c ε a f(x) dx + ( c ε f(x) dx + a b c+ε lim ε f(x) dx b c+ε 2 f(x) dx soit finie. Dans ce cas, cette limite est appelée valeur principale de Cauchy de f et on note vp b a ( c ε f(x) dx déf = lim f(x) dx + ε 0 + a b c+ε ) f(x) dx ) 2. Soit f une fonction à valeurs réelles dont l intégrale de Riemann est finie sur tout intervalle fini de la forme [a,b]. Il se peut que l intégrale impropre + f(x) dx déf = lim lim a b + b a f(x) dx soit infinie, mais que la limite suivante : b lim b + b f(x) dx soit finie. Dans ce cas, la deuxième intégrale est appelée valeur principale de Cauchy de f sur IR, et on note : vp + f(x) dx déf = lim b + b b f(x) dx

6 58 CHAPITRE 5. DISTRIBUTIONS Distribution P f x La fonction x x n est pas localement sommable. Cependant, l expression ( ε ϕ(x) + ) lim ε 0 x dx + ϕ(x) + +ε x dx ϕ(x) =vp x dx a un sens quelle que soit ϕ dans D. En effet, par un changement de variable élémentaire, on a : + ϕ(x) + vp x dx = lim ϕ(x) ϕ( x) dx ε 0 ε x Or au voisinage de l origine, la fonction dans la deuxième intégrale est bornée car elle est l expression du taux de variation de ϕ au voisinage de l origine. ϕ(x) ϕ( x) x = ϕ(x) ϕ(0) x + ϕ( x) ϕ(0) x x 0 2 ϕ (0) Donc + ϕ(x) <P f,ϕ >= vp dx ϕ D x x Cette distribution est une distribution singulière. Dans D,onaxP f =,oùxest la distribution associée à la fonction identité de D, et la distribution x associée à la fonction unité de D. 5.3 Transformée d une distribution 5.3. Translation On définit la fonction translation τ a : x x a, a IR. A partir de cette définition, on peut définir la translatée d une distribution T, noté T τ a. <T τ a,ϕ >=< T,ϕ τ a > ϕ D Dilatation On définit la fonction dilatation d λ : x λx, λ IR. A partir de cette définition, on peut définir la "dilatée" d une distribution T, notée T d λ : <T d λ,ϕ >= λ <T,ϕ d λ > ϕ D

7 5.4. SUPPORT D UNE DISTRIBUTION 59 On peut considérer le cas particulier où λ =, dont on peut tirer deux définitions :. T est dite paire si T d = T, 2. T est dite impaire si T d = T. s. La distribution de Dirac est paire. 2. La distribution P f x est impaire. 5.4 Support d une distribution. On dit qu un distribution T est nulle sur un ouvert U de IR si <T,ϕ>=0pour toute fonction ϕ Ddont le support est contenu dans U. 2. On appelle support d une distribution T le plus petit fermé de IR tel que T soit nul dans son complémentaire. Soit f localement sommable. Soit T f sa distribution associée. Le support de T f coïncide avec celui de f. On considère la fonction échelon de Heaviside H, ainsi que sa distribution T H associée. Pour tout ϕ D,ona: On a donc Supp(T H )=IR +. De même, Supp(δ) ={0}. <T H,ϕ >= IR H(x) ϕ(x) dµ(x) = + 0 ϕ(x) dx Le support d une distribution est dit limité à gauche (respectivement à droite) si il est inclus dans IR + (resp. si il est inclus dans IR ). L ensemble des distributions à support limité à gauche (resp. à droite) est noté D + (resp. D ). On appelle E l ensemble des distributions à support borné. E D

8 60 CHAPITRE 5. DISTRIBUTIONS 5.5 Convergence dans D 5.5. Choix de la topologie Soit une suite (T n ) n de distributions. On dit que (T n ) n converge vers T D si la suite numérique ( <T n,ϕ > ) n converge vers <T,ϕ>quelle que soit la fonction ϕ prise dans D. Notation On note : l.i.m n T n = T. Soit { T λ,λ Λ } une famille de distributions dépendant d un paramètre λ. On dit que {T λ } converge vers T λ0 quand λ tend vers λ 0 si l expression <T λ,ϕ > tend vers <T λ0,ϕ > pour tout ϕ de D. On note alors : l.i.m T λ = T λ0 λ λ Suites de Dirac Soit f sommable telle que fdµ=. Soit x f n (x) =nf(nx). Pour tout n entier naturel, la fonction f n est sommable et Soit T fn la distribution régulière associée à f n. La suite ( T fn est appelée suite de Dirac associée à f. )n f n dµ =. La suite de Dirac associée à f converge vers la distribution de Dirac δ : s. Reprenons la fonction de Schwartz : Soit γ(x) = + ζ : l.i.m T f n = δ n {e x 2 si x < 0 sinon ζ(x) (fonction ζ dont l aire est normalisée à ). ζ(u) du Soit (γ n ) la suite de Dirac associée à γ : La suite ( T γn ) converge vers δ : soit encore, de façon équivalente : γ n (x) =nγ(nx) lim nγ n (nx) ϕ(x) dµ(x) =ϕ(0) n l.i.m T γ n n = δ

9 5.6. DÉRIVÉE D UNE DISTRIBUTION 6 γ 3 γ 2 γ - -/2 0 /2 -/3 /3 2. La suite de Dirac associée à x π( + x 2 converge vers δ ) 5.6 Dérivée d une distribution Soit T D. On appelle dérivée de T, notée T, la distribution définie par : <T,ϕ >= <T,ϕ > ϕ D Toute distribution est indéfiniment dérivable, et <T (n),ϕ >= ( ) n <T,ϕ (n) > On considère la distribution de Heaviside T H. On a pour toute fonction ϕ appartenant à D : <T H,ϕ >= <T H,ϕ >= Donc la dérivée de T H est la distribution de Dirac. + 0 ϕ (x) dx = ϕ(0) =< δ,ϕ> Soit f dérivable sur IR, sauf en x = a où elle admet une discontinuité de première espèce. En notant σ = f(a + ) f(a ) (amplitude du saut en a), et en supposant f (a + ) et f (a ) finis, on a : T f = T f + σδ (a) y σ a x Cas de la distribution de Heaviside : T H = T H + σδ= δ (T H =0car H est nulle presque partout et σ =)

10 62 CHAPITRE 5. DISTRIBUTIONS Soit ϕ C.SoitT ϕ la distribution associée à ϕ. La dérivée du produit T ϕ T, avec T quelconque donne : (T ϕ T ) = T ϕ T + T ϕ T 5.7 Convergence de la suite des distributions dérivées Soit (T n ) n une suite de distributions et soit T appartenant à D. Si l.i.m T n = T,alors: n l.i.m T n = T n Soit la fonction f définie par x f(x) = e x2 /2. f est sommable, de classe C et on a + f(x) dx =. On considère la suite définie par : n N, f n (x) =nf(nx). D après le résultat précédent, on a, avec les notations usuelles : ( ) l.i.m Tfn = δ n soit encore : car f n est dérivable sur tout IR. On en déduit : lim n + + l.i.m n (T f n )=δ n3 x e n2 x 2 2 ϕ(x) dx = ϕ (0) ϕ D f 2 f 5 f Utilisation des distributions en mécanique Nous allons appliquer la théorie des distributions à la dynamique du point matériel. En effet, les distributions sont recommandées par exemple dans les problèmes traitant des chocs de deux particules, car l interaction est alors ponctuelle dans le temps, discontinue et non dérivable vis-à-vis des fonctions comme l impulsion. Soit une particule ponctuelle de masse m se déplaçant sur l axe des x : x(t) =v t t 0, v > 0, t 0 IR Au temps t = t 0 la particule heurte l origine. On a donc : { mv si t<t 0, p(x) = mv si t>t 0,

11 5.9. PRODUIT DE CONVOLUTION 63 Au sens des fonctions, dp =0presque partout. dt On considère T p la distribution associée à l impulsion p. OnaT p =2mv δ (t0). D après le principe fondamental de la dynamique la force s exerçant sur la particule durant le choc est donc une distribution singulière. En physique, on note : F =2mv δ(t t 0 ) t 0 t < t 0 trajectoire : x impulsion : 0 t > x t 0 mv p t 0 t t 0 t -mv δ (t0) a pour dimension l inverse d un temps : + + δ(t) dt = δ(t) ϕ(t) dt = ϕ(0) 5.9 Produit de convolution Soit S D et ϕ D. Alors <S y,ϕ(x + y) > est une fonction de IR dans C de x, la notation S y signifiant que la distribution ne s applique qu à la variable y. On gardera ces notations tout au long de cette partie. Soient T et S deux distributions. On appelle produit de convolution de T et S, noté T S, la distribution définie, si elle existe, par : { D C T S : ϕ <T x,<s y,ϕ(x + y) >> S T n existe pas toujours : il faut que <S y,ϕ(x + y) > appartienne à D ce qui n est pas assuré dans le cas général. Si T S existe, alors on a T S = S T. : conditions suffisantes d existence du produit Soient T et S D.. a) si T ou S est dans E,alorsT S est défini b) si T et S sont dans E,alorsT S est défini et T S E 2. a) si T et S sont dans D +,alorst S est défini et T S D + b) si T et S sont dans D,alorsT S est défini et T S D Soit T D.Ona:. δ T = T 2. δ T = T

12 64 CHAPITRE 5. DISTRIBUTIONS Démonstration Soit ϕ D. <δ T,ϕ > = <δ x,<t y,ϕ(x + y) >> = <T x,<δ y,ϕ(x + y) >> = <T x,ϕ(x) > = <T,ϕ> <δ T,ϕ > = <T x,<δ y,ϕ >> = <T x, ϕ (x) > = <T,ϕ > = <T,ϕ > Si on considère la fonction translation définie par : Alors T D,ona: τ (a) = { IR IR x x a δ (a) T = T τ (a) Cas particulier Soient a et b deux réels. δ (a) δ (b) = δ (a+b) Soit T et S D.SiT S existe, alors on a : (T S) = T S = T S Cette proposition peut être généralisé à l ordre n : (T S) (n) = T S (n) = T (n) S Preuve Par définition, on peut écrire pour toute fonction ϕ D (S T ) (n),ϕ = ( ) n S T (n) = ( ) n S(x), T (y),ϕ (n) (x + y) = S(x),( ) n T (y),ϕ (n) (x + y) = = S(x), S T (n),ϕ T (n) (y),ϕ(x + y) Le produit de convolution n est en général pas associatif : (T H δ ) =δ = T H (δ ) = T H 0=0

13 5.0. TRANSFORMÉE DE FOURIER DES DISTRIBUTIONS Transformée de Fourier des distributions 5.0. Introduction Le but de cette partie est que l on puisse arriver à quelque chose du type : < F[T f ],ϕ >=< T f,f[ϕ] > Avec F[ϕ] = e ikx ϕ(x) dµ(x). Pour cela il faut que F[ϕ] D, ce qui n est pas assuré : si ϕ D, F[ϕ] n est pas a support borné (sauf pour la fonction nulle). On introduit donc un espace fonctionnel S tel que : ϕ S F[ϕ] S Espace fonctionnel S On appelle S l ensemble des fonctions de IR dans C indéfiniment dérivables et telles que : p,q N x p ϕ (q) (x) < + sup x IR Cet ensemble est appelé espace des fonctions de classe C à décroissance rapide (les fonctions de cet espace décroissent plus vite que n importe quelle loi de puissance en x). La fonction x x 3 e x2 vérifie les conditions énoncées précédemment. Elle est donc dans S mais elle n est pas dans D (elle n est pas à support borné).. ϕ S= ϕ S 2. ϕ S= x p ϕ q (x) est sommable 3. ϕ S= F[ϕ] et F [ϕ] existent et sont dans S. De plus on a : F [ F [ϕ] ] = F [ F[ϕ] ] Choix de convergence Soit (ϕ n ) une suite de fonctions de S et soit ϕ S. On dit que (ϕ n ) converge vers ϕ si et seulement si pour tout couple (p,q) d entiers naturels, la suite ( x p ϕ n (q) ) n converge vers xp ϕ (q) de manière uniforme. D est dense dans S pour ce choix de convergence. On appelle S le dual de S et on le nomme ensemble des distributions tempérées. L ensemble des distributions tempérées est inclus strictement dans D Transformée de Fourier d une distribution tempérée Soit T S, pour tout ϕ S,ona: < F[T ],ϕ >=< T,F[ϕ] >

14 66 CHAPITRE 5. DISTRIBUTIONS Si T S,alorsF[T ] S. Les résultats présentés ici sont les mêmes si on considère la transformée inverse F. On vérifie facilement que δ S. En écrivant la définition de la transformée de Fourier de δ, on trouve sans aucun problème : Soit ϕ S. < F[δ],ϕ > = <δ,f[ϕ] > = <δ, e ikx ϕ(x) dµ(x) > = ϕ(x)dµ(x) On a donc : F[δ] = où est la distribution régulière associée à la fonction x. De même, on a : F[δ (a) ] = e iak a IR [ ] F = δ F [δ] = En physique : F F[δ ] = [ F ix ] = δ ik [ ] = + e ikx dx = + e ikx dx On a donc : δ(k) = + e ikx dx Cette expression n a pas de sens au niveau mathématique car la fonction x e ikx n est pas sommable. Soit (T n ) une suite de distributions de S,etsoitT S. Si l.i.m T n = T,alorsl.i.m F[T n]=f[t ]. n n On a : E S D (toute distribution à support borné est tempérée). Soit T E.OnmontrequeF[T] est régulière et est associée à la fonction de classe C : { IR C k <T x,e ikx >

15 5.. DISTRIBUTION DANS IR Transformée de Fourier du produit de convolution Soient S S et T E.Ona: F[T S] = F[T ] F[S] (ce qui comprend l existence des deux termes) 5. Distribution dans IR 3 Soit x =(x,x 2,x 3 ) r = x = x 2 + x2 2 + x2 3. On définit : D ( IR 3), l ensemble des fonctions [t]ir 3 C (x,x 2,x 3 ) ϕ(x,x 2,x 3 ), C à support borné. Soit S : IR 3 C { 0 si r x e r 2 si r< D ( IR 3) D ( IR 3),ledualdeD ( IR 3). Soit T D ( IR 3), linéaire et continue. T : La distribution de Dirac : δ 3d D ( IR 3) δ : D ( IR 3) C ϕ <T,ϕ> D ( IR 3) C ϕ( x ) ϕ( 0)=ϕ(x =0,x 2 =0,x 3 =0) Les physiciens définissent une fonction δ telle que : δ 3d = δ(x )δ(x 2 )δ(x 3 ). ϕ( x )δ 3d ( x )d 3 x = ϕ( 0). 5.. Dérivées partielles Soit T D ( IR 3). T,ϕ = T, ϕ x i x i ϕ D ( IR 3) Exercice { IR 3 C (x,x 2,x 3 ) r = x 2 +x 2 2 +x2 3 Cette fonction est radiale (elle ne dépend que de x ). Calculons ( ) r (pour étudier la distribution de charge à l origine) dans IR 3 \{0}. ( ) r ( 2 = x 2 )( ) + 2 x x 2 =0 3 r

16 68 CHAPITRE 5. DISTRIBUTIONS Ainsi, les fonctions IR 3 C radiales, vérifient : f =0. Comme f = d2 f dr df r dr, alors : f = A r + B A,Bctes. Soit la fonction IR 3 IR. (x,x 2,x 3 ) r = x r est localement sommable dans IR3, on peut lui associer une distribution régulière. r,ϕ = r ϕ ( x ) d 3 x ϕ D ( IR 3). ( r ) dans D (IR 3 ). avec dσ ε = ε 2 sin θdθdϕ. ( ),ϕ = r r, ϕ = r ϕd3 x = lim I ε = d 3 x ϕ r( ) = d 3 x ϕ r r>ε }{{} Th de Green =0 ε 0 + ϕ r d3 x Espace \S(0,ε) }{{} I ε ( + ϕ r=ε r r + ϕ r ( ) = 4πδ dans D ( IR 3) r ( )) dσ ε r