Classe [ 0 ; 30 [ [ 30 ; 60 [ [ 60 ; 90 [ [ 90 ; 120 [ [ 120 ; 150 [ [ 150 ; 180 [ [ 180 ; 210 [ Effectif

Transcription

1 S Sttstques Dns ce chtre, nous étuderons des séres sttstques numérques (ou vrbles quntttves). Ces vrbles sont dtes dscrètes s les vleurs rses sont solées (nombres d élèves dns une clsse, nombre de notes dns un trmestre ) ou contnues s les vleurs rses euvent être quelconques dns un ntervlle (tlle d une ersonne, msse d une ersonne ) Dns ce derner cs, l est souvent utle de regrouer les vleurs en clsses. ous llons vor des rmètres de oston et des rmètres de dserson.. Médne, étendue, qurtles et décles. L médne est un rmètre de oston. Eemle. Consdérons les cnq nombres : ; ; ; ; 0. Rngeons-les r ordre crossnt : ; ; ; 0 ;. Il y utnt de nombres suéreurs à que de nombres néreurs à. On dt que l médne de cette sére est égle à. Eemle. Consdérons les s nombres : 0 ; ; ; ; ; 4. Rngeons-les r ordre crossnt : ; ; ; 0 ; ; 4. Il n este s de nombre de cette sére l rtgent en eects égu de rt et d utre. Pour l médne, on chost le mleu de l ntervlle médn [ ; 0 ], c est-à-dre 7,. Dénton. Sot X une sére sttstque quntttve dscrète et,,, l lste ordonnée des données. S est mr, c est-à-dre s +, on une seule vleur centrle + :. termes termes S est r, c est-à-dre s, on deu vleurs centrles et + :. termes termes On elle médne d une sére sttstque X (notée Med X), l vleur centrle de l sére ( mre) ou l dem somme des deu vleurs centrles ( r). Eercce. Vleur Détermner l médne de l sére sttstque rerésentée dns ce tbleu. Remrque. L médne ne chnge s s on enlève les deu vleurs etrêmes, contrrement à l moyenne. Eercce. Détermner grhquement une médne. Une enquête est eectuée our étuder le tems t conscré chque jour u trjet mson/trvl, r les emloyés d une usne. Les résultts regroués en clsses d mltude 0 mnutes, sont ndqués dns le tbleu suvnt. Clsse [ 0 ; 0 [ [ 0 ; 0 [ [ 0 ; 90 [ [ 90 ; 0 [ [ 0 ; 0 [ [ 0 ; 80 [ [ 80 ; 0 [ Eect Fréquences Eect n Clsse [ 0 ; 0 [ [ 0 ; 0 [ [ 0 ; 90 [ [ 0 ; 0 [ [ 0 ; 0 [ [0 ; 80 [ [ 0 ; 0 [ Fréquences cumulées On suose que dns chque clsse, les eects sont rerts de mnère régulère.. Comléter les tbleu. b. Trcer l courbe des réquences cumulées crossntes (rendre une ge entère et du er mllmétré). c. En dédure une vleur rochée de l médne de cette sére sttstque.

2 Déntons. Sot X une sére sttstque contnue. L oncton, notée ou X, dont l courbe est celle des réquences cumulées crossnte est elée oncton de rértton. L médne est le lus ett ntécédent de 0, c est-à-dre le nombre lus ett nombre Med tel que (Med) 0,. Sot X une sére sttstque numérque quelconque (dscrète ou contnue). L lus ette vleur Q d une sére telle que % u mons des données sont néreures ou égles à Q est elée le remer qurtle. L lus ette vleur Q d une sére telle que 7 % u mons des données sont néreures ou égles à Q est elée le trosème qurtle. Le deuème qurtle Q est l médne de l sére. L ntervlle [ Q ; Q ] est l ntervlle nterqurtle, le nombre Q Q est l écrt nterqurtle. mn Q Med Q Q m % % % % Remrque. Dns le cs d une sére sttstque contnue, les nombres Q et Q vérent donc (Q ) 0,7 où est l oncton de rértton. (Q ) 0, et Dénton. L étendue d une vrble est l dérence entre l lus grnde et l lus ette des vleurs observées. Ce rmètre déend des mesures etrêmes qu euvent être ecetonnelles. C est un rmètre de dserson. Eercce. Détermner l étendue des séres des eemles et. Eercce 4. On consdère les données d une sére sttstque rngés r ordre crossnt : 4,,,, 8, 8, 8, 0,,.. Comléter le tbleu suvnt. Vleurs de l sére % de données néreures ou égles à l vleur b. En dédure le remer qurtle, l médne, le trosème qurtle, l ntervlle et l écrt nterqurtle de cette sére. Eercce. Lre les qurtles sur l courbe des réquences cumulées crossntes de l eercce. Déntons. On eut uss dénr les décles, l ntervlle et l écrt nterdécle d une sére sttstque. L lus ette vleur D d une sére telle que 0 % u mons des données sont néreures à D est elée le remer décle L ntervlle [ D ; D 9 ] est l ntervlle nterdécle. Le nombre D 9 D est l écrt nterdécle. Les décles sont emloyés lorsque le nombre d observtons est mortnt. Dgrmmes en boîte. Connssnt les qurtles d une sére sttstque, on eut rerésenter l sére r un dgrmme en boîte de l mnère suvnte : Les brres vertcles ndquent de l guche vers l drote : le mnmum, le remer qurtle, l médne, le trosème qurtle et le mmum de cette sére sttstque. Eercce. Fre le dgrmme en boîte à rtr des données de l eercce. On ourr chosr cm our 0 mn.

3 . Moyenne rthmétque (rmètre de oston). ) Dénton. L moyenne de nombres,,,, notée, est : L moyenne des nombres,,, vec les eects n, n,.., n est : n n j j. n n j j vec n + + n. Eercce 7. Un élève eu les notes suvntes u remer trmestre. ote Eect. Clculer s moyenne. b. Clculer l réquence de chque note, us l moyenne à rtr de celles-c. En notnt l eect totl de l sére, l réquence du nombre j est n j j. Cette nouvelle notton donne l ormule suvnte : j n j j. j Orlement : L moyenne n orte ucune normton sur l dserson des nombres, ns our l eemle récédent, on ne eut s dre que l moté des notes est suéreure à l moyenne et que l moté des notes est néreure à l moyenne. Il este d utres moyennes, ctons r eemle l moyenne géométrque, l moyenne hrmonque, et l moyenne qudrtque (quelle est l vtesse moyenne sur un ller retour schnt que l vtesse à l llée étt v et l vtesse u retour étt v?) Eercce 8. Sur une drote grduée, consdérons les onts A,, A d bscsses resectves,, et sot G le brycentre des onts (A, ),, (A, ). Démontrer que l bscsse de G est. Eercce 9. Au derner devor de mth, les 4 lles de l clsse ont eu une moyenne de et les grçons une moyenne de 9,. Clculer l moyenne de l clsse en utlsnt l ssoctvté du brycentre. b) Théorème (Trnsormton ne des données). Sot X une sére sttstque dscrète : (, ),, (, ) de moyenne. En eectunt une trnsormton ne + b ( et b réels és) sur les données,,, on obtent une sére sttstque Y : (y, ),, (y, ) vec y + b de moyenne y + b. (L démonstrton est cle en revennt u déntons). Eercce 0. ) Avec les données de l eercce 4, que devent l moyenne s on ugmente chque note d un ont? b) Toujours vec les mêmes données, que devent l moyenne s on ugmente chque note de 0 %? c) Regrouements. Eemle. L moyenne m des 0 notes obtenues r les grçons à un devor est, ; l moyenne m des 0 notes obtenues r les lles est égle à,. Quelle est l moyenne de l clsse? (Remrquons que l moyenne de cette clsse est orcément comrse entre, et,). Théorème (dms). On rértt nombres,,, n en deu sous-groues dsjonts, l un contennt éléments et l utre q éléments. S m est l moyenne des nombres du remer sous-groue, et m celle du deuème sous-groue, lors l moyenne des nombres,,, n est : q m m m ou vec les réquences m m + m. Avec l eemle récédent, cel donne m 0 0, + 0 0,,8.

4 . Vrnce et écrt tye (rmètres de dserson). ) Déntons et eemles. Théorème (Stener). L oncton : t ( t) + + ( t) dmet un mnmum ttent our t. Le nombre (t) mesure l dserson des nombres,,, n utour de t. Démonstrton. L oncton est dérvble, de dérvée : (t) (t ) + + (t ) (( + + ) t ( + + )). Comte tenu de + + et de + +, on obtent : (t) (t ). Lorsque t, lors (t) 0, donc est décrossnte sur ] ; [. Lorsque t, lors (t) 0, donc est crossnte sur ] ; + [. Donc dmet un mnmum ttent our t. Le mnmum est lors clculé r : ( ) ( ) + + ( ). Cec nous condut u déntons suvntes : Déntons (vrnce et écrt tye). L vrnce d une sére sttstque (, ),, (, ) est déne r : V ou vec les eects V C est l moyenne des crrés des écrts à l moyenne. L écrt tye est l rcne crrée de l vrnce, s V (ou noté en robblté). L unté de l écrt tye est l même que celle de l sére. Eemle. Au contrôle n, on relève les notes suvntes. ote 9 4 Eect n 4 n L moyenne de ces notes est : 9,. 0 9, 4 9 9, 9, 4 9, L vrnce de ces notes est : V,. 0 Donc l écrt tye est : s,, 9. Remrque orle. On ne eut s conclure que l écrt bsolu moyen à l moyenne est,9. 9, 4 9 9, 9, 4 9, En eet l écrt bsolu moyen est, 8. 0 Eercce. Au contrôle n, on relève les notes suvntes. ote 4 8 Eect 4. Clculer l moyenne de ces notes. b. Clculer l écrt tye de ces notes. c. Comrer et commenter les résultts r rort u contrôle n.

5 Remrque. Il este une utre ormule ermettnt de clculer l vrnce (et donc l écrt tye). b) Prorétés. V (ormule de Huygens-Köng) Théorème (Trnsormton ne des données). Sot X une sére sttstque dscrète : (, ),, (, ) d écrt tye s X. En eectunt une trnsormton ne + b ( et b réels és) sur les données,,, on obtent une sére sttstque Y : (y, ),, (y, ) vec y + b d écrt tye s Y s X (L démonstrton est cle en revennt u déntons). Le coule (moyenne, écrt tye) joue un rôle mjeur en sttstque. D une rt our l nlyse ou l comrson de séres sttstques, d utnt lus qu elles sont roches d une dstrbuton normle (vor c-dessous). D utre rt, l est rremlçble dns l étude théorque de roblèmes relvnt de l estmton et de l échntllonnge Dstrbuton normle. Le olygone des eects résente l sect d une courbe en cloche symétrque r rort à l moyenne (courbe de Guss). oter le ourcentge des eects dns les ntervlles centrés en et de ryon s, s (9 %), s (99 %). 8 % 9 % 99 %

6 Comléments Utlston de l clcultrce en sttstques Avec une clcultrce Tes Instrument. Ecer les données :, chosr CLRLIST et re suvre de. Entrer les données :, chosr EDIT. Entrer les vleurs de dns l colonne L et les eects dns L. Pus uyer sur us délcer le curseur sur l drote sur CALC et resser our lncer le clcul des sttstques à une vrble. Presser lors. (L chge est lors -VrStts L, L). On eut lors lre (en snt déler les résultts vec les lèches ) : L moyenne de l sére ( ) L somme des vleurs de l sére ( ). L somme des crrés des vleurs de l sére ( ). L écrt tye de l sére ( σ ). L écrt tye «échntllonnge» de l sére (S). L eect totl de l sére (nstt). L lus ette vleur de l sére (mnx). L lus grnde vleur de l sére (mx). Le remer qurtle (q). L médne (medstt). Le trosème qurtle (q). Avec une clcultrce Cso. Ecer les données : MEU, chosr STAT et lcer le curseur dns l lste. Presser F ( ) our re déler le menu, us F (DEL.A) enn conrmer l suresson F (YES). Entrer les données : MEU, chosr STAT. Entrer les vleurs de dns l colonne L et les eects dns L. Arès vor éventuellement ressé l touche F ( ) our re déler le bndeu néreur, resser l touche F (CALC) us F4 (SET). Le curseur, étnt sur l remère lgne, chosr Lst F vr Xlst : Lst. (Cel dént l remère lste Lst comme lste des vleurs de l sére). Le curseur étnt sur l deuème lgne, chosr Lst F Vr Freq : Lst. (Cel dént l deuème lste Lst comme lste des eects de l sére). Auyer sur EXIT ou QUIT ou EXE our qutter le rmétrge, us resser l touche F (VAR). On eut lors lre (en snt déler les résultts vec les lèches ) : L moyenne de l sére ( ). L somme des vleurs de l sére ( ). L somme des crrés des vleurs de l sére ( ). L écrt tye de l sére ( n ). L écrt tye «échntllonnge» de l sére ( n.) L eect totl de l sére (n). L lus ette vleur de l sére (mnx). Le remer qurtle (Q). L médne (Med). Le trosème qurtle (Q). L lus grnde vleur de l sére (mx). Il est consellé de se re une che sur l utlston de l clcultrce our les sttstques.

7 Fréquences cumulées crossntes. S Sttstques Solutons des eercces Eercce. On rnge les vleurs du crctère r ordre crossnt, chcune gurnt un nombre de os égl à son eect : 0 ; 0 ; 4 ; 4 ; 4 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ;. Ic, est r ( 0), donc Med est le mleu de l ntervlle médn, c est-à-dre de l ntervlle [4 ; 0], donc Med 47,. Attenton à ne s conondre médne et moyenne! Eercce.. Comlétons les tbleu. Clsse [ 0 ; 0 [ [ 0 ; 0 [ [ 0 ; 90 [ [ 90 ; 0 [ [ 0 ; 0 [ [ 0 ; 80 [ [ 80 ; 0 [ Eect Fréquences 0, 0,99 0,04 0,097 0,8 0,094 0,048 Clsse [ 0 ; 0 [ [ 0 ; 0 [ [ 0 ; 90 [ [ 0 ; 0 [ [ 0 ; 0 [ [0 ; 80 [ [ 0 ; 0 [ Fréquences cumulées 0, 0,4 0, 0,7 0,8 0,9,000 b. Trjet mson trvl, 0,9 0,8 0,7 0, 0, 0,4 0, 0, 0, tems (llée retour) c. L médne est le nombre qu rtge l sére en deu rtes égles, l y 0 % des vleurs de l sére néreures à l médne et 0 % des vleurs de l sére suéreures à l médne. On constte sur le grhque que Med 70 (mn). Il y (romtvement) utnt d emloyés dont le tems de trjet est néreur à 70 mn que d emloyés dont le tems de trjet est suéreur à 70 mn. Eercce. L étendue de l remère sére est 0, our l deuème sére c est 4. Eercce 4. On consdère les données d une sére sttstque rngés r ordre crossnt : 4,,,, 8, 8, 8, 0,,.. Comlétons le tbleu suvnt. Vleurs de l sére % de données néreures ou égles à l vleur 0 % 0 % 40 % 70 % 80 % 00 %

8 b. On en dédut que le remer qurtle est Q (cr est l lus ette vleur our lquelle l y u mons % des données néreures à ). De même Q Med 8, Q 0. L ntervlle nterqurtle est [ ; 0 ] et l écrt nterqurtle est 0. Eercce. On eut lre sur le grhque c-dessus, Q 4 (mn) et Q 4 (mn). Eercce. Fsons le dgrmme en boîte à rtr des données Q 4 (mn), Med 70 (mn) et Q 4 (mn) et en rennt cm our 0 mn. 0 mn 4 mn 70 mn 4 mn 0 mn Eercce 7.. On clcule l moyenne rthmétque r l ormule : ,87. b. ote Eect Fréquence On trouve lors : ,87. Eercce 8. Sur une drote grduée, consdérons les onts A,, A d bscsses resectves,, et sot G le brycentre des onts (A, ),, (A, ). Démontrons que l bscsse de G est. Pusque G est le brycentre des onts (A, ),, (A, ), lors OG OA OA. Comte tenu que + +, lors OG OA OA. En regrdnt les bscsses des vecteurs, on obtent G + +. Eercce 9. Au derner devor de mth, les 4 lles de l clsse ont eu une moyenne de et les grçons une moyenne de 9,. Clculer l moyenne de l clsse en utlsnt l ssoctvté du brycentre. otons l moyenne des lles, c es l bscsse du ont (X, 4). otons y l moyenne des grçons, c est l bscsse du ont (Y, ). otons l moyenne de l clsse, c est l bscsse du ont (A, ). A Y D rès le théorème d ssoctvté du brycentre, on br 4 Avec l ormule des coordonnées du brycentre, on 4 y X. 4 sot 9, 0,. Eercce 0.. L moyenne ugmente d un ont églement, l nouvelle moyenne est donc 0,87. b. S on ugmente chque note de 0 %, lors l moyenne ugmente uss de 0 % (sot une multlcton r CM,). L nouvelle moyenne est donc 9,87, 0,8. 9, 4 4 9, 8 9, 9, 48, Eercce.. et b. m 9, et s, c. Les moyennes sont les mêmes ms l écrt tye est lus grnd our cette deuème sére, donc les notes sont lus dsersées r rort à l moyenne (hétérogènes).

9 Dstrbuton normle. Le olygone des eects résente l sect d une courbe en cloche symétrque r rort à l moyenne (courbe de Guss). oter le ourcentge des eects dns les ntervlles centrés en et de ryon s, s (9 %), s (99 %). 8 % 9 % 99 % Dstrbuton normle. Le olygone des eects résente l sect d une courbe en cloche symétrque r rort à l moyenne (courbe de Guss). oter le ourcentge des eects dns les ntervlles centrés en et de ryon s, s (9 %), s (99 %). 8 % 9 % 99 %

10 S Sttstques Eercces Médne, étendue, qurtles et décles. Eercce. Les tlles, en cm, de ennts de à 7 ns, sont les suvntes : Donner l médne, les qurtles Q et Q, les décles D et D 9, l ntervlle nterqurtle et l écrt nterqurtle. b. Rerésenter cette sére sttstque r un dgrmme en boîte. Eercce. Les élèves d une clsse ont obtenu les notes suvntes à un test : Donner l médne... S l note l lus hute sse à 8, l médne chnge t-elle? Elquer. b. On oublé de noter une queston u élèves qu ont 4, s leur note sse à, l médne chnge t-elle? c. On relève toutes les notes de onts, l médne chnge t-elle? Juster. d. L un des élèves qu obtenu 7 est eclu de l sére. Que devent l médne? Moyenne rthmétque. Eercce. Sns clcultrce, ms en utlsnt les écrts à 0, clculer l moyenne de l sére donnée : b c. 0,, 8,9 7, 9,7, 0, 0, 9, 8,. Eercce 4. Dns une entrerse, l y 0 % d hommes et 40 % de emmes. Le slre moyen des hommes est de 780 et celu des emmes est de 40.. Clculer le slre moyen dns cette entrerse.. S on ugmente chque slre de 00, quel ser le slre moyen rès cette ugmentton?. S on dmnue chque slre de %, que devent le slre moyen? (Prendre les données ntles) 4. On ugmente le slre des hommes de % et celu des emmes de 0 %.. Le slre moyen ugmente t-l de 7, %? De lus de 7, %? Réondre sns re de clcul. b. Clculer ce nouveu slre moyen. Conrmer l réonse à l queston récédente. Eercce. Arès qutre contrôles en mthémtques, Vrgne de moyenne et Elode 0,.. Vrgne obtent 0 u contrôle et Elode. Clculer leur moyenne rès cnq contrôles. b. Au contrôle, Vrgne. Détermner l note d Elode u contrôle schnt qu elle ttent l même moyenne que Vrgne rès s contrôles. Vrnce et écrt tye. Eercce. Clculer l moyenne, l étendue et l écrt tye (à 0,0 rès) de l sére suvnte :

11 Eercce 7. Dns un journl, on comtblsé le nombre de lgnes our chque ette nnonce. On obtenu le tbleu de rértton suvnt : ombre de lgnes 4 ombre d nnonces Donner l oulton étudée, l vrble et s nture, l domnnte (ou mode). Clculer l eect totl.. Clculer l moyenne de cette sére et ermer ce résultt à l de d une hrse.. Clculer l écrt tye de cette sére. 4. Clculer le ourcentge d nnonces dont le nombre de lgnes résente un écrt vec l moyenne lus grnd que l écrt tye. Eercce 8. On relève l temérture à 8 h du mtn durnt jours : 4.. Clculer l moyenne et l écrt tye s.. Sot S (t) (t + ) + (t ) + (t ) + (t ) + (t + 4) + (t + ) où t est un réel.. Déveloer chque crré ormnt cette somme, et en dédure l orme rédute et ordonnée de S (t). b. Détermner le réel t 0 où S (t) ttent un mnmum. c. Fre le len vec l moyenne. d. Clculer lors l somme mnmle et retrouver l écrt tye. Eercce 9.. Sot (, ),, (, ) une sére sttstque. Démontrer que V (ormule de Huygens-Köng).. Sot X une sére sttstque dscrète : (, ),, (, ) de moyenne et d écrt tye s X. En eectunt une trnsormton ne + b ( et b réels és) sur les données,,, on obtent une sére sttstque Y : (y, ),, (y, ) vec y + b. Démontrer que l moyenne de cette nouvelle sére est y + b et que l écrt tye est s Y s X. Eercce 0. Le tbleu c-contre donne en euros, le montnt des chts eectués r 000 ersonnes dns un mgsn un jour donné. Montnt des chts eect [ 0 ; [ 0 [ ; 0 [ 80 [ 0 ; 0 [ 480 [ 0 ; 0 [ 00 [ 0 ; 40 [ 40 [ 40 ; 0 [ 00 [ 0 ; 80 ] 0. Fre l'hstogrmme des eects. Untés. Ae des : cm, eects :.. Fre le tbleu des réquences. En dédure, vec une clcultrce et en rennt le centre des clsses, l moyenne et l écrt tye ( à 0,00 rès). Clculer ensute +,.. Recoer et comléter le tbleu des réquences cumulées crossntes. montnt réq. 0 % 00 % 4. Construre l courbe (ou olygone) des réquences cumulées crossntes. Untés. Ae des : cm ; e des y : cm 0.. À l'de d'une constructon sur le grhque, trouver l médne M et les qurtles Q et Q.. Rerésenter cette sére sttstque r un dgrmme en bote. 7. A l'de d'une constructon sur le grhque, trouver le ourcentge corresondnt à un montnt néreur à +. Même queston vec. En dédure le ourcentge de montnts des chts entre et.

12 S Sttstques Correcton des eercces Médne, étendue, qurtles et décles. Eercce. Les tlles, en cm, de ennts de à 7 ns, sont les suvntes : Pusque cette sére vleurs (nombre mr), lors l médne est l vleur (en eet, vleurs sont néreures à celle-c et vleurs sont suéreures à celle-c). Donc Med 8. Pour les qurtles, on t /4,7. On en dédut que le remer qurtle Q est l vleur (cr 00,4 % des vleurs sont néreures ou égles à celle-c). Donc Q. 48 De même, usque 4 47, lors le trosème qurtle Q est l 48 vleur (cr 00 7, % des vleurs sont néreures ou égles à celle-c). Donc Q. On en dédut que l ntervlle nterqurtle est [ ; ] et que l écrt nterqurtle est. 7 Pour le remer décle, on clcule /0, donc le remer décle est l 7 vleur (cr 00, % des vleurs sont néreures ou égles à celle-c). Ans D De même, our le neuvème décle, on clcule, 7 donc le neuvème décle est l 7 vleur (cr , 0 % des vleurs sont néreures ou égles à celle-c). Ans D 9 9. b. Rerésentons cette sére sttstque r un dgrmme en boîte. On chost d bord une unté, r eemle cm sur l gure rerésente cm dns l rélté et on commence à rtr de 04. Mn 04 Q Med 8 Q M Eercce. Les élèves d une clsse ont obtenu les notes suvntes à un test :. Il ut d bord rnger les notes r ordre crossnt (ou décrossnt) Comme l sére comorte nombres, l médne est le 8, sot Med 7. Il y donc u mons 7 notes (7 en t) néreures ou égles à 7 et u mons 7 notes ( en t) suéreures ou égles à 7... S l note l lus hute sse à 8, l médne ne chnge s. En eet, l y ur toujours u mons 7 notes néreures ou égles à 7 et u mons 7 notes suéreures ou égles à 7. b. On oublé de noter une queston u élèves qu ont 4, s leur note sse à, l médne ne chnge s. En eet l y ur toujours u mons 7 notes néreures ou égles à 7 et u mons 7 notes néreures ou égles à 7. c. On relève toutes les notes de onts, l médne chnge, elle ugmente de onts, donc elle devent 0. On eut lors clement vérer qu l y u mons 7 notes néreures ou égles à 0 et u mons 7 notes suéreures ou égles à 0. d. L un des élèves qu obtenu 7 est eclu de l sére. L médne devent 7, cr l ntervlle médn (ormé r l 7 et 8 note) est [ 7 ; 8 ].

13 Moyenne rthmétque. Eercce. Sns clcultrce, ms en utlsnt les écrts à 0, clculons l moyenne de l sére donnée. Pour cel on joute les écrts à 0 (qu euvent être osts ou négts) : Cel donne Pus on t ,7 ce qu donne l moyenne. b Cel donne Donc l moyenne est 0 + 0,. c. 0,, 8,9 7, 9,7, 0, 0, 9, 8,. Cel donne 0, +,,,8 0, +, +0, + 0, + 0, 0,7,9,., Donc l moyenne est 0 0 9,74. Eercce 4. Dns une entrerse, l y 0 % d hommes et 40 % de emmes. Le slre moyen des hommes est de 780 et celu des emmes est de 40.. Clculons le slre moyen dns cette entrerse. On lque l ormule du cours ermettnt de clculer m moyenne à rtr de deu sous groues. Sot m m + m 0, , S on ugmente chque slre de 00, lors d rès le théorème de trnsormton ne des données, l moyenne ugmente uss de 00 (et devent 7 ).. S on dmnue chque slre de %, lors chque slre est multlé r 00 0,9. Alors d rès le théorème de trnsormton ne des données, l moyenne est multlée uss r 0,9 (et devent 0,9 4, ). 4. On ugmente le slre des hommes de % et celu des emmes de 0 %.. Le slre moyen n ugmente s de 7, % cr l n y s utnt d hommes que de emmes. Comme l y lus d hommes que de emmes, lors l ugmentton globle est lus roche de % que de 0 %, utrement dt cette ugmentton globle est néreure à 7, %. b. Clculons ce nouveu slre moyen. On clcule d bord le nouveu slre moyen des hommes 780,0 89 et le nouveu slre moyen des emmes 40,. On lque lors l ormule de clcul de l moyenne à rtr de deu sous groues (comme dns l queston ) et on obtent m m + m 0, ,4 74,. Clculons le ourcentge d ugmentton our sser de à 74,. On t 74, 00,74 %. Cel conrme que l ugmentton globle est néreure à 7, %. Eercce. Arès qutre contrôles en mthémtques, Vrgne de moyenne et Elode 0,.. Vrgne obtent 0 u contrôle et Elode. Clculons leur moyenne rès cnq contrôles. On utlse l ormule de clcul de l moyenne à rtr de deu sous groues et on obtent : m m + m 4 0, et m m + m 4 0,,4. Donc Vrgne, de moyenne et Elode,4 vec les cnq remères notes. b. Au contrôle, Vrgne. Détermnons l note d Elode u contrôle schnt qu elle ttent l même moyenne que Vrgne rès s contrôles. 7 L moyenne de Vrgne u bout du contrôle est donc, (sot,8). L moyenne d Elode u bout de contrôle est donc ous devons donc résoudre l équton,4. 7,4. Sot en multlnt les deu membres r :,4 + 7 us donc Elode dot vor 4 u contrôle our obtenr l même moyenne que Vrgne.

14 Vrnce et écrt tye. Eercce. Clculons l moyenne, l étendue et l écrt tye (à 0,0 rès) de l sére de l énoncé. Aurvnt, résumons les données dns un tbleu. ote Eect n Remrquons que l eect totl est L moyenne est : 9 n L vrnce est : V 9 n , ,79. On en dédut que l écrt tye est s V, 79,. Eercce 7. Dns un journl, on comtblsé le nombre de lgnes our chque ette nnonce. On obtenu le tbleu de rértton suvnt : ombre de lgnes 4 ombre d nnonces n L oulton étudée est les ettes nnonces, l vrble est le nombre de lgnes, c est une vrble quntttve (c est un nombre) et le mode est 4 (9 nnonces ont 4 lgnes). L eect totl est 00.. Clculons l moyenne de cette sére. 90 n , Les ettes nnonces de ce journl ont moyenne envron,9 lgnes.. Clculons l vrnce us l écrt tye de cette sére. V n , On en dédut que l écrt tye est s V, 9,4 (lgne). 4. Clculons le ourcentge d nnonces dont le nombre de lgnes résente un écrt vec l moyenne (,9) lus grnd que l écrt tye (,4). Il ut donc vor le ourcentge d nnonces dont le nombre de lgnes n est s dns l ntervlle [,9,4 ;,9 +,4 ] [,7 ;,04 ]. Donc on comte nnonces ynt, ou lgnes, ce qu rerésente donc 8 % des nnonces ,9

15 Eercce 8. On relève l temérture à 8 h du mtn durnt jours : 4.. Clculons l moyenne et l écrt tye s. 4 n 0. V n 4 0,7. On en dédut que l écrt tye est s V 7,.. Sot S (t) (t + ) + (t ) + (t ) + (t ) + (t + 4) + (t + ) où t est un réel.. Déveloons us obtenons l orme rédute et ordonnée de S (t). S (t) t + 4 t t 0 t + + t t t t + + t + 8 t + + t + t + 9 S (t) t + 4. b. Détermnons le réel t 0 où S (t) ttent un mnmum. S (t) t us on résout l équton S (t) 0 sot t 0 et t 0. Donc le réel t 0 où S (t) ttent son mnmum est t 0 0. c. On en dédut que l moyenne est 0, c est le théorème de Stener usque (t) S t dmet son mnmum en l moyenne. d. Clculons lors l somme mnmle et retrouvons l écrt tye. D rès le cours, V ( ) (0) 0 S 4 us s V 7, ce qu vt été déjà trouvé urvnt. Eercce 9.. Sot (, ),, (, ) une sére sttstque. Démontrons que : V (ormule de Huygens-Köng). On r dénton V Donc V Pusque et que, on obtent : V.. Sot X une sére sttstque dscrète : (, ),, (, ) de moyenne et d écrt tye s X. En eectunt une trnsormton ne + b ( et b réels és) sur les données,,, on obtent une sére sttstque Y : (y, ),, (y, ) vec y + b. Démontrons que l moyenne de cette nouvelle sére est y + b et que l écrt tye est s Y s X. y y b b b b. Pusque et que, on obtent : y b, ce qu l llt démontrer. V Y y y b b Donc V Y V X. Pr conséquent s Y Y V X V X V s X, ce qu l llt démontrer.

16 Eercce 0.. Fsons l'hstogrmme des eects. Untés. Ae des : cm, eects :. Attenton, les clsses ne sont s d mltudes égles! Montnt des chts ombre d chts Are (etts crreu) Are (cm ) Lrgeur (cm) Huteur (cm) [ 0 ; [ 0 [ ; 0 [ [ 0 ; 0 [ [ 0 ; 0 [ [ 0 ; 40 [ , [ 40 ; 0 [ ,7 [ 0 ; 80 ] 0 4 0,7 [ 0 ; [ [ 0 ; 0 [ [ ; 0 [ [ 0 ; 0 [ [ 0 ; 40 [ [ 40 ; 0 [ [0 ; 80 [ montnt ( ). Fsons le tbleu des réquences. Le tbleu c-contre donne en euros, le montnt des chts eectués r 000 ersonnes dns un mgsn un jour donné. ous en dédusons : Moyenne , 80 8,4. 7, 480 Montnt des chts eect réquence [ 0 ; [ 0 % [ ; 0 [ 80 4 % [ 0 ; 0 [ % [ 0 ; 0 [ 00 0 % [ 0 ; 40 [ 40 % [ 40 ; 0 [ 00 % [ 0 ; 80 ] 0 % Vrnce V Ecrt tye V 09, 4,70. On donc + 4,09 et,7. 8,4,09.

17 réquence (%. Comlétons le tbleu des réquences cumulées crossntes. montnt réq. 0 % % 7 % % % 8 % 97 % 00 % 4. Construsons l courbe (ou olygone) des réquences cumulées crossntes. Untés. Ae des : cm ; e des y : cm montnt ( ). A l'de d'une constructon sur le grhque, nous trouvons l médne m. ous voyons que le remer qurtle est d envron Q 7, et le trosème qurtle Q 7.. On chost une unté, r eemle cm our. Pus on lce sur une drote grduée le mnmum de l sére 0, le remer qurtle, m médne, le trosème qurtle et le mmum 80. mn 0 Q 7, M Q 7 m Pr constructon grhque, nous trouvons qu l y envron 84 % de montnts néreurs à + 4. De même, r lecture grhque, nous trouvons qu l y envron % de montnts néreurs à 4. ous en dédusons qu l y envron % de montnts d chts entre 4 et 4.