STATISTIQUES ET ECHANTILLONNAGE

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1 STATISTIQUES ET ECHANTILLONNAGE I. Caractéristique de position d une série statistique ) Séries statistiques Voici les séries de notes obtenues par 3 élèves : Jérôme : ; 6 ; 8 ; 7 ; 7 ; 2 ; 2 ; 8 Bertrand : 3 ; 3 ; 2 ; 0 ; 2 ; 3 ; ; 2 ; ; 5 Julie : 5 ; 9 ; ; 3 ; 0 ; 2 ; 2 ; ; 0 2) Moyennes M(Jérôme) = ( ) : 8,8 M(Bertrand) = ( ) : 0 =,8 M(Julie) = ( ) : 9,8 La moyenne est une caractéristique de position. 3) Médianes La médiane m est une valeur de la série telle que la moitié de l effectif ait des valeurs inférieures à m, l autre moitié des valeurs supérieures à m. Pour déterminer les notes médianes, il faut ordonner les séries. La médiane partage l effectif en deux. Jérôme : données données m(jérôme) = 2 Bertrand : données 5 données m(bertrand) = (2 + 3) : 2 = 2,5 Julie : données données m(julie) = 2 La médiane est une caractéristique de position. Page sur 7

2 II. Caractéristiques de dispersion d une série statistique ) Etendue L étendue d une série statistique est la différence entre la plus grande valeur et la plus petite valeur de la série. En reprenant les données de l exemple étudié au paragraphe I. : E(Jérôme) = 8 = E(Bertrand) = 5 0 = 5 E(Julie) = 5 9 = 6 L étendue est une caractéristique de dispersion. car «3» est négligeable dans la série de Bertrand. On dit qu on a élagué la série. 2) Quartiles Définitions : Le premier quartile est la plus petite valeur de la série telle qu'au moins 25 % des autres valeurs de la série sont inférieures ou égales à cette valeur. Le troisième quartile est la plus petite valeur de la série telle qu'au moins 75 % des autres valeurs de la série sont inférieures ou égales à cette valeur. Pour déterminer les quartiles, il faut ordonner les séries. Le premier quartile est la donnée de la série se trouvant «au» quart de l effectif. Le troisième quartile est la donnée de la série se trouvant «au» trois-quarts de l effectif. Jérôme : x 8 = 2, le premier quartile est la 2e donnée de la série ordonnée. 3 x 8 = 6, le troisième quartile est la 6e donnée de la série ordonnée. Q (Jérôme) = 6 Q 3 (Jérôme) = 7 Bertrand : x 0 = 2.5, le premier quartile est la 3e donnée de la série ordonnée. 3 x 0 = 7.5, le troisième quartile est la 8e donnée de la série ordonnée. Q (Bertrand) = 2 Q 3 (Bertrand) = Julie : x 9 = 2.25, le premier quartile est la 3e donnée de la série ordonnée. 3 x 9 = 6.75, le troisième quartile est la 7e donnée de la série ordonnée. Page 2 sur 7

3 Q (Julie) = 0 Q 3 (Julie) = 3 Les quartiles sont des caractéristiques de dispersion. 3) Interprétations M(Jérôme) =,8 m(jérôme) = 2 E(Jérôme) = Q (Jérôme) = 6 Q 3 (Jérôme) = 7 M(Bertrand) =,8 m(bertrand) = 2,5 E(Bertrand) = 5 Q (Bertrand) = 2 Q 3 (Bertrand) = M(Julie),8 m(julie) = 2 E(Julie) = 6 Q (Julie) = 0 Q 3 (Julie) = 3 Les moyennes sont environ égales et pourtant les notes ne se répartissent pas de la même manière autour de cette caractéristique de position. Les étendues sont très différentes. Dire que Jérôme à une médiane égale à 2 signifie que Jérôme a obtenu autant de notes au dessus de 2 que de notes en dessous de 2. Dire que le premier quartile de Bertrand est égal à 2 signifie qu au moins un quart des notes de Bertrand sont inférieures à 2. Dire que le troisième quartile de Julie est égal à 3 signifie qu au moins trois quarts des notes de Julie sont inférieures à 3. III. Effectifs cumulés et fréquences cumulées ) Série statistique Tailles des élèves de 2 nde 5 en cm : ) Regroupement par classe Regrouper cette série de tailles par classes de longueur 5 cm et calculer les fréquences en % arrondies à l unité : Tailles 50 t <55 55 t <60 60 t <65 65 t <70 70 t <75 75 t<80 Effectifs Fréquences 2 x00 = L effectif total est 27. Page 3 sur 7

4 HISTOGRAMME DES EFFECTIFS DES TAILLES Remarque : Dans un histogramme, l aire des rectangles est proportionnelle à l effectif (ou à la fréquence). Ainsi, dans l exemple, en regroupant les deux premières classes, on obtiendrait la représentation suivante : 3) Moyenne : a) Calcul de la moyenne en centrant les classes : Classes centrées Effectifs Il s agit d un calcul de moyenne pondéré. La moyenne d une série statistique dont les valeurs sont x, x 2,, x k et les effectifs correspondants n, n 2, nx... nkxk, n k est notée x et est égale à x. n... n k Page sur 7

5 Ainsi dans l exemple : (52 x x + 62 x x x x 3) : 27 = 9 : 27 6,8 cm b) Calcul de la moyenne exacte : ( ) : 27 = : 27 6,6 cm La méthode de calcul de moyenne en centrant les classes est très fiable (ici : 2 mm d erreur) ) Cumuls: Tailles t <55 t <60 t <65 t <70 t <75 t <80 Effectifs cumulés croissants Fréquences cumulées croissantes en % Quel est le pourcentage d élèves dont la taille est inférieure à 70 cm? 78% Quel est le pourcentage d élèves dont la taille est comprise entre 60 cm et 70 cm? = 56% Combien y a-t-il d élèves dont la taille est supérieure à 65 cm? 27-3 = Polygone des effectifs cumulés croissants : Page 5 sur 7

6 IV. Echantillonnage ) Notion d échantillon Exemple : Si, sur l ensemble des cartes à puce produites par une entreprise en une semaine, on en prélève 200, on dit que cet ensemble de 200 cartes à puce constitue un échantillon de taille 200 de la population de toutes les cartes à puce produites en une semaine. Un échantillon de taille n est constitué des résultats de n répétitions indépendantes de la même expérience sur l ensemble des personnes ou objets sur lesquels porte l étude statistique (la population). Un échantillon issu d une population est donc l ensemble de quelques éléments de cette population. 2) Intervalle de fluctuation On suppose que 22% des cartes à puce produites par l entreprise sont défectueuses. La proportion effective p est donc égale à 22%. On prélève un échantillon de taille 200 parmi cette production et on compte le nombre de cartes à puce défectueuses parmi cette échantillon. Ce nombre est égal à. Dans ce cas, la fréquence observée f est égale à 0, Pour un échantillon de taille 200, l intervalle de fluctuation de la fréquence p des cartes à puce défectueuses au seuil de 95 %, est un intervalle de centre 0,22 tel que les fréquences observées se trouvent dans cet intervalle pour 95 % des échantillons de taille 200. L intervalle de fluctuation au seuil de 95% d une fréquence d un échantillon de taille n est l intervalle centré autour de la proportion effective p tel que la fréquence observée f se trouve dans l intervalle avec une probabilité égale à 0,95. Propriété : Pour 0,2 < p < 0,8 et n > 25, l intervalle de fluctuation au seuil de 95% de f est l intervalle p ; p n n. Cela signifie qu on a une probabilité de 0,95 pour que la fréquence observée se trouve dans l intervalle p ; p n n. Page 6 sur 7

7 Remarque : L amplitude de cet intervalle est égale à 2 n. Dans l exemple précédent, l intervalle de fluctuation au seuil de 95% de p=0,22 est 0,22 ;0, ) Intervalle de confiance soit de façon approchée [0,5 ; 0,29]. Soit p la proportion effective tel que 0,2 < p < 0,8. On considère la fréquence observée f pour un échantillon donné de taille n > 25. L intervalle f p au niveau 0,95. ; f n n est appelé un intervalle de confiance (ou fourchette de sondage) de Propriété : 95 % des intervalles de confiance associés aux échantillons de taille n possibles ayant comme fréquence observée f contiennent la proportion effective p. Exemple : Un jeu consiste à tirer 00 billes d un sac contenant 300 billes noires et 300 billes blanches. L expérience peut être simulée avec un tableur afin d effectuer rapidement un grand nombre de tirage. Pour cet échantillon de taille 00, on compte le nombre de billes noires et on calcule la fréquence observée f. On pourrait ainsi vérifier que, dans 95 % des cas, la fréquence des billes noires dans l échantillon appartient à l intervalle : 0,5 ;0, où p = 0,5 et n = 00. soit : [0, ; 0,6]. NUAGE DE POINTS DES FREQUENCES OBSERVEES DES BILLES NOIRES POUR 50 TIRAGES EFFECTUES Page 7 sur 7

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