STATISTIQUES. discrètes. continues

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1 STATISTIQUES Classe de 2 nde Introduction : Toute étude statistique s'appuie sur des données. Dans le cas ou ces données sont numériques (99% des cas), on distingue les données discrètes (qui prennent un nombre fini de valeurs : par ex, le nombre de voitures par famille en France) des données continues (qui prennent des valeurs quelconques : par ex, la taille des animaux d'un zoo). Dans le cas d'une série discrète, le nombre de fois ou l'on retrouve la même valeur s'appelle l'effectif de cette valeur. Si cet effectif est exprimé en pourcentage, on parle alors de fréquence de cette valeur. Dans le cas d'une série continue, on répartit souvent les données par classes. Dans les exercices, les données se présenteront donc ainsi : données numériques discrètes continues données "en vrac" tableau des effectifs ou des fréquences données "en vrac" données réparties par classes Le but des statistiques est d'analyser les données dont on dispose : Pour cela, on peut s'aider d'un graphique : ous verrons notamment cette année les diagrammes à bâtons, les histogrammes On peut aussi chercher à déterminer la moyenne ou la médiane de la série. De tels nombres permettent notamment de comparer plusieurs séries entre elles. On les appelle indicateurs statistiques ou paramètres statistiques. On distingue les indicateurs de position (qui proposent une valeur "centrale" de la série) et les indicateurs de dispersion (qui indiquent si la série est très regroupée autour de son "centre" ou non). ous étudierons cette année les indicateurs statistiques suivants : Indicateurs de position : Indicateurs de dispersion : mode, classe modale ; médiane, classe médiane ; moyenne étendue I. Vocabulaire des séries statistiques : La population est l ensemble sur lequel porte l observation : on étudie un caractère ( ou variable) bien précis sur les individus de cette population : on collecte et on dépouille des données. L effectif total notée est le nombre d individus de la population. Un échantillon est une partie de la population. La liste des valeurs ( ou modalités ) prise par le caractère constitue la série statistique. Lorsque le caractère étudié prend des valeurs numériques, le caractère est quantitatif, sinon le caractère est qualitatif. - Un caractère quantitatif est discret lorsqu il prend que quelques valeurs isolées. - Un caractère quantitatif est continu lorsqu il peut prendre toutes les valeurs d un intervalle. Définitions : L effectif d une modalité x i est égal au nombre d individus qui prennent cette valeur : on le note n i. L effectif total est l effectif de la population, donc = n + n 2 + n n p. Exemples : Voici deux séries statistiques qui seront utilisées sur l ensemble du cours, sous le nom de «Série» et «Série 2» ; elles se situent dans une classe de lycée. Série : Répartition des notes d un contrôle : ote ( x i ) ombres d élèves ( n i ) Série 2 : Répartition des tailles des élèves ( données réparties en classe ) Taille ( cm ) [25;35[ [35;45[ [45;55[ [55;65[ [65;75[ [75;85[ ombres d élèves ( n i ) Cours : Chapitre : Statistiques Page / 6

2 Pour chaque série répondre aux questions suivantes :. Quelle est la population étudiée? 2. Quel est le caractère étudié? Est-il qualitatif? quantitatif? Préciser s il est discret ou continu. 3. Quel est l effectif total ( )? Série Série 2. La population étudié est l ensemble des élèves d une classe de lycée. 2. Le caractère étudié est une note à un contrôle ; il est quantitatif discret. 3. L effectif total est égal à 34.. La population étudié est l ensemble des élèves d une classe de lycée. 2. Le caractère étudié est la taille de chaque individu ; il est quantitatif continu. 3. L effectif total est égal à 34. II. Les indicateurs statistiques : II. Fréquence : Définition : La fréquence f i d une valeur est le quotient de l effectif n i de cette valeur par l effectif total : ni fi =. C est un nombre compris entre 0 et : 0 f i. Pour la série n compléter le tableau ci-dessous en faisant apparaître les différentes fréquences f i : L effectif total de la série est = 34 x ote ( x i ) n x 2 x 3 n 2 n 3 n 4 x 4 x 5 n 5 n 6 x 6 x 7 ombres d élèves ( n i ) n Fréquence ( f i ) f = = n 7 x 8 n 8 x 9 x 0 n 9 n 0 La somme des fréquences de toutes les valeurs prises par un caractère est égale à : f + f f p = De même, la somme des fréquences données en pourcentage de toutes les valeurs prises par un caractère est égale à 00%. II.2 Etendue : L étendue d une série statistique est la différence entre les valeurs extrêmes du caractère. Exemple : Dans la série n, l étendue est égale à 7. ( 9 2 =7 ) II.3 Mode : p colonnes Le mode d une série statistique est la valeur du caractère ayant l effectif le plus grand. Exemples : Dans la série n, l effectif le plus grand est 6 Il y a donc 2 modes : 9 et 0 Dans la série n 2, l effectif le plus grand est Il y a donc classe modale : [35 ;45[ Cours : Chapitre : Statistiques Page 2 / 6

3 II.4 La médiane : Définition : Soit une série quantitative ordonnée. La médiane, notée M, est une valeur qui sépare la population en deux sous-ensembles de même effectif. Elle correspond à une fréquence cumulée croissante de 50%. 50 % de l effectif 50 % de l effectif Exemple : série n x M M x M ote ( x i ) ombres d élèves ( n i ) ( ou effectif ) Effectifs cumulés croissants x n x 2 x n 2 n 3 n 4 x 4 x 5 n 5 n 6 x 6 x n 7 x 8 n 8 x 9 x 0 n 9 n 0 La médiane de la série se situe entre le 7 ème et le 8 ème rang d où : M = 0 Conclusion : Comment trouver le(s) rang(s) où se situe la médiane? Soit l effectif total : si est impair : la médiane est la valeur de rang % 50 % +. 2 si est pair : nous prendrons la moyenne des deux valeurs qui sont au centre de la série, c'est à dire + dont les rangs entourant le nombre. 2 Dans l exemple n, l effectif total = 34 donc 34 + = 7,5. La médiane se situe alors entre le 7 ème 2 et le 8 ème rang d où M = 0. II.5 Moyenne : La moyenne est la somme des produits n i x i divisée par l effectif total. Souvent notée x, elle est égale à : M n x + n2x npxp x = Calculer la moyenne x de la série : ote ( x i ) ombres d élèves ( n i ) x n x 2 x n 2 n 3 n 4 x 4 x 5 n 5 n 6 x 6 x n 7 x 8 n 8 x 9 x 0 n 9 n x = = 0,5 34 Cours : Chapitre : Statistiques Page 3 / 6

4 II.6 Propriétés de la moyenne : Propriétés de linéarité : () Si l on multiplie toutes les valeurs x i par une même constante a, alors la moyenne est multipliée par cette constante a. (2) Si l on ajoute une même constante b à toutes les valeurs x i, alors la moyenne est augmentée de cette valeur b. Si y i = ax i +b alors ȳ i = a x i + b Exemple : Dans une entreprise le salaire moyen est de 750 au mois de décembre. Au mois de janvier suivant le salaire de chaque employé augmente de 2% ( ce qui revient à multiplier chaque salaire le coefficient,02 ) auquel s ajoute pour tous une prime exceptionnelle de 50. Quel est le salaire moyen de l entreprise pour ce mois de janvier? x i = 750 ; y i = 750, = 835 Propriété ( moyenne de sous groupes ) : Si la population est partagée en deux sous-groupes disjoints, d effectifs p et q, et si les moyennes de + 2 ces sous groupes sont respectivement x et x 2, la moyenne x est : x = x p x q Exemple : Dans une classe de seconde il y a 9 filles et 6 garçons. A un devoir, la moyenne des 9 filles est de,7 sur 20 et celle des 6 garçons de 0,2 sur 20. Quelle est la moyenne à ce devoir de cette classe? x F =,7 ; p = 9 ; x G =0,2 ; q =6 xf p + xgq, ,2 6 x = =,04 35 Exemple 2 : Dans une entreprise, le salaire mensuel moyen des six cadres est 350 euros et celui des quatorze employés est 850 euros. Calculer le salaire moyen mensuel dans cette entreprise. x C = 350 ; p = 6 ; II.7 Le symbole : x E =850 ; q =4 xc p + xeq x = = = 2240 euros 20 otation : Le symbole ( sigma ) est la première lettre du mot grec signifiant somme. Exemple : Calcul de l effectif total de la série : = n + n 2 + n 3 + n 4 + n 5 + n 6 + n 7 + n 8 + n 9 + n 0 = 34 On le note : 0 = ni et se lit «somme de i variant de à 0 des n i.» i= De même pour la moyenne : ( avec p = 0 ). n x + n2x npxp i= x = = ou x p = i= f i x i p ni xi ( calcul de la moyenne avec les fréquences ) ( calcul de la moyenne avec les effectifs ) Cours : Chapitre : Statistiques Page 4 / 6

5 III. Représentation graphique d une série statistique : III. Caractère qualitatif : Pour représenter une telle série, on peut utiliser 2 graphiques possibles : Le diagramme circulaire : chaque classe correspond à un angle proportionnel à l effectif. Le diagramme en barres : Chaque classe est représentée par un rectangle de même largeur et de longueur proportionnelle à l effectif de la classe. III.2 Caractère quantitatif discret : Par exemple, le relevé des notes d élèves dans une matière constitue une série statistique à caractère quantitatif discret. On représente une telle série par un diagramme en bâtons avec en abscisses les valeurs définissant la variable statistique et en ordonnées les effectifs. III.3 Caractère quantitatif continu : On représente de telles séries par un histogramme. On porte en abscisses les valeurs du caractère. Attention : Les effectifs des classes sont proportionnelles aux aires des rectangles représentant les classes. Dans le cas où les intervalles ont la même amplitude, les effectifs sont alors proportionnels aux longueurs des rectangles. Dans les autres cas, la réalisation et l utilisation d un histogramme est plus difficile. Cours : Chapitre : Statistiques Page 5 / 6

6 IV. Exercices : Exercice n : Série à caractère qualitatif Un élève a mené une enquête auprès des élèves de sa classe possédant un téléphone mobile : 3 d entre eux ont une carte, 2 ont un forfait d une heure par mois, 2 un forfait de 2 heures par mois et un forfait de plus de 2 heures.. Regrouper les résultats dans un tableau. 2. Quelle est la fréquence correspondant à chaque type d abonnement? Remplir le tableau ci-dessous. 3. Représenter cette série par un diagramme en barres. Compléter le graphique ci-dessous. Effectif fréquence carte Forfait h Forfait 2h Forfait + Exercice n 2 : Série à caractère quantitatif discret Les résultats d une enquête sur le prix d une baguette de pain dans les 30 boulangeries d une ville sont regroupées dans le tableau suivant : Prix en centimes Effectif Quel est le prix moyen de la baguette dans cette ville? 2. Représenter cette série par un diagramme en bâtons. 3. Dresser le tableau des effectifs cumulés. Compléter le tableau ci-dessous. Prix en centimes Effectif Effectifs cumulés 4. En déduire la médiane. Exercice n 3 : Série à caractère quantitatif continu Le tableau suivant représente la répartition des salaires mensuels des employés d une entreprise en janvier Salaire (en ) [000 ; 2000[ [2000 ; 3000[ [3000 ; 4000[ [4000 ; 5000[ Effectif Quel est le salaire moyen dans cette entreprise? 2. Représenter cette série par un histogramme. 3. a. Dresser le tableau des effectifs cumulés croissants et en déduire la classe où se trouvera la médiane. b. Construire le polygone des effectifs cumulés croissants. c. A partir du graphique du polygone des effectifs cumulés croissants, déterminer graphiquement la médiane par interpolation linéaire. ( Aide : Voir livre TD2 page 52 ) 4. Que peut-on dire des affirmations suivantes? Justifier vos réponses! «50 % des personnels de l entreprise ont un salaire mensuel supérieur à 2500!» «Le salaire médian est supérieur au salaire moyen!» «En 2009, si l on augmente tout les salaires de 3,5% le salaire moyen de l entreprise sera alors supérieur à 2500!» Cours : Chapitre : Statistiques Page 6 / 6

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