a. Le symbole se lit «sigma» ; l écriture Ex : 2 Fréquences en % ( f i x 100) 11,1 % 29,6 % 59,3 % 100 %!!!!

Transcription

1 Cours : Statstques I. Itroducto Classe de ère S O a vu que our caractérser ue sére statstque, o utlse des : - aramètres de tedace cetrale : - la moyee ; - la médae. Ils ermettet d dquer la «osto» de la sére statstque ; Ex : La temérature moyee du mos de javer 00 état de C ; La temérature moyee du mos de javer 008 état de + 3 C. De faço aturelle, o dra que le mos de javer 00 a été lus frod que celu de 008 ; - aramètres de dserso : - l étedue ; - la varace et l écart tye ; - les quartles et l écart terquartle. Ils ermettet de vor commet les valeurs du caractère étudé se «réartsset» autour du aramètre de tedace cetrale. Ex : Pour le mos de javer 00, o aurat u obter ue moyee de C e ayat C tous les jours ou ar exemle e ayat 5 jours à 0 C et 5 jours à 6 C. Ces deux stuatos e sot as du tout les mêmes. Remarque : L étedue a été trodute au collège et utlsée e secode. Très smle à obter, o va e vor très vte les lmtes. L écart tye et les quartles sot troduts e remère. O va as utlser deux tyes de «résumés» d ue sére statstques : - coule (moyee, écart tye) - coule (médae, écart terquartle). Arès les avor troduts, o aura our objectfs de vor les avatages et les covéets de chacu des deux tyes de sythèse. II. Raels sur la moyee d ue sére statstque. Défto Sot ue sére statstque reat les valeurs x, x,, x avec les effectfs assocés,,,, tels que = La moyee de cette sére est le réel : x x... x x x f x avec f Ex : Poulato étudée : Classe de ère S Nombre de votures ar foyer 0 Total Effectfs Nombre moye de votures ar foyer =, 5 7 Remarques : a. Le symbole se lt «sgma» ; l écrture x tous les termes stués à drote du «sgma» de = jusqu à =. 3 Ex : = = = = 8 motre qu l faut addtoer ( ) ( ) ( ) (3 ) (4 ) (5 ) ,4 57, b. f est la fréquece assocée à la valeur du caractère x. Ex : Das l exemle du tableau, o a : Nombre de votures ar foyer 0 TOTAL Fréqueces f 0, 0,96 0,593!!!! Fréqueces e % ( f x 00), % 9,6 % 59,3 % 00 %!!!! O a be : x 0,0 0,96 0,593, 5 c. Das le cas d ue sére dot les valeurs ot été regrouées e classe, les valeurs de x sot les cetres des classes. Ex : Poulato étudée : Classe de ère S Ts de trajet our le lycée (e m) ] 0 ; 0 ] ]0 ; 0] ]0 ; 30] Cetre de la classe TOTAL effectfs Tems de trajet moye =. Prorétés de la moyee a. Moyee des sous-groues , m 7 m3 s 7 Prorété : O cosdère ue sére statstque de talle et de moyee x, obteue e réussat séres statstques (qu formet des sous-groues de la sére statstque rcale) de talles et de moyees resectves et y.

2 y y Alors, x = y = y usque... = Ex : La classe de ère S est scdée e tros groues selo le chox de la LV. Les effectfs et les moyees des otes obteues our chaque groue de LV sot doés das le tableau c-dessous : allemad (3 élèves) Esagol (8 élèves) LV tale (6 élèves),7 0,5 9,8 3,7 80,5 69,8 Moyee de la classe e LV =, 4 7 Remarque : Avec les otatos de la rorété c-dessus, s chaque dvdu de la oulato étudée est reréseté sur ue drote graduée ar u ot M, alors x est l sobarycetre des ots M. La rorété c-dessus est alors lée à la rorété d assocatvté du barycetre. b. Trasformato affe des doées Prorété : Sot a et b deux réels fxés et (x, x,., x ) ue sére statstque de talle et de moyee x. S, our tout eter comrs etre et, o a le chagemet de varable y ax b, alors la moyee de la sére (y, y,., y ) est égale à y ax b. O dt que la moyee est léare. Ex : Sot la sére statstque c-dessous Valeurs du caractère y TOTAL Effectfs O eut remlacer cette sére ar : Valeurs du caractère x 3 TOTAL Effectfs O a c faclemet x Pour tout, o a y = x + 3. Or, x, d où y III. Mesures de dserso : Varace et Ecart-tye. Itroducto Défto: Sot la sére statstque c-dessous de talle et de moyee x. Valeur du caractère x x x total effectf = La focto f défe sur R ar f(x) = ( x x)² est la moyee des carrés des écarts etre u réel x et chaque terme de la sére. Ex : Poulato étudée : Classe de ère S Nombre de votures ar foyer 0 Total Effectfs Pour cette sére statstque, o a : f(x) = [3(0 x)² 8( x)² 6( x)²] 7 f(x) [3x ² 8 6x 8x² 64 64x 6x²] (7x² 80x 7) 7 7 f est doc u olyôme du secod degré qu à chaque réel x assoce ue mage uque. De lus, e focto de la valeur doée à la varable x, la moyee des carrés des écarts est lus ou mos grade. E effet, ar exemle, f(0),7 et f() 0,7 Mas, quel que sot x, f(x) 0.. Nouvelle défto de la moyee Défto : La moyee x de la sére statstque est le réel qu mmse sur R la focto f défe c-dessus. Autremet dt, la moyee des carrés des écarts etre la moyee de la sére statstque et chacu des termes de cette sére est la lus ette ossble. Démostrato : Sot la focto f défe c dessus ar : f(x) = ( x x)² ( )² ( )²... ( x x x x x x Pour tout x de R, f(x) = [ )²] O cosdère les foctos f défes sur R ar f (x) = ( x x)². O les dérve : f (x) = ) ( x x) ( x x ) ( D où f (x) = [ ( x x ) ( x x )... ( x x )] f (x)= [ car (... ) x ( x x... x )] [x x] ( x x)... et x x... x x f (x) > 0 équvaut à x > x, et f (x) < 0 équvaut à x < x. O e dédut que f est décrossate sur ] - ; x ] et crossate sur [ x ; + [, doc la focto f admet u mmum our x = x.

3 3. Défto de la varace et de l écart-tye La varace V de la sére statstque est le mmum sur R de la focto f obteu our x = x. V est u réel ostf qu s écrt alors : V = [ x)² ( x x)²... ( x )² ] = ( x x)² ( x x L écart-tye de la sére est le réel, oté s, tel que s = V. Remarque : S f est la fréquece de la valeur x alors V = f ( x x)² Ex : O a relevé les rx, exrmés e euros, d u même rodut das dfférets ots de vete : La moyee de cette sére est x 3,875 3,9. x TOTAL 3 8 V = [ (0 3,9)² ( 3,9)² (4 3,9)² 3(5 3,9)² (8 3,9)²] 8 V = 5,36 d où s = s exrme e ). 5,36,3 (L écart tye comme les doées de la sére Ex : Nadège et Xaver ot relevé les talles, e cm, de sx membres de chacue de leur famlle resectve. Arès calcul, ls ot remarqué que les deux moyees obteues sot égales à 70. E revache, les écarts tyes sot dfférets : das la famlle de Nadège, o obtet s N 3,65 et das celle de Xaver, o obtet s X,63. Les deux séres sot les suvates : ère sére : 65 ; 67 ; 68 ; 7 ; 74 ; 75. ème sére : 68 ; 69 ; 69 ; 70 ; 7 ; 73. Sas refare les calculs des écarts tyes, o vot drectemet que la remère sére roosée est formée de valeurs lus élogées de la moyee 70 que la secode, c est doc celle qu aura l écart tye le lus grad (c est la famlle de Nadège). Remarque : La varace se calcule auss ar la formule : V = [ x² x ²... x ²] x² x ² x Formule à rvléger our des calculs mauels ² Démostrato : ère défto V car (x x)² (x ² xx x²) ( x ² x x x²) x ² xx x² x ² x(x) x² x d où V x et x ² x² x ² x² Ex : Calcul de la varace de la sére récédete avec cette ouvelle formule : x TOTAL 3 8 x ² V = ( x x x x 65 + x 784) 3,875² = 5,36 8 IV. Mesure de dserso : écart terquartle. Les quartles et l écart terquartle a. Défto : O doe ue sére statstque (x, x,, x ) de talle dot les valeurs sot ordoées au mos 5 % Médae ar ordre crossat : x x x. Les quartles artaget cette x Q Q 3 x sére e quatre artes. - Le remer quartle Q est la lus ette valeur x au mos 75 % telle qu au mos 5 % des doées lu soet féreures ou égales ; - Le trosème quartle Q 3 est la lus ette valeur x telle qu au mos 75 % des doées lu soet féreures ou égales. L tervalle [ Q ; Q 3 ] est aelé tervalle terquartle, so amltude Q 3 Q est aelée l écart terquartle. ème défto

4 b. Iterrétato de l écart terquartle : L écart terquartle d ue sére statstque est ue mesure de dserso lée à la médae, qu red comte de la réartto des 50 % des valeurs etourat la médae. c. Rael : Au mos 50 % des valeurs de la sére sot féreures ou égales à la médae. Au mos 50 % des valeurs sot suéreures ou égales à la médae. E effet, les valeurs d ue sére état ragées : x x x, - S est mar, = q +, alors la médae est la valeur de rag q + ; - S est ar, = q, alors la médae est la dem-somme des valeurs de rag q et q +. d. Méthode ratque our détermer les quartles : Le remer quartle Q, est la doée x dot l dce est le lus ett eter suéreur ou égal à 4. Le trosème quartle Q 3 est la doée x j dot l dce j est le lus ett eter suéreur ou égal à 3 4. Ex : O a mesuré l evergure de euf allos d ue esèce euroéee rare et o a obteu les doées suvates exrmées e mllmètres : La sére comte = 9 doées. Ces doées état ragées ar ordre crossat, la médae est celle de rag 5 doc la médae est 7 mm. D autre art, 4 =,5, le lus ett eter suéreur ou égal à 4 est 3, doc Q est la doée de rag 3, c est-à-dre Q = 70 mm ; 3 4 = 6,75, le lus ett eter suéreur ou égal à 3 4 est 7, doc Q 3 est la doée de rag 7, c est-à-dre Q 3 = 73 mm. L écart terquartle est de 3 mm. Ex : Ue etrerse fabrque des boîtes de fromage qu coteet e rce 70 g de fromage. U cotrôle ortat sur 00 boîtes a four les résultats suvats : Masse x 66, , , ,5 7 7,5 7 (e g) effectf effectfs cumulés crossats La sére comte = 00 doées. Ces doées sot ragées ar ordre crossat, la médae est la moyee de la 00 ème et de la 0 ème doée. Jusqu à la valeur 69,5 g, o a au total 98 doées (vor les effectfs cumulés crossats). Jusqu à la valeur 70 g, o e a 38. As, la 00 ème et 0 ème doées sot toutes deux égales à 70 g, la médae est doc égale à 70 g. D autre art, = 50, le lus ett eter suéreur ou égal à est 50, doc Q est 4 4 la doée de rag 50, c est-à-dre Q = 69 g ; 3 = 50, le lus ett eter suéreur ou égal à 3 est 50, doc Q 3 est la doée 4 4 de rag 50, c est-à-dre Q 3 = 70, 5 g. L écart terquartle est de,5 g.. Le dagramme e boîte Défto et rerésetato : Le dagramme e boîte d ue sére est u dagramme regrouat la médae, le remer et le trosème quartle de la sére. Les valeurs sot reortées sur u axe horzotal ou vertcal. Les bords de la «boîte» sot les remer et trosème quartles. O comlète souvet ce dagramme ar la valeur maxmale et la valeur mmale de la sére. Ex : Dagramme e boîte de la sére récédete : Remarques : - La médae est as forcémet au cetre de la boîte ; - Ce dagramme est ue faço très vsuelle de comarer la réartto de luseurs séres statstques ; - O eut décder de rajouter sur le dagramme le er décle D et le 9 ème décle D 9 (vor défto c-dessous) de la sére our obter u dagramme e boîte à moustaches. Les moustaches sot les segmets qu rele D et Q us Q 3 et D 9. Le remer décle D est la lus ette valeur x telle qu au mos 0 % des doées lu soet féreures ou égales ; Pour trouver D, o fat comme our Q e remlaçat 4 ar 0 ; Le 9 ème décle D 9 est la lus ette valeur x telle qu au mos 90 % des doées lu soet féreures ou égales ; Pour trouver D 9, o fat comme our Q e remlaçat 9 ar. 4 0 Ex : Dagramme e boîte à moustaches de la sére statstque récédete :

5 O a = 00 doées. = 0, le lus ett eter suéreur ou égal à est 0, 0 0 doc D est la doée de rag 0, c'est-à-dre D = 68, 5 g ; 9 9 = 80, le lus ett eter suéreur ou égal à est 80, doc D 9 est la doée 0 0 de rag 80, c'est-à-dre D 9 = 7 g. V. Trasformato affe des doées. Ajouter u ombre aux valeurs d ue sére statstque Prorété : Lorsqu o ajoute u ombre à chacue des valeurs d ue sére statstque, la varace, l écart tye et l écart terquartle sot chagés. Démostrato : x, x,, x sot les valeurs d ue sére d effectf ; o ajoute u même ombre b à chacue des valeurs et o ote y = x + b. a. Par léarté de la moyee y = x + b Sot V la varace de la sére y, y,, y. V = (y y)² (x b x b)² (x x)² V La varace et doc auss l écart-tye sot chagés. b. Q et Q 3 désget le remer et le trosème quartle de la sére x, x,, x Q et Q 3 ceux de la sére y, y,, y. Les deux séres ot même effectf, doc s Q = x alors Q = x + b = Q + b. De même, Q 3 = Q 3 + b doc Q 3 Q = (Q 3 + b) (Q + b) = Q 3 Q. L écart terquartle est chagé.. Multler ar u ombre les valeurs d ue sére statstque Prorétés : Lorsqu o multle ar u même ombre a strctemet ostf chacue des valeurs d ue sére statstque : - La varace est multlée ar a² ; - L écart-tye et l écart terquartle sot multlés ar a. Démostrato : x, x,, x sot les valeurs d ue sére d effectf ; o multle ar u même ombre a (a>0) chacue des valeurs et o ote y = ax les valeurs de la ouvelle sére obteue V = a. Par léarté de la moyee y = ax. (y y)² (ax ax)² a²(x x)² a² (x x)² a²v d' où s' V' a²v a V as car a 0. b. S Q = x, alors Q = y = ax = aq, de même Q 3 = aq 3 D où Q 3 Q = a (Q 3 Q ). 3. Résumé a est u réel strctemet ostf, b est u réel. valeurs de la sére moyee varace écart tye quartles écart terquartle x x s² s Q Q 3 Q 3 Q ax + b ax + b a²s² as aq + b aq 3 + b a(q 3 Q ) Ex : La recette jouralère d u commerçat edat ue aée est doée das le tableau suvat. Recette jouralère [50; 50[ [50; 350[ [350; 450[ [450; 550[ [550; 650[ [650; 750[ (e uros) Nombre de jours O ose y = x où x désge le cetre de la classe de la sére défe das le 00 tableau our défr ue ouvelle sére avec des valeurs y. O aelle y, V et s la moyee, la varace et l écart tye de cette ouvelle sére : Valeur y Effectf O trouve y 86 et y ² 784 doc : y = et y,36, V = Or, y = x 00 ² et V,05 d où s V. d où x = 00( + y) = 00y + 00 doc la moyee, la varace et l écart tye de la sére sot doés ar x = 00y + 00 = 436 ; V = 00²V = 0500 et s = 0500 = 43