Questions. Qu est-ce que le centre ou milieu d une forme? J. Cousty & H. Talbot : Morpho, graphes et imagerie 3D 1/31

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1 Questions Qu est-ce que le centre ou milieu d une forme? un objet 3D son axe médian J. Cousty & H. Talbot : Morpho, graphes et imagerie 3D 1/31

2 Carte de distance, dilatation et axe median Jean Cousty & Hugues Talbot ISBS Morphologie Mathématique J. Cousty & H. Talbot : Morpho, graphes et imagerie 3D 2/31

3 Plan de la séance 1 Carte de distance 2 Dilatation & carte de distance 3 Axe médian J. Cousty & H. Talbot : Morpho, graphes et imagerie 3D 3/31

4 Carte de distance Distance Définition Une application d de E E dans R est une distance sur E si 1 x E, d(x, x) = 0 2 x, y E, x y = d(x, y) > 0 (positive) 3 x, y E, d(x, y) = d(y, x) (symétrie) 4 x, y, z E d(x, z) d(x, y) + d(y, z) (inégalité triangulaire) J. Cousty & H. Talbot : Morpho, graphes et imagerie 3D 4/31

5 Carte de distance Exemples de distance sur Z x y x = (x i, x j ) = (2, 1) et y = (y i, y j ) = (5, 3) J. Cousty & H. Talbot : Morpho, graphes et imagerie 3D 5/31

6 Carte de distance Exemples de distance sur Z x y x = (x i, x j ) = (2, 1) et y = (y i, y j ) = (5, 3) Distance euclidienne d e (x, y) = (y i x i ) 2 + (y j x j ) 2 = = 13 3, 6 J. Cousty & H. Talbot : Morpho, graphes et imagerie 3D 5/31

7 Carte de distance Exemples de distance sur Z x y x = (x i, x j ) = (2, 1) et y = (y i, y j ) = (5, 3) Distance euclidienne d e (x, y) = (y i x i ) 2 + (y j x j ) 2 = = 13 3, 6 Distance de Manhattan d 4 (x, y) = y i x i + y 2 x 2 = = 5 J. Cousty & H. Talbot : Morpho, graphes et imagerie 3D 5/31

8 Carte de distance Exemples de distance sur Z x y x = (x i, x j ) = (2, 1) et y = (y i, y j ) = (5, 3) Distance euclidienne d e (x, y) = (y i x i ) 2 + (y j x j ) 2 = = 13 3, 6 Distance de Manhattan d 4 (x, y) = y i x i + y 2 x 2 = = 5 Distance de Tchebychev D 8 (x, y) = max( y i x i, y j x j ) = max(3, 2) = 3 J. Cousty & H. Talbot : Morpho, graphes et imagerie 3D 5/31

9 Carte de distance Réseau non-orienté Un réseau R = (E, Γ, l) est non-orienté si 1 (E, Γ) est un graphe symétrique 2 (x, y) Γ l(x, y) = l(y, x) x y J. Cousty & H. Talbot : Morpho, graphes et imagerie 3D 6/31

10 Carte de distance Réseau non-orienté Un réseau R = (E, Γ, l) est non-orienté si 1 (E, Γ) est un graphe symétrique 2 (x, y) Γ l(x, y) = l(y, x) Si R est non-orienté, alors x, y E, L x (y) = L y (x) x y J. Cousty & H. Talbot : Morpho, graphes et imagerie 3D 6/31

11 Carte de distance Distance géodésique Propriété Soit R = (E, Γ, l) un réseau non-orienté à longueurs strictement positives Soit d R l application de E E dans R définie par x, y E, d R (x, y) = L x (y) = L y (x) J. Cousty & H. Talbot : Morpho, graphes et imagerie 3D 7/31

12 Carte de distance Distance géodésique Propriété Soit R = (E, Γ, l) un réseau non-orienté à longueurs strictement positives Soit d R l application de E E dans R définie par x, y E, d R (x, y) = L x (y) = L y (x) Alors, l application d R est une distance sur E J. Cousty & H. Talbot : Morpho, graphes et imagerie 3D 7/31

13 Carte de distance Distance géodésique Propriété Soit R = (E, Γ, l) un réseau non-orienté à longueurs strictement positives Soit d R l application de E E dans R définie par x, y E, d R (x, y) = L x (y) = L y (x) Alors, l application d R est une distance sur E Définition Si R = (E, Γ, l) est un réseau non-orienté à longueurs strictement positives, la distance d R est appelé distance géodésique (dans R) J. Cousty & H. Talbot : Morpho, graphes et imagerie 3D 7/31

14 Carte de distance Exemple de distance géodésique Longueur des arêtes rouges : 1 (horizontale et verticale) Longueur des arêtes bleues : 2 (diagonale) J. Cousty & H. Talbot : Morpho, graphes et imagerie 3D 8/31

15 Carte de distance Exemple de distance géodésique x y Longueur des arêtes rouges : 1 (horizontale et verticale) Longueur des arêtes bleues : 2 (diagonale) d R (x, y) = , 8 J. Cousty & H. Talbot : Morpho, graphes et imagerie 3D 8/31

16 Carte de distance Carte de distance Définition Soit X E et d une distance sur E La carte de distance à X (pour la distance d) est l application D X de E dans R définie par y E, D X (y) = min{d(x, y) x X } J. Cousty & H. Talbot : Morpho, graphes et imagerie 3D 9/31

17 Carte de distance Exemple : Carte de distance géodésique x y 5 11 X : sommets blancs D X : nombres en gras, italique rouge J. Cousty & H. Talbot : Morpho, graphes et imagerie 3D 10/31

18 Carte de distance Carte de distance géodésique : algorithme Exercice. Proposer un algorithme dont les données sont un réseau R = (E, Γ, l) non-orienté à longueurs strictement positives, et un sous-ensemble X E de sommets et dont le résultat est la carte de distance D X à X (pour la distance géodésique d R ) Indication. Modifier un algorithme connu J. Cousty & H. Talbot : Morpho, graphes et imagerie 3D 11/31

19 Carte de distance Réseau à longueurs uniformes Définition Un réseau à longueurs uniformes est un réseau (E, Γ, l) tel que u Γ, l(u) = 1 J. Cousty & H. Talbot : Morpho, graphes et imagerie 3D 12/31

20 Carte de distance Exemple 2 : Carte de distance dans un réseau à longueur uniformes Exemple au tableau Remarque. d 4 = d R où R est le réseau à longueurs uniformes sur Z 2 donné par l élément structurant Γ 4 d 8 = d R où R est le réseau à longueurs uniformes sur Z 2 donné par l élément structurant Γ 8 J. Cousty & H. Talbot : Morpho, graphes et imagerie 3D 13/31

21 Carte de distance Illustration en image X (en nooir) J. Cousty & H. Talbot : Morpho, graphes et imagerie 3D 14/31

22 Carte de distance Illustration en image Carte de distance à X (distance d 4 ) J. Cousty & H. Talbot : Morpho, graphes et imagerie 3D 14/31

23 Carte de distance Carte de distance géodésique dans un réseau à longueurs uniformes : algorithme Exercice. Proposer un algorithme dont les données sont un réseau (E, Γ, l) non-orienté à longueurs uniformes, et un sous-ensemble X E de sommets et dont le résultat est la carte de distance D X à X (pour la distance d R ) Indication. Modifier l algorithme TRANS pour obtenir un algorithme en 0(n + m) J. Cousty & H. Talbot : Morpho, graphes et imagerie 3D 15/31

24 Carte de distance Comparaison de cartes de distance Cartes de distance à X Z 2, contenant un unique point localisé au centre de l image d 4 d 8 distance géodésique d e (graphe rouge et bleu) J. Cousty & H. Talbot : Morpho, graphes et imagerie 3D 16/31

25 Dilatation & carte de distance Rappel : opérateur de voisinage Soit d une certaine distance sur E δ r,d est l opérateur défini par X P(E), δ r,d (X ) = {x E y X, d(x, y) r} δ r,d (X ) peut être considéré comme un voisinage de X (de taille r, pour la distance d) X ψ r,d (X ) δ r,d (X ) δ r,d est une dilatation algébrique car il commute avec l union J. Cousty & H. Talbot : Morpho, graphes et imagerie 3D 17/31

26 Dilatation & carte de distance Rappel : dilatations par élément structurant Définition Soit Γ une application de E dans P(E) (E, Γ) est donc un graphe La dilatation (morphologique) δ Γ par Γ est l opérateur qui à tout X P(E) fait correspondre l ensemble δ Γ (X ) = X Γ = {Γ(x) x X } J. Cousty & H. Talbot : Morpho, graphes et imagerie 3D 18/31

27 Dilatation & carte de distance Rappel : dilatations par élément structurant Définition Soit Γ une application de E dans P(E) (E, Γ) est donc un graphe La dilatation (morphologique) δ Γ par Γ est l opérateur qui à tout X P(E) fait correspondre l ensemble δ Γ (X ) = X Γ = {Γ(x) x X } Exemple (dilatation itérée, i N) 1 δ 0 Γ (X ) = X 2 δ 1 Γ (X ) = δ Γ(δ 0 Γ (X )) = δ Γ(X ) 3 δ 2 Γ (X ) = δ Γ(δ 1 Γ (X )) = δ Γ(δ Γ (X )) 4 δ i Γ (X ) = δ Γ(δ i 1 Γ (X )) = δ Γ (... δ Γ (X )...) J. Cousty & H. Talbot : Morpho, graphes et imagerie 3D 18/31

28 Dilatation & carte de distance Application voisinage et carte de distance Propriété Soit d une distance quelconque sur E, soit r R X E, δ r,d (X ) = {x E D X (x) R} X E, δr,d (X ) = {x E D X (x) > r} J. Cousty & H. Talbot : Morpho, graphes et imagerie 3D 19/31

29 Dilatation & carte de distance Application voisinage et carte de distance Propriété Soit d une distance quelconque sur E, soit r R X E, δ r,d (X ) = {x E D X (x) R} X E, δr,d (X ) = {x E D X (x) > r} Conséquence Etant donné la carte de distance D X, δ r,d (X ) peut être calculé en O(n) (où n = E ) J. Cousty & H. Talbot : Morpho, graphes et imagerie 3D 19/31

30 Dilatation & carte de distance Dilatation par un élément structurant symétrique Propriété Soit R = (E, Γ, l) un réseau non-orienté à longueurs uniformes X E, δ Γ (X ) = δ 1 d R (X ) X E, r N, δ r Γ (X ) = δr d R (X ) J. Cousty & H. Talbot : Morpho, graphes et imagerie 3D 20/31

31 Dilatation & carte de distance Dilatation par un élément structurant symétrique Propriété Soit R = (E, Γ, l) un réseau non-orienté à longueurs uniformes X E, δ Γ (X ) = δ 1 d R (X ) X E, r N, δ r Γ (X ) = δr d R (X ) Conséquence δγ r (X ) peut donc être calculé en temps O(n + m), où n = E et m = Γ J. Cousty & H. Talbot : Morpho, graphes et imagerie 3D 20/31

32 Dilatation & carte de distance Illustration en image X (in black) J. Cousty & H. Talbot : Morpho, graphes et imagerie 3D 21/31

33 Dilatation & carte de distance Illustration en image Carte de distance à X (distance d 4 ) J. Cousty & H. Talbot : Morpho, graphes et imagerie 3D 21/31

34 Dilatation & carte de distance Illustration en image./figures/zebredilation.mov dilatations itérées : {Γ N (X )} J. Cousty & H. Talbot : Morpho, graphes et imagerie 3D 21/31

35 Axe médian Axe médian : analogie des feux de prairies./figures/feudeprairie.avi Introduit par Blum dans les années dans les années 60 Première notion de squelette d une forme Fournit des informations utiles sur la forme à analyser J. Cousty & H. Talbot : Morpho, graphes et imagerie 3D 22/31

36 Axe médian Boule Définition Soit d une distance sur E, x E et r R δ r,d (x) = δ r,d ({x}) est la boule de rayon r centrée en x (pour d) J. Cousty & H. Talbot : Morpho, graphes et imagerie 3D 23/31

37 Axe médian Boule Définition Soit d une distance sur E, x E et r R δ r,d (x) = δ r,d ({x}) est la boule de rayon r centrée en x (pour d) x δ 0 d R (x) = δ 0 Γ ({x}) Réseau R non-orienté à longueurs uniformes J. Cousty & H. Talbot : Morpho, graphes et imagerie 3D 23/31

38 Axe médian Boule Définition Soit d une distance sur E, x E et r R δ r,d (x) = δ r,d ({x}) est la boule de rayon r centrée en x (pour d) x δ 1 d R (x) = δ 1 Γ ({x}) Réseau R non-orienté à longueurs uniformes J. Cousty & H. Talbot : Morpho, graphes et imagerie 3D 23/31

39 Axe médian Boule Définition Soit d une distance sur E, x E et r R δ r,d (x) = δ r,d ({x}) est la boule de rayon r centrée en x (pour d) x Réseau R non-orienté à longueurs uniformes δ 2 d R (x) = δ 2 Γ ({x}) J. Cousty & H. Talbot : Morpho, graphes et imagerie 3D 23/31

40 Axe médian Boule Définition Soit d une distance sur E, x E et r R δ r,d (x) = δ r,d ({x}) est la boule de rayon r centrée en x (pour d) x Réseau R non-orienté à longueurs uniformes δ 3 d R (x) = δ 3 Γ ({x}) J. Cousty & H. Talbot : Morpho, graphes et imagerie 3D 23/31

41 Axe médian Boule maximale Définition Soit d une distance sur E, soient X E, x E et r R δ r,d (x) est une boule maximale dans X si δ r,d (x) X y E, r R, si Γ r (x) Γ r (y) X, alors Γ r (x) = Γ r (y) J. Cousty & H. Talbot : Morpho, graphes et imagerie 3D 24/31

42 Axe médian Boule maximale Définition Soit d une distance sur E, soient X E, x E et r R δ r,d (x) est une boule maximale dans X si δ r,d (x) X y E, r R, si Γ r (x) Γ r (y) X, alors Γ r (x) = Γ r (y) X en rouge et noir Une boule qui n est pas maximale dans X Réseau R non-orienté à longueurs uniformes J. Cousty & H. Talbot : Morpho, graphes et imagerie 3D 24/31

43 Axe médian Boule maximale Définition Soit d une distance sur E, soient X E, x E et r R δ r,d (x) est une boule maximale dans X si δ r,d (x) X y E, r R, si Γ r (x) Γ r (y) X, alors Γ r (x) = Γ r (y) X en rouge et noir Réseau R non-orienté à longueurs uniformes Une boule maximale dans X J. Cousty & H. Talbot : Morpho, graphes et imagerie 3D 24/31

44 Axe médian Boule maximale Définition Soit d une distance sur E, soient X E, x E et r R δ r,d (x) est une boule maximale dans X si δ r,d (x) X y E, r R, si Γ r (x) Γ r (y) X, alors Γ r (x) = Γ r (y) X en rouge et noir Réseau R non-orienté à longueurs uniformes Une boule maximale dans X J. Cousty & H. Talbot : Morpho, graphes et imagerie 3D 24/31

45 Axe médian Axe médian Définition Soit d une distance sur E et soit X E L axe médian de X, désigné par AM(X ), est l ensemble des centres des boules maximales dans X J. Cousty & H. Talbot : Morpho, graphes et imagerie 3D 25/31

46 Axe médian Axe médian Définition Soit d une distance sur E et soit X E L axe médian de X, désigné par AM(X ), est l ensemble des centres des boules maximales dans X J. Cousty & H. Talbot : Morpho, graphes et imagerie 3D 25/31

47 Axe médian Exercice Calculer l axe médian de l ensemble X composé des points noirs Utiliser la distance géodésique d R dans le réseau à longueurs uniformes J. Cousty & H. Talbot : Morpho, graphes et imagerie 3D 26/31

48 Axe médian Axe médian : illustration en image J. Cousty & H. Talbot : Morpho, graphes et imagerie 3D 27/31

49 Axe médian Utilisation de l axe médian en imagerie médicale Colloscopie virtuelle./figures/ct.mov Série d images 2D composant un scanner 3D du colon J. Cousty & H. Talbot : Morpho, graphes et imagerie 3D 28/31

50 Axe médian Utilisation de l axe médian en imagerie médicale Colloscopie virtuelle./figures/segmentation.mov Extraction du colon J. Cousty & H. Talbot : Morpho, graphes et imagerie 3D 28/31

51 Axe médian Utilisation de l axe médian en imagerie médicale Colloscopie virtuelle./figures/paths.mov Axe médian du colon J. Cousty & H. Talbot : Morpho, graphes et imagerie 3D 28/31

52 Axe médian Utilisation de l axe médian en imagerie médicale Colloscopie virtuelle./figures/colono.mov Colloscopie virtuelle : la caméra virtuelle suit l axe médian J. Cousty & H. Talbot : Morpho, graphes et imagerie 3D 28/31

53 Axe médian Calcul de l axe médian Soit R = (E, Γ, l) un réseau non-orienté à longueurs uniformes et X E Soit D X la carte de distance à X pour la distance géodésique d R Le point x E est un maximum local D X si y Γ(x), D X (y) D X (x) J. Cousty & H. Talbot : Morpho, graphes et imagerie 3D 29/31

54 Axe médian Calcul de l axe médian Soit R = (E, Γ, l) un réseau non-orienté à longueurs uniformes et X E Soit D X la carte de distance à X pour la distance géodésique d R Le point x E est un maximum local D X si y Γ(x), D X (y) D X (x) Propriété L axe médian de X est l ensemble des maxima locaux de D X J. Cousty & H. Talbot : Morpho, graphes et imagerie 3D 29/31

55 Axe médian Rappel : fermeture transitive de {x} Algorithme TRANS ( Données : (E, Γ), x E ; Résultat : Z = X := {x} ; Y := ; Z := {x} ; Pour chaque i de 1 à n 1 Faire Tant que x X Faire X := X \ {x} ; Pour chaque y Γ(x) Faire Si y / Z Alors Y := Y {y} ; Z := Z {y} ; X := Y ; Y := ; ˆ δ n 1 Γ ({x})) J. Cousty & H. Talbot : Morpho, graphes et imagerie 3D 30/31

56 Axe médian Rappel : longueurs des plus courts chemins Algorithme DIJKSTRA ( Données : (E, Γ, l), n = E, x E ; Résultat : L x ) S := ; Pour chaque y E Faire L x [y] = ; S := S {y} ; L x [x] := 0 ; k := 0 ; µ := 0 ; Tant que k < n et µ Faire Extraire un sommet y S tel que L x [y ] = min{l x [y], y S} k + + ; µ := L x [y ] ; Pour chaque y Γ(y ) S Faire L x [y] := min{l x [y], L x [y ] + l(y, y)} ; J. Cousty & H. Talbot : Morpho, graphes et imagerie 3D 31/31