STATISTIQUES A UNE VARIABLE

Transcription

1 Cours et exercces de mathématques ) Itroducto et vocabulare STATISTIQUES A UNE VARIABLE La statstque est la scece qu cosste à réur des doées chffrées, à les aalyser, à les commeter et à les crtquer Ue étude statstque s effectue sur u esemble appelé Populato, dot les élémets sot appelés Idvdus, et cosste à observer et étuder u même aspect sur chaque dvdu, appelé Caractère. O dstgue deux types de caractère : - Les caractères qualtatfs : Ce sot les caractères dot les valeurs e sot pas des ombres (professo, couleur des yeux) - Les caractères quattatfs : Ce sot les caractères qu preet des valeurs umérques - Le caractère quattatf est dscret s les valeurs du caractère sot solées (ex : ombre d efats). Ces valeurs sot appelées modaltés - Le caractère est cotu s les valeurs du caractère sot regroupées e tervalles, appelés Classes (ex : Talle [ 70 ; 75[ ) La «largeur» de chaque tervalle s appelle l ampltude ) Effectfs et fréqueces O appelle effectf d ue valeur (respectvemet d ue classe, respectvemet d ue modalté) le ombre d dvdus possédat le caractère de cette valeur (respectvemet d ue classe, respectvemet d ue modalté) O appelle fréquece d ue valeur (respectvemet d ue classe, respectvemet d ue modalté) le quotet de l effectf de cette valeur par l effectf total de la populato Les fréqueces sot des ombres comprs etre 0 et, souvet exprmées e pourcetage effectf de la valeur fréquece 00 effectf total pour obter u pourcetage Effectfs et fréqueces cumulé(e)s crossat(e)s et/ou décrossat(e)s Das le cas d'ue varable quattatve, o peut ordoer les dfféretes valeurs de la varable das l'ordre crossat ou décrossat. O peut as détermer "Quel effectf ou quelle fréquece de la populato a ue valeur du caractère au plus égale ou au mos égale à." Ce sot les otos d'effectfs cumulés crossats ou décrossats, ou de fréqueces cumulées crossates ou décrossates 3) Les représetatos graphques O peut vsualser la sére statstque par le bas d autres moyes, otammet : Séres statstques à caractère qualtatfs O utlse souvet les des dagrammes à secteurs : Dagramme e secteurs crculares 9 as 0,0% 5 as,5% Les ares des secteurs sot proportoelles aux effectfs ou aux fréqueces Les agles des secteurs sot proportoels aux effectfs ou aux fréqueces selo le tableau de proportoalté : 8 as 7,5% as 3,5% Effectf total 30 Effectf de la valeur Agle du secteur (Atteto! pour u dagramme sem-crculare, l'effectf total correspod à u agle de 80 ) 7 as 37,5% Page /8

2 Cours et exercces de mathématques Séres statstques à caractère quattatfs O utlse prcpalemet deux types de représetatos : Pour les caractères dscrets, o peut utlser les dagrammes "e bâtos". As apparaît la dscotuté etre valeurs de la varable ; 5 4 Effectfs 3 0 Notes Pour les caractères cotus, regroupés e tervalles, o peut utlser u "hstogramme". Das les deux types de représetato graphque, le caractère est porté e abscsses et l'effectf ou la fréquece sot portés e ordoée. Sgalos u cas partculer : Hstogramme à classe d'ampltudes égales S les ampltudes des classes e sot pas égales et alors ce sot les ares des rectagles qu dovet être proportoelles aux effectfs des classes. Sur l'axe des abscsses, o représete les classes. O e dot pas représeter des classes d'ampltudes dfféretes avec ue base detque. S l'ampltude est double, la base dot être double. O se ramèe à la plus pette ampltude appelée ampltude élémetare. E pratque, pour la costructo de ces rectagles o procède de la maère suvate : O cherche la classe d'ampltude élémetare (ou o e chost ue s l y e a pluseurs) pus o chost la hauteur du rectagle. Cette hauteur sert de base pour les hauteurs suvates. Pus, pour les autres classes, la largeur du rectagle vaut l'ampltude de la classe (proportoellemet à l'ampltude de la classe chose pour so ampltude élémetare) et la hauteur du rectagle vaut: ampltude élémetare Effectf de la classe ampltude de la classe 4) Etude des séres statstques à ue varable Caractères de répartto La vue d'u tableau ou d'u graphque e permet pas forcémet de coaître suffsammet des doées pour pouvor e aalyser les réparttos, d'autat que la cosultato de tableaux peut s'avérer très logue. O cherche alors à résumer celle-c par ue caractérstque de tedace cetrale, c'est à dre par u seul ombre desté à caractérser l'esemble d'ue faço objectve et mpersoelle. 4-) La moyee arthmétque La moyee arthmétque d'ue sére de valeurs d'ue varable statstque est égale à la somme de ces valeurs dvsée par leur ombre. O la ote x U élève qu a eu comme otes 4,5,7,9 et a ue moyee égale à : x 7, 4 5 Icovéet Le calcul peut s'avérer très lourd lors de l'éumérato d'u grad ombre de doées. Page /8

3 Cours et exercces de mathématques 4-) La moyee podérée S, das ue classe, 4 élèves ot obteu la ote 8, 3 élèves ot obteu la ote 0 et 5 élèves ot obteu la ote O e va pas calculer x, mas o va effectuer x De maère géérale : Défto : S pour ue populato doée, o a p valeurs du caractère x,x,...,x p d'effectfs respectfs,,..., p alors la x + x p x p moyee de cette sére statstque est doée par x ) Cas d'ue varable cotue Pour calculer la moyee d'ue sére statstque à caractère cotu, o remplace chaque classe par so mleu, avec la part d'approxmato que cela comporte. 4-4) Proprété de la moyee Proprété Sot deux séres statstques S et S d'effectfs totaux respectfs N et N et de moyees respectves x et x Alors la moyee de la sére S obteue e regroupat S et S est doée par : N x + N x x N + N Das ue classe de élèves, l y a 4 flles et 8 garços. Lors d'u devor, les 4 flles obteet 3,875 de moyee et 4 3, ,083 les 8 garços 3,0833. La moyee de la classe est doc x 3, Défto : O dt que S et S sot des sous-séres statstques (ou séres statstques extrates) de S. Proprété Sot S ue sére statstque, de valeurs du caractère otées x affectées des coeffcets ou effectfs, et de moyee x Sot a et b deux réels quelcoques Alors la sére S', de valeurs du caractère ax b affectées des mêmes coeffcets ou effectfs, a pour moyee a x + b + Das ue classe, 4 élèves ot obteu la ote 8, 3 élèves ot obteu la ote 0 et 5 élèves ot obteu la ote. La moyee est doc x S l'esegat décde de trasformer les otes sur 40, et de les augmeter de u pot (sur 40), la moyee de la ouvelle sére statstque sera x + 4-5) Le mode ou la valeur modale Défto: Le mode ou valeur modale est la valeur du carcatère que la varable statstque pred le plus fréquemmet. S les doées sot groupées e classes, o parle plutôt de classe modale p Page 3/8

4 Cours et exercces de mathématques 5) Médaes et quartles Défto: La médae d'ue sére statstque est la valeur du caractère qu partage l effectf total e deux partes égales, c est à dre telle qu'l y at autat d'observatos ayat ue valeur supéreure ou égale à la médae que d'observatos ayat ue valeur féreure ou égale à la médae U groupe d'élève a obteu les otes suvates :,7,8,9 et 0. Leur moyee est doc x 0 5 Cette moyee 'est pas très représetatve de la répartto des otes, car tous les élèves sauf u, ot ue ote strctemet féreure à 0. La ote médae est égale à 8 : Il y a autat d'élèves qu ot 8 ou plus que d'élèves qu ot 8 ou mos. Cas où le ombre d'observatos est par : S le groupe obtet,3,4,4,8,8,0,0. Là ecore x 3, 5 'est pas très représetatf La ote médae est égale, par coveto, à la moyee arthmétque des 4 ème et 5 ème otes, sot.il y a autat d'élèves qu ot plus de que d'élèves qu ot mos de. Alors, s est mpar, p+ alors la médae correspod à la p+ ème valeur. S est par, p et la médae correspod alors à la moyee arthmétque etre la p ème et la p+ ème ème valeur Cas d'ue varable cotue S le caractère est cotu, o va détermer la valeur du caractère correspodat à la fréquece cumulée 50% (ou à l'effectf cumulé de ), e utlsat le tableau ou l'hstogramme des effectfs ou fréqueces cumulé(e)s et e effectuat ue terpolato léare Les quartles, décles et cetles Défto : Les quartles sot les valeurs du caractère qu partaget l'effectf total e 4 partes égales. Plus précsémet : Le quartle Q est la plus pette valeur du caractère pour laquelle 5 % des valeurs de la sére statstque lu sot féreures ou égales. De même, le quartle sére statstque lu sot féreures ou égales Il y a doc tros quartles, le ème quartle correspodat à la médae Q 3 est la plus pette valeur du caractère pour laquelle 75 % des valeurs de la Là ecore, le procédé de calcul des quartles est dfféret selo qu'l s'agt de varables dscrètes e ombre par ou mpar ou de varables cotu. Défto : Les décles et les cetles sot les valeurs du caractère qu partaget l'effectf total e respectvemet 0 et 00 partes égales. Plus précsémet : Le décle est la plus pette valeur du caractère pour laquelle 0 % des valeurs de la sére statstque lu sot féreures D D 9 ou égales. O déft de même le décle. O remarque que le 5 ème décle est égal à la médae et que le 50 ème cetle est égal à la médae Page 4/8

5 Cours et exercces de mathématques ) Dagrammes e boîte Af de représeter dfféretes caractérstques d'ue sére statstque, o a recours, etres autres, aux représetatos dtes "dagrammes e boîte" ou "dagrammes à moustaches" ou "dagrammes à pattes". Cosdéros la sére statstque suvate : Valeur du Caractère Effectf 3 O vérfe faclemet que Me50 ; Q 45 et Q 3 0 D'autre part, la plus pette valeur de cette sére est 30, et la plus grade, O peut représeter graphquemet ces résultats de la maère suvate : Plus pette Valeur 30 Q 45 Q 3 0 Me50 Plus grade Valeur ) Caractères de dsperso Itervalles terquartle L tervalle terquartle est ue caractérstque de dsperso smple. Par défto, l est égal à Q 3 -Q. Il représete la zoe cetrale compreat 50% des élémets, et est ue mesure de dsperso qu élme l fluece des valeurs extrêmes. Q3 Q O utlse égalemet le dem-terquartle (Q), ecore appelé dévato partelle : Q Ef, pour comparer la dsperso de deux séres dot les élémets sot mesurés avec des utés dfféretes, ou dot l ordre de gradeur est pas le même, o emploe le rapport de l terquartle à la médae, appelé terquartle relatf, Q3 Q Q déf par 3 Q Q Q Me Me Ecart absolu moye (ou écart arthmétque) Il est égal à la moyee arthmétque des dfféreces (e valeur absolue) exstat etre les dvers élémets et leur moyee. Cosdéros ue sute de salares horares : 55,58,,3,5,9,7,77, Leur moyee est de x 7 9 Les écarts des dvers salares et de leur moyee sot doc : Page 5/8

6 Cours et exercces de mathématques Il est be évdet que la somme algébrque des écarts à la moyee sera ulle (compte teu de leurs sges) das tous les cas et e fourra, par sute, aucu resegemet sur la dsperso. Auss addtoe-t-o les valeurs absolues, l écart moye, ou écart arthmétque, e a état égal, e déftve à Le calcul de l écart moye, quoque doat ue vue assez fdèle de la dsperso, est peu employé, car l se trouve complqué par l terveto des valeurs absolues, peu compatbles avec les calculs algébrques D où l dée de cosdérer o plus les valeurs absolues des dfféreces, mas leurs carrés, toujours postfs, et dot la somme, par coséquet, e peut s auler. Varace et écart-type Déftos: La varace V d'ue sére est la moyee arthmétque des carrés des écarts à la moyee. V ( x x) L'écart-type d'ue sére est la moyee quadratque des écarts à la moyee, autremet dt, c'est la race carrée de la varace. O utlse souvet le symbole "sgma muscule" σ σ ( x x) V Méthode de calcul - Théorème de KOENIG Nous veos de calculer des écarts-types e ous référat à la défto. Cepedat, ce calcul rsque de dever laboreux s la moyee 'est pas u ombre eter : o a à trater des "écarts à la moyee" o eters avec d'évtables arrods, d'où des calculs lourds et forcémet peu précs. Pour alléger ces calculs, o se sert du théorème suvat: Théorème de KOENIG: S la populato est formée de groupes de dvdus, chaque groupe correspodat à ue valeur x, et s, alors x V () x Autremet dt, la varace est égale à la moyee des carrés mos le carré de la moyee. Ce résultat smplfe cosdérablemet les calculs écessares pour obter la varace et l'écart-type. Le tableau suvat ous doe les otes obteues par deux élèves à 4 cotrôles coeffcetés : Notes de l élève A Notes de l élève B Coeffcets La moyee de l'élève A est de x A La varace de l'élève A est : V A x A 8 8 d'où σ A VA Calculer l'écart type de l'élève B. Quel est l'élève le plus réguler, c'est à dre celu qu a le plus pett écart type? Page /8

7 Cours et exercces de mathématques 8) Expérece aléatore, smulatos Défto : O appelle expérece aléatore toute expérece réalsée suvat u protocole expérmetal précs et reproductble à l detque, dot les résultats sot lés au hasard, mas dot o peut dresser la lste des résultats possbles. Exemples : ) Jet d'u dé. L'esemble des résultats possbles est {;;3;4;5;} ) Jet d'ue pèce L'esemble des résultats possbles est {PILE;FACE} Défto : O appelle évéemet toute parte de l'esemble des résultats d'ue expérece aléatore. Jet d'u dé. L'évéemet "obter u ombre par" est le sous-esemble {;4;} Défto : O appelle fréquece d'apparto d u évéemet le rapport etre le ombre de réalsatos de cet évéemet et le ombre de répéttos de l expérece aléatore. S, au cours de 0 lacer de dès, le uméro 5 apparaît 3 fos, alors la fréquece d apparto de l évéemet «le 3 apparaît» est 0 3 Proprétés : La fréquece d'u évéemet est la somme des fréqueces des valeurs costtuat cet évéemet. Exemples : Jet d'u dé. L'esemble des résultats possbles est {;;3;4;5;. Les fréqueces de chacue de ces valeurs sot doées par Nombre Fréquece La fréquece l'évéemet "obter u ombre par" est égale à Smulato Défto : Smuler ue expérece aléatore, c'est remplacer cette expérece par ue autre, plus rapde et plus facle à exécuter, à codto que les fréqueces d apparto de tous les évéemets possbles soet detques pour les deux expéreces L structo RANDOM de la calculatrce Les calculatrces possèdet ue structo permettat de smuler le trage aléatore d u ombre décmal apparteat à l tervalle [0 ;[ grâce à l structo Rad ou Ra# CASIO Meu MATH+PRB ou OPTN+PRB Istructo Ra # TI Meu MATH+PRB Istructo Rad O peut rétérer ces trages e pressat pluseurs fos sur la touche ENTER (ou EXE) La derère décmale est u 0, qu est doc pas affché Commet exploter ces doées? ère explotato : Pour chaque décmal revoyé, s l est strctemet féreur à 0,5 o assoce PILE, s l est supéreur ou égal à 0,5 o assoce FACE. Cette smulato applquée à la capture c-dessus doerat Face PILE FACE Page 7/8

8 Cours et exercces de mathématques Fréquece 0, 5 doc 0% 4 0,8 doc 80% 5 ème explotato : O explote chacue des décmales du ombre revoyé avec la coveto : S la décmale est strctemet féreure à 5, o assoce PILE S la décmale est supéreure ou égale à 5, o assoce FACE Cette smulato applquée à la capture c-dessus doerat Face PILE FACE Fréquece 3 0,47 49 doc evro 47 % 0,53 doc evro 53 % 49 3 ème explotato : O explote chacue des décmales du ombre revoyé avec la coveto : S la décmale est pare, o assoce PILE S la décmale est mpare, o assoce FACE Cette smulato applquée à la capture c-dessus doerat Face PILE FACE Fréquece 0,53 49 doc evro 53 % 3 0,47 doc evro 47 % 49 L structo INT de la calculatrce Les calculatrces possèdet ue structo permettat de calculer la parte etère d u ombre décmal CASIO Meu MATH+NUM ou OPTN+NUM Istructo It TI Meu MATH+NUM Istructo It Exemples : It (3,4)3 et It (,999999) ATTENTION Il s agt be de la trocature et o pas d u arrod E repreat la smulato précédete : Nombre décmal 0 ( ombre décmal) It ( 0 ( ombre décmal) ) 0, , , , ,48789, , , , , Proprété : Il est possble d'obter ue sute de ombres eters comprs etre a et a + b e utlsat par exemple l'structo INT(b RAN#) + a Istructo Le résultat est alors : comprs etre 0 et [ [ RAN# comprs etre 0 et [ [ INT( RAN#) + comprs etre et 7 [ [ INT( RAN#) parte etère Page 8/8