Première STMG. Statistiques. sguhel

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1 Première STMG Statistiques sguhel

2 ... 0 Chapitre 8 : Statistiques Rappels Présentation Vocabulaire Définir une série quantitative à une variable Série brute, série dépouillée, distribution de fréquences Regroupement par classes Indicateurs de tendance centrale (ou caractéristiques de position) Moyenne Médiane Indicateurs de dispersion Exemple/Introduction Variance, écart type Quartile Tracer et exploiter la courbe des fréquences cumulées Représentation graphique : diagramme en boîte Exercices

3 Chapitre 8 : Statistiques 1 Rappels 1.1 Présentation Le rôle de la statistique descriptive est de présenter une masse de données sous forme lisible. Puis, si possible, de la résumer par quelques nombres caractéristiques (moyenne, médiane, ) «Si on étudie les revenus des foyers d un pays donné, et que l on recherche une valeur centrale pertinente, que prendra-t-on plutôt? La moyenne est liée à la richesse du pays, elle semblera plus pertinente à l économiste. Les très hauts revenus tirent la moyenne vers le haut, la médiane sera plus adaptée pour le sociologue. Pour toucher le maximum de personnes, le publicitaire choisira le mode» Autres idées : L étendue met en évidence un dénivelé, l écart maximum entre les températures La médiane est utilisée pour le temps de vie des appareils ménagers, des ampoules Le marchand de chaussures s intéresse au mode des pointures avant de passer une commande. Il est clair que tout résumé entraîne une perte d information ; il faut donc mettre en évidence la structure du phénomène étudié. 1.2 Vocabulaire Extrait document APMEP Grenoble Population : Une population est un ensemble de personnes ou d objets, appelés individus, définis par une propriété commune. Caractère : Pour une population choisie, on peut étudier un caractère de ses individus. Par exemple, on peut étudier le caractère «taille» des élèves d un lycée. Chapitre 8 : Statistiques 2

4 Caractère quantitatif : Un caractère est dit quantitatif lorsqu il est possible de le mesurer en associant un nombre à chaque individu. Un caractère quantitatif est aussi appelé variable. Par exemple, l âge, la taille, le nombre de frères et sœurs, - Un caractère quantitatif est dit continu lorsque les nombres qui le mesurent peuvent prendre, à priori, toutes les valeurs d un intervalle. Par exemple, le poids, la taille, la durée de vie d un moteur, - Un caractère quantitatif est dit discret dans le cas contraire. Par exemple, l année de naissance, le nombre d enfants par famille, Caractère qualitatif : On appelle ainsi tout caractère non quantitatif. Par exemple, la couleur des yeux, 2 Définir une série quantitative à une variable 2.1 Série brute, série dépouillée, distribution de fréquences Définition : Une série statistique quantitative brute est constituée de la liste de toutes les valeurs v1, v2,.., vn. Le nombre de valeurs, ou effectif, de la série est n. Exemple : Définir une série quantitative à une variable 3

5 Définition : Une série est dépouillée quand on connait la liste des valeurs prises x1, x2,, xr et l effectif de chacune d elles. L effectif de la série est n = n1 + n2 + + nr Exemple (retour) : Définition : Une série peut-être aussi définie par la distribution de fréquences, c est-à-dire la liste des valeurs prises et la fréquence de chacune d elles. La somme des fréquences est 1. Exemple (retour) : 2.2 Regroupement par classes Dans certains cas, on est amené à faire un regroupement des valeurs en classes. Exemple (retour) : Dans le tableau suivant, la série est regroupée en classes d amplitude 4. Définir une série quantitative à une variable 4

6 Définition : Un histogramme est un ensemble de rectangles adjacents ; chaque rectangle a une aire égale à la fréquence de la classe et une base égale à l amplitude de la classe. L aire totale de l histogramme est 1. Exemple (retour) : Si les classes ont toutes la même amplitude, les hauteurs des rectangles sont proportionnelles aux fréquences et l histogramme est alors assimilable à un diagramme en bâtons. Remarque : Le statisticien est confronté au problème du choix du nombre de classes. Prendre un grand nombre de classes rend malaisée la lecture du tableau ou de la représentation graphique, mais préserve un maximum d informations (éventuellement trop, car certains phénomènes marginaux ou secondaires peuvent masquer la présence d autre phénomènes, plus essentiels) ; en revanche, ne retenir que très peu de classes favorise la simplicité de la lecture du tableau ou de la représentation graphique mais peu donner une vision simpliste ou caricaturale de la population étudiée. 3 Indicateurs de tendance centrale (ou caractéristiques de position) 3.1 Moyenne Exemple : Déterminer la moyenne des six notes : 8 ; 10 ; 10 ; 13 ; 14 ; 14. = = 11,5 En regroupant les notes dans le tableau ci-dessous, on aurait pu calculer la moyenne de la façon suivante : = = 11,5 Exemple : Indicateurs de tendance centrale (ou caractéristiques de position) 5

7 Définition : 1) La moyenne arithmétique d une série statistique brute comportant n valeurs x1, x2,, xn est : 2) La moyenne arithmétique d une série statistique dépouillée comportant p valeurs x1, x2,, xp d effectifs respectifs n1, n2,, np est : et n = n1 + + np 3) La moyenne arithmétique d une série statistique pour laquelle les valeurs sont regroupées en p classes [ai ; bi[ de centre ci ( ) et d effectifs respectifs n1, n2,, np est : et n = n1 + + np 3.2 Médiane En économie, la moyenne arithmétique n est pas toujours l indicateur de tendance centrale la plus pertinente. Par exemple, il peut être utile de déterminer quel salaire sépare l ensemble des salariés en deux parties de même effectif, 50 % ayant un salaire inférieur et 50 % ayant un salaire supérieur : ce salaire est appelé salaire médian. C est la médiane Me de l ensemble des salaires. Indicateurs de tendance centrale (ou caractéristiques de position) 6

8 Exemple : Pour les salaires nets, après les prélèvements, le salaire mensuel médian en France en 2010, est d environ (pour un temps plein dans le privé). Me = La moyenne des salaires nets, est = Cela signifie que moins de 50 % de la population gagne moins que la moyenne. Remarque : La moyenne est sensible aux variations extrêmes de la série statistique, ce qui n est pas le cas de la médiane. Définition : La médiane d une série est le nombre, noté Me, tel que : 50 % au moins des individus ont une valeur du caractère inférieure ou égale à Me ; 50 % au moins des individus ont une valeur supérieure ou égale à Me. Exemples : Déterminer la médiane de chacune des séries. : Dans une série statistique de n termes classés par ordre croissant, la médiane Me est : Le terme du milieu si n est impair ; La demi somme des deux termes du milieu si n est pair. Remarque : Dans le cas où les informations recueillies sur la population étudiée ont déjà été synthétisées par un regroupement de classes [a i ; b i [, on détermine la classe médiane. Indicateurs de tendance centrale (ou caractéristiques de position) 7

9 4 Indicateurs de dispersion 4.1 Exemple/Introduction Les élèves A et B ont obtenu les notes suivantes : Observation : Les notes de A et les notes de B ont la même médiane et la même moyenne. Pourtant, les notes de B sont plus dispersées que celles de A. Pour étudier la dispersion des notes des élèves A et B, nous pouvons étudier la moyenne des écarts entre chaque note et leur moyenne 11. [( ) ( ) ( )] Dans les deux cas, on trouve.. Cela est dû au fait que, dans cette somme, il y a «compensation» entre les termes positifs et les termes négatifs. Pour surmonter cette difficulté, on va prendre les carrés. Indicateurs de dispersion 8

10 4.2 Variance, écart type Définition : 1) La variance d une série statistique brute comportant n valeurs x1, x2,, xn est : V = ( ) ( ) ( ) 2) La variance d une série statistique dépouillée comportant p valeurs x1, x2,, xp d effectifs respectifs n1, n2,, np est : V = ( ) ( ) ( ) 3) La variance d une série statistique pour laquelle les valeurs sont regroupées en p classes [ai ; bi[ de centre ci ( ) et d effectifs respectifs n1, n2,, np est : V = ( ) ( ) ( ) Définition : L écart type est : Remarque : Dans le cas où les informations recueillies sur la population étudiée ont déjà été synthétisées par un regroupement de classes [a i ; b i [, la formule donnée pour la variance V n est qu une valeur approchée car elle ne prend pas en compte la dispersion au sein de chaque classe. 4.3 Quartile Définition : Dans une série statistique dont les termes sont classés par ordre croissant : 1) Le premier quartile Q1 est le plus petit terme tel qu au moins 25% des données soient inférieure ou égale à Q1. 2) Le troisième quartile Q3 est le plus petit terme tel qu au moins 75% des données soient inférieure ou égale à Q3. 3) L intervalle interquartile est [Q1 ; Q3]. 4) L écart interquartile est Q1 Q3. Indicateurs de dispersion 9

11 Statistiques Première STMG Exemples : 4.4 Tracer et exploiter la courbe des fréquences cumulées Exemple : On a ensuite établi la courbe des fréquences cumulées croissantes. Puis, par lecture graphique, on obtient les valeurs approchées du 1er quartile, de la médiane et du 3eme quartile. Q1 15 Me 31 Q3 56 Q1, Me et Q3 sont les antécédents respectifs de 25%, 50% et 75.% Indicateurs de dispersion On a relevé dans une parcelle de forêt l âge, en années, de 150 arbres. On a obtenu le tableau de fréquences cumulées croissantes ci-dessous : 1 0

12 4.5 Représentation graphique : diagramme en boîte Les diagrammes en boîtes résument graphiquement une série statistique en partageant les valeurs de la série suivant des segments correspondant à des quartiles ou des déciles (D 1 défini comme Q 1 avec 10 % au lieu de 25% et D 9 comme Q 3, avec 90% au lieu de 75%) Exemple : Voir les exercices p du livre 5 Exercices Voir livre Exercices 1 1

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