Statistiques robustes

Transcription

1 Sasques robuses

2 Naure des doées Doées aberraes ou oulers : so des observaos aypques be élogées de la masse des doées e so des pos solés ou e pe groupes de pos dues à des erreurs de cope, de calcul, de chageme d'ués, ou des doées 'obéssa pas au même modèle (présece de pluseurs classes Les doées aberraes so les plus dagereuses pour l'esmaeur Doées mprécses : hérees à la collece e l'eregsreme des doées (arrod, groupeme,... Les doées s'écare de la dsrbuo sasque ormale : asymére queue de la dsrbuo Quelle es l'fluece des doées aberraes sur le modèle esmé?

3 J. W. Tukey (979 jus whch robus/ressa mehods you use s o mpora wha s mpora s ha you use some. I s perfecly proper o use boh classcal ad robus/ressa mehods rouely, ad oly worry whe hey dffer eough o maer. Bu whe hey dffer, you should hk hard.

4 Idée de base Référeces souve cées : Tuckey 960, Huber 98, Robus Sascs, Wley Hampel e al. 986, Rousseeuw & Leroy 987. Robus Regresso ad Ouler Deeco, Wley. Idée de base : o a u esemble d'observaos e o veu au moye d'u esmaeur sasque lu assocé u modèle dépeda d'u esemble de paramères : Les doées so coamées d'erreurs Le modèle es basé sur des hypohèses déales L'esmaeur des paramères du modèle sera d robuse s'l e perd pas rop de ses qualés opmales lorsqu'o s'éloge des hypohèses sous lesquelles l a éé coçu.

5 Exemple O cosdère u esemble de ombres :, 3, 00, 4, 2 Moyee 0/5 22! Écar-ype race{[( ( ( ( ( ]/(4} Écar-ype 43,62! Médae? O ordoe :, 2, 3, 4, 0 Médae 3 MAD : Meda Absolue Devao O calcule l'écar x médae : -2, 0, 93,, - O ordoe médae (x -3 : -2, -, 0,, 93 O pred la valeur absolue : 2,, 0,, 93 O réordoe : 0,,, 2, 93 MAD MAD : déf la varao de l'écar absolu à la médae. Il es mos affecé par les doées exrêmes Moyee sesurée (rmmed : o élme les pos exrêmes à gauche e à droe (a% e o calcule la moyee roquée. Noe : Moyee a 0, médae a 0.5

6 Plus gééraleme So u esemble de ombres x, x 2,..., x réalsaos d'ue varable aléaore x. Moyee de x : moyee (x x / Médae : Écar-ype : ~ x médae( x s ( x moyee 2 MAD : Meda Absolue Devao : o l'ulse comme esmaeur de l'écar-ype s : MAD méda e( x ~ x

7 Esmaeur des modres carrés So u esemble de ombres x, x 2,..., x réalsaos d'ue varable aléaore x. L'écar des x à la moyee : r x m Esmaeur des modres carrés : E MC 2 r ( x m 2 Avec ce esmaeur des modres carré, o vo be que les oulers aya des résdus grads o ue grade fluece sur le résula esmé.

8 Esmao par maxmum de vrasemblace So ue famlle de focos desés paramérées par. L'esmao par maxmum de vrasemblace de es calculée par maxmsao de la foco vrasemblace par rappor à : qu s'écr après u -log : ˆ ˆ arg max arg m[ f ( x, Les performaces de ce esmaeur dépede des hypohèses sur la dsrbuo de doées. Il es effcace e basé s les doée e suve pas la dsrbuo. C'es le cas e parculer e présece de doées aberraes. log f ( x, ]

9 M-esmaeurs Huber P. (964 a proposé ue gééralsao de l'esmao du maxmum de vrasemblace par la foco à mmser : Les soluos : mj so appelées M-esmaeurs (Maxmum Lkelhood Esmao. Les M-esmaeurs o pour obje de rédure l'fluece des oulers e remplaça le carré du résdu par ue foco décrossae mos rapdeme, dépeda de x e du paramère esmé : r(x ; Exemples parculers de M-esmaeurs : Moyee : ρ(r r 2 Médae : ρ(r r J ρ( x, m ρ( x,

10 Soluo M-esmaeurs La foco ρ, ou sa dérvée ψ, peuve êre choses elle que l'esmao due possède de boes propréés (bas, effcacé, lorsque les observaos obésse au modèle de dsrbuo déal e qu'ls e soe pas rop mauvas quad le modèle es vos du modèle de la dsrbuo. La mmsao s'effecue de maère drece. Souve ρ es facle à dérver par rappor à. La soluo s elle 'es pas possble de maère drece, do êre fae par éraos. Il es possble d'employer les méhodes d'opmsao elle que celle Newo-Raphso. O emploe de préférece la méhode de IRLS : Ieraed Reweghed Leas Squares.

11 Grade par rappor à : Isesblé à la raslao e au faceur d'échelle : Souve o ulse comme valeur de s : s.483mad (.483 ve d'ue hypohèse que les doées so gaussees Soluo M-esmaeurs ρ x J, ( 0, ( ψ x J ; ( ( ( x s x r ψ ψ ψ ; ( ( ( x s x r ρ ρ ρ

12 Les W-esmaeurs Soluo alerave aux M-esmaeurs : pods w représee l'mporace de chaque échallo das sa corbuo à l'esmao. Relao ere M-esmaeur e W-esmaeur : ψ( r w( r r Le paramère opmal es doé par : w( r r 0 Soluo : méhode Ieraed Reweghed Leas Squares ulse comme faceur d'esmao :.483MAD

13 Table : M-esmaeurs e W-esmaeurs Type ρ(r ψ(r w(r domae Faceur d'échelle (mea (meda oe sg( oe Huber MAD k sg( Cauchy Tukey's MAD bwegh 0 0 Adrews MAD 0 0 Welsch

14 Courbes

15 Propréés des M-esmaeurs Réssace : u esmaeur es d réssa s la présece d'ue ou quelques erreurs (oulers ou arrods a ue fluece lmée sur le résula esmé. La moyee 'es pas réssae. Courbe d'fluece : explque comme ue quaé rès fable de doées coamées affece grademe l'esmao. Elle quafe le chageme das l'esmao résula de la perurbao des échallos sous la dsrbuo F par u po masse sué e x. So T u M-esmaeur e F ue dsrbuo de probablé pour laquelle T(F s défe T[( F + δ ] T ( F IC( x; F, T lm x 0 IC cos.ψ(u Foco fluece (IF : IF d'u M-esmaeur de ype ψ es % à sa foco de défo ψ. La foco fluece IF es défe par : IF( x; T, F ψ( x, T ( F dy ψ( y, Bade ou po d'effodreme : C'es la plus grade fraco d'observaos à parr de laquelle s'effecue u sau das le chageme de l'esmao. Le po d'effodreme de la moyee es ul. Celu de la médae es : ½ - / s es par ; ½ - /2 s mpar. Po de reje : c'es le po pour lequel la courbe d'fluece vau 0.

16 Cocluso Pee sesblsao à la robusesse sasque Grad ombre d'esmaeurs : M-esmaeurs, W- esmaeurs, R-esmaeurs, L-esmaeurs,... Domae assez vase avec des propréés varées. Chox d'u esmaeur pas évde.