Chapitre 3 Analyse statistique de données Première S

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1 Chatre Analyse statstque de données Premère S Le vocabulare relatf au statstques La statstque est la scence qu consste à réunr des données chffrées, à les analyser, à les crtquer Une étude statstque se réalse sur un ensemble aelé oulaton, dont les éléments sont aelés ndvdus, et consste à observer étuder un même asect sur chaque ndvdu, aelé caractère On aelle effectf le nombre d ndvdus rentrant dans une certane catégore On aelle fréquence la roorton (souvent ermée en ourcentage) d ndvdus rentrant dans une certane catégore Raels - Pourcentages : Alquer un ourcentage : Comben font 0% de 540 élèves? = 08 élèves 00 Calculer un ourcentage : Quel ourcentage rerésentent 65 élèves dans un groue de 540 élèves? 65 = 0, = % 540 EXEMPLE Ce tableau récatule les âges des élèves d une classe de remère Comlète-le : Age Total Effectf Effectf cumulé crossant* Fréquence (arronde à 0, %) Fréquence cumulée crossante * Méthode : On ajoute au fur et à mesure les effectfs! (dem our les fréquences) Premère mesure de «tendance centrale» : la médane Sot une sére rangée ar ordre crossant d'effectf total On aelle médane la valeur "du mleu" On dt qu'elle artage la sére en deu motés : l y a autant de valeurs en dessous qu'au dessus Autrement dt, l y a 50% des valeurs de la sére qu sont nféreures à la médane et 50% qu sont suéreures à celle-c Pour détermner son rang (= oston dans la sére), l y a cas : - s est mar : la médane est la valeur de rang n + - s est ar : nous rendrons la moyenne des deu valeurs dont les rangs entourent le nombre n =5 donc La médane est la ème valeur sot M = 44 =6 donc La médane est la moyenne de la ème et la 4 ème valeur donc M = 45 Remarque : S les données ont été regrouées en classes ( = ntervalles de valeurs), on ne eut as détermner la valeur eacte de la médane En revanche, on aellera classe médane, la classe qu la content (et ermet donc d'en donner un encadrement) Quelques eemles : Eemle : Données dscrètes "en vrac" : 0, 7,, 8, 6, 5, 5,,, 0, 5,, 8, 4 Ordonnons la sére ar ordre crossant : + Il y a valeurs dans cette sére et = La médane est donc la moyenne de la ème et de la ème valeur de la sére ; elle est donc égale à :

2 Eemle : Tableau d'effectfs + L'effectf total est de or = La médane est donc le ème terme valeurs effectfs effectfs cumulés Pour détermner sa valeur, l faut alors s ader des effectfs cumulés ; on trouve que M = Des mesures de dserson assocées à la médane : les quartles Défntons : On aelle remer quartle Q d'une sére la lus ette valeur des termes de la sére our laquelle au mons un quart (5%) des valeurs sont nféreures ou égales à Q On aelle trosème quartle Q d'une sére la lus ette valeur des termes de la sére our laquelle au mons tros quarts (75%) des valeurs sont nféreures ou égales à Q On aelle ntervalle nterquartle l'ntervalle [ Q ; Q ] Dans cet ntervalle, on a donc 50% des valeurs de la sére On aelle écart nterquartle l'amltude de l'ntervalle [ Q ; Q ], sot la dfférence Q - Q Eemle : On consdère la sére de valeurs suvante :,,,, 5, 6, 6, 7, 7, 8, 9, 0,, : l y a valeurs Recherche de la oston de Q dans cette lste : Le remer quartle est alors, ar défnton, la ème valeur de la sére donc Q = Recherche de la oston de Q dans cette lste : Le trosème quartle est alors, ar défnton, la ème valeur de la sére donc Q = L'ntervalle nterquartle est [ ; ] L'écart nterquartle est égal à Eemle : Une entrerse de servce à domcle en lombere et électrcté a établ le relevé suvant de ses nterventons journalères endant une érode de 5 jours ouvrables ombres d nterventons ombres de jours Détermner la médane M et les quartles Q et Q : Le dagrammes en boîte : Ce tye de dagramme est auss aelé boîte à moustaches ou boîte à attes Il utlse les valeurs mnmum et mamum de la sére, le er et le ème quartle et la médane Et se rerésente ans :

3 Alcaton : Le dagramme en boîte c-dessous rerésente la réartton du nombre de BD vendues ar jour dans une lbrare endant un an : Ls grahquement le nombre mnmum et le nombre mamum de BD vendues : Le nombre médan de BD vendues ar jour est égal à L ntervalle [ ; ] est l ntervalle nterquartle de cette sére statstque Alcaton : Le dagramme en boîte c-dessous rerésente la réartton en âge des membres d une médathèque : L âge médan de cette sére vaut et l ntervalle nterquartle est : Sachant que la oulaton étudée est d un effectf total égal à 7, comben d ndvdus ont une valeur du caractère comrse entre 50 et 70 : 4 Deuème mesure de «tendance centrale» : la moyenne a La moyenne d une sére : Sot la sére statstque c-contre : aleurs du caractère effectf n n n Total Fréquence f f f Sa moyenne est égale à : n + n + + n m = = n avec = n = = Ou encore : Remarque : m = = f Pour calculer la moyenne d une sére dont les effectfs sont regroués en classe, on fera une moyenne aromatve à artr des centres de chaque classe Prorétés de la moyenne : () S est la moyenne d un groue d effectf et y la moyenne d un groue d effectf alors la moyenne z de la sére consttuée de l ensemble des deu groues est : + y z = + () S l on ajoute un nombre k à toutes les valeurs d une sére alors la moyenne de la nouvelle sére sera elle auss augmentée de k () S l on multle ar un nombre k toutes les valeurs d une sére alors la moyenne de la nouvelle sére sera elle auss multlée ar k

4 5 Des mesures de dserson assocées à la moyenne : la varance et l écart-tye Défnton de la varance : La varance est défne ar : = = ( ) n m où m désgne la moyenne de cette sére Remarques : est donc la moyenne des carrés des écarts entre chaque valeur k est la moyenne m La varance ermet donc de mesure la dserson des valeurs autour de la moyenne La varance se calcule également ar la formule : n = = Il est toutefos référable d utlser la ère formule lorsque les valeurs calculatrce m k sont grandes ; l y a snon un rsque de déasser les caactés de la Défnton de l écart tye : L écart tye d une sére statstque est la racne carrée de la varance L écart tye est ans ermé dans la même unté que la varable étudée C est une mesure de dserson Eemle : ) Consdérons les séres de notes suvantes : Sére : 9 0 et Sére : On a donc m = = 0 et m = = 0 : ces élèves ont donc la même moyenne et ourtant l est évdent qu ls n ont as la même régularté dans le traval! Calculons les varances us les écarts tyes de ces séres : (9 0) + (0 0) + ( 0) = = et (4 0) + (0 0) + (6 0) = = 4 Donc l écart tye de la sére est égal à ; 0,8 onts et l écart tye de la sére est égal à 4 ; 4,90 onts On eut constater que l écart tye de la e sére est ben suéreur à celu de la sére ce qu tradut une dserson lus grande Eemle : Ce tableau récatule les âges des élèves de remère d un lycée Comlète-le : Âge Total Effectf Calculer la moyenne et l écart-tye de cette sére :

5 Fche calculatrce Eercce n : A artr d une lste de valeurs oc la lste de notes d un élève en Mathématques tout au long de l année : Quels sont les valeurs etrêmes de cette sére? Dédus-en l étendue de cette sére Quel est la moyenne annuelle de cet élève? L écart-tye de ses notes? Quelle est la note médane, le er et le ème quartle? 4 Dessner le dagramme en boîte de cette sére Avec la calculatrce : Objectfs : Rentrer une lste de valeurs, Calculs du mn, ma, de la moyenne smle et de son écarttye et de la médane et ses quartles Avec une caso : Menu Effacer les lstes estantes : Se lacer dans la colonne que vous souhatez effacer, taer sur F6 us F4 ( DEL-A) la calculatrce demande alors s vous êtes sûr de voulor effacer la lste sélectonnée : YES (F) ou O (F6) Rentrer les notes dans Lst : Taer chaque valeur us EXE Calculs des mesures statstques : Chosr CALC ( Touche F ) Pus SET ( F6 ) Chosr our ar Xlst : Lst ( F ) Entrer le numéro de la lste dans laquelle vous rentrez vos valeurs Pour ar Freq : ( F ) us ee (our sortr du SET) Enfn, taer var ( F) Avec une TI : Touche STAT us sélectonner :edt Effacer les lstes estantes : Se lacer sur la lste à effacer ( c L) us taer sur la touche EFFACER Pus ETREE Rentrer les notes dans Lst : Taer chaque valeur us ETER Calculs des mesures statstques : Taer sur la touche STAT us à l ade des flèches asser sur CALC us chosr : -var Stats -var stats aaraît alors à l écran taer ensute sur les touches nd us, on vot alors aaraître L à la sute, taer ETREE Eercce n : A artr d un tableau de données On a étudé l âge des 50 élèves se résentant au baccalauréat en 006 au lycée : Age effectf Quels sont les âges etrêmes de ces élèves? Dédus-en l étendue de cette sére Quel est l âge moyen de ces élèves? L écart-tye? Quel est l âge médan de ces élèves? les er et ème quartles? 4 Dessner le dagramme en boîte de cette sére Avec la calculatrce : Objectfs : Rentrer une lste de valeurs, avec sa lste d effectfs assocés Calculs du mn, ma, de la moyenne ondérée et de son écartye et de la médane et de ses quartles Avec une caso : Menu Effacer les lstes estantes, Rentrer les âges dans Lst Rentrer les effectfs dans Lst Chosr CALC (Touche F ) Pus SET (Touche F6 ) Chosr our ar Xlst : Lst ( F ) Pour ar Freq : Lst ( F ) Enfn, taer var ( F) Avec une TI : Touche STAT us sélectonner :edt Effacer les lstes estantes, Rentrer les âges dans Lst Rentrer les effectfs dans Lst Taer sur la touche STAT us CALC Pus chosr : -var Stats enfn ETREE Pus nd our «mes valeurs sont dans» L touche vrgule, - us nd our «mes effectfs sont dans» L us ETREE

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