Chapitre n 10 : «Écritures fractionnaires»

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1 Chapitre n 0 : «Écritures fractionnaires» I. Définitions/Notation / Activité Problématique Pour se rendre compte, nous allons calculer les opérations suivantes : 8:=4 ; 6:9=4 ; 5:=,5 ; 0:4=, 5 ; :4=0,5 ; 5:4=,5 ; 0:8=, 5 ;,5 0=0,5. 5, , ,666 est environ égal à, Il est impossible d'écrire le résultat exact avec une virgule. C'est pourquoi l'on introduit une nouvelle notation, qui va symboliser le résultat exact de la division de cinq par trois : on écrira 5. Cette écriture est une écriture fractionnaire. Dans certains cas, on pourra donner une valeur exact : =,5. Pour d'autres, on ne pourra pas comme pour 0 6. / L'essentiel Définition a et b représentent deux nombres ; b étant différent de 0. Le quotient de a par b est le résultat (exact) de la division (décimale) de a par b : on note a b. =0,5 ; 0, (valeur approchée au centième), représente alors la valeur exacte de «divisé par»; 5 =0, ; 4 =0,5 ; 0 =0, (un dixième) ; 00 =0,0 (un centième), , Vocabulaire Le trait de séparation s'appelle la barre de fraction. Le nombre situé au dessus de la barre de fraction est appelé le numérateur. Le nombre situé en dessous de la barre de fraction est appelé le dénominateur. a est une écriture fractionnaire. b

2 Exemple Dans,5,5, 8 est le dénominateur et,5 est le numérateur. 8 exact de la division de, 5 par. représente le résultat S'exprimer Un demi Un tiers Un quart Un cinquième =0,5 Remarque est environ égal à 0,. 4 = 0, 5 5 = 0, On dit indifféremment «sept huitièmes» ou «sept sur huit» pour 8. Écritures fractionnaire En toutes lettres Écriture décimale un sixième environ égal à 0,66 sept demis égal à,5 six quarts égal à,5 douze dixièmes égal à, quatre tiers environ égal à, / Cas particulier d'écritures fractionnaires : la fraction. Définition Une fraction est une écriture fractionnaire où le numérateur et le dénominateur sont deux nombres entiers. et 4 sont des fractions, et donc des écritures fractionnaires. 4 8, ; 4,8 9 0 ; 6,6 6, et 9 sont des écritures fractionnaires mais ne sont pas des fractions.,

3 II. Placer une fraction sur une droite graduée On veut placer sur une droite graduée les fractions suivantes : ; ; 4 ;. On trace une droite graduée d'unité cm ( cm entre chaque graduation). On partage ensuite chaque unité en deux parties pour pouvoir compter de demi en demi. De même avec les fractions suivantes : ; 5 ; graduée d'unité cm.. On trace pour cela une droite Description de la méthode Si, par exemple, je veux représenter 5, je partage chaque unité en cinq parties égales. Je place 5 entre au septième trait entre et. Abscisse d'un point sur une droite graduée Le point A placé sur la droite graduée ci-dessus, est repéré grâce au nombre 0 0 est l'abscisse du point A. On note A 0.. On dit que

4 III. Comparaison / Encadrement par deux entiers consécutifs. Sur la deuxième droite graduée, on peut observer que. On peut retrouver ce résultat de tête. En effet, lorsqu'on commence à poser la division décimale de par, on se demande «Combien de fois dans?». Il y a fois dans. On sait donc que le résultat sera compris entre et! De même : 0 4 puisque dans 0, il y a fois. / Comparaison avec Propriété Dans une écriture fractionnaire : si le numérateur est supérieur au dénominateur, le résultat est supérieur à ; si le numérateur est inférieur au dénominateur, le résultat est inférieur à.,5 0,,50 ; ; 0,8,5 =. Remarque Dans une écriture fractionnaire : lorsque le numérateur est supérieur au dénominateur, on obtient un nombre supérieur à, par exemple 5 =,4 ; lorsque le dénominateur est supérieur au numérateur, on obtient un nombre inférieur à, par exemple =0,5.

5 IV. Prendre la fraction d'une quantité Exemple 5 5 = «Si je partage un gâteau en cinq, et si je mange les cinq parts ; j'ai mangé tout le gâteau!» De même : = ; = Propriété a représente un nombre non nul. a a= ou a a = 5 = 5 ; 5 = 5 ; 5 = 6 5 ; =6 ; 5 =0 Propriété a et b sont deux nombres quelconques mais b 0. b a b =a Autres exemples,5 0 =,5 0 =,5 ; 8 9= ; = ; 8 = 88 Activités Les trois quarts d'une classe de 8 élèves sont des filles. Combien sont-elles? On résume le problème par le calcul suivant : 8. Comment faire ce calcul? On 4 divise par 4 puis on multiplie par. Cela donne : 4 8= 8 4 = =. Donc, il y a filles de cette classe de 8 élèves. Calcule 49. On remarque que 49 se calcule facilement, d'où les étapes suivantes : 49 = 49 = = Calcule 5 9. On ne peut pas calculer facilement 5 9 ou 9, on va donc commencer par multiplier 5 par : 5 9 = 5 9=45 9=5.

6 Trois méthodes possibles 6 = 6 :9 =4 =44 9 «On divise par le dénominateur puis on multiplie par le numérateur» 49 8= 49 : 8= 8=56 «On calcule d'abord la fraction puis on multiplie par le nombre 8» 5 9 = 5 :9=45:9=5 «On multiplie par le numérateur puis on divise par le dénominateur» Un autre exemple Une classe de 5 élèves contient 5 garçons. Quelle est la proportion de garçon? Si on partage la classe en 5 groupes de 5 élèves, avec les 5 garçons, on peut former groupes : la proportion des garçons est 5, celle des filles est 5. V. Écritures fractionnaires égales Activité On a vu que 0 =6. On peut le vérifier en calculant : 5 : 0=, et 6:5=, («dans 6, il y a fois 5 et il reste ; on abaisse un 0 ; dans 0, il y a fois 5») Est-ce que est égal à 4? Oui! C'est la même chose de prendre part sur, que de prendre 4 fois plus de parts sur un partage en. Trouver des écritures fractionnaires égales à : 6 =,5 8 car 6 =,5 8 6 = 6 = 4 x, =6, «On a multiplié par le numérateur et le dénominateur» x : 44 0 = 4 0 :

7 Propriété fondamentale des écritures fractionnaires On obtient des écritures fractionnaires égales en multipliant ou en divisant le numérateur et le dénominateur par un même nombre (non nul). Présentations des calculs 5 =5: : =,5,5 ; 9 5 = 9 5 = 45 «On écrit une étape intermédiaire» : 4 =,5 : «On écrit le résultat sans intermédiaire ; on utilise éventuellement des flèches pour expliquer». 5 = 4 0 =,5 = 8 0 = 6 40 ;,5 9 = 8 = 0,,8 «On écrit directement» Point méthode Comment compléter 45 = 90? On remarque que 45 =90, donc le dénominateur manquant s'obtient en faisant =4 ; d'où : 45 = Comment compléter 5=? Il suffit de répondre à la question suivante «Quel nombre divisé par donne 5?». C'est 5 ; d'où 5= 5. VI. Simplification de fractions Activité Que peut-on dire de 55 et 5? On remarque en posant la division décimale de 55 et 5 que le résultat est le même : 0,. En cherchant un peu, on trouve : 55 = 5 = 5. Définition Simplifier une fraction, c'est trouver une nouvelle fraction égale en divisant le numérateur et le dénominateur par le même nombre.

8 Simplifie : 8 6 ; 5 45 ; 6 ; ; = = = 5 45 = 5 5 = = 6 = 6 = = 8 8 = = = 4 0 = 4 0 = 5 Méthode Il suffit de trouver la table dans laquelle on trouve le numérateur et le dénominateur de la fraction. Si c'est la table de, on divise alors le numérateur et le dénominateur par. On dit qu'on a simplifié par. Attention, il est parfois possible de simplifier plusieurs fois de suite. VII. Égalités à trou Activité 5 =5 donne 5 =5 4 =0 donne 4,5=0.,5 s'obtient en faisant le quotient de 0 par 4. = donne car = Remplaçons maintenant par x. Que vaut x si 5 x=5? x est égal à 5 5 =5. Même question dans les égalités suivantes : 0 x=4 x= 4 0 =0,4 x 00=56 x= = x 9 x= 45 9 =5 x= x= (on ne peut pas écrire le résultat avec une virgule!)

9 Méthode vocabulaire L'égalité x=8 est en fait une égalité à trou : la lettre x représente le nombre qu'il faut trouver. x=8 se traduit de plusieurs façons : «fois combien donne 8» ou bien «dans 8, combien de fois». La réponse à cette question est le quotient de 8 par, donc x= 8 Est-ce que 8 a une écriture décimale exacte? Il faut poser la division : On remarque que la partie décimale est composée des chiffres 485 qui reviennent en cycles jusqu'à l'infini. On ne peut pas écrire la valeur exacte de 8 avec une virgule. 8, ,

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