SOMMAIRE. Agnès Sofiyana TESTS

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1 SOMMAIRE AUTEUR Agnès Sofiyana TESTS 1 Calculer astucieusement ; manipuler les nombres entiers, décimaux et les radicaux ; résoudre des problèmes numériques 2 Calculer avec des nombres fractionnaires, résoudre des problèmes 3 Problèmes de proportionnalité, pourcentage, vitesse, débit, échelle et conversion de mesures 4 Problèmes géométriques (périmètres, aires, volumes) et conversion de mesures Problèmes algébriques, équations, systèmes, problèmes d âges CORRIGÉS

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3 2 Calculer avec des nombres fractionnaires, résoudre des problèmes Test Les questions qui suivent sont centrées sur les calculs ou les problèmes mettant en jeu des fractions. Les calculs sont à effectuer sans calculatrice, évidemment. Rappelez-vous : Si a est l écriture d un nombre rationnel, avec a 0, alors, b pour tout entier relatif c non nul, a c b c = a b. Cette propriété est utilisée pour mettre deux fractions au même dénominateur ou pour simplifier des fractions et les écrire avec le plus petit dénominateur possible. Pour additionner ou soustraire deux fractions, elles doivent être écrites avec le même dénominateur. Dans ce cas, on additionne les numérateurs et la fraction obtenue est sur le dénominateur commun : a b + c b = a c b Pour additionner ou soustraire deux fractions qui n ont pas le même dénominateur, on transforme l écriture de l une des fractions ou des deux fractions (avec l outil (1)) afin de se ramener au cas précédent. Pour multiplier deux fractions, on multiplie entre eux leur numérateur et leur dénominateur. a b c d = a c b d Pour effectuer une division, on applique la règle suivante : diviser par un nombre revient à multiplier par son inverse. Ainsi, diviser par a b revient à multiplier par b a. 2 Calculer avec des nombres fractionnaires Test

4 2SUITE Calculer avec des nombres fractionnaires Pour comparer deux fractions, il faut les mettre au même dénominateur et comparer leur numérateur. Dans les problèmes énoncés en langage naturel (en français), il faut avoir à l esprit les traductions suivantes : Calculer la moitié (respectivement le tiers ou le quart) d une quantité A revient à calculer A 2 (respectivement A 3 ou A 4 ) ; Calculer la proportion a b d une quantité Q revient à calculer Q a b (par exemple, calculer les 3 de 120 revient à calculer ) Enfin, si on prend a b- a d une quantité (avec a < b) alors il reste de b b cette même quantité (par exemple, si on prend 2 d une quantité de cerises, alors il reste 3 de cette même quantité de cerises).

5 2.1 Calculer la fraction irréductible égale à A = Calculer la fraction irréductible égale à B = Donnez l écriture décimale du nombre C = Quelle est la fraction dont le dénominateur est 0, et qui est comprise entre 74 7 et ? ou Patrick, Léonard et Jules veulent acheter ensemble une planche à voile valant 320 euros. Patrick peut payer 3 8 du prix et Léonard 1 du prix. Calculer la somme que doit payer Jules. 2 Calculer avec des nombres fractionnaires Test

6 2SUITE Calculer avec des nombres fractionnaires 2.6 Calculer la fraction irréductible égale à D = Calculer la fraction irréductible égale à Ê 3 ˆ E = Á - Ë 4 2 Ê 2 ˆ Á - Ë Calculer la fraction irréductible égale à F = Calculer la fraction irréductible égale à G = Calculer la fraction irréductible égale à H = ( 1,2) 7 4 Ê Á Ë - 1ˆ Calculer la fraction irréductible égale à I = ( ) ( 2 4 )

7 2.12 Calculer la fraction irréductible égale à Ê 1 1ˆ J = Á Ë Calculer la fraction irréductible égal à Ê 1ˆ H = Á Ë 2 Ê 2ˆ Á Ë 3 Ê 3ˆ Á Ë Calculer la valeur de Ê I = 1-1 ˆ Á Ë 2 + Ê 1 1ˆ Á - Ë Ê 1 1ˆ Á - Ë Ê 1 1ˆ Á - Ë Ê 1 1 ˆ Á - Ë Iris a dépensé les 3 de son argent de poche puis la moitié de ce qu il lui restait. Il lui reste maintenant 20. Combien avait-elle d argent de poche? 2.16 Thomas est en vacances! Il est parti avec une somme d argent. Il a dépensé les trois huitièmes de cette somme, puis les deux cinquièmes de ce qu il lui restait et encore le quart de ce qu il restait. À la fin de son séjour, il lui reste 900 euros. Quelle somme avait-il au départ? 2 Calculer avec des nombres fractionnaires Test

8 2SUITE 2.17 Calculer avec des nombres fractionnaires C est le printemps! Rosa décide de repeindre la maison d hôte en vert (en hommage à la belle verdure qui s étale au pied de sa maison). Elle achète de la peinture blanche et de la peinture verte et elle prépare deux mélanges : A : litres de peinture blanche et 3 litres de peinture verte B : 7 litres de peinture blanche et 4 litres de peinture verte. Lequel de ces deux mélanges donnera le vert le plus clair? 2.18 Combien y a-t-il d heures dans la moitié des trois quarts d une journée? 2.19 Une araignée a 8 pattes. Elle a 8 du nombre de pattes d un mille pattes. 21 Combien de pattes a le mille pattes? 2.20 Une tablette et son clavier coûtent ensemble 630 euros. Le clavier coûte les trois quarts du prix de la tablette. Combien coûte la tablette?

9 2.21 Valentin décide de repeindre la clôture qui entoure son jardin. Le premier jour, il peint le tiers de sa clôture ; le deuxième jour, il peint le quart de sa clôture ; puis pendant une semaine, il peint chaque jour la même longueur de clôture. Quelle fraction de la clôture doit-il peindre chaque jour pour terminer de peindre l ensemble de sa clôture à la fin de la semaine? 2.22 Dans la famille Joly, il y a trois enfants. Lors de l anniversaire de la petite dernière, Mathilde, le gâteau a été mangé par tous : le père en a mangé le quart ; le grand frère a mangé le tiers de ce qu il restait ; la mère a mangé la moitié de ce qui restait ensuite et le benjamin en a mangé la moitié de ce que son père a mangé. Quelle fraction du gâteau reste-t-il pour Mathilde? 2.23 Partis de Perpignan, des touristes français occupent les quatre cinquièmes de trois cars. À Barcelone, un quart des passagers descendent. Peut-on mettre les touristes restants dans deux cars? 2 Calculer avec des nombres fractionnaires Test

10 2SUITE 2.24 Calculer avec des nombres fractionnaires Dans un groupe de touristes, un quart sont des enfants. Parmi les adultes, un tiers sont des femmes. Enfin, la moitié des hommes sont en short. Quelle est la proportion que représentent les hommes en short dans ce groupe? 2.2 Marjolaine a remarqué que sur une journée de 24 heures, elle passe 1 de la 3 journée à dormir, 1 à prendre ses repas, elle occupe 8 heures par jour pour 12 ses loisirs ou pour la logistique domestique, et le reste de la journée, elle étudie. Combien d heures par jour passe-t-elle à étudier? 2.26 Louise affirme : «Si je mélange volumes de sirop de fraise dans 9 volumes d eau, j aurai une boisson plus sucrée que si je mélange 4 volumes de sirop de fraise dans 7 volumes d eau.» A-t-elle raison?

11 2.27 Lucas adore faire du vélo. La semaine dernière, il s est préparé un parcours personnalisé : lundi, il a pédalé sur 1 du parcours total ; mercredi, il a terminé 1 du parcours et vendredi, il a parcouru 21 km. 3 Quelle était la distance totale que Lucas a parcourue sur ces trois jours? 2.28 Adèle a cuisiné 60 gâteaux et en a réussi 33 (les autres étaient trop brûlés ou pas assez cuits). Léonard a cuisiné 300 gâteaux et en a réussi 13. Des deux amis, quel est celui qui a le meilleur taux de réussite? 2.29 Deux amis, Tom et Serge n ont pas suffisamment d argent pour acheter chacun un coffret des DVD de leur série préférée. Ils décident de mettre leur argent en commun pour n acheter qu un seul coffret. Tom possède les 2 3 du prix du coffret et Serge possède la moitié du prix du coffret. Après leur achat, il leur reste encore 20 euros. Quel est le prix du coffret de DVD qu ils ont acheté en commun? 2.30 Antoine dépense un cinquième de son argent de poche, puis encore un cinquième de ce qu il lui reste. Il a dépensé en tout 36. Combien d argent de poche avait-il au début? 2 Calculer avec des nombres fractionnaires Test

12 2SUITE 2.31 Calculer avec des nombres fractionnaires Dans une école, 1/6 des élèves ne pratique aucun sport, 3/7 pratiquent un sport une fois par semaine, 3/14 pratiquent un sport deux fois par semaine et 48 élèves pratiquent un sport plus de trois fois par semaine. Y a-t-il d élèves dans cette école? 2.32 À la fin de l après-midi, il reste une tarte aux pommes entière. Quatre enfants se partagent ce gâteau de la façon suivante : Jonas se sert en premier et en prend un tiers ; Selma prend trois huitièmes de ce qu a laissé Jonas ; enfin, Amélie et Romain se partagent le reste de façon équitable. Quelle fraction de la tarte ont chacun mangé Amélie et Romain? 2.33 José désire acheter un écran plat à 324. Le magasin lui propose de payer le tiers du prix le jour de l achat et le reste en cinq mensualités sans frais. Quel sera le montant des mensualités?

13 2 Calculer avec des nombres fractionnaires, résoudre des problèmes Corrigé 2.1 Pour calculer A, on peut d abord calculer les sommes ou les différences des fractions qui ont le même dénominateur : A = = Puis simplifier l expression obtenue : A = A est une somme ou une différence de fractions, il faut donc mettre toutes les fractions au même dénominateur : A = = = Réponse : B est une somme ou une différence de fractions, il faut donc mettre toutes les fractions au même dénominateur : B = = = = = Puis, on peut simplifier le résultat : B = = 4 3 Réponse : L écriture décimale d un nombre est l écriture comportant une virgule. Il s agit d écrire 1 10 = 0,1 donc 8 10 = 0,8 ; puis = 0,001 donc = 0,003. Donc C = ,8 + 0,003 = 11,803. Réponse : 11, Corrigés Corrigé

14 2SUITE et sont des nombres rationnels, non décimaux. Or, les fractions proposées sont décimales (elles ont chacune un dénominateur égal à = 10 = 2 qui est le produit d une puissance de par une puissance de 2, donc la fraction est décimale). Pour comparer deux fractions, il faut les mettre au même dénominateur : = et 74 0 = = = donc = = et 7 0 = = = 3 70 donc = Nota bene : Il n est pas nécessaire de calculer 101 0, puisque le résultat est le dénominateur commun. Par ailleurs : = et = 3 ( ) = = 33, donc = De la même manière, on a : 36 0 = 3636 ; = 3737 ; = et 39 0 = Enfin, on observe que seul le nombre est compris entre et On a donc : C est-à-dire : Et finalement, Réponse : Calculer avec des nombres fractionnaires

15 2. Patrick peut payer 3 8 du prix, c est-à-dire euros. 8 Léonard peut payer 1 du prix, c est-à-dire euros. Jules devra donc payer : = 320 ( ) = 320 ( ) = 320 ( ) = 320 = = = 8 17 = 8 (10 + 7) = = 136. Jules devra donc payer 136 euros. Réponse : 136 euros. 2.6 Pour multiplier des fractions, il suffit de multiplier les dénominateurs entre eux et les numérateurs entre eux. Ensuite, il s agit de simplifier la fraction, par exemple en décomposant les produits obtenus en produit de facteurs simples : D = = = = 1 4 Réponse : Ê 3 ˆ Tout d abord, Á - Ë 4 2 = = = et Ê 2 ˆ Á - Ë 9 4 = = Donc E = Ê Á Ë - 37ˆ 36 = = = = = Donc E = = - 13 Réponse : Corrigés Corrigé

16 2SUITE 2.8 Calculer avec des nombres fractionnaires Il faut tout d abord s occuper des multiplications, ensuite de la soustraction : F = = = Il s agit maintenant de trouver le dénominateur commun à 22 et 18, et le plus petit possible, afin d alléger les calculs. Or, 22 9 = 198 et = 198. Donc le dénominateur commun est 198. F = = = = = Enfin, = 408 et = 99, donc F = = Et = 136 et 99 3 = 33, donc F = Réponse : Il s agit de procéder comme en 2.6 en simplifiant les produits : G = = = Réponse : L astuce consiste à regrouper les facteurs de sorte à effectuer des simplifications : H = 4 ( 1,2) Ê Á Ë - 1ˆ 2 = 4 1, = 1, = 1,2 2 = 2,. Réponse : 2,.

17 2.11 Il faut se rappeler que diviser ( ou / ) par a b revient à multiplier ( ) par b a. I = ( ) ( 2 4 ) = = = 16 1 Réponse : Il s agit encore une fois de respecter les priorités des opérations et d appliquer les règles pour additionner ou multiplier des fractions : J = ( ) = = = = = = Réponse : H = = = = 1, après simplification des facteurs 4 communs du numérateur et du dénominateur. Réponse : Il s agit de ruser ici, et non pas de calculer l expression. En effet, on remarque que les termes s annulent deux à deux : I = = = = Réponse : Corrigés Corrigé

18 2SUITE 2.1 Calculer avec des nombres fractionnaires Iris a dépensé 3 de son argent de poche, il lui reste donc 1 3 = 3 = 2 de son argent de poche. Elle dépense la moitié de ce qu il lui reste, donc = 1 de son argent de poche. Il lui reste alors ce qui lui restait auparavant ( 2 ) moins ce qu elle vient de dépenser ( 1 ), soit 2 1 = 1. Enfin, 1 de son argent de poche représente 20. On en déduit que son argent de poche était égal à 20 = 100. Réponse : Dressons un tableau et procédons comme dans la question 2.1. Il dépense de ce qu il reste = de ce qu il reste = Il lui reste = 8-3 = de ce qu il restait = 3 8 = de ce qu il restait = = 9 32 Enfin, les 9 de la somme de départ représentent 900 euros. 32 La somme de départ est donc égale à = = = Réponse :

19 2.17 Pour savoir quel mélange est le plus clair possible, il suffit de se représenter la part de peinture blanche dans chaque mélange : plus cette part est grande, plus le mélange est clair. Dans le mélange A, la part de blanc est de + 3 = 8. 7 Dans le mélange B, la part de blanc est de = Pour comparer ces deux fractions, il faut les mettre au même dénominateur : 8 = 11 = et 7 11 = = 6 88 que le mélange A. Réponse : mélange B La moitié des trois quarts d une journée est égale à heures = heures = 9 heures Réponse : 9 heures. et 88 < 6 donc le mélange B est plus clair le nombre de pattes d un mille pattes est égal à 8 pattes. 21 Donc le nombre de pattes du mille pattes est égal à 8 21 = 21 pattes. Réponse : 21 pattes Soit T le prix de la tablette et C le prix du clavier. L énoncé indique que : T + C = 630 et C = 3 4 T. Il en résulte que T T = T T = T = Corrigés Corrigé

20 2SUITE Calculer avec des nombres fractionnaires T = = = Réponse : Le premier jour, Valentin peint le tiers de la clôture, le deuxième il en peint le quart : sur ces deux jours, il a peint = = 7 de la clôture. Il reste 12 donc à peindre 12-7 = de la clôture, pendant une semaine, soit 7 jours = =. Il faut donc que Valentin peigne de la clôture tous les jours pour terminer de peindre l ensemble de sa clôture à la fin de la semaine. Réponse : Dressons un tableau pour nous représenter la situation qui évolue à chaque fois qu un membre de la famille Joly mange une part du gâteau : Le père Le grand frère La mère Le benjamin A été mangé 1 4 Il reste 1 3 de ce qu il reste 2 3 de ce qu il restait = = de ce qu il reste 1 2 de ce qu il restait = = de 1 4 = = Ce qu il restait 1 8 = = 1 8 Il reste donc 1 8 du gâteau pour Mathilde! Réponse : 1 8.

21 2.23 Au départ de paris, les touristes occupent 4 3 = 12 des places d un car. À Barcelone, 1 4 des touristes descendent, il reste donc 3 des touristes qui 4 occupent donc = = 9 des places d un car. 4 Or 2 cars représentent 2 = 10 de places et 10 > 9. Donc les touristes restants pourront occuper les places de deux cars. Réponse : Oui des touristes sont des enfants, il y a donc 3 des touristes qui sont adultes des touristes adultes sont des femmes, il y a donc 2 des adultes qu sont 3 des hommes, soit = 2 4 = 1 des touristes sont des hommes. 2 La moitié des hommes sont en short, donc = 1 des touristes sont des hommes en short. 4 Réponse : Marjolaine passe 1 3 de sa journée à dormir, soit 1 24 = 8 heures à dormir. 3 Elle passe 1 1 de sa journée à prendre ses repas, soit 24 = 2 heures à manger Elle occupe 8 heures pour ses loisirs ou pour la logistique domestique. Ce qui fait un total de = 18 heures par jour. Il reste donc = 6 heures. Réponse : 6 heures. 2 Corrigés Corrigé

22 2SUITE 2.26 Le sirop de fraise est sucré. Pour déterminer quel mélange est le plus sucré, il suffit de se représenter la part de sirop de fraise dans chaque mélange : plus cette part est grande, plus le mélange est sucré. Dans le premier mélange, la part de sirop de fraise est = Dans le deuxième mélange, la part de sirop de fraise est 4+ 7 = Pour comparer 14 et 4, il faut mettre les deux fractions au même dénominateur : 14 = 11 = et 4 11 = 4 14 = Enfin, 14 < 6 donc le premier mélange est moins sucré que le second. 14 Louise n a donc pas raison. Réponse : Non Calculer avec des nombres fractionnaires Lundi, Lucas a parcouru 1 de la distance totale, et mercredi il a parcouru 1 3 de cette distance totale. Sur ces deux jours, il a parcouru = = 8 de la distance totale de son parcours. 1 Il lui restait donc à parcourir = vendredi, et il a parcouru 20 km. 1 1 On en déduit que la distance totale est égale à : = = 3 1 = 4 km. 7 Réponse : 4 km.

23 2.28 Pour Adèle, le taux de réussite est de = = 100 = % Pour Léonard, le taux de réussite est de : = 1 = 1 % (13 = = = 3 1). 100 C est donc Léonard qui a le meilleur taux de réussite. Réponse : Léonard Tom possède les 2 3 du prix du coffret et Serge possède 1 du prix du coffret. 2 À eux deux, ils possèdent = = 7 6 du prix du coffret, soit 1 de trop. 6 Ce 1 du prix est égal à 20, donc le coffret coûte 20 6 = Réponse : Dressons un tableau pour nous représenter la situation : Il a dépensé 1 1 de ce qu il reste = 1 4 = 4 2 Il lui reste 4 4 de ce qu il restait = 4 4 Il a dépensé en tout : = = 9 de son argent de poche, qui est égal à Il avait donc au départ : = = 9 2 = 22. Réponse : Corrigés Corrigé

24 2SUITE 2.31 Calculer avec des nombres fractionnaires Parmi les élèves de cette école, pratiquent un sport à zéro, une ou deux fois par semaine, 14 soit = = = = = = des élèves Il reste donc = 4 des élèves qui pratiquent un sport trois fois par semaine, soit 48 élèves. On en déduit qu il y a = 4 12 = = = = 22 élèves. 4 4 Réponse : 22 élèves Dressons un tableau pour nous représenter la situation qui évolue à chaque fois qu un enfant mange une part de la tarte : Jonas Selma A été mangé 1 3 Il reste 3 8 de ce qu il reste 8 de ce qu il restait = = = Il reste donc de la tarte à partager entre Amélie et Romain, chacun des 12 enfants mangera donc 12 2 = = de la tarte. Réponse : José paie le tiers du prix, soit = 108. Il lui reste donc à payer = 216 en mensualités, soit 216 = = = ,2 = 43,20 par mois. Réponse : 43,20.