Théorème des valeurs intermédiaires (TVI) Continuité Exercices corrigés

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1 Théorème des valeurs intermédiaires (TVI) Continuité Exercices corrigés Sont abordés dans cette fiche : (cliquez sur l exercice pour un accès direct) Exercice 1 : appliquer le théorème des valeurs intermédiaires sur un intervalle fermé de Exercice 2 : appliquer le théorème des valeurs intermédiaires sur un intervalle semi-ouvert de Exercice 3 : appliquer le théorème des valeurs intermédiaires sur un intervalle ouvert de Exercice 4 : montrer qu une équation admet au moins une solution grâce au TVI Exercice 5 : montrer que toute fonction polynôme de degré impair admet au moins une racine réelle Exercice 6 : utiliser le TVI pour montrer l existence de solutions d une équation dans un intervalle Exercice 7 : montrer qu une équation admet une unique solution dans un intervalle grâce au corollaire du théorème des valeurs intermédiaires (corollaire du TVI) Exercice 8 : lire un tableau de variations et appliquer le corollaire du TVI pour déterminer le nombre exact de solutions d une équation Exercice 9 : utiliser la monotonie d une fonction pour approximer un nombre de solutions Exercice 10 : utiliser une variante du corollaire du TVI pour écrire un algorithme d encadrement par dichotomie Accès direct au site 1

2 Exercice 1 (3 questions) Niveau : facile Soit la fonction définie sur par ( ). 1) Montrer que la fonction est continue sur [ ]. 2) Calculer ( ) et ( ). 3) En déduire que l équation ( ) admet au moins une solution dans [ ]. Correction de l exercice 1 1) Montrons que la fonction est continue sur [ ]. Rappel : Continuité d une fonction en un point Soit une fonction définie sur et soit. est continue en si et seulement si a une limite en égale à ( ), c est-à-dire si et seulement si ( ) ( ). Rappel : Continuité d une fonction sur un intervalle Soit une fonction définie sur et soit. est continue sur si et seulement si est continue en tout point de. Remarque : Les fonctions polynômes, homograhiques, rationnelles, sinus, cosinus, exponentielle, racine carrée sont des fonctions continues sur leur ensemble de définition respectif. La fonction est une fonction polynôme, donc elle est continue sur et en particulier sur [ ]. 2) Calculons ( ) et ( ). D une part, ( ) ( ) ( ) ( ). D autre part, ( ). 3) Montrons que l équation ( ) admet au moins une solution dans l intervalle [ ]. Rappel : Théorème des valeurs intermédiaires (TVI) sur un intervalle fermé borné Soit une fonction continue sur un intervalle fermé borné [ ] ( et réels tels que ). Alors, pour tout réel compris entre ( ) et ( ), il existe au moins un réel compris entre et tel que ( ). Autrement dit, l équation ( ) admet au moins une solution dans [ ]. D une part, est continue sur [ ] (d après la première question). D autre part, comme [ ( ) ( )] [ ] (d après la deuxième question), le théorème des valeurs intermédiaires permet d affirmer que l équation ( ) admet au moins une solution dans [ ]. 2

3 Exercice 2 (3 questions) Niveau : facile Soit la fonction définie sur ] ] par ( ). 1) Montrer que la fonction est continue sur ] ]. 2) Calculer ( ) et déterminer ( ). 3) En déduire que l équation ( ) admet au moins une solution dans ] ]. Correction de l exercice 2 1) Montrons que la fonction est continue sur ] ]. La fonction est une fonction homographique, donc elle est continue sur son ensemble de définition, à savoir sur ] ]. 2) Calculons ( ) et déterminons ( ). D une part, ( ). Rappel : Limite d une fonction composée de deux fonctions Soit une fonction définie sur un intervalle et soit une fonction définie sur un intervalle, telle que ( ). La fonction définie sur par ( ) ( ( )) (ou ( ) ( )( )) est la fonction composée de la fonction suivie de la fonction., et désignent chacun soit un réel, soit, soit. Si ( ) et si ( ) alors ( ) D autre part, ( ) et donc, par composition des limites, ( ). 3) Montrons que l équation ( ) admet au moins une solution dans ] ]. Rappel : Théorème des valeurs intermédiaires (TVI) sur un intervalle semi-ouvert Soit une fonction continue sur un intervalle semi-ouvert [ [ (respectivement ] ] avec et bornes finies ou infinies telles que ). Alors, pour tout réel compris entre ( ) et ( ) (respectivement entre ( ) et ( )), il existe au moins un réel [ [ (respectivement ] ]) tel que ( ). Autrement dit, l équation ( ) admet au moins une solution dans [ [(respectivement dans ] ]). 3

4 D une part, est continue sur ] ] (d après la première question). D autre part, [ ( ) ( )[ [ [ (d après la deuxième question). Par conséquent, d après le théorème des valeurs intermédiaires, l équation ( ) une solution dans ] ]. admet au moins 4

5 Exercice 3 (1 question) Niveau : moyen Montrer que l équation admet au moins une solution dans. Correction de l exercice 3 Rappel : Théorème des valeurs intermédiaires (TVI) sur un intervalle ouvert Soit une fonction continue sur un intervalle ouvert ] [ (avec et bornes finies ou infinies telles que ). Alors, pour tout réel compris entre ( ) et ( ), il existe au moins un réel ] [ tel que ( ). Autrement dit, l équation ( ) admet au moins une solution dans ] [. Soit la fonction définie par ( ). Cette fonction rationnelle est définie sur puisque, pour tout,. De plus, étant rationnelle, cette fonction est continue sur son ensemble de définition. Autrement dit, est continue sur. Déterminons désormais les limites de cette fonction aux bornes de son ensemble de définition. Rappel : Limite en et limite en d une fonction rationnelle Soient,, et. et. Autrement dit, la limite d une fonction rationnelle en est égale à la limite en du quotient de ses monômes de plus haut degré. D une part, ( ). D autre part, ( ) Ainsi, (] [) ] [. Autrement dit, ( ). Or, ( ) donc, d après le théorème des valeurs intermédiaires, l équation ( ) admet au moins une solution réelle. Autrement dit, l équation admet au moins une solution dans. 5

6 Exercice 4 (2 questions) Niveau : moyen 1) Démontrer que l équation ( ) ( ) admet au moins une solution dans l intervalle [ ]. 2) Donner une solution exacte de l équation ( ) ( ) dans [ ]. Correction de l exercice 4 1) Montrons que l équation ( ) ( ) admet au moins une solution dans [ ]. L équation ( ) ( ) équivaut à ( ) ( ), c est-à-dire à ( ) où est la fonction définie sur par ( ) ( ) ( ). ( ) ( ) est la différence de la fonction ( ) et de la fonction ( ). Or, est la composée de la fonction linéaire, continue sur, par la fonction cosinus, continue sur. Par composition de deux fonctions continues sur, est continue sur. De plus, est le produit du réel 2 par la fonction sinus, continue sur. Par produit, est continue sur. Finalement, étant la différence de deux fonctions continues sur, est continue sur et en particulier sur [ ]. De plus, d une part, ( ) ( ( )) ( ) ( ) et, d autre part, ( ) ( ( )) ( ). Or, [ ( ) ( )] [ ] donc, d après le théorème des valeurs intermédiaires, l équation ( ) admet au moins une solution dans [ ]. Autrement dit, l équation ( ) ( ) admet au moins une solution dans l intervalle [ ]. 2) Donnons une solution de l équation ( ) ( ) dans [ ]. Pour tout [ ], ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) En posant ( ) et en notant que (puisque, pour tout, ( ) ), alors l équation ( ) ( ) équivaut à. Posons le discriminant du trinôme. Alors ( ). Comme, le trinôme admet potentiellement deux racines réelles : 6

7 Or, comme, et, pour tout [ ], ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). Représentation de la fonction et de la droite d équation dans un repère orthonormé ( ) du plan : 7

8 Exercice 5 (1 question) Niveau : moyen Montrer que toute fonction polynôme de degré impair admet au moins une racine réelle. Correction de l exercice 5 Rappel : Fonction polynôme On appelle fonction polynôme (à coefficients réels) toute application de dans pour laquelle il existe des réels tels que : ( ) ( ) désignent les coefficients du polynôme et désigne son degré. Soit une fonction polynôme de degré impair, définie sur. Toute fonction polynôme étant continue sur son ensemble de définition, il vient que est continue sur. En outre, ( ) { et ( ) {. Autrement dit, si, ( ) et ( ) si, ( ) et ( ) Ainsi, par disjonction des cas, (] [) ] [. Or, ] [ donc, d après le théorème des valeurs intermédiaires, l équation ( ) admet au moins une solution réelle dans. En d autres termes, toute fonction polynôme de degré impair admet au moins une racine réelle. 8

9 Exercice 6 (1 question) Niveau : moyen Soit une fonction définie et continue sur [ ] telle que, pour tout réel [ ], ( ) [ ]. Démontrer qu il existe au moins un réel [ ] tel que ( ). Correction de l exercice 6 Notons la fonction définie sur [ ] par ( ) ( ). Tout d abord, est la différence de la fonction, continue sur [ ], et de la fonction linéaire, continue sur [ ] ; par conséquent, est continue sur [ ]. Ensuite, ( ) ( ) ( ). Or, d après l énoncé, pour tout [ ], ( ) [ ]. Ainsi, il vient que ( ), c est-à-dire ( ). Enfin, ( ) ( ). Or, d après l énoncé, pour tout [ ], ( ) [ ]. Ainsi, il résulte que ( ), c est-à-dire ( ). Or, [ ( ) ( )] donc, d après le théorème des valeurs intermédiaires, l équation ( ) admet au moins une solution dans [ ]. Autrement dit, l équation ( ) admet au moins une solution dans [ ], c est-à-dire il existe au moins un réel [ ] tel que ( ). 9

10 Exercice 7 (1 question) Niveau : moyen Soit la fonction définie sur par ( ). Montrer que l équation ( ) admet exactement 3 solutions réelles. Correction de l exercice 7 Rappel : Corollaire du théorème des valeurs intermédiaires (aussi appelé théorème de bijection) Soit est une fonction continue et strictement monotone (c est-à-dire soit strictement croissante soit strictement décroissante) sur un intervalle de bornes et (finies ou infinies). Alors, pour tout réel strictement compris entre les limites de en et en, il existe un unique réel de tel que ( ). Monotonie de Intervalle croissante décroissante [ ] [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] [ [ [ ( ) ( )[ ] ( ) ( )] ] ] ] ( ) ( )] [ ( ) ( )[ ] [ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ La fonction est une fonction polynôme (de degré 3) donc elle dérivable sur. Comme toute fonction dérivable sur un intervalle est continue sur ce même intervalle, est continue sur. D autre part, il vient que, pour tout, ( ) ( )( ). Or, pour tout, ( ) Par conséquent, pour tout ] ] [ [, ( ). Il en découle que est strictement décroissante sur ] ] et sur [ [. D autre part, pour tout [ ], ( ). Il en résulte que est strictement croissante sur [ ]. Etudions les éventuelles solutions de l équation ( ) dans ] ]. D une part, sur ] ], est continue et strictement décroissante. D autre part, ( ) ( ) et ( ) ( ) ( ). Comme (] ]) [ ( ) ( )[ [ [, d après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l équation ( ) admet une unique solution dans ] ]. 10

11 Etudions les éventuelles solutions de l équation ( ) dans ] [. D une part, sur ] [, est continue et strictement croissante. D autre part, ( ) et ( ) ( ) ( ) Comme (] [) ] ( ) ( )[ ] [, d après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l équation ( ) admet une unique solution dans ] [. Etudions les éventuelles solutions de l équation ( ) dans [ [. D une part, sur [ [, est continue et strictement décroissante. D autre part, ( ) et ( ) ( ) Comme ([ [) ] ( ) ( )] ] ], d après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l équation ( ) admet une unique solution dans [ [. Concluons. Finalement, l équation ( ) admet exactement 3 solutions réelles. Remarque importante : Alors que le théorème des valeurs intermédiaires permet de prouver l existence d au moins une solution sur un intervalle, le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires permet de prouver l unicité d une solution sur un intervalle. 11

12 Exercice 8 (3 questions) Niveau : moyen Ci-après figure le tableau de variations d une fonction définie sur { }. 1) Déterminer le nombre de solutions de l équation ( ). 2) Déterminer le nombre de solutions de l équation ( ). 3) Déterminer le nombre de solutions de l équation ( ). Correction de l exercice 8 Rappelons tout d abord que, par convention, les flèches obliques d un tableau de variations traduisent la continuité et la stricte monotonie d une fonction sur un intervalle. Déterminons désormais le nombre de solutions de chaque équation proposée. 1) Déterminons tout d abord le nombre de solutions de l équation ( ). Sur ] ], la fonction est continue et strictement croissante et (] ]) ] ]. Or, ] ] donc, d après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l équation ( ) admet une unique solution dans ] ]. Sur ] [, la fonction est continue et strictement décroissante et (] [) ] [. Or, ] [ donc, d après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l équation ( ) admet une unique solution dans ] [. Sur ] [, la fonction est continue et strictement décroissante et (] [) ] [. Comme ] [, l équation ( ) admet une unique solution dans ] [, en vertu du corollaire du théorème des valeurs intermédiaires. Finalement, l équation ( ) admet exactement trois solutions réelles. 2) Déterminons ensuite le nombre de solutions de l équation ( ). Sur ] ], la fonction est continue et strictement croissante et (] ]) ] ]. Or, ] ] donc le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires permet d affirmer que l équation ( ) admet pas une unique solution dans ] ]. Sur ] [, la fonction est continue et strictement décroissante et (] [) ] [. Or, ] [ donc, d après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l équation ( ) admet une unique solution dans ] [. 12

13 Sur ] [, la fonction est continue et strictement décroissante et (] [) ] [. Comme ] [, l équation ( ) n admet pas de solution dans ] [. Finalement, l équation ( ) admet deux solutions réelles et deux seules, l une dans ] ] et l autre dans ] [. 3) Enfin, déterminons le nombre de solutions de l équation ( ). Sur ] ], la fonction est continue et strictement croissante et (] ]) ] ]. Or, ] ] donc l équation ( ) n admet pas de solution dans ] ]. Sur ] [, la fonction est continue et strictement décroissante et (] [) ] [. Or, ] [ donc, d après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l équation ( ) admet une unique solution dans ] [. Sur ] [, la fonction est continue et strictement décroissante et (] [) ] [. Comme ] [, l équation ( ) n admet pas de solution dans ] [. Finalement, l équation ( ) admet une unique solution réelle, en l occurrence dans ] [. 13

14 Exercice 9 (1 question) Niveau : moyen Soit une fonction strictement décroissante sur [ ] telle que ( ) et ( ). L équation ( ) admet-elle : a) une solution? b) aucune solution? c) au moins une solution? d) au plus une solution? Correction de l exercice 9 est une fonction strictement décroissante sur [ ] donc 0 admet au plus un antécédent par. La réponse c) est donc exclue. Comme, d après l énoncé, n est pas supposée continue, l équation ( ) peut n admettre aucune solution. Il vient donc que la réponse juste est la réponse d). 14

15 Exercice 10 (2 questions) Niveau : difficile 1) Montrer que l équation admet deux solutions réelles. 2) Ecrire un algorithme avec AlgoBox permettant d obtenir un encadrement de chaque solution avec une amplitude de. Correction de l exercice 10 1) Montrons que l équation admet deux solutions réelles. Soit la fonction définie sur par ( ). est continue et dérivable comme somme de fonctions continues et dérivables sur. Pour tout réel, on a : ( ) ( ) ( ) ( ) Or, pour tout réel,, d où (par décroissance de la fonction ). Par conséquent, comme pour tout réel, ( ) est du signe de. Autrement dit, ( ) si et seulement si et ( ) si et seulement si. On en déduit que est strictement décroissante sur ] ] et strictement croissante sur [ [. Montrons que l équation ( ) admet une et une seule solution dans ] ]. D une part, par continuité de la fonction en 0, ( ). D autre part, pour tout réel non nul, ( ) ( ). Or, et, d où les résultats suivants, en multipliant respectivement par et : et. Comme limites par encadrement que, c est-à-dire. (par composition des limites), il vient d après le théorème des De même, comme, il vient d après le théorème des limites par encadrement que, c est-à-dire. Finalement, par somme des limites, ( ). Comme enfin, par produit des limites, il résulte que ( ). On vient de montrer que, sur ] ], est non seulement continue et strictement décroissante mais aussi que (] ]) [ ( ) ( )[ [ [. Par conséquent, comme [ [, d après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l équation ( ) admet une unique solution telle que ] ]. 15

16 Montrons que l équation ( ) admet une et une seule solution dans [ [ en utilisant la même méthode que précédemment. On a montré d une part que ( ) et d autre part que ( ) ( ), pour tout réel non nul. Comme et et comme et, il vient, en utilisant le théorème des limites par encadrement, que et. Finalement, par somme puis par produit des limites, ( ). On vient de montrer que, sur [ [, est non seulement continue et strictement croissante mais aussi que ([ [) [ ( ) ( )[ [ [. Par conséquent, comme [ [, d après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l équation ( ) admet une unique solution telle que [ [. En définitive, l équation ( ) admet deux solutions et deux seules (l une négative et l autre positive), notées et. Autrement dit, l équation admet deux solutions et. 2) Ecrivons un algorithme avec AlgoBox permettant d obtenir une valeur approchée de et à près. Rappel : Variante du corollaire du théorème des valeurs intermédiaires (variante du théorème de bijection) Si est une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle de bornes et (finies ou infinies) et si ( ) ( ), alors l équation ( ) admet une unique solution dans. Explications : Appuyons-nous sur la variante du corollaire du théorème des valeurs intermédiaires ci-dessus. Pour commencer, on détermine un intervalle [ solutions de l équation ( ) avec ( ). ] contenant l une des On calcule alors le de l intervalle [ ] puis, parmi les intervalles [ ] ou [ ], on détermine celui auquel appartient la solution de l équation ( ). En effet, si ( ) et ( ) sont de même signe, c'est que la solution se trouve dans l intervalle [ la valeur de. ] et, dans ce cas, on affecte à On réitère la démarche en faisant jouer à la variante le rôle de ou de selon l intervalle retenu, jusqu à obtenir la précision demandée. Remarque : L intervalle initial [ ] peut être choisi après avoir représenté la fonction dans un repère. Ci-contre est représentée la fonction f dans un repère orthonormé ( ) du plan. 16

17 Algorithme écrit avec le logiciel AlgoBox 1 VARIABLES 2 precision EST_DU_TYPE NOMBRE Fonction numérique utilisée : 3 borne_inferieure EST_DU_TYPE NOMBRE F1(x)=pow(x,2)-x*sin(x)-cos(x) 4 borne_superieure EST_DU_TYPE NOMBRE 5 milieu EST_DU_TYPE NOMBRE 6 DEBUT_ALGORITHME 7 AFFICHER "Indiquer la précision désirée : " 8 LIRE precision 9 AFFICHER precision 10 AFFICHER "Indiquer la borne inférieure : " 11 LIRE borne_inferieure 12 AFFICHER borne_inferieure 13 AFFICHER "Indiquer la borne supérieure : " 14 LIRE borne_superieure 15 AFFICHER borne_superieure 16 TANT_QUE (borne_superieure-borne_inferieure>precision) FAIRE 17 DEBUT_TANT_QUE 18 milieu PREND_LA_VALEUR (borne_inferieure+borne_superieure)/2 19 SI (F1(milieu)*F1(borne_superieure)>0) ALORS 20 DEBUT_SI 21 borne_superieure PREND_LA_VALEUR milieu 22 FIN_SI 23 SINON 24 DEBUT_SINON 25 borne_inferieure PREND_LA_VALEUR milieu 26 FIN_SINON 27 FIN_TANT_QUE 28 AFFICHER borne_inferieure 29 AFFICHER " < solution < " 30 AFFICHER borne_superieure 31 FIN_ALGORITHME Affichages obtenus après lancement du logiciel AlgoBox Recherche d un encadrement de ( ) ***Algorithme lancé*** Indiquer la précision désirée : Indiquer la borne inférieure : -2 Indiquer la borne supérieure : < solution < ***Algorithme terminé*** Recherche d un encadrement de ( ) ***Algorithme lancé*** Indiquer la précision désirée : Indiquer la borne inférieure : 1 Indiquer la borne supérieure : < solution < ***Algorithme terminé*** Remarque : La fonction est une fonction paire puisque son ensemble de définition est symétrique par rapport à 0 et puisque, pour tout réel, ( ) ( ). Aussi, du fait de la parité de la fonction, les solutions et sont opposées. Il suffisait donc de rechercher un encadrement de la solution de pour en déduire un encadrement de la solution de (ou vice versa). 17