Interférences par division du front d'onde Notes de cours

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1 physique nnée scolire 014/015 Interférences pr division du front d'onde Notes de cours mrdi 16 décembre 014 Trous et fentes d'young expérience de cours Le pssge des trous ux fentes d'young permet de ggner en luminosité en conservnt le même interfrnge. En pssnt à un réseu sinusoïdl, l lumière se concentre dns trois ordres, puis à un réseu périodique, les ordres sont positionnés ux mêmes endroit que les frnges lumineuses précédentes. à instller mrdi 16 décembre 014 en slle L111. Figure 1 Trous et fentes d'young I- Interféromètres à division du front d'onde 1. Trous d'young et cohérence sptile Principe des interféromètre Le principe des interféromètre réside dns l superposition de deux ondes issues de deux sources. Vous pouvez retrouver l vidéo de cette expérience sur le site lin.lerille.free.fr. vidéo spé PC pge n 1 Jnson de Silly

2 physique nnée scolire 014/015 Critère semi-quntittif de brouillge des frnges à retenir On dmet que si p > 1/ en un même endroit du pln d'observtion, les interférences sont brouillées. Cel peut rriver : pour une source lrge ( p est lors évlué sur l moitié de l'étendue sptile de l source), on prle de cohérence sptile ; pour une source non monochromtique ( p est lors évlué sur l moitié de l'étendue spectrle de l source), on prle de cohérence temporelle. Cohérence sptile d'une source exercice Considèrons deux points sources primires très proches : S et S 0. On dmet que tous les ryons lumineux qui pssent pr l voie 1 (respectivement l voie ) d'un interféromètre pssent pr S 1 (respectivement S ). u 1 et u sont des vecteurs normés dns les directions de S 1 et S : u 1 = S 0 S 1 S 0S 1 et u = S 0 S S 0S. On ppelle δ = (SS 1 SS ) (S 0 S 1 S 0 S ) l diérence de diérence de mrche entre les deux points sources pour ller en M suivnt les deux voies de l'interféromètre. Montrer que δ SS 0. ( u 1 u ) < λ pour que les interférences ne soient ps brouillées. ( SS0 + S ) (. 0 S 1 Donc SS1 = S 0 S 1. SS 1 = premier ordre donne : SS 1 S 0 S SS 0. u 1 + ( 1 + SS 0. u 1 ). De l même fçon, SS S 0 S. ( ) ) 1 SS 0 S 0S 1. Un développement limité u ( 1 + SS 0. u ). Pour que S et S 0 donnent le même terme d'interférence, il fut que ϕ(s, M) ϕ(s 0, M).π (S) λ.π (S 0) λ, soit :.πδ λ.π, une condition pproximtive de non brouillge des interférences sur δ est donc : p < 1 δ < λ. Donc : δ SS 0. ( u 1 u ) < λ pour que les interférences ne soient ps brouillées.. Fentes d'young Possibilité d'utiliser des fentes Aussi, s'y retrouver dns le cs des fentes d'young, δ est non nulle u premier ordre suf si SS 0 ( u 1 u ). Pour cel, il fut utiliser une fente source primire orthogonle à u 1 et u : insi, on ggne en luminosité, sns brouiller les interférences. une utre solution consiste à voir u 1 = u, ce qui est rélisé dns le cs des interféromètres à division d'mplitude. Expérience d'young L'expérience des trous (et des fentes d'young) met en évidence le phénomènes d'interférences. Vous pouvez retrouver l vidéo de cette expérience sur le site lin.lerille.free.fr. vidéo Comprison des dispositifs des trous d'young et des fentes d'young schém L gure représente l comprison des observtions dns le cs des trous d'young et des fentes d'young. spé PC pge n Jnson de Silly

3 physique nnée scolire 014/015 Figure Comprison des dispositifs des trous d'young et des fentes d'young spé PC pge n 3 Jnson de Silly

4 physique nnée scolire 014/015 3 Appliction à l mesure de l'épisseur d'une lme exercice On observe des frnges d'interférences sur un écrn plcé à grnde distnce de fentes d'young. On intercle ensuite une lme d'indice n et d'épisseur e sur une des deux voies de l'interféromètre d'young. Montrer que l'interfrnge est inchngée mis qu'il y un déclge des frnges, qu'on exprimer en fonction de e et n. Sns lme : δ(m), vec lme : δ (M) = δ(m) + (n 1) e. Posons δ 0 = (n 1) e. L formule de Fresnel donne I(M) = I 1 + I + ( ) π I 1 I cos λ (δ(m) + δ 0) c'est bien l même interfrnge, mis le déclge est δp 0 = δ0 λ = (n 1)e λ. 3. Eclirge polychromtique et cohérence temporelle Interféromètre écliré en lumière polychromtique s'y retrouver Si un interféromètre est écliré en lumière polychromtique, il s'git d'ppliquer l formule de Fresnel pour chcune des longueurs d'ondes I(λ) = I 1 + I + ( ) π I 1.I. cos λ + ϕ sup puis de sommer l'intensité reltive à chque longueur d'onde : soit de fçon discrète si le spectre est discret : I = N I(λ k ), k=1 soit de fçon continue si le spectre est continu : I = λ min λ min I(λ)dλ. spé PC pge n 4 Jnson de Silly

5 physique nnée scolire 014/015 Spectre cnnelé dénition L'ordre d'interférence p(m) = δ(m) λ dépend de l longueur d'onde λ. Aussi, en un endroit M donné du pln d'observtion, l'interférence peut elle être constructive pour certines longueurs d'ondes et destructives pour d'utres. Le spectre de l lumière en M possède des cnnelures, endroits sombres du spectre pour lesquels il y interférence destructive. L présence de certines couleurs et l'bsence d'utres couleurs dns le spectre en M donne un spect coloré à l frnge en M. Blnc d'ordre supérieur dénition Dns le cs où le spectre cnnelé de l lumière en M présente de très nombreuses cnnelures, ucune couleur n'est discernée pr l' il. Il s'git d'un blnc dont le spectre n'est ps celui de l lumière blnche, mis un spectre cnnelé : on prle de "blnc d'ordre supérieur". Comme ucune frnge n'est visible, les interférences sont brouillées. 4 Longueur de cohérence temporelle et lrgeur spectrle théorème Il y brouillge dès que δ > l c = c t, mis ussi dès que p > 1/ où p est évlué sur l moitié de l'étendue spectrle de l source ( λ/, or p 1 = δ λ 1 et p = δ λ donc il y ur brouillge si p p 1 > 1 vec δ δ λ 1 λ > 1 δ λ λ > 1 qui est l même condition que δ > l c = c t pour peu que l c = λ λ. On peut relier l longueur de cohérence temporelle l c = c t à l lrgeur spectrle λ d'une rie non monochromtique centrée sur λ : l c = λ λ II- Interpréttion des couleurs interférentielles schém L gure 3 représente les frnges observées en lumière blnche et le spectre cnnelé de deux de ces frnges. Si l diérence de mrche δ est fible, les frnges sont colorées, le spectre comporte peu de cnnelures. Si u contrire δ > l c, il y brouillge, on observe du blnc d'ordre supérieur, dont le spectre comporte de nombreuses cnnelures. Réseux 1. De une fente à N fentes Dirction pr deux fentes (fentes d'young) schém L gure 4 représente l'intensité dirctée pr deux fentes de lrgeur l suivnt x, et innie suivnt y, espcées de suivnt x, éclirée pr une onde plne monochromtique (de longueur d'onde λ). Dirction pr N fentes schém L gure 5 représente l'intensité dirctée pr N = 8 fentes de lrgeur l suivnt x, et innie suivnt y, espcées de suivnt x, éclirée pr une onde plne monochromtique (de longueur d'onde λ). Eet du nombre de fentes sur l courbe de l'intensité lumineuse nimtion L courbe de l'intensité en fonction de l direction présente des pics. En ugmentnt le nombre de fentes, l position des pics ne chnge ps, leur intensité ugmente et leur lrgeur diminue. Vous pouvez retrouver une nimtion explictive sur le site lin.lerille.free.fr. spé PC pge n 5 Jnson de Silly

6 physique nnée scolire 014/015 Figure 3 Interpréttion des couleurs interférentielles Figure 4 Dirction pr deux fentes (fentes d'young) spé PC pge n 6 Jnson de Silly

7 physique nnée scolire 014/015 Figure 5 Dirction pr N fentes Eet du nombre de fentes sur l'imge de dirction L lrgeur des tches de dirction diminue à mesure que le nombre de fentes ugmente. Vous pouvez retrouver une nimtion explictive sur le site lin.lerille.free.fr. nimtion Ordres d'un réseu dénition On ne visulise de l lumière dirctée que dns certines directions ppelées ordres du réseu. L'ordre nul correspond à l'optique géométrique (ps de dévition des ryons incidents). 5 Détermintion de l position et de l lrgeur des ordres pr les conditions d'interférences. exercice On s'intéresse à un ensemble de N trous lignés équidistnts (de distnce ) éclirés pr une onde plne monochromtique de longueur d'onde λ fisnt un ngle θ i vec l normle u pln des trous. On observe l lumière dirctée à l'inni dns l direction θ d vec l normle u pln des trous. Clculer le déphsge ϕ entre deux ondes pssnt pr deux trous successifs. En déduire l position des ordres pr condition d'interférence constructive. Déterminer l demi-lrgeur ngulire θ des frnges brillntes pr condition d'interférence destructive. Le déphsge entre deux ondes pssnt pr deux trous successifs est ϕ = π λ (IS n+1 + S n+1 J) = π λ ( sin θ i + sin θ d ) L condition d'interférence constructive est ϕ = p π vec p entier, soit : p π = π λ ( sin θ i + sin θ d ) sin θ d sin θ i = p λ L condition d'interférence destructive est N ϕ = ( m + ) 1 π vec m entier, soit : ( m + 1 ) π = π N ( sin θ i + sin (θ d + θ)) λ spé PC pge n 7 Jnson de Silly

8 physique nnée scolire 014/015 π λ ( sin θ i + sin θ d ) + π = π N ( sin θ i + sin θ d cos θ + cos θ d sin θ) λ En supposnt les ngles petits, cos θ 1 et sin θ θ en prticulier, donc. Crctéristiques des réseux π = π N θ θ = π λ N Crctéristiques d'un réseu pr trnsmission dénition Un réseu pr trnsmission est un ensemble de N pupilles identiques (N 1) régulièrement espcées (de suivnt x). est l période sptile du réseu (en m) ; n = 1 est le nombre de trits pr millimètres (en m 1 ). Réseux pr réexion s'y retrouver un réseu pr réexion peut être compris comme un réseu pr trnsmission ccolé à un miroir pln. Réseux hologrphiques s'y retrouver un réseu hologrphique est l photogrphie de frnges d'interférences (l'interfrnge i est lors l période du réseu). 6 Formule des réseux théorème On cherche pour quelles directions il y interférence constructive : =. sin θ d. sin θ i = p.λ, où p est entier. Si on éclire un réseu de période sptile vec une onde plne monochromtique (de longueur d'onde λ) qui fit un ngle θ i vec l normle u pln du réseu, l'intensité dirctée est non nulle seulement dns quelques directions repérées pr les ngles θ p pr rpport à l normle u pln du réseu, telles que (p est entier). sin θ p sin θ i = p λ 3. Applictions des réseux Utilistion d'un réseu vidéo on visulise de l lumière monochromtique à l sortie d'un réseu pr trnsmission uniquement dns certines directions : les ordres. Ecliré en lumière blnche, le réseu disperse l lumière et permet d'en visuliser le spectre. Vous pouvez retrouver l vidéo de cette expérience sur le site lin.lerille.free.fr. spé PC pge n 8 Jnson de Silly

9 physique nnée scolire 014/015 Angle de dévition L'ngle de dévition pour l'ordre p est D = θ p θ i dénition où le ryon incident fit un ngle θ i vec l normle u réseu, et le ryon dircté dns l'ordre p un ngle θ p. 7 Minimum de dévition théorème dd = 0 = dθ p dθ i, soit dθ p = dθ i Or l dérivtion de l formule des réseux donne : cos θ p.dθ p cos θ i.dθ i = 0, soit cos θ p = cos θ i. Il y deux solutions : soit θ p = θ i (et l dévition est nulle : c'est l'ordre nul, qui ne nous intéresse ps), soit θ p = θ i. Le minimum de dévition est obtenu qund le pln du réseu est bissecteur des ryons incident (d'ngle θ i ) et dircté dns l'ordre p (d'ngle θ p ) D = D min θ p = θ i (il y symétrie des deux ryons pr rpport u pln du réseu) Spectre visible photo le spectre visible s'étle de 400nm à 750nm. Phénomène de recouvrement des ordres schém L gure 6 représente les spectres des ordres et supérieurs qui se recouvrent. Seul l'ordre 1 est exempt de ce défut.. Vous pouvez retrouver le schém nimé sur le site lin.lerille.free.fr. Figure 6 Phénomène de recouvrement des ordres Crctère dispersif des réseux suf pour l'ordre 0, l direction de dirction dépend de l longueur d'onde. s'y retrouver spé PC pge n 9 Jnson de Silly

10 physique nnée scolire 014/015 Spectromètres et spectroscopes s'y retrouver on peut nlyser l lumière en crént une onde plne qui est dirctée pr un réseu. On rélise insi un spectromètre (une seule longueur d'onde en sort) ou bien un spectroscope (toutes les longueur d'onde sortent dispersées). Goniomètre s'y retrouver le goniomètre permet d'observer (sur un réticule) une onde plne qui est dirctée pr un réseu, et de mesurer très précisément (vec un vernier ngulire) l dévition du fisceu. III- Dirction 1. Montge de Frunhofer Phénomène de dirction vidéo Toute limittion sptile (on prle de pupille) imposée à une onde provoque l dirction de cette onde, c'est à dire un écrt à l propgtion rectiligne qui ne peut s'expliquer ni pr l réexion, ni pr l réfrction : l'optique géométrique est impuissnte à expliquer le phénomène de dirction. Vous pouvez retrouver l vidéo de cette expérience sur le site lin.lerille.free.fr. Trnsmission d'une pupille L trnsmission est complexe, telle que t [0; 1] : t (P ) = 0 l pupille est opque en P ; t (P ) = 1 l pupille est trnsprente en P. t (P ) exponentielle complexe l pupille est un "objet de phse" en P. dénition 8 Objet de phse exercice On s'intéresse à une pupille telle que pour x > 0, t (x) = 1 l pupille est trnsprente ; pour x < 0, l pupille est une lme de verre à fces prllèles d'épisseur e d'indice n. Déterminer t (x) pour x < 0. t (x) = e j π λ (n 1).e pour x < 0. remrque dns le cdre de l'optique géométrique, les ryons émergents de l pupille devrient être dns l même direction que ceux qui sont incidents ( k i = k d ), du fit de l propgtion rectiligne de l lumière. Mis dns le cdre de l dirction, ce n'est ps nécessirement le cs : k i k d. Montge cdémique schém L gure 7 représente les conditions de l dirction de Frunhofer : on éclire l pupille dirctnte vec une onde incidente plne monochromtique (de vecteur d'onde k i ), c'est à dire pr un fisceu lser prllèle ou pr une source ponctuelle dns le pln focl objet d'une lentille convergente L 1, et on observe en M à l'inni (dns l direction du vecteur d'onde k d ) c'est à dire dns le pln focl d'une lentille convergente L.. Vous pouvez retrouver le schém nimé sur le site lin.lerille.free.fr. Montge simplié schém L gure 8 représente le montge simplié de l dirction de Frunhofer : en fit, on peut utiliser une unique lentille juste vnt l pupille dirctnte et regrder l'imge de dirction dns le pln imge de l source ponctuelle pr cette lentille. spé PC pge n 10 Jnson de Silly

11 physique nnée scolire 014/015 Figure 7 Montge cdémique Figure 8 Montge simplié spé PC pge n 11 Jnson de Silly

12 physique nnée scolire 014/015. Cs d'une trnsmission sinusoïdle Ecrn écliré pr un lser à trvers un réseu de trnsmission sinusoïdle photo Le fisceu d'un lser, une fois pssé à trvers un réseu de trnsmission sinusoïdle, lisse trois tches sur un écrn, celle du centre étnt plus lumineuse. 9 Onde plne qui psse pr un réseu de trnsmission sinusoïdle exercice On s'intéresse à une onde plne monochromtique de longueur d'onde λ incidente de fçon normle sur un réseu unidimensionnel d'extension innie de coecient de trnsmission sinusoïdl ( )] π x t(x) = t 0 [1 + cos et de ps supérieur à λ. Décomposer t(x) en une somme d'exponentielles complexes. On cherche l'mplitude de l'onde trnsmise sous l forme : Ã ( r, t) = α 0 e j(ω t k 0 r) + α 1 e j(ω t k 1 r) + α+1 e j(ω t k +1 r) Ecrire l continuité de l'mplitude de l'onde u pssge de l pupille. En déduire que l'onde est dirctée dns trois directions qui correspondent ux fréquences sptile n/ pr l reltion sin(θ n ) = n λ vec n = 0, 1, ou 1. Pourquoi les intensités lumineuses correspondnt à ces directions sont-elles proportionnelles u crré des composntes de l décomposition de Fourier complexe de t(x)? Comme cos θ = ejθ +e jθ, [ t(x) = t ej π x + e j π x ] Comme l'onde incidente est d'mplitude Ã0e j(ω t k r), vec k = π λ e z. j(ω t) Ã (z = 0, t) = t(x) Ã0e soit α 0 e j(ω t k 0 (x e x+y e y)) + α 1 e j(ω t k 1 (x e x+y e y)) + α+1 e j(ω t k +1 (x e x+y e y)) = t0 Ã 0 e j(ω t) [ 1 + ej π x + e j π x ] On trouve donc α 1 = α +1 = α0 = t0ã0 k0 e y = k +1 e y = k 1 e y = 0 k0 e x = 0 k+1 e x = π k 1 e x = π Comme l longueur d'onde ne vrie ps lors de l dirction, On peut donc écrire k 0 = k +1 = k 1 = π λ kn = π λ (cos θ n e z + sin θ n e x ) spé PC pge n 1 Jnson de Silly

13 physique nnée scolire 014/015 vec sin θ n = n λ pour n = 0, 1, ou 1. Les intensités lumineuses correspondnt à ces directions sont proportionnelles u crré de l'mplitude ( α n ) donc des composntes de l décomposition de Fourier complexe de t(x). Ici, si l'intensité pour n = 0 est I 0, lors les intensités pour n = 1 et n = 1 sont I Générlistion Fréquence sptile Une périodicité dns l pupille de dirction correspond à une fréquence sptile σ = 1. σ s'exprime en m 1. dénition Direction de dirction d'une fréquence sptile et son intensité à retenir Une fréquence sptile σ = 1 se crctérise pr de l lumière dns une direction fisnt un ngle θ tel que sin θ = λ σ vec l'xe optique. Observé dns le pln focl d'une lentille convergente de focle f, on observer de l lumière à une distnce f λσ du foyer. L'intensité lumineuse dirctée correspondnt est proportionnelle u module u crré du coecient de Fourier de l trnsmission de l pupille. 4. Applictions 11 Mire unidimensionnelle innie de N trits équidistnts de ps exercice On s'intéresse à une onde plne monochromtique de longueur d'onde λ incidente de fçon normle sur un réseu unidimensionnel d'extension innie de N trits équidistnts de ps, de coecient de trnsmission t(x) = n=+ n= [ t n e j( π n x +ϕ n) ] et de ps supérieur à λ. Dns quelles directions observe-t-on de l lumière dirctée? Retrouve-t-on les résultts du réseu? Les fréquences sptiles sont σ n = n, donc on observer de l lumière dirctée dns les directions fisnt un ngle θ n vec l normle à l mire, vec sin θ n = λ σ n = n λ On retrouve bien l formule des réseux : cr θ i = 0. sin θ n sin θ i = n λ 1 Fente rectiligne de lrgeur exercice On s'intéresse à une onde plne monochromtique de longueur d'onde λ incidente de fçon normle sur une fente rectiligne de lrgeur, de coecient de trnsmission t(x) = σ=+ σ= e j( π σ x+ϕ(σ)) dσ En utilisnt les résultts vus en première nnée (sin θ mx = λ ), montrer que les composntes de Fourier ne prennent des vleurs notbles que pour σ < σ mx. On donner σ mx. Comme on vu en première nnée que sin θ mx = λ et que d'utre prt sin θ = λ σ < λ spé PC pge n 13 Jnson de Silly

14 physique nnée scolire 014/015 on peut en déduire que σ mx = Filtrge sptil Montge de Fourier schém L gure 9 représente le montge de Fourier dns lequel on se sert des propriétés de l dirction de Fruhofer pour ltrer une imge : l pupille dirctnte est lors une dipositive, l'imge à ltrer. En plçnt des ltres dns le pln de dirction, l'imge conjuguée de l dipositive pr l lentille L ser chngée.. Vous pouvez retrouver le schém nimé sur le site lin.lerille.free.fr. Figure 9 Montge de Fourier Divers types de ltrges On discerne en prticulier : s'y retrouver le ltrge psse-bs : l'objet dns le pln de dirction est un diphrgme centré sur l'imge géométrique et l'imge ltrée voit ses détils moindris (détrmge), le ltrge psse-hut : l'objet dns le pln de dirction est un cche centré sur l'imge géométrique et l'imge ltrée voit ses détils renforcés (strioscopie), Optique de Fourier vidéo grâce u montge de Fourier, on peut renforcer ou diminuer des fréquences sptiles. L'expérience d'abbe consiste à éliminer les hutes fréquences dns une seule dimension : on trnsforme insi une grille à deux dimension en une grille à une dimension. Vous pouvez retrouver l vidéo de cette expérience sur le site lin.lerille.free.fr. spé PC pge n 14 Jnson de Silly

15 physique nnée scolire 014/015 I- Les cpcités exigibles 1. Trous et fentes d'young Technique à mîtriser jeudi 18 décembre 014 ce qu'il fut svoir fire cpcités Confronter les deux dispositifs des trous d'young et des fentes d'young : nlogies et diérences. Interpréter l modiction des frnges lors du rjout d'une lme à fces prllèles sur un des trjets. Utiliser le critère semi-quntittif de brouillge des frnges p > 1/ (où p est évlué sur l moitié de l'étendue sptile ou spectrle de l source) pour interpréter des observtions expérimentles. Relier l longueur de cohérence, λ et λ en ordre de grndeur. En lumière blnche, utiliser l'dditivité des intensités et déterminer les longueurs d'ondes des cnnelures.. Réseux ce qu'il fut svoir fire cpcités Confronter le modèle de N trous d'young à l'étude expérimentle du réseu pln. Utiliser un grpheur pour discuter l'inuence de N sur l nesse sns clculer explicitement l'intensité sous forme compcte. Utiliser l construction de Fresnel pour étblir l condition d'interférences constructives et l demi-lrgeur π/n des frnges brillntes. 3. Optique de Fourier ce qu'il fut svoir fire cpcités Construire l'onde trnsmise pr un réseu de trnsmission sinusoïdl pr superposition de trois ondes plnes dénies pr l condition ux limites sur le réseu. Interpréter les observtions dns le pln de Fourier. Dns le cs de N trits prllèles équidistnts ou d'une fente, relier une fréquence sptile du spectre à l position d'un point du pln de Fourier. Relier l'mplitude de l'onde en ce point à l composnte du spectre de Fourier correspondnt. Interpréter les observtions dns le pln de Fourier. Dns le cs d'une fente, fire le lien vec l reltion sin θ = λ/ vue en première nnée. Utiliser l'nlyse de Fourier pour interpréter les eets d'un ltrge de fréquences sptiles dns le pln de Fourier. spé PC pge n 15 Jnson de Silly

16 physique nnée scolire 014/015 II- Méthodes 1. Trous et fentes d'young A) Se rmener u dispositif des trous d'young méthode Tous les interféromètres à division du front d'onde peuvent se rmener u dispositif des trous d'young. L'interfrnge est λ.d, où D est l distnce d'observtion des deux trous source éloignés de. Pour connître l'intensité, il s'git de clculer l diérence de mrche, de ne ps oublier les déphsges supplémentires ϕ sup : vnt d'ppliquer l formule de Fresnel : I(M) = I 1 + I + ( ) π I 1.I. cos λ + ϕ sup B) Elrgissement sptil de l source primire méthode Deux sources primires n'interfèrent ps. Aussi, pour éviter le brouillge, il fut que l diérence d'ordre d'interférence soit p < 1/. C) Interféromètre écliré en lumière polychromtique méthode Il s'git d'ppliquer l formule de Fresnel pour chcune des longueurs d'ondes I(λ) = I 1 + I + I 1.I. cos puis de sommer l'intensité reltive à chque longueur d'onde : soit de fçon discrète si le spectre est discret : I = N I(λ k ), k=1 ( ) π λ + ϕ sup soit de fçon continue si le spectre est continu : I = λ min λ min I(λ)dλ. Le brouillge du fit de l'élrgissement spectrl intervient si l diérence d'ordre d'interférence est p > 1/. On prle lors de "blnc d'ordre supérieur". Il y une cnnelure dns le spectre à l longueur d'onde λ s'il y interférence destructive pour λ. D) Interpréter l'eet du rjout d'une lme à fces prllèles sur un des trjets. méthode Sns l lme d'épisseur e, le chemin optique est L 1 = e. Avec l lme d'épisseur e d'indice n, le chemin optique est L = n e. L substitution de l'ir (L 1 ) pr l lme (L ) introduit une diérence de mrche = (n 1) e en plus dns le dispositif.. Réseux E) Retrouver l formule des réseux et l nesse des ordres méthode Utiliser l construction de Fresnel pour étblir l condition d'interférences constructives et l demilrgeur π/n des frnges brillntes. A FAIRE... spé PC pge n 16 Jnson de Silly

17 physique nnée scolire 014/015 F) Appliquer l formule des réseux méthode Si on éclire un réseu de période sptile vec une onde plne monochromtique (de longueur d'onde λ) qui fit un ngle θ i vec l normle u pln du réseu, l'intensité dirctée est non nulle seulement dns quelques directions repérées pr les ngles θ p pr rpport à l normle u pln du réseu, telles que (p est entier). sin θ p sin θ i = p λ 3. Optique de Fourier G) Déterminer l trnsmittnce d'une pupille méthode t (P ) = 0 l pupille est opque en P ; t (P ) = 1 l pupille est trnsprente en P. t (P ) = e j ϕ exponentielle complexe l pupille est un "objet de phse" en P qui introduit un déphsge ϕ. H) Déterminer les fréquences sptiles méthode Pour un objet de tille, une fréquence sptile σ = 1 (et toutes ses hrmoniques) pprissent. Cel se crctérise pr de l lumière dns une direction fisnt un ngle θ = λ σ vec l'xe optique. L'intensité lumineuse est proportionnelle u module u crré du coecient de Fourier. Observé dns le pln focl d'une lentille convergente de focle f, on observer de l lumière à une distnce f λσ du foyer. I) Filtrer une imge méthode On discerne en prticulier : le ltrge psse-bs : l'objet dns le pln de dirction est un diphrgme centré sur l'imge géométrique et l'imge ltrée voit ses détils moindris (détrmge), le ltrge psse-hut : l'objet dns le pln de dirction est un cche centré sur l'imge géométrique et l'imge ltrée voit ses détils renforcés (strioscopie), III- Exercices 1. Interféromètre à division du front d'onde 1.1) Déplcement des frnges Un système de fentes d'young F 1 et F (prllèles à Ox), éloignées de = 1, 0mm suivnt Oy est écliré pr une lmpe à vpeur de sodium de longueur d'onde λ = 589nm, On observe les interférences sur un écrn à une distnce D = 1, m de F 1 et F. 1) Clculer l'interfrnge i. ) On plce devnt F 1 une lme mince de verre d'indice n = 1, 5 et d'épisseur e = 5, 0µm. Clculer le déclge y des frnges. 1) L'interfrnge est i = λ.d soit i = 0, 71mm ) L diérence de mrche vrie en un point de δ = (n 1).e, qui correspont à un déphsge ϕ =, lui même correspondnt à un déclge y tel que ϕ = π. 1 i. Soit π.δ λ y = i. (n 1).e λ = (n 1).e.D = 3, 0mm spé PC pge n 17 Jnson de Silly

18 physique nnée scolire 014/015 1.) Mesure de l'indice d'un gz On éclire un montge de fentes de Young S 1 et S vec une lmpe à vpeur de sodium de longueur d'onde λ = 589nm plcée derrière une fente d'éclirge S. On intercle sur le trjet de l lumière près S une cuve trnsprente de longueur intérieure l = 10cm. On plce un écrn prllèlement à S 1 S, à une distnce grnde devnt S 1 S. Initilement l cuve est pleine d'ir. 1) Que visulise-t-on dns le chmp de recouvrement des fisceux? Grâce à une pompe, on fit le vide dns l cuve. En un point M de l'écrn on voit lors de l'opértion déler n 1 frnges. ) Exprimer n 1 en fonction de l, λ et l'indice de l'ir n ir. On remplit mintennt l cuve pr du gz mmonic NH 3. Le déplcement totl des frnges (pr rpport à l'étt où l cuve étit remplie d'ir) est de n = 17 frnges. 3) Déterminer l diérence n des indices de l'ir (n ir ) et de l'mmonic (n NH3 ). Appliction numérique. 1) On visulise des frnges rectilignes, perpendiculires à (S 1 S ). ) En un point M, l diérence de mrche étit 0 = cste + l.n ir. Elle devient 1 = cste + l. L diérence des ordres d'interférence est : n 1 = l λ (n ir 1). 3) n = l λ (n NH 3 n ir ) = 17 n = 17 λ l = 1, ) Miroirs de Fresnel et trous d'young équivlents On s'intéresse u dispositif des miroirs de Fresnel. Les miroirs de Fresnel sont deux miroirs plns ynt une rête commune, dont l'ngle α entre les normles est petit. On note R l distnce de l source S à l'rête. Dns ce dispositif, S 1 est le symétrique de S pr rpport u premier miroir M 1, tndis que S est le symétrique de S pr rpport u second miroir M. 1) Déterminer S 1 S. S 1 S =.R.α. 1.4) Miroir de Lloyd et trous d'young équivlents Le miroir de Lloyd est un simple miroir pln. On note R l distnce de l source S u miroir. 1) Déterminer S 1 S, l distnce entre deux trous d'young équivlents. Dns ce dispositif, S 1 est simplement S, tndis que S est le symétrique de S pr rpport u miroir. Ainsi, l distnce S 1 S est.r. 1.5) Angle entre deux miroirs de Fresnel On s'intéresse à deux miroirs de Fresnel qui font entre eux un ngle α inconnu. Ils sont éclirés pr un lser hélium-néon (de longueur d'onde λ = 63, 8nm) qui voit son fisceu élrgi pr un objectif de microscope plcé à une distnce d = 0cm de l'rête des miroirs. On observe des frnges sur un écrn à une distnce D = 1, 6m de cette rête, grâce à une loupe de focle f = 10cm. A trvers cette loupe, on voit (sns ccomoder) deux frnges lumineuses consécutives à l'inni, écrtées d'un ngle β = 1. 1) Quelle est l'interfrnge i? ) En déduire l vleur numérique en de α, l'ngle entre les deux miroir. spé PC pge n 18 Jnson de Silly

19 physique nnée scolire 014/015 1) Les frnges sont plcées dns le pln focl objet de l loupe, donc : i = β.f = 9µm ) L'interfrnge est i = λ.d vec =.d.α, donc α = λ.d.d.i = λ.d = 89mrd = 5.d.β.f 1.6) Interfrnges vec des miroirs de Fresnel écliré pr une lmpe u mercure On s'intéresse à deux miroirs de Fresnel qui font entre eux un ngle α = 4 0. Ils sont éclirés pr une fente ne prllèle à l'rête des miroirs à une distnce d = 40cm de cette rête. On observe des frnges sur un écrn à une distnce D = 1, 6m de cette rête. 1) Quelle est l'interfrnge i des frnges vec les diérentes longueurs d'onde du mercure : 1.) λ 1 = 405nm 1.b) λ = 436nm 1.c) λ 3 = 546nm 1.d) λ 4 = 579nm 1) L'interfrnge est i = λ.d vec =.d.α 1.) λ 1 = 405nm i 1 = 0, 84mm 1.b) λ = 436nm i = 0, 91mm 1.c) λ 3 = 546nm i 3 = 1, 1mm 1.d) λ 4 = 579nm i 4 = 1, mm 1.7) Miroir de Loyd On s'intéresse à une source ponctuelle éclirée pr une lmpe monochromtique à vpeur de sodium ( λ = 589nm) à une distnce d d'un miroir. 1) On observe les interférences sur un écrn plcé à une distnce D = 1, 0m d, orthogonlement u miroir entre le ryon issu directement de l source et celui rééchi sur le miroir. 1.) Où se trouvent les frnges? 1.b) Quelle est l forme de ces frnges? 1.c) Y -t-il un déphsge supplémentire ϕ sup introduit pr ce dispositif? ) Interfrnge :.) Quelle est l'interfrnge i? On veut que l'interfrnge soit, u moins i > i min = 1, 0mm..b) Déterminer lors d mx, l vleur mximle de d. 1) Générlités : 1.) Les frnges se trouvent dns l zone de recouvrement des fisceux. 1.b) Les frnges sont rectilignes, prllèles u miroir. 1.c) ϕ sup = ±π à cuse d'une unique réexion. ) Interfrnge :.) Les deux sources secondires sont symétriques pr rpport u miroir, donc éloignées de =.d i = λ.d.d..b) d < d mx = λ.d.i min = 0, 9mm, ce qui est très compliqué expérimentlement. 1.8) Miroirs de Fresnel On s'intéresse à deux miroirs de Fresnel M 1 et M fisnt un ngle θ entre eux. Ils sont éclirés pr une source ponctuelle S derrière lquelle est plcée une lmpe monochromtique à vpeur de sodium ( λ = 589nm). S se trouve à une distnce R = 15cm du point O, pprtennt ux deux miroirs, OS fisnt un ngle α vec M 1. 1) On observe les interférences sur un écrn plcé à une distnce D = 1, 0m R, de O. 1.) Quelle est l forme de ces frnges? 1.b) Y -t-il un déphsge supplémentire ϕ sup introduit pr ce dispositif? ) Rpport vec les trous d'young : spé PC pge n 19 Jnson de Silly

20 physique nnée scolire 014/015.) A quelles distnces ( de O se trouvent ) les sources secondires S 1 et S?.b) Que vut l'ngle OS 1, OS?.c) En déduire l distnce = S 1 S. 3) Interfrnge : 3.) Quelle est l'interfrnge i? On veut que l'interfrnge soit, u moins i > i min = 1, 0mm. 3.b) Déterminer lors θ mx, l vleur mximle de θ en degrés, minutes et secondes d'rc. 1) Générlités : 1.) Les frnges sont rectilignes, prllèles u coin des miroirs. 1.b) ϕ sup = 0 à cuse de deux réexions. ) Rpport vec les trous d'young :.) OS ( 1 = OS ) = R..b) OS 1, OS =.θ..c) = S 1 S =.R. tn θ. 3) Interfrnge : 3.) i = λ.d = λ.d = λ.d.r. ( tn θ. ) λ.d 3.b) θ < θ mx = rctn.r.i min =, rd = ) Biprisme de Fresnel et trous d'young équivlents On s'intéresse à un biprisme de Fresnel. Il s'git de deux prismes (tringles rectngles) identiques, de petit ngle α, ccolés pr leur bse (leur petite lrgeur), d'indice optique n. On note R l distnce de l source S u biprisme. 1) Déterminer S 1 S, l distnce entre deux trous d'young équivlents. S 1 S =.R. (n 1) α.. Réseux.10) Positions des ordres d'un réseu Soit un réseu à LPI (trits pr pouce, où 1in =, 5cm). 1) Situer les positions ngulires θ p (en ) des mxim principux pour un fisceu en incidence normle et de longueur d'onde λ = 546nm. 1) sin θ p sin θ i = p.n.λ, vec θ i = 0 et n = 30 trits/mm. Soit : θ 0 = 0, θ 1 = 9, 9, θ = 0, 1, θ 3 = 31, 1, θ 4 = 43, 5, θ 5 = 59, 3..11) Détermintion d'une rie inconnue pr un réseu On eclire un réseu de n = 547 trits /mm en incidence qusi-normle pr une rie de longueur d'onde λ inconue et on observe les dévitions suivntes : θ = 3 34, θ + = ) Déterminer λ. 1) sin θ p sin θ 0 = n.p.λ. Soit sin θ + sin θ = 4.n.λ λ = sin θ + sin θ 4.n = 49nm spé PC pge n 0 Jnson de Silly

21 physique nnée scolire 014/015.1) Réseu ecliré pr une lmpe à vpeur de mercure On eclire un réseu de ps pr l rie verte du mercure (λ = 546, 1nm), et on observe les dévitions suivntes : θ 3 = 63 40, θ = 36 41, θ 1 = 17 4, θ +1 = 17, θ + = 36, θ +3 = ) Déterminer : 1.), le ps du réseu ; 1.b) n, le nombre de trits pr mm du réseu. 1) sin θ p sin θ 0 = p.λ. Une modélistion donne : 1.) = 1, 88µm ; 1.b) n = 547 trits /mm..13) Réseu ecliré pr une lumière blnche On eclire un réseu de n = 500 trits /mm en incidence qusi-normle pr une lumière blnche (dont les longueurs d'ondes sont dns le domine λ [400nm; 750nm]). 1) Pour chque ordre k, déterminer en degré les dévitions minimle θ mink et mximle θ mxk. ) En déduire :.) le nombre de spectres complets observbles ;.b) les ordres des spectres sns recouvrement. 1) Ordre 1 : θ min1 = 11, 55 et θ mx1 =, 0 ; ordre : θ min = 3, 6 et θ mx = 48, 59 ; ordre 3 : θ min3 = 36, 96 et θ mx3 : ps de solution. ) On en déduit :.) nombre de spectres complets observbles : 4 (ordres -,-1,+1,+) ;.b) ordres des spectres sns recouvrement : -1 et ) Rélistion d'un monochromteur Un réseu LPI (trits pr pouce, où 1in =, 5cm) est écliré en incidence normle pr une lumière blnche. Un spectre se forme sur un écrn prllèle u réseu, situé à d = 50cm du réseu. 1) Si on perce un trou de x = 5mm de côté dns l'écrn et dont le centre est plcé à x = 0cm de l'imge géométrique prllèlement ux trits du réseu, quel ser le domine de longueurs d'onde sélectionné pr le trou? 1) sin θ p sin θ i = p.n.λ, vec θ i = 0 et n = 600 trits/mm. Soit : λ = sin θ p.n l'ordre p = 1. On trouve : ( )) λ min = 1 n (rctn sin x x d = 6nm ( )) λ mx = 1 n (rctn sin x+ x = 635nm d vec tnθ = x d. On est dns (C'est du rouge)..15) Séprtion d'un doublet pr un réseu Un réseu comporte n = 130trits/mm et est écliré pr un fisceu en incidence normle d'extension sptile L = 5mm dns l direction perpendiculire ux trits. On se plcer ux petits ngles. 1) Rppeler : 1.) l'ngle θ sous lequel est envoyée l lumière à l'ordre p pour l longueur d'onde λ ; 1.b) l lrgeur ngulire θ de ce fisceu. ) On s'intéresse u doublet du sodium : λ = 590nm, et λ = 0, 6nm. Le critère de Ryleigh stipule que deux imges sont séprées si l distnce entre les deux imges est supérieure u dimètre de l tche de chcune des imges..) Quel est le plus petit intervlle de longueur d'onde séprble λ min dns l'ordre p utour de λ = 590nm?.b) Appliction numérique dns l'ordre 1. Sépre-t-on le doublet du sodium?.c) Appliction numérique dns l'ordre. Sépre-t-on le doublet du sodium? spé PC pge n 1 Jnson de Silly

22 physique nnée scolire 014/015 1) 1.) sin θ = p.n.λ soit θ = p.n.λ 1.b) θ = n.λ N où N = n.l est le nombre de trits éclirés, soit : θ = λ L ) Critère de Ryleigh :.) p.n. (λ 1 λ ) > λ L. Soit λ > λ min = λ p.n.l.b) p = 1 : λ min =.c) p = : λ min = λ p.n.l λ p.n.l = 0, 9nm > λ. On ne sépre ps le doublet du sodium dns l'ordre 1. = 0, 45nm < λ. On sépre le doublet du sodium dns l'ordre..16) Minimum de dévition pour un réseu Si on éclire un réseu de période sptile vec une onde plne monochromtique (de longueur d'onde λ) qui fit un ngle θ i vec l normle u pln du réseu, l'intensité dirctée est non nulle seulement dns quelques directions repérées pr les ngles θ p pr rpport à l normle u pln du réseu. 1) Que verie θ p (formule des réseux)? On dénit l'ngle de dévition pour l'ordre p pr D = θ p θ i. ) Si l dévition est minimle (D = D min ), qu'est-ce que cel impose sur θ i et θ p? 3) Exprimer sin ( ) D min, en fonction de p, et λ. 1) sin θ p sin θ i = p λ (p est entier). ) D = D min θ p = θ i. 3) sin ( D min ) = p.λ...17) Recouvrement des ordres On éclire un réseu pr trnsmission qui possède n = 130trits/mm de fçon normle, vec de l lumière blnche (λ [λ min = 400nm; λ mx = 750nm]). On observe sur un écrn plcé prllèlement u réseu, dns le pln focl imge d'une lentille convergente de focle d =, 5m, et repéré pr un xe (Ox), l'xe (Oy) étnt confondu vec l'ordre nul. 1) Clculer l position des bords des spectres : 1.) x 1 (λ min ) et x 1 (λ mx ) pour l'ordre 1 ; 1.b) x (λ min ) et x (λ mx ) pour l'ordre ; 1.c) x 3 (λ min ) et x 3 (λ mx ) pour l'ordre 3. ) Quels sont les ordres qui se recouvrent? 1) Si les ngles sont petits : x d.n.p.λ 1.) x 1 (λ min ) = 13cm et x 1 (λ mx ) = 4cm pour l'ordre 1 ; 1.b) x (λ min ) = 6cm et x (λ mx ) = 49cm pour l'ordre ; 1.c) x 3 (λ min ) = 39cm et x 3 (λ mx ) = 73cm pour l'ordre 3. ) Tous les ordres suf l'ordre ±1 se recouvrent..18) Doublet du sodium résolu grâce à un réseu On éclire un réseu pr trnsmission qui possède n = 130, 0trits/mm de fçon normle, vec une lmpe u sodium (de longueurs d'onde λ 1 = 589, 0nm et λ = 589, 6nm). On observe sur un écrn plcé prllèlement u réseu,, dns le pln focl imge d'une lentille convergente de focle d =, 500m, et repéré pr un xe (Ox), l'xe (Oy) étnt confondu vec l'ordre nul. 1) Clculer l position des ries dns l'ordre 1 pour : 1.) λ 1 (x 1 ) spé PC pge n Jnson de Silly

23 physique nnée scolire 014/015 1.b) et λ (x ). L lrgeur de l fente d'éclirge est l, le grndissement du montge optique est γ = 1 10 l'élrgissement de l'imge de l fente d'éclirge pr dirction). ) Exprimer une condition sur l pour que le doublet du sodium soit résolu. (on négliger 1) Si les ngles sont petits : x d.n.p.λ 1.) λ 1 x 1 = 191, 4mm 1.b) et λ x = 191, 6mm. ) l < n.d.(λ λ1) γ = 1, 9mm. 3. Optique de Fourier 3.19) Lrgeur d'un fisceu lser Un lser hélium-néon émet une onde qusiment plne et monochromtique de longueur d'onde λ = 633nm. A l sortie du lser, le fisceu est limité pr un trou du dimètre du fisceu de sortie : D 1 = 3, 0mm. 1) Déterminer l'ordre de grndeur du dimètre D du fisceu à une distnce : 1.) L = 15m ; 1.b) L = 150m. 1) L'imge, à l'inni, d'un trou de ryon R, écliré pr une onde plne monochromtique (de longueur d'onde λ), une ouverture ngulire : θ λ R. Ainsi, si on ssimile l tngente de cet ngle à l'ngle lui-même D = L θ = λ.l D 0 1.) L = 15m D 7 mm. 1.b) L 3 = 150m D 70 mm. 3.0) Les phres de voiture l nuit Les deux phres vnt (supposés ponctuels) d'une voiture observée à une distnce D (très grnde) sont distnts de l = 1, 4m. 1) Quel est l'ngle α sous lequel on voit ces deux phres? Le dimètre de l pupille de l' il est d = 5mm. ) Quelle est l'ouverture ngulire δθ de l tche de dirction donnée pr un phre? On prendr une longueur d'onde moyenne de l lumière : λ = 600nm. Le critère de Ryleigh stipule que deux imges sont séprées si l distnce entre les deux imges est supérieure u dimètre de l tche de chcune des imges. 3) Déterminer l distnce D mx à prtir de lquel l' il peut séprer l'imge des deux phres. Appliction numérique. 1) α = l D. ) δθ λ d = λ d = 0, 3mrd. 3) On veut α > δθ, c'est à dire D < D mx = l.d λ 10 km 3.1) Brouillrd On observe une source ponctuelle blnche (λ 0, 6µm) à l'inni à trvers un brouillrd est constitué de goutelettes opques de ryon r. On visulise un hlo irisé, de premier nneu sombre obtenu pour l'ngle θ =. 1) En déduire r. Appliction numérique. spé PC pge n 3 Jnson de Silly

24 physique nnée scolire 014/015 1) L'ouverture ngulire de l tche est :.θ λ r, soit r λ = 10 µm.θ 3.) Dirction pr une grille On considère une mire qui présente une grille de ps suivnt x éclirée sous incidence normle pr une onde plne de longueur d'onde λ. 1) Quelle est l'llure de l mire éclirée? Cette mire est plcée devnt une lentille convergente L de focle f. ) A quelle(s) position(s) observe-t-on de l lumière dns le pln focl imge de l lentille L? 1) L mire éclirée est un qudrillge formés de trits suivnt y. ) Les fréquences sptiles (et leurs hrmoniques sont) : n, 0 suivnt x vec n entier. On observe de l lumière pour les positions suivntes : n f λ, ) Filtrge d'une grille sinusoïdle dns les deux dimensions On considère une mire de coecient de trnsmission (en mplitude) t(x, y) = ( cos πx ) ( ) + cos πy vec = 10 µm éclirée sous incidence normle pr une onde plne de longueur d'onde λ = 633 nm. 1) Quelle est l'llure de l mire éclirée? Cette mire est plcée à une distnce f vnt une lentille convergente L de focle f = 1, 0 m. ) A quelle(s) position(s) observe-t-on de l lumière dns le pln focl imge de l lentille L? 3) Comment fire, en plçnt dns le pln focl imge de l lentille L un ltre de sorte que l'éclirge dns le pln plcé à une distnce f près l lentille convergente L présente des trits régulièrement espcés prllèles à y? On donner les crctéristiques (numériques) du ltre. 1) Comme t(x, y) = 1 [ (e j πx πx ) j ( + e e j πy + πy j ) ] + e Donc t(x, y) = 1 8 [( e j πx + + e πx j ) + (e j πy + + e πy j )] = 1 8 [ 4 + e j πx πx j + e + e j πy + e πy j ] Ainsi, t(x, y) = 1 [ ( ) ( )] πx πy 4 + cos + cos 8 spé PC pge n 4 Jnson de Silly

25 physique nnée scolire 014/015 l mire éclirée est un qudrillge de ps dns les deux directions. ) Revenons à l'expression : t(x, y) = 1 8 [ 4 + e j πx πx j + e + e j πy + e On observe de l lumière pour les positions suivntes (f λ σ = f λ 0, 0 vec une intensité 16 I 0 ; f λ, 0 vec une intensité I 0 ; f λ, 0 vec une intensité I 0 ; 0, f λ vec une intensité I 0 ; πy j ] = 6, 33 cm) : 0, f λ vec une intensité I 0. 3) Pour que l'éclirge dns le pln plcé à une distnce f près l lentille convergente L présente des trits régulièrement espcés prllèles à y, il sut de sélectionner dns l'imge de dirction : 0, 0 vec une intensité 16 I 0 ; f λ, 0 vec une intensité I 0 ; f λ, 0 vec une intensité I 0. ussi, tout se psse comme si l'onde vit une mplitude : (x, y) = 1 8 [ + e j πx + + e πx j ] = ( e j πx πx ) j + e = 1 ( 1 + cos πx 4 Dns le pln plcé à une distnce f près l lentille convergente L, on observer une grille (sinusoïdle), orientée prllèlement à y. Pour cel, il fut plcer dns le pln focl de L une fente suivnt F x, de lrgeur inférieure à f λ σ = f λ = 6, 33 cm. ) 3.4) Filtrge d'une mire de trnsmission sinusoïdle dns les deux dimensions On considère une mire de coecient de trnsmission (en mplitude) ( t(x, y) = cos πx ) ( cos πy vec = 10 µm éclirée sous incidence normle pr une onde plne de longueur d'onde λ = 633 nm. Cette mire est plcée à une distnce f vnt une lentille convergente L de focle f = 1, 0 m. 1) A quelle(s) position(s) observe-t-on de l lumière dns le pln focl imge de l lentille L? On plce mintennt dns le pln focl imge de l lentille L une fente à 45 pr rpport à OF x de lrgeur 1, 0 cm. ) Donner les crctéristiques (en prticulier l période sptile) de l gure observée dns le pln plcé à une distnce f près l lentille convergente L. ) 1) Comme ( t(x, y) = cos πx ) ( cos πy ) = t(x, y) = 1 [( e j πx + + e 16 ( e j πx πx j πx ) j ( + e e j πy ) (e j πy + + e πy j πy j ) + e )] spé PC pge n 5 Jnson de Silly

26 physique nnée scolire 014/015 t(x, y) = 1 [ e j πx πx j e + e j π(y+x) + e j πy + e j π(y x) + e j π( y+x) πy j + e + e 16 On observe de l lumière pour les positions suivntes (f λ σ = f λ 0, 0 vec une intensité 16 I 0 ; f λ, 0 vec une intensité 4 I 0 ; f λ, 0 vec une intensité 4 I 0 ; 0, f λ vec une intensité 4 I 0 ; 0, f λ vec une intensité 4 I 0 ; f λ, f λ vec une intensité I 0 ; f λ, + f λ vec une intensité I 0 ; + f λ, f λ vec une intensité I 0 ; + f λ, + f λ vec une intensité I 0 ; ) Le ltre sélectionne : 0, 0 vec une intensité 16 I 0 ; f λ, f λ vec une intensité I 0 ; + f λ, + f λ vec une intensité I 0 ; ussi, tout se psse comme si l'onde vit une mplitude : (x, y) = 1 16 [4 + e j π(y+x) + e π(y+x) j ] = 1 8 = 6, 33 cm) : [ + cos ] π (y + x) π(y+x) j Dns le pln plcé à une distnce f près l lentille convergente L, on observer une grille (sinusoïdle), orientée à 45 pr rpport à x. Posons x à 45 pr rpport à x. Ainsi, x = (x + y). D'où [ ] (x ) = 0 + cos π x ] L période sptile est donc = 7, 1 µm. 3.5) Filtrge uniforme d'une mire de trnsmission sinusoïdle On considère une mire de coecient de trnsmission (en mplitude) t(x, y) = cos πx vec = 5, 0 µm éclirée sous incidence normle pr une onde plne de longueur d'onde λ = 633 nm. Cette mire est plcée à une distnce f vnt une lentille convergente L de focle f = 5 cm. 1) A quelle(s) position(s) observe-t-on de l lumière dns le pln focl imge de l lentille L? ) Comment fire, en plçnt dns le pln focl imge de l lentille L un ltre de sorte que l'éclirge dns le pln plcé à une distnce f près l lentille convergente L soit uniforme? On donner les crctéristiques (numériques) du ltre. spé PC pge n 6 Jnson de Silly

27 physique nnée scolire 014/015 1) Comme ( t(x, y) = cos πx ) = ( e j πx πx ) j + e = 1 [ e j πx + + e 4 On observe de l lumière pour les positions suivntes (f λ σ = f λ 0, 0 vec une intensité 4 I 0 ; f λ, 0 vec une intensité I 0 ; = 31, 65 mm) : πx j f λ, 0 vec une intensité I 0. ) On veut un éclirge uniforme, donc que le ltre sélectionne uniquement 0, 0. Aussi, il fut, pr exemple, positionner une fente d'xe F y de lrgeur inférieure à 3, 1 cm. ] 3.6) Trnsformtion de l'imge d'une mire de trnsmission sinusoïdle dns les deux dimensions On considère une mire de coecient de trnsmission (en mplitude) ( t(x, y) = cos πx ) ( cos πy ) vec = 10 µm éclirée sous incidence normle pr une onde plne de longueur d'onde λ = 633 nm. Cette mire est plcée à une distnce f vnt une lentille convergente L de focle f = 1, 0 m. 1) A quelle(s) position(s) observe-t-on de l lumière dns le pln focl imge de l lentille L? ) Comment fire, en plçnt dns le pln focl imge de l lentille L un ltre de sorte que l'éclirge dns le pln plcé à une distnce f près l lentille convergente L présente des trits régulièrement espcés prllèles à y? On donner les crctéristiques (numériques) du ltre. 1) Comme ( t(x, y) = cos πx ) ( cos πy ) = t(x, y) = 1 [( e j πx + + e 16 ( e j πx πx j πx ) j ( + e e j πy ) (e j πy + + e πy j πy j ) + e t(x, y) = 1 [ e j πx πx j e + e j π(y+x) + e j πy + e j π(y x) + e j π( y+x) πy j + e + e 16 On observe de l lumière pour les positions suivntes (f λ σ = f λ 0, 0 vec une intensité 16 I 0 ; f λ, 0 vec une intensité 4 I 0 ; f λ, 0 vec une intensité 4 I 0 ; 0, f λ vec une intensité 4 I 0 ; 0, f λ vec une intensité 4 I 0 ; f λ, f λ vec une intensité I 0 ; f λ, + f λ vec une intensité I 0 ; + f λ, f λ vec une intensité I 0 ; + f λ, + f λ vec une intensité I 0 ; = 6, 33 cm) : )] π(y+x) j ] spé PC pge n 7 Jnson de Silly

28 physique nnée scolire 014/015 ) Pour que l'éclirge dns le pln plcé à une distnce f près l lentille convergente L présente des trits régulièrement espcés prllèles à y, il sut de sélectionner dns l'imge de dirction : 0, 0 vec une intensité 16 I 0 ; f λ, 0 vec une intensité 4 I 0 ; f λ, 0 vec une intensité 4 I 0. ussi, tout se psse comme si l'onde vit une mplitude : (x, y) = 1 [ e j πx + + e 16 πx j ] = 1 4 ( e j πx πx ) j + e = 1 ( cos πx 4 Dns le pln plcé à une distnce f près l lentille convergente L, on observer une grille (sinusoïdle), orientée prllèlement à y. Pour cel, il fut plcer dns le pln focl de L une fente suivnt F x, de lrgeur inférieure à f λ σ = f λ = 6, 33 cm. ) spé PC pge n 8 Jnson de Silly

29 physique nnée scolire 014/015 Résolution de problème vendredi 19 décembre 014 Cet exercice ser fit en demi-groupe lors de l sénce de trvux dirigés. Le détrmge contre le moirge D'près "Le problème du moirge sur les photos" disponible sur le site "pedgo.reims.iufm.fr" Il n'est ps rre de voir pprître des eets de moirge sur certines illustrtions numérisées dont l source est un document imprimé... Une photogrphie "rgentique" contient un nombre de points d'informtion très importnt, le logiciel de numéristion n' ps à ppliquer de correctifs lorsqu'il l lit. Mis dès lors qu'il lors qu'il s'git de photogrphies sur un mgzine ou un journl, des problèmes peuvent se poser. En eet, les mchines oset reproduisent les illustrtions pr des lignes de points (ppelées "trmes"). Le nombre de trmes u pouce (linéture de trme) est vrible (175 ou plus pour une impression d'rt, 133 pour un mgzine cournt et souvent 85 pour un journl). An d'éviter des phénomènes de "résonnces" entre l linéture de trme et l résolution de numéristion (ce que l'on ppelle "moirge" : tches reproduites régulièrement), certins logiciels de numéristion opèrent un "détrmge". (Cerf-volnt à Berck, source de l'imge VOL Pssion N 33) Enoncé On photogrphié une illustrtion en noir et blnc dns un mgzine vec un ppreil rgentique. L dipositive est une reproduction à l'échelle 1 de l'illustrtion. On veut obtenir une nouvelle photogrphie détrmée vnt de l soumettre à une numéristion, le logiciel risqunt de créer un eet de moirge. 1) Proposer un montge possible de ltrge optique. On donner les vleurs numériques : des distnces réelles sur le schém du montge ; des focles des lentilles utilisées ; et des crctéristiques du ltre employé. Données : 1 in =, 5 cm. spé PC pge n 9 Jnson de Silly

30 physique nnée scolire 014/015 Correction S'pproprier : - Illustrtion : linéture de trme 133, soit n = 133 in 1 = 53, cm 1 = 53, 10 m 1 ; - Dipositive : ps de trme introduite pr l photo rgentique, reste donc n = 53, 10 m 1. Anlyser : - Il s'git d'éliminer l trme donc les détils : un ltre psse bs s'impose. - L fréquence sptile crctéristique est σ = 53, 10 m 1. Réliser : - On peut choisir un montge 4 f : - Une vleur possible de f est 5 cm (4 f = 1 m : possible). - L'éclirge peut se fire vec un lser hélium-néon de longueur d'onde λ = 633 nm. - Il fut comme ltre un trou (diphrgme) centré sur F, de dimètre légèrement inférieur à d = λ f σ = , 10 m 1 = 0, 84 mm Trvux prtiques vendredi 19 décembre 014 TP d'optique sur le michelson. spé PC pge n 30 Jnson de Silly