POLY-PREPAS ANNEE 2009/2010 Centre de Préparation aux Concours Paramédicaux

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "POLY-PREPAS ANNEE 2009/2010 Centre de Préparation aux Concours Paramédicaux"

Transcription

1 POLY-PREPAS ANNEE 2009/2010 Centre de Préparation aux Concours Paramédicaux - Section : i-prépa Audioprothésiste (annuel) - MATHEMATIQUES 8 : EQUATIONS DIFFERENTIELLES - COURS + ENONCE EXERCICE - Olivier CAUDRELIER 55

2 1. Introduction : qu est-ce qu une équation différentielle? Les seules équations étudiées jusqu à présent s appellent des équations algébriques ; exemple : ² + 30=0 les solutions des équations algébriques sont des nombres réels ( 6 5 ) ; la variable des nombres réels est notée x Nous allons rencontrer à présent un nouveau type d équations : les équations différentielles ; exemple d équation différentielle : +3² = 5 les solutions sont des fonctions ; la variable des fonctions est notée y. Une équation différentielle est donc une équation dans laquelle se trouvent la fonction y et sa(ou ses) dérivée(s) y, y, y, etc En physique, on rencontre beaucoup de phénomènes modélisés par des équations différentielles (ex de la chute d une bille dans un fluide : l application de la 2 nde Loi de Newton aboutit à : dv = k v + g qui est une équation différentielle) il faut faire appel dt m aux mathématiques pour pouvoir résoudre cette équation différentielle et déterminer la fonction solution du phénomène (ici : v(t) = (1 e ) dont on peut tracer la courbe) Il existe une infinité d équations différentielles, nous n étudierons ici uniquement l équation différentielle du type : = +, et ses différentes applications 2. Equation différentielle = +, R : Théorème : les solutions de l équation différentielle = +, R sont les fonctions : () =, R Remarque : l équation différentielle = R est un cas particulier du théorème cidessus correspondant à b = 0 ; on obtient alors les solutions de la forme () = R Une équation différentielle admet une infinité de solutions sur un intervalle I, ces solutions étant toutes définies à la constante k près. Toutes les solutions d une équation différentielle sont donc distinctes, leurs courbes représentatives n ont aucun point d intersection les unes avec les autres. Il faut et il suffit d une condition (généralement initiale) pour fixer k et obtenir UNE (et une seule) solution f de l équation différentielle. 56

3 Exemple : soit l équation différentielle (E) : = a) Résoudre (E) b) Quelle est la solution de (E) telle que (0) = a) Par Théorème, les solutions de (E) sont de la forme : () = () = + b) On a par hypothèse : (0) = Or, d après la formule, on a aussi, en 0 : (0) = + = + Hypothèse et formule doivent coïncider, d où : (0) = 4 3 (0) = = = 2 3 Conclusion : la solution de (E) telle que (0) = est () = + = ( + ) 3. Résolution d une équation différentielle modélisant un cas concret (physique, biologie, etc ) : Méthode : On résout l équation différentielle On utilise la condition initiale (à aller chercher dans l énoncé), pour déterminer LA solution de l équation différentielle modélisant précisément le phénomène étudié On utilise cette solution pour résoudre des questions concrètes : recherche d une durée, d un nombre de noyaux radioactifs restants, d une vitesse, d une proportion d habitants contaminés Exemple-type : A l instant t = 0h, on place un corps à 100 C (casserole d eau bouillante par exemple) dans une pièce à 20 C. On désigne par q(t) la température du corps à l instant t. La loi de refroidissement de Newton est telle que la vitesse de refroidissement du corps q (t) est proportionnelle à la différence de température entre le corps et la pièce, soit : q (t) = -k [q(t) 20] (avec k : coefficient de refroidissement égal à 2,08 h -1 ) 57

4 a) Déterminer LA solution de cette équation différentielle vérifiant la condition initiale b) Quelle est la température du corps après 30 minutes? c) Après combien de temps la température tombera-t-elle à 30 C? a) () = 2,08[() 20] = 2,08() + 41,6 Par Théorème, les solutions de cette équation différentielle sont de la forme : () =, 41,6 2,08 =, + 20 Or, par hypothèse, ( =0)= 100 D après la formule obtenue, on a aussi : ( =0)= +20=+ 20 Hypothèse et formule doivent coïncider, d où : (0) = = + 20 = 80 (0) = + 20 Conclusion : la solution de (E) telle que (0) = 100 est () =, + b) Attention t est en heure, donc 30 minutes correspondent à 0,5 h ( = 0,5) = 80,, + 20 = 48,3 Au bout de 30 minutes, la température est de 48,3 C c) On cherche t tel que () = 30 Or () = 80, + 20, soit à résoudre : 80, + 20 = 30 80, = 10, = 1 8 [, ]= [ 1 8 ] 2,08 = 8 = 8 2,08 =1 Au bout d 1h, la température atteint 30 C 58

5 4. Equations différentielles avec changement de variable : On peut être amené au cours des exercices devant des équations différentielles à première vue insolubles par le seul Théorème de ce cours ; exemple : = 0,022(20 ) La méthode (toujours guidée par l exercice) repose alors sur : un changement de variable, grâce auquel l équation différentielle insoluble est ramenée à une équation différentielle du type : = +. on résout cette équation différentielle, puis on revient à la variable initiale. Exemple-type : On note f(t) le nombre de ménages vivant en France équipés d un ordinateur (t exprimé en années et f(t) en millions de ménages) On pose t = 0 en 1980, il y avait alors ménages équipés d un ordinateur. Le modèle de Verhulst stipule que sur la période , f est solution de l équation différentielle (): = 0,022(20 ) a) on pose = ; démontrer que f est solution de () si et seulement si u est solution de l équation différentielle (): = 0,44 + 0,022 b) résoudre () puis en déduire l ensemble des solutions de () c) démontrer alors que la fonction f est définie sur [0; + [par : 1 () = 99,95, + 0,05 d) calculer la limite de f lorsque t tend vers + a) f est solution de () = 0,022(20 ) or = = ; = ² d où : f est solution de () ² = 0,022 1 (20 1 ) soit : f est solution de () ² = 0, = 0, ² 1 2 = donc : f est solution de () = 0,44 0,022 c est-à-dire : f est solution de () = 0,44 + 0,022 on a donc : f est solution de () () 59

6 b) Par théorème, les solutions de () sont de la forme : () =,,, () =, +, Or, comme =, on a : () =,, De plus, par hypothèse on sait que : (0) = 0,01 Or, d après la formule obtenue, ( =0)=, =, Hypothèse et formule doivent coïncider, d où : (0) = 0, ,01 = (0) = + 0,05 + 0,05 +0,05= 1 0,01 = 100 ù = 100 0,05 = 99,95 ù, () =,, +, c) lim, = 0, ù: lim 99,95, + 0,05 = 0,05 Ainsi, lim () =, = 20 Au bout d un temps très long, le nombre de ménages équipés d un ordinateur stagnera à 20 millions 60

7 Exercices d application sur les équations différentielles exercice 1 : Résoudre les équations différentielles suivantes : a) 2y + 3y = -2 et f(0) = 2 b) y = (5/2) y 9 et f(-1) = e c) 3y + 4y = 1 et f(1) = 3 exercice 2 : A l instant t = 0h, on injecte dans le sang 2 mg d une substance médicamenteuse, qui sera supposée passer dans le sang instantanément, et s éliminer progressivement. La quantité de substance Q(t) encore présente dans le sang à l instant t suit une loi différentielle de type : dq/dt = - l.q(t) (avec t en h et Q en ml) a) sachant que 25% de la substance est éliminée au cours de la 1 ère heure, calculer l en précisant son unité ; en déduire la résolution de l équation différentielle correspondante b) au bout de combien de temps la quantité de substance dans le sang aura-t-elle diminué de 40% c) quelle est la quantité de substance éliminée en 3 heures? exercice 3 : sans calculatrice A t = 0, on injecte dans le sang d un patient une certaine quantité d une solution médicamenteuse. Après 5 heures (h) il ne reste que 37% du médicament dans le sang. Le processus d élimination de ce médicament suit une loi différentielle de type : dq/dt = - l.q(t). On cherche le temps T nécessaire pour qu il ne reste plus que 10% du médicament dans le sang. (On pourra utiliser : 1/e = 0,37 ; avec e, exponentielle et ln 10 = 2,3) Quelle est (ou quelles sont) la (les) réponse(s) exacte(s)? 1. l = 0,2 h 2. l = 0,12 h l = 0,2 min l = 0,5 h 5. T = 12,2 h 6. T = 11,5 h 7. T = 19,2 h 61

8 exercice 4 : 62

POLY-PREPAS Centre de Préparation aux Concours Paramédicaux

POLY-PREPAS Centre de Préparation aux Concours Paramédicaux POLY-PREPAS Centre de Préparation aux Concours Paramédicaux - Sections : L1 Santé - 1 Olivier CAUDRELIER oc.polyprepas@orange.fr Chapitre 1 : Equations aux dimensions 1. Equation aux dimensions a) Dimension

Plus en détail

POLY-PREPAS Centre de Préparation aux Concours Paramédicaux. - Section : i-prépa annuel -

POLY-PREPAS Centre de Préparation aux Concours Paramédicaux. - Section : i-prépa annuel - POLY-PREPAS Centre de Préparation aux Concours Paramédicaux - Section : i-prépa annuel - 61 Chapitre 7 : Chute d une bille dans un fluide I. Deux nouvelles forces : a) la Poussée d Archimède : Tout corps

Plus en détail

La fonction exponentielle

La fonction exponentielle DERNIÈRE IMPRESSION LE 2 novembre 204 à :07 La fonction exponentielle Table des matières La fonction exponentielle 2. Définition et théorèmes.......................... 2.2 Approche graphique de la fonction

Plus en détail

Commun à tous les candidats

Commun à tous les candidats EXERCICE 3 (9 points ) Commun à tous les candidats On s intéresse à des courbes servant de modèle à la distribution de la masse salariale d une entreprise. Les fonctions f associées définies sur l intervalle

Plus en détail

Bien lire l énoncé 2 fois avant de continuer - Méthodes et/ou Explications Réponses. Antécédents d un nombre par une fonction

Bien lire l énoncé 2 fois avant de continuer - Méthodes et/ou Explications Réponses. Antécédents d un nombre par une fonction Antécédents d un nombre par une fonction 1) Par lecture graphique Méthode / Explications : Pour déterminer le ou les antécédents d un nombre a donné, on trace la droite (d) d équation. On lit les abscisses

Plus en détail

L usage de la calculatrice n est pas autorisé.

L usage de la calculatrice n est pas autorisé. e3a Concours ENSAM - ESTP - EUCLIDE - ARCHIMÈDE Épreuve de Mathématiques A durée 4 heures MP L usage de la calculatrice n est pas autorisé. Si, au cours de l épreuve, un candidat repère ce qui lui semble

Plus en détail

La fonction exponentielle

La fonction exponentielle La fonction exponentielle L expression «croissance exponentielle» est passée dans le langage courant et désigne sans distinction toute variation «hyper rapide» d un phénomène. Ce vocabulaire est cependant

Plus en détail

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mathématiques année 2011-2012 Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Ce que nous verrons dans ce chapitre : un exemple d équation différentielle y = f(y)

Plus en détail

Sciences Po Paris 2012 Mathématiques Solutions

Sciences Po Paris 2012 Mathématiques Solutions Sciences Po Paris 202 athématiques Solutions Partie : Le modèle de althus odèle discret a Pour tout entier naturel n, on a P n+ P n = P n donc P n+ = +P n Par suite la suite P n est géométrique de raison

Plus en détail

Agrégation externe de mathématiques, session 2013 Épreuve de modélisation, option B : Calcul Scientifique

Agrégation externe de mathématiques, session 2013 Épreuve de modélisation, option B : Calcul Scientifique Agrégation externe de mathématiques, session 2013 Épreuve de modélisation, option (Public2014-B1) Résumé : On présente un exemple de système de deux espèces en compétition dans un environnement périodique.

Plus en détail

Fonctions - Continuité Cours maths Terminale S

Fonctions - Continuité Cours maths Terminale S Fonctions - Continuité Cours maths Terminale S Dans ce module, introduction d une nouvelle notion qu est la continuité d une fonction en un point. En repartant de la définition et de l illustration graphique

Plus en détail

Entrée à Sciences Po ADMISSION AU COLLÈGE UNIVERSITAIRE Mardi 26 juin 2012 MATHEMATIQUES durée de l épreuve : 4h

Entrée à Sciences Po ADMISSION AU COLLÈGE UNIVERSITAIRE Mardi 26 juin 2012 MATHEMATIQUES durée de l épreuve : 4h Entrée à Sciences Po ADMISSION AU COLLÈGE UNIVERSITAIRE Mardi 26 juin 2012 MATHEMATIQUES durée de l épreuve : 4h A. P. M. E. P. Le problème se compose de 4 parties. La dernière page sera à rendre avec

Plus en détail

Suite géométrique et résolution graphique d une inéquation

Suite géométrique et résolution graphique d une inéquation - - 1 - - - - 1 - -24/12/2010J - - 1 - - Suite géométrique et résolution graphique d une inéquation ENONCE : Une entreprise achète un véhicule neuf au prix de V 0 = 20 000. Elle considère que le véhicule

Plus en détail

EXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats)

EXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats) EXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats) On cherche à modéliser de deux façons différentes l évolution du nombre, exprimé en millions, de foyers français possédant un téléviseur à écran plat

Plus en détail

Rédigé par un élève de Terminale S à l'aide de ses livres de maths (Indice, Bordas), ses cours, toute sa peine, et son stress pour le bac! J.

Rédigé par un élève de Terminale S à l'aide de ses livres de maths (Indice, Bordas), ses cours, toute sa peine, et son stress pour le bac! J. Rédigé par un élève de Terminale S à l'aide de ses livres de maths (Indice, Bordas), ses cours, toute sa peine, et son stress pour le bac! J. FAIVRE s de cours exigibles au bac S en mathématiques Enseignement

Plus en détail

Chapitre 1 Régime transitoire dans les systèmes physiques

Chapitre 1 Régime transitoire dans les systèmes physiques Chapitre 1 Régime transitoire dans les systèmes physiques Savoir-faire théoriques (T) : Écrire l équation différentielle associée à un système physique ; Faire apparaître la constante de temps ; Tracer

Plus en détail

2. Les exponentielles

2. Les exponentielles - 1 - Les eponentielles. Les eponentielles.1 Introduction et définitions Eemple 1 : On veut faire un élevage de souris. Pour cela on achète 1 souris grises, souris blanches et 1 souris brunes. Les souris

Plus en détail

Les équations différentielles

Les équations différentielles Les équations différentielles Equations différentielles du premier ordre avec second membre Ce cours porte exclusivement sur la résolution des équations différentielles du premier ordre avec second membre

Plus en détail

EXERCICES. Exercice 3 : Soit f la fonction définie sur ]0; + [ par f (x) = 1 5 ln(x). 1. Déterminer les limites suivantes : lim f (x) et lim f (x)

EXERCICES. Exercice 3 : Soit f la fonction définie sur ]0; + [ par f (x) = 1 5 ln(x). 1. Déterminer les limites suivantes : lim f (x) et lim f (x) EXERCICES LN Eercice : Soit f la fonction définie sur ]0;+ [ par f ()=+ ln(). On note C sa courbe représentative dans un repère orthogonal.. a. Calculer f () b. Déterminer l équation de la tangente T à

Plus en détail

Baccalauréat S Antilles-Guyane 11 septembre 2014 Corrigé

Baccalauréat S Antilles-Guyane 11 septembre 2014 Corrigé Baccalauréat S ntilles-guyane 11 septembre 14 Corrigé EXERCICE 1 6 points Commun à tous les candidats Une entreprise de jouets en peluche souhaite commercialiser un nouveau produit et à cette fin, effectue

Plus en détail

Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale

Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Chapitre 7 Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Dans ce chapitre et le suivant, on montre deux applications importantes de la notion de différentiabilité : le théorème de l inversion

Plus en détail

Épreuve de mathématiques Terminale ES 200 minutes

Épreuve de mathématiques Terminale ES 200 minutes Examen 2 Épreuve de mathématiques Terminale ES 200 minutes L usage de la calculatrice programmable est autorisé. La bonne présentation de la copie est de rigueur. Cet examen comporte 7 pages et 5 exercices.

Plus en détail

CHAPITRE V SYSTEMES DIFFERENTIELS LINEAIRES A COEFFICIENTS CONSTANTS DU PREMIER ORDRE. EQUATIONS DIFFERENTIELLES.

CHAPITRE V SYSTEMES DIFFERENTIELS LINEAIRES A COEFFICIENTS CONSTANTS DU PREMIER ORDRE. EQUATIONS DIFFERENTIELLES. CHAPITRE V SYSTEMES DIFFERENTIELS LINEAIRES A COEFFICIENTS CONSTANTS DU PREMIER ORDRE EQUATIONS DIFFERENTIELLES Le but de ce chapitre est la résolution des deux types de systèmes différentiels linéaires

Plus en détail

Journées Nationales de l APMEP 2006 MODELISATION MATHEMATIQUE DE PHENOMENES PHYSIQUES, DU COLLEGE AU BTS.

Journées Nationales de l APMEP 2006 MODELISATION MATHEMATIQUE DE PHENOMENES PHYSIQUES, DU COLLEGE AU BTS. Journées Nationales de l APMEP 2006 MODELISATION MATHEMATIQUE DE PHENOMENES PHYSIQUES, DU COLLEGE AU BTS. Problème : (Thème : Primitives, équations différentielles linéaires du 1 er ordre à coefficients

Plus en détail

POLY-PREPAS ANNEE 2009/2010 Centre de Préparation aux Concours Paramédicaux

POLY-PREPAS ANNEE 2009/2010 Centre de Préparation aux Concours Paramédicaux POLY-PREPAS ANNEE 2009/200 Centre de Préparation aux Concours Paramédicaux - Section : i-prépa Audioprothésiste (annuel) - MATHEMATIQUES 6 : PRIMITIVES ET INTEGRATION - COURS + ENONCE EXERCICE - 39 . Tableau

Plus en détail

9. Équations différentielles

9. Équations différentielles 63 9. Équations différentielles 9.1. Introduction Une équation différentielle est une relation entre une ou plusieurs fonctions inconnues et leurs dérivées. L'ordre d'une équation différentielle correspond

Plus en détail

Lycée Cassini BTS CGO 2014-2015. Test de début d année

Lycée Cassini BTS CGO 2014-2015. Test de début d année Lycée assini BTS GO 4-5 Exercice Test de début d année Pour chaque question, plusieurs réponses sont proposées. Déterminer celles qui sont correctes. On a mesuré, en continu pendant quatre heures, la concentration

Plus en détail

ORDRE DE RÉACTION : MÉTHODES DE

ORDRE DE RÉACTION : MÉTHODES DE ORDRE DE RÉACTION : MÉTHODES DE RÉSOLUTION Table des matières 1 Méthodes expérimentales 2 1.1 Position du problème..................................... 2 1.2 Dégénérescence de l ordre...................................

Plus en détail

Baccalauréat ES Amérique du Nord 4 juin 2008

Baccalauréat ES Amérique du Nord 4 juin 2008 Baccalauréat ES Amérique du Nord 4 juin 2008 EXERCICE 1 Commun à tous les candidats f est une fonction définie sur ] 2 ; + [ par : 4 points f (x)=3+ 1 x+ 2. On note f sa fonction dérivée et (C ) la représentation

Plus en détail

TS Physique D Aristote à aujourd hui Exercice résolu

TS Physique D Aristote à aujourd hui Exercice résolu P a g e 1 TS Physique Eercice résolu Enoncé -34 avant JC : Aristote déclare qu une masse d or, de plomb ou de tout autre corps pesant tombe d autant plus vite qu elle est plus grosse et, en particulier,

Plus en détail

Cours de mathématiques pour la Terminale S

Cours de mathématiques pour la Terminale S Cours de mathématiques pour la Terminale S Savoir-Faire par chapitre Florent Girod 1 Année scolaire 2015 / 2016 1. Externat Notre Dame - Grenoble Table des matières 1) Suites numériques.................................

Plus en détail

EXERCICES - ANALYSE GÉNÉRALE

EXERCICES - ANALYSE GÉNÉRALE EXERCICES - ANALYSE GÉNÉRALE OLIVIER COLLIER Exercice 1 (2012) Une entreprise veut faire un prêt de S euros auprès d une banque au taux annuel composé r. Le remboursement sera effectué en n années par

Plus en détail

Exercices Alternatifs. Quelqu un aurait-il vu passer un polynôme?

Exercices Alternatifs. Quelqu un aurait-il vu passer un polynôme? Exercices Alternatifs Quelqu un aurait-il vu passer un polynôme? c 2004 Frédéric Le Roux, François Béguin (copyleft LDL : Licence pour Documents Libres). Sources et figures: polynome-lagrange/. Version

Plus en détail

Exercices Alternatifs. Quelqu un aurait-il vu passer un polynôme?

Exercices Alternatifs. Quelqu un aurait-il vu passer un polynôme? Exercices Alternatifs Quelqu un aurait-il vu passer un polynôme? c 2004 Frédéric Le Roux, François Béguin (copyleft LDL : Licence pour Documents Libres). Sources et figures: polynome-lagrange/. Version

Plus en détail

Cahier de vacances - Préparation à la Première S

Cahier de vacances - Préparation à la Première S Cahier de vacances - Préparation à la Première S Ce cahier est destiné à vous permettre d aborder le plus sereinement possible la classe de Première S. Je vous conseille de le travailler pendant les 0

Plus en détail

Primitives Cours maths Terminale S

Primitives Cours maths Terminale S Primitives Cours maths Terminale S Dans ce module est introduite la notion de primitive d une fonction sur un intervalle. On définit cette notion puis on montre qu une fonction admet une infinité de primitives

Plus en détail

Nom :... Prénom :... Section :... No :... Exercice 1 (6 points) EPFL, Physique Générale I SIE & SMX, 2010-2011 Examen 14.01.2011

Nom :... Prénom :... Section :... No :... Exercice 1 (6 points) EPFL, Physique Générale I SIE & SMX, 2010-2011 Examen 14.01.2011 EPFL, Physique Générale I SIE & SMX, 200-20 Examen 4.0.20 Nom :... Prénom :... Section :... No :... Les seuls objets autorisés sont: Le formulaire "résumé mécanique" disponible sur le moodle une feuille

Plus en détail

BTS Groupement A. Mathématiques Session 2011. Spécialités CIRA, IRIS, Systèmes électroniques, TPIL

BTS Groupement A. Mathématiques Session 2011. Spécialités CIRA, IRIS, Systèmes électroniques, TPIL BTS Groupement A Mathématiques Session 11 Exercice 1 : 1 points Spécialités CIRA, IRIS, Systèmes électroniques, TPIL On considère un circuit composé d une résistance et d un condensateur représenté par

Plus en détail

Baccalauréat STL biotechnologies Métropole La Réunion 18 juin 2015

Baccalauréat STL biotechnologies Métropole La Réunion 18 juin 2015 Baccalauréat STL biotechnologies Métropole La Réunion 18 juin 2015 Calculatrice autorisée conformément à la circulaire n o 99-186 du 16 novembre 1999. Le candidat doit traiter les quatre exercices. Il

Plus en détail

Continuité d une fonction de plusieurs variables

Continuité d une fonction de plusieurs variables Chapitre 2 Continuité d une fonction de plusieurs variables Maintenant qu on a défini la notion de limite pour des suites dans R n, la notion de continuité s étend sans problème à des fonctions de plusieurs

Plus en détail

Équations non linéaires

Équations non linéaires Équations non linéaires Objectif : trouver les zéros de fonctions (ou systèmes) non linéaires, c-à-d les valeurs α R telles que f(α) = 0. y f(x) α 1 α 2 α 3 x Equations non lineaires p. 1/49 Exemples et

Plus en détail

T ES DEVOIR N 1 SEPTEMBRE 2013

T ES DEVOIR N 1 SEPTEMBRE 2013 T ES DEVOIR N 1 SEPTEMBRE 2013 Durée : 2h NOM : Prénom : Calculatrice autorisée «Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu il aura

Plus en détail

Comparaison de fonctions Développements limités. Chapitre 10

Comparaison de fonctions Développements limités. Chapitre 10 PCSI - 4/5 www.ericreynaud.fr Chapitre Points importants 3 Questions de cours 6 Eercices corrigés Plan du cours 4 Eercices types 7 Devoir maison 5 Eercices Chap Et s il ne fallait retenir que si points?

Plus en détail

x x² = y x -3-2 -1-0,5 0 0,5 1 2 3 y CHAPITRE 12 I. INTRODUCTION

x x² = y x -3-2 -1-0,5 0 0,5 1 2 3 y CHAPITRE 12 I. INTRODUCTION CHAPITRE 2 FONCTIONS I. INTRODUCTION Une fonction est «une machine à transformer des nombres». Par eemple, la fonction «carré» désigne la «machine» qui transforme les nombres en leurs carrés. Ainsi elle

Plus en détail

+ 1. Qu est ce que cela donne pour notre calcul de 1,01? On pose x = 1,01 donc f (x) 1 + 1 0,01

+ 1. Qu est ce que cela donne pour notre calcul de 1,01? On pose x = 1,01 donc f (x) 1 + 1 0,01 Eo7 Dérivée d une fonction Vidéo partie. Définition Vidéo partie. Calculs Vidéo partie 3. Etremum local, théorème de Rolle Vidéo partie 4. Théorème des accroissements finis Eercices Fonctions dérivables

Plus en détail

3. La suite ( un)a pour terme général un

3. La suite ( un)a pour terme général un NOM : Terminale ES Devoir n vendredi 9 octobre 0 Eercice : sur.5 points Des questions indépendantes. Résoudre l équation ² + 4 = 0. Calculer la dérivée de f dans chacun des cas suivants : a) f ( ) 4 8

Plus en détail

Terminale ES Correction du bac blanc de Mathématiques (version spécialité).

Terminale ES Correction du bac blanc de Mathématiques (version spécialité). Terminale ES Correction du bac blanc de Mathématiques (version spécialité). Lycée Jacques Monod février 05 Exercice : Voici les graphiques des questions. et.. A 4 A Graphique Question. Graphique Question..

Plus en détail

Baccalauréat SMS 2008 L intégrale de juin à septembre 2008

Baccalauréat SMS 2008 L intégrale de juin à septembre 2008 Baccalauréat SMS 2008 L intégrale de juin à septembre 2008 Métropole juin 2008..................................... 3 La Réunion 18 juin 2008................................. 6 Polynésie juin 2008......................................

Plus en détail

ADMISSION AU COLLEGE UNIVERSITAIRE Samedi 1 mars 2014 MATHEMATIQUES durée de l épreuve : 3h coefficient 2

ADMISSION AU COLLEGE UNIVERSITAIRE Samedi 1 mars 2014 MATHEMATIQUES durée de l épreuve : 3h coefficient 2 ADMISSION AU COLLEGE UNIVERSITAIRE Samedi 1 mars 2014 MATHEMATIQUES durée de l épreuve : 3h coefficient 2 Le sujet est numéroté de 1 à 5. L annexe 1 est à rendre avec la copie. L exercice Vrai-Faux est

Plus en détail

Fiche de révision sur les lois continues

Fiche de révision sur les lois continues Exercice 1 Voir la correction Le laboratoire de physique d un lycée dispose d un parc d oscilloscopes identiques. La durée de vie en années d un oscilloscope est une variable aléatoire notée X qui suit

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables

Fonctions de plusieurs variables Module : Analyse 03 Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables Généralités et Rappels des notions topologiques dans : Qu est- ce que?: Mathématiquement, n étant un entier non nul, on définit comme

Plus en détail

Baccalauréat ES Amérique du Sud 16 novembre 2011

Baccalauréat ES Amérique du Sud 16 novembre 2011 Baccalauréat ES Amérique du Sud 16 novembre 2011 L utilisation d une calculatrice est autorisée. EXERCICE 1 Commun à tous les candidats 4 points Soit u une fonction définie et dérivable sur l intervalle

Plus en détail

Lecture graphique. Table des matières

Lecture graphique. Table des matières Lecture graphique Table des matières 1 Lecture d une courbe 2 1.1 Définition d une fonction.......................... 2 1.2 Exemple d une courbe........................... 2 1.3 Coût, recette et bénéfice...........................

Plus en détail

Lycée Alexis de Tocqueville. BACCALAUREAT TECHNOLOGIQUE Blanc Corrigé. Série S.T.M.G. Février 2015 Épreuve de mathématiques.

Lycée Alexis de Tocqueville. BACCALAUREAT TECHNOLOGIQUE Blanc Corrigé. Série S.T.M.G. Février 2015 Épreuve de mathématiques. Lycée Alexis de Tocqueville BACCALAUREAT TECHNOLOGIQUE Blanc Corrigé Série S.T.M.G. Février 2015 Épreuve de mathématiques Durée 3 heures Le candidat traitera obligatoirement les quatre exercices ******

Plus en détail

POLY-PREPAS Centre de Préparation aux Concours Paramédicaux. - Section Orthoptiste / stage i-prépa intensif -

POLY-PREPAS Centre de Préparation aux Concours Paramédicaux. - Section Orthoptiste / stage i-prépa intensif - POLY-PREPAS Centre de Préparation aux Concours Paramédicaux - Section Orthoptiste / stage i-prépa intensif - 1 Chapitre 10 : Condensateur et circuit RC I. Notions de base en électricité : a) Courant électrique

Plus en détail

Introduction à l analyse numérique : exemple du cloud computing

Introduction à l analyse numérique : exemple du cloud computing Introduction à l analyse numérique : exemple du cloud computing Tony FEVRIER Aujourd hui! Table des matières 1 Equations aux dérivées partielles et modélisation Equation différentielle et modélisation

Plus en détail

Image d un intervalle par une fonction continue

Image d un intervalle par une fonction continue DOCUMENT 27 Image d un intervalle par une fonction continue La continuité d une fonction en un point est une propriété locale : une fonction est continue en un point x 0 si et seulement si sa restriction

Plus en détail

Corrigé du baccalauréat STI 2D/STL spécialité SPCL Métropole La Réunion 18 juin 2015

Corrigé du baccalauréat STI 2D/STL spécialité SPCL Métropole La Réunion 18 juin 2015 Durée : 4 heures Corrigé du baccalauréat STI 2D/STL spécialité SPCL Métropole La Réunion 18 juin 15 EXERCICE 1 4 points Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes,

Plus en détail

O, i, ) ln x. (ln x)2

O, i, ) ln x. (ln x)2 EXERCICE 5 points Commun à tous les candidats Le plan complee est muni d un repère orthonormal O, i, j Étude d une fonction f On considère la fonction f définie sur l intervalle ]0; + [ par : f = ln On

Plus en détail

Fiche d exercices 3 : Continuité, Dérivabilité et Etude de fonctions Continuité

Fiche d exercices 3 : Continuité, Dérivabilité et Etude de fonctions Continuité Fiche d eercices : Continuité, Dérivabilité et Etude de fonctions Continuité Eercice On considère la fonction f définie sur [ ; + [ par : f() E() pour [ ; 4[ f() 4 + 4 pour [ 4 ; + [ a. Tracer la représentation

Plus en détail

BACCALAUREAT GENERAL MATHÉMATIQUES

BACCALAUREAT GENERAL MATHÉMATIQUES BACCALAUREAT GENERAL FEVRIER 2014 MATHÉMATIQUES SERIE : ES Durée de l épreuve : 3 heures Coefficient : 5 (ES), 4 (L) 7(spe ES) Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées, conformement à la

Plus en détail

Baccalauréat STI 2D/STL spécialité SPCL Métropole La Réunion 18 juin 2015

Baccalauréat STI 2D/STL spécialité SPCL Métropole La Réunion 18 juin 2015 Durée : 4 heures Baccalauréat STI 2D/STL spécialité SPCL Métropole La Réunion 18 juin 2015 EXERCICE 1 4 points Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes,

Plus en détail

Dérivées et applications. Equation

Dérivées et applications. Equation Dérivées et applications. Equation I) Dérivée d une fonction strictement monotone 1) Exemples graphiques Soit une fonction dérivable sur un intervalle I. Pour tout I, (x) est le coefficient directeur de

Plus en détail

BACCALAURÉAT TECHNOLOGIQUE. MATHÉMATIQUES Séries STI2D et STL spécialité SPCL ÉPREUVE DU JEUDI 18 JUIN 2015

BACCALAURÉAT TECHNOLOGIQUE. MATHÉMATIQUES Séries STI2D et STL spécialité SPCL ÉPREUVE DU JEUDI 18 JUIN 2015 BACCALAURÉAT TECHNOLOGIQUE SESSION 2015 MATHÉMATIQUES Séries STI2D et STL spécialité SPCL ÉPREUVE DU JEUDI 18 JUIN 2015 Durée de l épreuve : 4 heures Coefficient : 4 Ce sujet comporte 8 pages numérotées

Plus en détail

Équations du troisième degré

Équations du troisième degré par Z, auctore L objet de cet article est d exposer deux méthodes pour trouver des solutions à une équation du troisième degré : la recherche de racines évidentes d une part, et la formule de Cardan d

Plus en détail

1.1 Définitions... 2 1.2 Opérations élémentaires... 2 1.3 Systèmes échelonnés et triangulaires... 3

1.1 Définitions... 2 1.2 Opérations élémentaires... 2 1.3 Systèmes échelonnés et triangulaires... 3 Chapitre 5 Systèmes linéaires 1 Généralités sur les systèmes linéaires 2 11 Définitions 2 12 Opérations élémentaires 2 13 Systèmes échelonnés et triangulaires 3 2 Résolution des systèmes linéaires 3 21

Plus en détail

Circuits RL et RC. Chapitre 5. 5.1 Inductance

Circuits RL et RC. Chapitre 5. 5.1 Inductance Chapitre 5 Circuits RL et RC Ce chapitre présente les deux autres éléments linéaires des circuits électriques : l inductance et la capacitance. On verra le comportement de ces deux éléments, et ensuite

Plus en détail

Correction du baccalauréat ES/L Métropole 20 juin 2014

Correction du baccalauréat ES/L Métropole 20 juin 2014 Correction du baccalauréat ES/L Métropole 0 juin 014 Exercice 1 1. c.. c. 3. c. 4. d. 5. a. P A (B)=1 P A (B)=1 0,3=0,7 D après la formule des probabilités totales : P(B)=P(A B)+P(A B)=0,6 0,3+(1 0,6)

Plus en détail

Sujet de Bac 2012 Maths ES Obligatoire & Spécialité - Métropole

Sujet de Bac 2012 Maths ES Obligatoire & Spécialité - Métropole Sujet de Bac 2012 Maths ES Obligatoire & Spécialité - Métropole Exercice 1 : 5 points Sur le site http: //www.agencebio.org, on a extrait des informations concernant l agriculture en France métropolitaine.

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre

Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre IUFM du Limousin 2009-10 PLC1 Mathématiques S. Vinatier Rappels de cours Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre 1 Fonctions de plusieurs variables

Plus en détail

Nombres complexes Forme trigonométrique d un complexe Exercices corrigés

Nombres complexes Forme trigonométrique d un complexe Exercices corrigés Nombres complexes Forme trigonométrique d un complexe Exercices corrigés Sont abordés dans cette fiche : Exercice 1 : affixe d un point, représentation d un point-image dans le plan complexe, argument

Plus en détail

Résolution d équations non linéaires

Résolution d équations non linéaires Analyse Numérique Résolution d équations non linéaires Said EL HAJJI et Touria GHEMIRES Université Mohammed V - Agdal. Faculté des Sciences Département de Mathématiques. Laboratoire de Mathématiques, Informatique

Plus en détail

L2 MIEE 2012-2013 VAR Université de Rennes 1

L2 MIEE 2012-2013 VAR Université de Rennes 1 . Sous-ensembles de R n et fonctions (suite) 1 Nappes paramétrées Si f une fonction de deux variables, son graphe est une surface incluse dans R 3 : {(x, y, f(x, y)) / (x, y) R 2 }. Une telle surface s

Plus en détail

PROPOSITION DE CORRIGÉ

PROPOSITION DE CORRIGÉ BACCALAURÉAT Série : Scientifique Épreuve : Physique - Chimie Session 2015 Durée de l épreuve : 3h30min Coefficient : 6 PROPOSITION DE CORRIGÉ Partie 1 : ascension en ballon sonde de Félix Baumgartner

Plus en détail

1 Fiche méthodologique Passage d un mode de représentation d un sev à l autre

1 Fiche méthodologique Passage d un mode de représentation d un sev à l autre 1 Fiche méthodologique Passage d un mode de représentation d un sev à l autre BCPST Lycée Hoche $\ CC BY: Pelletier Sylvain Les deux modes de représentation des sous-espaces vectoriels Il existe deux modes

Plus en détail

Première partie. Deuxième partie

Première partie. Deuxième partie PC 96-97 correction épreuve X97 Première partie. f étant convexe sur l intervalle [t, t 2 ], sa courbe représentative est en dessous la corde joignant les points (t, f(t )) et (t 2, f(t 2 )). Comme f(t

Plus en détail

3 Fonctions logarithmiques

3 Fonctions logarithmiques Log-Cours_standard.nb 12 3 Fonctions logarithmiques Edition 2007-2008 / DELM Liens hypertextes Cours de niveau avancé (plus étoffé): http://www.deleze.name/marcel/sec2/cours/logarithmes/log-cours_avance.pdf

Plus en détail

Classe : TES1 Le 12/05/2003. MATHEMATIQUES Devoir N 7 (rattrapage) Calculatrice et formulaire autorisés

Classe : TES1 Le 12/05/2003. MATHEMATIQUES Devoir N 7 (rattrapage) Calculatrice et formulaire autorisés Classe : TES1 Le 12/05/2003 MATHEMATIQUES Devoir N 7 (rattrapage) Calculatrice et formulaire autorisés Durée : 3h Exercice 1: (5 points) Le tableau suivant donne l évolution du prix d un paquet de café

Plus en détail

Plan. 5 Actualisation. 7 Investissement. 2 Calcul du taux d intérêt 3 Taux équivalent 4 Placement à versements fixes.

Plan. 5 Actualisation. 7 Investissement. 2 Calcul du taux d intérêt 3 Taux équivalent 4 Placement à versements fixes. Plan Intérêts 1 Intérêts 2 3 4 5 6 7 Retour au menu général Intérêts On place un capital C 0 à intérêts simples de t% par an : chaque année une somme fixe s ajoute au capital ; cette somme est calculée

Plus en détail

Fonction polynôme du second degré : Forme canonique

Fonction polynôme du second degré : Forme canonique Fonction polynôme du second degré : Forme canonique I) Introduction. Soit g(x) = a(x - s)²+h. Toute fonction polynôme du second degré peut s écrire sous cette forme. Le passage de la forme développée à

Plus en détail

Soutien illimité 7j/7 en maths: Coach, profs, exercices & annales, cours. Sujet de Bac 2013 Maths S Obligatoire & Spécialité - Amérique du Nord

Soutien illimité 7j/7 en maths: Coach, profs, exercices & annales, cours. Sujet de Bac 2013 Maths S Obligatoire & Spécialité - Amérique du Nord Sujet de Bac 2013 Maths S Obligatoire & Spécialité - Amérique du Nord EXERCICE 1 : 5 points On se place dans l espace muni d un repère orthonormé. On considère les points,, et. 1. Démontrer que les points,

Plus en détail

Eléments de correction du Bac Blanc n 2 de Mathématiquesdu Lundi 8 Avril2013. Calculatrice autorisée - Aucun document n'est autorisé.

Eléments de correction du Bac Blanc n 2 de Mathématiquesdu Lundi 8 Avril2013. Calculatrice autorisée - Aucun document n'est autorisé. TES Spé Maths Eléments de correction du Bac Blanc n 2 de Mathématiquesdu Lundi 8 Avril2013 Calculatrice autorisée - Aucun document n'est autorisé. Vous apporterez un grand soin à la présentation et à la

Plus en détail

Chapitre 6. Fonction réelle d une variable réelle

Chapitre 6. Fonction réelle d une variable réelle Chapitre 6 Fonction réelle d une variable réelle 6. Généralités et plan d étude Une application de I dans R est une correspondance entre les éléments de I et ceu de R telle que tout élément de I admette

Plus en détail

Les polynômes du second degré

Les polynômes du second degré Les polynômes du second degré exercices corrigés 12 septembre 2013 Les polynômes du second degré Exercice 1 Exercice 2 Exercice 3 Les polynômes du second degré Exercice 1 Les polynômes du second degré

Plus en détail

Première S Exercices valeur absolue 2010-2011

Première S Exercices valeur absolue 2010-2011 Première S Exercices valeur absolue 2010-2011 Exercice 1 : Résoudre dans Y, les inéquations suivantes : a) 2 < x + 1 < 3 b) 1 x 3 < 4 2 x 3 > 2 c) x + 4 3 Exercice 2 : On souhaite résoudre dans Y l équation

Plus en détail

Chapitre 5. Calculs financiers. 5.1 Introduction - notations

Chapitre 5. Calculs financiers. 5.1 Introduction - notations Chapitre 5 Calculs financiers 5.1 Introduction - notations Sur un marché économique, des acteurs peuvent prêter ou emprunter un capital (une somme d argent) en contrepartie de quoi ils perçoivent ou respectivement

Plus en détail

Fonction inverse Fonctions homographiques

Fonction inverse Fonctions homographiques Fonction inverse Fonctions homographiques Année scolaire 203/204 Table des matières Fonction inverse 2. Définition Parité............................................ 2.2 Variations Courbe représentative...................................

Plus en détail

Première L COMPOSITION DE MATHEMATIQUES - INFORMATIQUE. 2ème trimestre 2010. Durée de l épreuve : 1 h 30

Première L COMPOSITION DE MATHEMATIQUES - INFORMATIQUE. 2ème trimestre 2010. Durée de l épreuve : 1 h 30 Première L COMPOSITION DE MATHEMATIQUES - INFORMATIQUE 2ème trimestre 2010 Durée de l épreuve : 1 h 30 Le candidat doit traiter les 3 exercices La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des

Plus en détail

Union générale des étudiants de Tunisie Bureau de l institut Préparatoire Aux Etudes D'ingénieurs De Tunis. Modèle de compte-rendu de TP.

Union générale des étudiants de Tunisie Bureau de l institut Préparatoire Aux Etudes D'ingénieurs De Tunis. Modèle de compte-rendu de TP. Union générale des étudiants de Tunisie Modèle de compte-rendu de TP Dipôle RC Ce document a été publié pour l unique but d aider les étudiants, il est donc strictement interdit de l utiliser intégralement

Plus en détail

Formules d inclusion-exclusion

Formules d inclusion-exclusion Université de Rouen L1 M.I.EEA 2011 2012 Mathématiques discrètes Formules d inclusion-exclusion Je présente ici une correction détaillée de l Exercice 5 de la Feuille d exercices 1, en reprenant le problème

Plus en détail

Exercice 1 Métropole juin 2014 5 points

Exercice 1 Métropole juin 2014 5 points Le sujet comporte 6 pages. Seule l annexe est à rendre avec la copie. BAC BLANC MATHÉMATIQUES TERMINALE STMG Durée de l épreuve : 3 heures Les calculs doivent être détaillés. Les calculatrices sont autorisées,

Plus en détail

Les Conditions aux limites

Les Conditions aux limites Chapitre 5 Les Conditions aux limites Lorsque nous désirons appliquer les équations de base de l EM à des problèmes d exploration géophysique, il est essentiel, pour pouvoir résoudre les équations différentielles,

Plus en détail

ÉVALUATION FORMATIVE. On considère le circuit électrique RC représenté ci-dessous où R et C sont des constantes strictement positives.

ÉVALUATION FORMATIVE. On considère le circuit électrique RC représenté ci-dessous où R et C sont des constantes strictement positives. L G L G Prof. Éric J.M.DELHEZ ANALYSE MATHÉMATIQUE ÉALUATION FORMATIE Novembre 211 Ce test vous est proposé pour vous permettre de faire le point sur votre compréhension du cours d Analyse Mathématique.

Plus en détail

Méthodes de Monte-Carlo Simulation de grandeurs aléatoires

Méthodes de Monte-Carlo Simulation de grandeurs aléatoires Méthodes de Monte-Carlo Simulation de grandeurs aléatoires Master Modélisation et Simulation / ENSTA TD 1 2012-2013 Les méthodes dites de Monte-Carlo consistent en des simulations expérimentales de problèmes

Plus en détail

Bac Blanc Terminale ES - Février 2011 Épreuve de Mathématiques (durée 3 heures)

Bac Blanc Terminale ES - Février 2011 Épreuve de Mathématiques (durée 3 heures) Bac Blanc Terminale ES - Février 2011 Épreuve de Mathématiques (durée 3 heures) Eercice 1 (5 points) pour les candidats n ayant pas choisi la spécialité MATH Le tableau suivant donne l évolution du chiffre

Plus en détail

Chapitre 3 Les régimes de fonctionnement de quelques circuits linéaires

Chapitre 3 Les régimes de fonctionnement de quelques circuits linéaires Chapitre 3 Les régimes de fonctionnement de quelques circuits linéaires 25 Lechapitreprécédent avait pour objet l étude decircuitsrésistifsalimentéspar dessourcesde tension ou de courant continues. Par

Plus en détail

BACCALAURÉAT BLANC DE MATHÉMATIQUES. Terminales ES (Spécialité)

BACCALAURÉAT BLANC DE MATHÉMATIQUES. Terminales ES (Spécialité) BACCALAURÉAT BLANC DE MATHÉMATIQUES Terminales ES (Spécialité) Vendredi 7 février 0 8h - h coefficient : 7 Les calculatrices sont autorisées Le sujet est composé de exercices indépendants. Le candidat

Plus en détail

Devoir surveillé n 1 : correction

Devoir surveillé n 1 : correction E1A-E1B 013-01 Devoir surveillé n 1 : correction Samedi 8 septembre Durée : 3 heures. La calculatrice est interdite. On attachera une grande importance à la qualité de la rédaction. Les questions du début

Plus en détail

Continuité et dérivabilité d une fonction

Continuité et dérivabilité d une fonction DERNIÈRE IMPRESSIN LE 7 novembre 014 à 10:3 Continuité et dérivabilité d une fonction Table des matières 1 Continuité d une fonction 1.1 Limite finie en un point.......................... 1. Continuité

Plus en détail

Devoir Surveillé n 5 BTS 2009 groupement B

Devoir Surveillé n 5 BTS 2009 groupement B EXERCICE 1 (12 points) Devoir Surveillé n 5 BTS 2009 groupement B Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante. A. Résolution d une équation différentielle On considère

Plus en détail